Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Москва.

1. Б.В.Шабат
ВВЕДЕНИЕ В КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций
одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная
функциям одного переменного, содержит материал обязательного
университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких
переменных и содержит материал основного спецкурса.
В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных
переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные
приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное
изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое
изложение значительно облегчает знакомство с ней.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. Голоморфные функции 13
§ 1. Комплексная плоскость 13
1. Комплексные числа 13
2. Топология комплексной плоскости 17
3. Пути и кривые 20
4. Области 23
§ 2. Функции комплексного переменного 26
5. Понятие функции 26
6. Дифференцируемость 31
7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 36
§ 3. Элементарные функции 42
8. Дробно-линейные функции 42
9. Геометрические свойства 47
10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 50
11. Некоторые рациональные функции 54
12. Показательная функция 58
13. Тригонометрические функции 61
Задачи 65
Глава II. Свойства голоморфных функций 68
§ 4. Интеграл 68
14. Понятие интеграла 68
15. Первообразная 72
16. Гомотопия. Теорема Коши 80
17. Обобщения теоремы Коши 86
18. Интегральная формула Коши 90
§ 5. Ряды Тейлора 93

2. 19. Ряды Тейлора 94
20. Свойства голоморфных функций 100
21. Теорема единственности 103
22. Теорема Вейерштрасса 106
§ 6. Ряды Лорана и особые точки 112
23. Ряды Лорана 112
24. Изолированные особые точки 119
25. Вычеты 127
Задачи 134
Глава III. Аналитическое продолжение 137
§ 7. Понятие аналитического продолжения 137
26. Элементы аналитических функций 137
27. Продолжение вдоль пути 144
§ 8. Понятие аналитической функции 151
28. Аналитические функции 151
29. Элементарные функции 156
30. Особые точки 164
§ 9. Понятие римановой поверхности 170
31. Элементарный подход 170
32. Общий подход 174
Задачи 181
Глава IV. Основы геометрической теории 183
§ 10. Геометрические принципы 183
33. Принцип аргумента 183
34. Принцип сохранения области 187
35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца 192
§ 11. Теорема Римана 195
36. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы 195
37. Принцип компактности 199
38. Теорема Римана 204
§ 12. Соответствие границ и принцип симметрии 206
39. Соответствие границ 206
40. Принцип симметрии 211
41. Эллиптический синус и модулярная функция 216
Задачи 221
Глава V. Дополнительные вопросы 223
§ 13. Разложения целых и мероморфных функций 223
42. Теорема Миттаг-Леффлера 223
43. Теорема Вейерштрасса 230
§ 14. Гармонические и субгармонические функции 238
44. Гармонические функции 238
45. Задача Дирихле 243
46. Субгармонические функции 248
Задачи 254

3. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I. Голоморфные функции нескольких переменных 259
§ 1. Комплексное пространство 259
1. Пространство Сn 259
2. Простейшие области 264
§ 2. Понятие голоморфности 270
3. Определение голоморфности 270
4. Плюригармонические функции 277
5. Основная теорема Хартогса 280
§ 3. Голоморфные функции 285
6. Простейшие свойства 285
7. Степенные ряды 293
8. Ряды Хартогса и Лорана 297
Задачи 301
Глава II. Интегрирование 304
§ 4. Многообразия и формы 304
9. Понятие многообразия 304
10. Дифференциальные формы 309
11. Понятие интеграла от формы 314
§ 5. Теорема Коши — Пуанкаре 321
12. Цепи и их границы 322
13. Дифференцирование форм 326
14. Формула Стокса 331
15. Теорема Коши — Пуанкаре 334
§ 6. Интегральные представления 337
16. Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере 337
17. Теорема Севери 344
18. Формула Вейля 350
Задачи 355
Глава III. Аналитическое продолжение 357
§ 7. Области голоморфности 357
19. Теорема Хартогса о продолжении 357
20. Понятие области голоморфности 360
21. Голоморфная выпуклость 365
22. Свойства областей голоморфности 372
§ 8. Псевдовыпуклость 377
23. Принцип непрерывности 377
24. Выпуклость в смысле Леви 381
25. Плюрисубгармонические функции 386
26. Псевдовыпуклые области 395
§ 9. Оболочки голоморфности 401
27. Однолистные оболочки голоморфности 402
28. Области разложения 408

4. 29. Многолистные оболочки голоморфности 417
Задачи 422
Глава IV. Мероморфные функции и проблемы Кузена 424
§ 10. Мероморфные функции 424
30. Понятие мероморфной функции 424
31. Первая проблема Кузена 429
32. Решение для поликругов 434
30. Применения. Вторая проблема Кузена 439
§ 11. Методы теории пучков 445
34. Основные определения 445
35. Группы когомологий 451
36. Точные последовательности пучков 455
§ 12. Применения 460
37. Решение первой проблемы Кузена 460
38. Решение второй проблемы Кузена 466
39. Решение ∂ -проблемы и проблемы Леви 469
Задачи 480
Глава V. Особенности и вычеты 484
§ 13. Многомерные вычеты 484
40. Теория Мартинелли 485
41. Теория Лере 492
42. Логарифмический вычет 501
§ 14. Аналитические множества 507
43. Понятие аналитического множества 507
44. Локальное обращение голоморфных функций 515
§ 15. Аналитичность множества особенностей 519
45. Аналитичность множества особых точек 520
46. Существенно особые точки 523
47. Теорема о вложенном ребре 527
Задачи 530
Глава VI. Голоморфные отображения 533
§ 16. Автоморфизмы простейших областей 533
48. Общие теоремы 534
49. Автоморфизмы пространства 540
50. Автоморфизмы некоторых областей 546
§ 17. Инвариантная метрика 551
51. Кернфункция 551
52. Метрика Бергмана 559
53. Поведение кернфункции на границе 564
Задачи 570
Предметный указатель 572
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теоремы 97, 275, 293 Абсолютный октант 267

5. Автоморфизмы канонических
областей 197
— круга 53
— области 533
— поликруга 550
— пространства 540
— — нелинейные 541
— шара 546
Автоморфная функция 217
Адамара теорема 235
Аналитическая кривая 377
— плоскость 260
— — касательная 343, 510, 513
— поверхность 377
— — компактная 377
— прямая 260
— функция 152, 410
Аналитическое множество 507
— — компактное 531
— — локально неприводимое 508
— — неприводимое 507
— продолжение 137, 143, 410
— — вдоль пути 145, 410
— — непосредственное 143, 410
Антиголоморфная функция 277
Антиконформное отображение 38
А-точка 106
База открытых множеств 448
— пучка 446
— n-мерных гомологии 487
Барьер в граничной точке 362, 364
Бенке — Зоммера теорема 378, 520
Бенке — Штейна теоремы 370, 373
Бергмана граница 303
— кернфункция 555
Бесконечная точка 15, 36, 106, 130
Бесконечное произведение 230
Биголоморфное отображение 376,
413, 533
Буняковского — Шварца
неравенство 551
Бурмана — Лагранжа ряд 191
Вейерштрасса теорема
подготовительная 289, 514, 516
— теоремы 106, 231, 288
Вейля множество 350
— область 350
— разложение 353
— теорема 351
— формула 350
Векторное поле 40
Верхняя огибающая 250
Ветвь аналитической функции 152
Вложение многообразий 412
Внешнее умножение 311
Выпуклая оболочка 365
— функция 394
Выпуклость 365
— — в смысле Леви 381
— голоморфная 365, 415
— логарифмическая 294—296
Выпуклость относительно класса 366
— полиномиальная 366, 481
— рациональная 367, 531
Вычет 130
— логарифмический 183, 501
— относительно базисного цикла 488
— — особого цикла 490
— функции 128, 484
Вычет-класс 498
— — сложный 500
Вычет-форма 495
Гамма-функция 138
Гармоническая мажоранта 249, 250
— — наилучшая 252
— функция 238, 242, 390
Геометрия Лобачевского 67, 563
Гиперболическая метрика 563
Гипотеза Бибербаха 136
Глобальное сечение пучка 453
Голоморфизм 195, 307, 376, 413, 533
Голоморфная выпуклость 365, 415
— кривая 355
— нерасширяемость в точке 381
— форма 314
— функция 35, 271
— — в смысле Вейерштрасса 102,
285

6. — — — — Коши 102
— — — — Римана 102. 285
— — на комплексном многообразий
308
Голоморфное отображение
многообразий 412
— расширение области 361
Голоморфность функции в точке 35,
271
Голоморфный изоморфизм 412
— коцикл 430, 442
Гомологии компактные 497
Гомоморфизм пучков 456
Гомотопические классы 82
Гомотопия 80
Гомотопность кривых 83
Граница 324
— Бергмана 303
— области 24
— — ориентированная 87
— поликруга 265
— симплекса 322
— цепи 323, 325
— Шилова 237, 303, 570
Граничное расстояние 409
Грина формула 337, 338
Группа автоморфизмов 195, 544
— гомологии 324
— дифференциальных форм 313, 330
— когомологий 331, 434, 451—455
— — с коэффициентами в пучке 452
— — покрытия 453
— — пространства 455
— коциклов 452
— относительных гомологии 500
— — цепей 500
Даламбера — Эйлера условия 33
Двоякопериодичность 217
де Рама теорема 463, 482
Диаграмма Рейнхарта 267
— Хартогса 268
Диаметр множества 88
Дивизор 468
Дигармонические функции 278
Дирихле задача 243, 255, 280
Дискриминант 511
Дискриминантное множество 511,
517
Дифференциал 31
— формы 323
Дифференциальная форма 79, 278,
310—
— — бистепени (p, q) 314
— — замкнутая 79, 278, 330, 433
— — класса )(0 DC∞
471
— — Сq312
— — точная 79, 278, 330
— — эрмитова 384, 561
Дифференциальный коцикл 432
— —, когомологичный нулю 432
Дифференцирование сложных
функций 272
Дифференцируемость в смысле Сп
32, 270
— — Rп
31, 270
— — точке 31
Длина пути 22
Дольбо теорема 461
Дробно-линейные автоморфизмы 52
— — изоморфизмы 51
— — функции 42
Дуга аналитическая 208
∂ -проблема 469
δ-функция 341
Евклидова метрика 16, 261
Жордана лемма 134
Жорданов путь 21
Жорданова граница 25
— кривая 23
— область 25
Жуковского функция 55
Задача Дирихле 243, 255, 280
Зацепления коэффициент 486
Идеал кольца 254, 291, 303
Изолированная особая точка 119,
164, 349
Изоморфизм голоморфный 376

7. — Дольбо 462
— областей 533
— пучков 456
Инверсия 49
Индекс отображения 519
— — локальный 506, 518
— пресечения симплексов 485
— — цепей 485
— поверхности относительно точки
501
— пути относительно точки 185
Интеграл 68, 78, 71, 316, 319
— Коши 90, 274, 321
— —типа Коши 134
— эллиптический первого рода 209—
211
Интегральное представление Вейля
350
— — Лере 343
— — Мартинелли — Бохнера 340
Исчерпание множества 320
— — компактное 108, 363, 368
Каратеодори компактификация 206
Картана теоремы 463, 464, 534
Картана —
Каратеодори теорема 537
Картана — Туллена теоремы 367,
371, 415
Келлога теорема 207
Кернфункция 555
Класс-вычет 498
— — сложный 500
Класс функций 369
— — й-устойчивый 369
— — р-устойчивый 370
Кнезера теорема 527
Кограница 452
Кограничный оператор 452
— — Лере 496
Кольцо голоморфных функций 36,
272
— ростков голоморфных функций
445
— — мероморфных функций 450
Компакт 202
'Компактификация 15, 206, 261
Компактность в себе 202
Копактные гомологии 497
Комплекс 325
Комплексная плоскость 13, 15
— прямая 260
— структура на многообразии 306
Компоненты множества 24
Конформность 37, 207
Конформные автоморфизмы 195
— изоморфизмы 195
Координаты локальные 305
— однородные 262
Коцепь порядка р 452
Коцикл 331. 430, 433, 452
—, когомологичный нулю 331, 430
Коши интеграл 90
— — кратный 274
— — повторный 321
— неравенства 95, 117. 276
— теоремы 84, 128, 484
— формула 90
Коши — Адамара формула 97, 296
Коши — Буняковского неравенство
540
Коши — Гоина формула 92, 340
Коши — Пуанкаре теорема 335
Коши — Римана уравнения 33
— — — касательные 356
— — — неоднородные 434, 470
Коши — Фантапье формула 341
Коэффициент зацепления 486
Кривая 21
— гладкая 23
— жорданова 23
— — аналитическая 208
— кусочно гладкая 23
— спрямляемая 23
Кпитические точки 510, 513
Круг сходимости 98. 114
Кузена проблема вторая 441. 460, 466
— — первая 429, 460. 463, 464
Леви выпуклость 381

8. — определитель 385
— проблема 382, 478
— теоремы 525, 526
— форма 383
Леви — Кшоски теорема 384
Лере кограничный оператор 496
— теория 492—501
— формула 343
Линделёфа теорема 207
Линейная функция 43
Линейное преобразование 544—546
Линии тока 41
Липшица условие 102, 398
Лиувилля теорема 95, 241, 288, 302,
349
Логарифмическая выпуклость 294
— производная 183
Логарифмический вычет 183, 501
— образ 294
— потенциал 255, 521
Локально конечное покрытие 318,
432
Локальное обращение голоформных
функций 188, 515—519
Локальные координаты 305
Локальный индекс отображения 506,
518
— параметр 177, 304
— принцип максимума Росси 423
Лорана ряд 144, 299
L-выпуклость 381
Мартинелли — Бохнера
интегральное представление
340
— — формула 340
Матрица кососимметрическая 312
— Якоби 512
Мероморфная кривая 530
— функция 126, 237, 424, 427
Мероморфное продолжение 523
Метод Коши улучшения сходимости
139, 226
Метрика Бергмана 559, 563
— гиперболическая 563
— инвариантная 563
Миттаг — Леффлера теорема 224
Многолистные области 360
Многообразие 304
— гладкое 306
— дифференцируемое 306
— класса p
C 306
— — ∞
C 306
— комплексно аналитическое 177,
307
— комплексное 307, 355
— наложения над С 409
— ориентируемое 315, 356
— Штейна 417, 478
Множество аналитическое в точке
507
— ветвления 517
— дискриминантное 511, 517
— неприводимое 507
— неопределенности функции 124
— — мероморфной функции 427
— сходимости степенного ряда 303
— тонкое 358
Модель Пуанкаре геометрии
Лобачевского 67
Модулярная функция 217
Монтеля теорема 201
Мореры теорема 101, 335
Наилучшая гармоническая
мажоранта 252
— плюрисубгармоническая
мажоранта 408
— плюрисупергармоническая
мажоранта 407
Непрерывная функция 30
Непрерывность в смысле С 30
— — — C 30, 66
— точке 30
Неприводимая компонента
аналитического множества 509
Неравенство Коши 95, 117, 276
Неравенство Буняковского —
Шварца 551

9. — Коши — Буняковского 540
— треугольника 551
Носитель комплекса 325
— формы, функции 318, 432
Нуль мероморфной кривой 530
— функции 103
Ньютона — Лейбница формула 77,
333
Область 23
Оболочка выпуклая 365
— голоморфности 362, 402
— — области Рейнхарта 406
— — — Хартогса 407
— — трубчатой области 404
— F-выпуклая
Общее положение многообразий 499
— — точек 322
Объединение областей
голоморфности 373
— путей 70
Ока теоремы 467, 480
Окрестность 17, 174, 410, 446
— проколотая 18
Октант абсолютный 267
Оператор взятия границы 323
— d 327, 330
— ∂ 469
— ∂ 482
— Лапласа 238
— res 495
Определитель Леви 385
Определяющая функция 439
Ориентация многообразия 315, 356
Осгуда лемма 282
— теорема 518
Осгуда — Брауна теорема 349
Особая точка 119, 164
— — изолированная 119, 164, 349
— — многозначного характера 166
— — неизолированная, пример 120
— — однозначного характера 166
— — устранимая 119
Остов множества Вейля 350
— поликруга 265
— поликруговой области 265, 335
Остроградского формула 333
Относительная граница 500
— топология 26
Отображение антиконформное 38
— биголоморфное 376, 413, 533
— конформное в точке 37
— — — области 37
— — второго рода 38
— пучков 455
Парсеваля равенство 553
Первообразная 72
— вдоль пути 76
— локальная 73
Пересечение областей
голоморфности 372
Пикара теорема 219, 220, 554
— — большая 220
Плоскость аналитическая 260
Плюригармоническая функция 278
Плюрисубгармоническая функция
387
Плюрисупергармоническая функция
407
Поверхность аналитическая 377
— модуля 29, 321
Подготовительная теорема
Вейерштрасса 289, 514, 516
Подпучок 456
Поле мероморфных функций 428
— отношений кольца 450
Поликруг (полицилиндр) 264, 287,
419, 550, 556
— — — — максимальный 409
— сходимости степенного ряда 296
Полиномиальная выпуклость 366,
481
Полиэдр 325
— аналитический 350, 367, 373
— полиномиальный 356
Полиэдрическая область 350
Полиэдрическое множество 350
Полунепрерывность 249, 278, 387

10. Полюс 119, 425
— мероморфной кривой 530
Полярная особенность 499
— — первого порядка 493
Полярное множество мероморфной
функции 425
Порядок Л-точки 106, 519
— ветвления 167
— нулевого множества 468, 509
— нуля 105, 530
—— — в бесконечности 106
— общего нуля 506
— полюса 123, 530
— полярного множества 468, 509
— целой функции 234
Последовательность гомоморфизмов
324
— — точная 324, 331
— комплексных чисел 19
Потенциал комплексный 41
Потенциальная функция поля 40
Предел функции 29, 30
Предельная точка
последовательности 19
Предпучок 448
— мероморфных функций 450
Преобразование линейное 544
— — положительно определенное
545
— — унитарное 545
— Рейнхарта 267, 302
Принадлежность компактна» 25
Проблема Кузена вторая
(мультипликативная) 441, 460,
466
— — первая (аддитивная) 429, 460,
463, 464
— Леви 382
Продолжение аналитическое 137,
143, 145, 410
— мероморфное 523
Производная 34
— аналитической функции 155
— по направлению 33
Пространство комплексное n-мерное
259
— — проективное 262, 307
— теории функций 262
— топологическое 174
— — хаусдорфово 175
— Сn 259
Псевдовыпуклость 377—395
Пуанкаре — Вольтерра теорема 154
Пуассона формула 244
Пути гомотопные 81, 149
— с общими концами 81
— эквивалентные 21
Путь 20
— гладкий 22, 320
—, гомотопный нулю 82
— жорданов 21
— замкнутый 21
— кусочно гладкий 22
— непрерывно дифференцируемый
22
— спрямляемый 22
Пучок 446
— групп 451
— колец 450
— полей 450
— постоянный 451
— ростков голоморфных функций
181, 450
— — дифференциальных форм 450
— — мероморфных функций 450
— — функций класса С 451
— тонкий 481
Равенство Парсеваля 553
Радиус мероморфности функции 526
— сходимости 98
— Хартогса 298, 395, 397
Радиусы сходимости сопряженные
296
Разбиение единицы 318, 432
Размерность аналитического
множества 512
— комплекса 325
Расстояние 16, 20

11. — граничное на многообразии
наложения 409
Рациональная выпуклость 366, 531
Ребро множества Вейля 350
Результант 511, 516
Рейнхарта область 266, 267, 300, 405
Рельеф функции 29
Римана поверхность 171, 178, 308,
411
— сфера 16
— теорема 204
Римана — Грина формула 85, 333
Римана — Шварца принцип
симметрии 213
Риманово многообразие 176, 411
Росси локальный принцип
максимума модуля 423
— теорема 481
Росток аналитического множества
513
— аналитической функции 151, 410
— дивизора 469
— мероморфной функции 450
Рунге область 355
— теорема 109, 193
Руше теорема 186, 506
Ряд Бурмана — Лагранжа 191
— Лорана 114
— — кратный 299
— степенной 94, 293
— Тейлора 95
— Фурье 117, 549
— Хартогса 298
— Хартогса — Лорана 301, 524
ρ-метрика 261
Связность 24, 26, 308
— линейная 24
Севери теорема 344, 348
Семейство функций компактное 200
— — равномерно ограниченное
внутри области 199
— — равностепенно непрерывное
внутри области 200
— — слабо ограниченное 534
— — (сильно) ограниченное 535
Серра теорема 466, 482
Сечение пучка 181, 447
Сильное ф-вложение многообразий
412
Симплекс 314
— криволинейный 325
Синус 61
— эллиптический 216. 222
Слабая сходимость 475
Слабое ϕ-вложение многообразий
412
Сложный класс-вычет 500
Соответствие границ 206—208
Соотношения соседства 177, 305
Сопряженные радиусы сходимости
296
Сохоцкого теорема 123, 544
— формула 135
Сохранение углов 39
Стебель пучка 447
Степенная функция 54
Степенные ряды 94, 293
Степень дифференциальной формы
312
Стереографическая проекция 16, 302
Стирлинга формула 221
Стокса формула 331, 333
Строго плюрисубгармоническая
функция 389
Субгармоническая функция 249, 390
Супергармоническая функция 254
Существенно особая точка 120, 523
Сфера комплексных чисел 16
— Римана 15
Сферическая метрика 16
Сходимость последовательности
множеств 377
— ряда 93
— — мероморфных функций 224
— — равномерная 93
Тейлора ряд 95
Тип целой функции 235, 254
Тонкое множество 358

12. Тор комплексный n -мерпый 355
Точка ветвления 166
— — бесконечного порядка 167
— — конечного порядка 167
— — логарифмическая 167
— — римановой поверхности 171
— критическая 171, 510, 513
— неопределенности 424
— обыкновенная 171, 509, 512
Точки в общем положении 322
— симметричные 48
Точная последовательность пучков
457
Трансцендентная целая функция 126
Угловое граничное значение 207
Угол в бесконечности 44
Унитарное преобразование 545
Уравнения Коши — Римана 33
— — — касательные 356
— — — неоднородные 434, 470
Условие Липшица 108, 398
Условия Даламбера — Эйлера 33
— локальной однолистности 190, 515
Усредняющее ядро 472
Факторпучок 456
Фату пример 541—544
Форма-вычет 495
Форма дифференциальная 79, 278,
310—314, 330, 384, 433, 471,
561
Функционал 202, 417
ϕ-вложение сильное 412
— слабое 412
ϕ -расширение функции 413
ϕ -сужение функции 413
F-выпуклость 366
Характеристическая функция 332,
472
Харнака теорема 242
Хартогса лемма 283
— область 268, 302, 407
— — полная 268
— ряд 298
— теорема основная 284
— теоремы 252, 357, 520, 523
Хартогса — Лорана ряд 301, 524
Хефера теорема 351, 441
Хёрмандера теоремы 478, 567
Цепь 322
Цикл 324
—, гомологичный нулю 324
— особый 489
Циклы гомологичные 324
Шар 264, 287, 546, 557
Шварца лемма 194, 281, 539, 550
— теорема 215
Шилова граница 287, 303, 570
Шпета — Картана теорема 531
Эйлера формула 59
Экстремальная функция 553, 558
Элемент аналитической функции
143, 410
— — — канонический 144
Эллиптический интеграл 209
— синус 216, 222
ε-окрестность 17, 175
Ядро гомоморфизма 324, 331