Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.

1. Г.Полиа, Г.Сеге
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ (специальная часть). РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.
ПОЛИНОМЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Содержание
Обозначения и сокращения 6
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Глава 1. Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей
задачи решения
1 (1-40). Аналогия между µ(r) и М(r), ν(r) и N(r) 10 183
2 (41-47). Дальнейшие свойства функций µ(r) и ν(r) 15 188
3 (48-66). Связь между µ(r), ν(r), M(r), N(r) 16 191
4 (67-76). µ(r) и М(r) при специальных предположениях
правильности роста
19 197
Глава 2. Однолистные конформные отображения задачи решения
1 (77-83). Задачи подготовительного характера 22 201
2 (84-87). Теоремы единственности 23 203
3 (88-96). Существование отображающей функции 24 204
4 (97-120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная
отображающая функция
25 207
5 (121-135). Связи между отображениями различных областей 30 211
6 (136-163). Теорема Кебе об искажении 33 214
Глава 3. Смешанные задачи задачи решения
1 (164-174). Varia 39 222
2 (175-179). Об одном приеме Э. Ландау 41 227
3 (180-187). Прямолинейное приближение к существенно особой
точке
42 228
4 (188-194). Асимптотические значения целых функций 43 229
5 (195-205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-
Линделёфа
44 232
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
Глава 1. Теорема Ролля и правило Декарта задачи решения
1 (1-21). Нули функций, перемены знака последовательностей 46 238
2 (22-27). Изменения знака функции 49 241

2. 3 (28-41). Первое доказательство правила Декарта 50 242
4 (42-52). Применения правила Декарта 53 245
5 (53-76). Применения теоремы Ролля 55 248
6 (77-86). Доказательство правила Декарта, принадлежащее
Лагерру
58 253
7 (87-91). На чем основывается правило Декарта? 61 256
8 (92-100). Обобщения теоремы Ролля 63 258
Глава 2. Геометрические свойства нулей полиномов задачи решения
1 (101-110). Центр тяжести системы точек относительно
некоторой точки
65 260
2 (111-127). Центр тяжести полинома относительно некоторой
точки. Теорема Лагерра
67 262
3 (128-156). Производная полинома относительно некоторой
точки. Теорема Грэйса
71 265
Глава 3. Смешанные задачи задачи решения
1 (157-182). Приближение нулей трансцендентных функций
нулями рациональных
76 272
2 (183-189). Точное определение числа нулей при помощи
правила Декарта
81 282
3 (190-196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов 83 284
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ. ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОЛИНОМЫ
задачи решения
1 (1-7). Полиномы Чебышева 85 286
2 (8-15). Общие сведения о тригонометрических полиномах 86 287
3 (16-28). Специальные тригонометрические полиномы 88 289
4 (29-38). Из теории рядов Фурье 90 292
5 (39-43). Неотрицательные тригонометрические полиномы 92 294
6 (44-49). Неотрицательные полиномы 93 295
7 (50-61). Максимумы и минимумы тригонометрических
полиномов
94 297
8 (62-66). Максимумы и минимумы полиномов 96 301
9 (67-76). Интерполяционная формула Лагранжа 98 304
10 (77-83). Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова 101 306
11 (84-102). Полиномы Лежандра и родственные им 102 307
12 (103-113). Прочие задачи на максимумы и минимумы
полиномов
106 316

3. ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ
задачи решения
1 (1-16). Вычисление определителей. Решение линейных
уравнений
110 320
2 (17-34). Разложение рациональных функций в степенные ряды 114 325
3 (35-43). Положительные квадратичные формы 119 328
4 (44-54). Смешанные задачи 122 331
5 (55-72). Определители систем функций 125 337
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Глава 1. Теоретико-числовые функции задачи решения
1 (1-11). Задачи на целые части чисел 130 345
2 (12-20). Подсчет целых точек 131 346
3 (21-27). Одна теорема формальной логики и ее применения 132 348
4 (28-37). Части и делители 133 351
5 (38-42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды
Дирихле
137 353
6 (43-64). Мультипликативные теоретико-числовые функции 139 353
7 (65-78). Ряды Ламберта и родственные им 143 358
8 (79-83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек 145 360
Глава 2. Целочисленные полиномы и целозначные функции задачи решения
1 (84-93). Целочисленность и целозначность полиномов 146 361
2 (94-115). Целозначные функции и их простые делители 147 364
3 (116-129). Неприводимость полиномов 150 368
Глава 3. Теоретико-числовые свойства степенных рядов задачи решения
1 (130-137). Подготовительные задачи о биномиальных
кооэффициентах
152 375
2 (138-148). К теореме Эйзенштейна 153 376
3 (149-154). К доказательству теоремы Эйзенштейна 155 378
4 (155-164). Целочисленные степенные ряды рациональных
функций
157 381
5 (165-173). Теоретико-функциональные свойства
целочисленных степенных рядов
158 383
6 (174-187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица 159 385
7 (188-193). Значения степенных рядов, сходящихся в
окрестности точки ∞=z , в целочисленных точках
162 388
Глава 4. Об алгебраических целых числах задачи решения

4. 1 (194-203). Алгебраические целые числа. Поля 163 391
2 (204-220). Наибольший общий делитель 165 393
3 (221-227). Сравнения 168 398
4 (228-237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов 169 399
Глава 5. Смешанные задачи задачи решения
1 (238-244). Плоская квадратная целая решетка 171 401
2 (245-266). Смешанные задачи 173 404
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ(приложение). НЕКОТОРЫЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
задачи решения
(1-25) 177 413
Предметный указатель 428
Предметный указатель
Алгебраическая функция 119, 153
Алгебраические числа n-й степени
164
- - сопряженные 164, 167
Алгебраическое поле 164
- число 163
- - целое 163, 165
Аполярности условие 74
Аполярность пар точек 268
- полиномов 73, 74
- точек 268
Асимптотическое значение функции
43
Бернуллиевы числа 161
Бернштейна теорема о
тригонометрических полиномах
41, 42, 101
Бесселевы функции 77
Брутто-ранг 116
Вандермонда определитель 54
Взаимно аполярные системы 74
Вронского определитель 125
Ганкеля матрица 116
- определитель 114
Гаусса теорема о нулях производной
полинома 69
Гипергеометрическии ряд 155
Главная хорда области 36
Гурвица условие 156
Делители несобственные 134
Делитель 134, 165
Дзета-функция 138
Дирихле правило перемножения
рядов 138
Дирихле ряды 138
- теорема 149
Дискретная область целости 165
Единицы 165
Закон излучения Планка 246
Иенсена неравенство 187
Изменение знака 49
Интерполяционная формула
Лагранжа 98
Исключительное значение (в смысле
Пикара) 43
Кебе область 24
- теорема о линейном искажении 36
Константы Лебега 91
Конформный радиус внешний,
внутренний 26
- центр тяжести области 34
Коши правило перемножения рядов
138
Коэффициенты Фурье 90
Кристоффеля формула 309, 313, 314
Круговая область 65, 66
Лагерра обобщенные полиномы 55,
105

5. Лагранжа интерполяционная
формула 98
Ламберта ряд 143
Лапласа формула 103
Лебега константы 91
Лежандра полиномы 55, 102, 104
Лиувилля функция 137
Максимальный член 9
Максимум модуля 9
Мангольдта функция 137
Матрица Ганкеля 116
- ортогональная бесконечная 125
Мёбиуса функция 137
Место перемены знака 46
Моменты функции 60
Наибольшая общая часть 134
Наибольший общий делитель 134,
165
Наименьшая "выпуклая" область 66
Наименьшее общее кратное 135
Неприводимая целая рациональная
функция двух переменных 170
Неприводимый полином 150
Неравенство Иенсена 187
Несобственные делители 134
- части 133
Нетто-ранг 116, 118
Норма 167
Нули полинома 68
Область "выпуклая" 66
- Кебе 24
- рациональности 164
- целости 164, 165
Овал 71
"Окружность" 65
Опорная плоскость 179
- прямая 15
- функция 179
Определители рекуррентные 114
Определитель Вандермонда 54
- Вронского 125
- Ганкеля (рекуррентный) 114
Ортогональная бесконечная матрица
125
Ортогональное преобразование 124
Ортогональные функции 103
Перемена знака 46
Перемножение рядов, правило
Дирихле 138
- - - Коши 138
Планка закон излучения 246
Полином деления круга 137
- неприводимый 150
- приводимый 150
- целозначный 146
- целочисленный 146
Полиномы аполярные 73, 74
- Лагерра обобщенные 55, 105
- Лежандра 55, 102, 104
- - производящий ряд 104
- сопровождающие 81
- Чебышева 85
- Эрмита 55, 106
- Якоби 105
Поляра первая 71
Порядок целой функции 17
Постоянная Эйлера-Маскеронй 175
Преобразование ортогональное 124
Примитивная точка 401
Производная относительно точки 71
- система точек 72
Производящий ряд полиномов
Лежандра 104
Простой делитель целоэначной
функции 148
Ранг бесконечной матрицы 116
Рекуррентные определители 114
Родрига формула 103
Ролля теорема 47, 48
Ряд гипергеометрический 155
- Ламберта 143
- Фурье 90
Ряды Дирихле 138
Символ Лежандра 175
Средняя область 69, 70
Степенной ряд рационально-
численный 153
- - целочисленный 153

6. - - - (Н) 159, 160
Степенные ряды квазилинейно
зависимые 118
- - линейно зависимые 118
Степень поля 164, 165
Сумма делителей 137
Сферическая индикатриса 180
Теорема Бернштейна о
тригонометрических полиномах
41, 42, 101
- Гаусса о нулях производной
полинома 69
Теорема Дирихле 149
- Кебе о линейном искажении 36
- Ролля 47, 48
- Эйзенштейна 153, 154
- - обобщение 171
Теоретико-числовая функция 137
Теплица форма 128
Тригонометрический полином 86
Условие аполярности 74
- Гурвица 156
- Чебышева 156
- Эйзенштейна 154, 155
Фибоначчи числа 125
Форма Теплица 128
Формула Кристоффеля 309, 313, 314
- Лапласа 103
- Родрига 103
Фундаментальные полиномы
интерполяции 98
Функции Бесселя 77
- ортогональные 103
- целые рода нуль 18
Функция, асимптотическое значение
43
- Лиувилля 137
- Мангольдта 137
- Мёбиуса 137
- мультипликативная теоретико-
числовая 139
- нормированная отображающая 26
- опорная 179
- рода нуль 18
- теоретико-числовая 137
- целая 9
- целозначная 148
- Эйлера 137
Фурье коэффициенты 90
- ряд 90
Целая функция 9
- часть числа 130
Целое алгебраическое число 163, 165
Целозначная функция 148
Целозначныи полином 146
Целочисленный полином 146
- степенной ряд 153
- (Н) степенной ряд 159, 160
Целые алгебраические числа взаимно
простые 165
- точки 132
- - сравнимые по модулю 172
- функции рода нуль 18
Центр тяжести системы
относительно точки 66
- - целой рациональной функции 68
Центральный индекс 9
Часть (числа) 134
Чебышева полиномы 85
- условие 156
Числа Бернулли 161
- Фибоначчи 125
Число делителей 137
- нулей 10
Эйзенштейна теорема 153, 154, 171
- условие 154, 155
Эйлера функция 137
Эрмита полиномы 55, 106
Якоби полиномы 105