1. Статика Лекция 5
ПРИВЕДЕНИЕ
К ДВУМ
СИЛАМ
Лемма о двух
силах. Любые две
силы
путем
элементарных
преобразований
можно заменить
другими
двумя
силами, одна из
которых
будет
приложена
в
любой
наперед
заданной точке:
 
 
( F1, F2 ) ~ ( PO , S ) .
∀ т.O

P
1
l
Π
O
1

F1

S1

S

PO
A

P
1

S1
B

S2
C

S2
Π

P2

F2

P2
2

2. Статика Лекция 5
Теорема о двух силах. Любую систему сил путем
элементарных преобразований можно заменить двумя
силами, одна из которых будет приложена в любой наперед
заданной точке:  

 
( F1, F2 ,..., Fn ) ~ ( PO , S ) ∀ т.O .
Доказательство опирается на многократное применение леммы
о двух силах.
(
) (
) (
)
 

  

   

F1 , F2 ,..., Fn ~ PO1 , S1 , F3 ,..., Fn ~ PO1 , PO 2 , S 2 , F4 ,..., Fn ~ ...
(
) (
)

 

 
... ~ PO1 , PO 2 ,..., POn − 1 , S ~ PO , S .

3. Статика Лекция 5
ПРИВЕДЕНИЕ К СИЛЕ И ПАРЕ
Теорема Пуансо. Любая система сил эквивалентна одной силе,
приложенной в любой наперед заданной точке О и равной главному
вектору системы сил, и паре сил, момент которой равен главному
моменту данной системы сил относительно этой точки:




  
n 
n 
  
( F1, ..., Fn ) ~ ( RO , ( S ,− S ) ) ∀ т.O , RO = ∑ Fk , m( S ,− S ) = ∑ mO ( Fk ) .,
k =1

MO
A

−S

O
S

PO

S
k =1

RO

4. Статика Лекция 5
Основная теорема статики
Для того чтобы система сил была уравновешенной, необходимо и
достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент
относительно любой точки былиравнынулю.


(F1,..., Fn ) ~ 0 ⇔R =0, M O =0 ∀т.O .
Доказательство. Из теоремы о двух силах следует, что


 
(F1 ,..., Fn ) ~ (PO , S ) ∀т.O ,
(1)

 n 



n 
 
 
 
R = ∑Fk = PO +S , M O = ∑mO ( Fk ) = O ( PO ) +mO (S ) = mO (S ) (2)
m
k=
1
k=
1


(F1,..., Fn ) ~ 0 , тогда согласно
Необходимость. По условию теоремы
 


следствию 3, получим ( PO , S ) ~ 0 . Тогда по аксиоме 1 силы PO и S




противоравные: PO = −S , и из (2) следует R = 0 , M O =0 .


Достаточность. По условию теоремы и из (2) получим PO +S =0 ,


 
mO (S ) =0 . Отсюда следует, что силы PO и S противоравные и по
 
аксиоме 1 образуют уравновешенную систему: ( PO , S ) ~ 0 . Тогда на


основании следствия 3 из (1) следует, что ( F1 ,..., Fn ) ~ 0 .

5. Статика Лекция 5
Теорема эквивалентности
Для того чтобы две системы сил были эквивалентными, необходимо
и достаточно, чтобы были равны их главные векторы и главные
моменты относительно произвольной точки:






n 
m 
n 
m 
( F1,..., Fn ) ~ ( P1,..., Pm ) ⇔ ∑ Fi = ∑ Pj , ∑ mO ( Fi ) = ∑ mO ( Pj ) ∀т.O .
i =1
j =1
i =1
j =1
Доказательство. Необходимость. Если 



( F1,..., Fn ) ~ ( P1,..., Pm ), 
(1)

то на основании следствия 2 и ( F1 ,..., Fn ) ~ ( − F1 ,...,−Fn ) следует




( P1,..., Pm ,−F1,...,−Fn ) ~ 0 .
(2)
Отсюда, на основании основной теоремы статики



m 
n
m 
n 
∑ Pj + ∑ ( − Fi ) = 0,
∑ mO ( Pj ) + ∑ mO ( − Fi ) = 0 ∀т.O .(3)
j =1
i −1
j =1
Из (3) получим
n 
m 
∑ Fi = ∑ Pj ,
i =1
j =1
Необходимость доказана.
i =1

m 
 
∑ mO ( Fi ) = ∑ mO ( Pj ) ∀т. O .
n
i =1
j =1
(4)

6. Статика Лекция 5
Достаточность. Пусть выполнены условия (4), тогда будут
выполняться равенства (3), и из основной теоремы статики следует


(2). Поскольку система сил ( − F1 ,...,−Fn ) является общей




уравновешивающей для ( P ,..., Pm ) и ( F1 ,..., Fn ) , то по определению
1
эквивалентности 
эти
системы
сил
эквивалентны:



( F1,..., Fn ) ~ ( P1,..., Pm ) . Достаточность доказана.
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ
1. Эквивалентность пар
Для эквивалентности двух пар необходимо и достаточно, чтобы
их моменты были равны: 
 

  
  
(Q,−Q ) ~ (S ,−S ) ⇔m(Q,−Q ) = m( S ,−S ).

7. Статика Лекция 5
Эквивалентные пары:

M

M

F1
П2

− F1
П1

F2

M

F3
h1
П3

− F2
h2

− F3
h3
F1h1 = F2 h2 = F3 h3
П1 // П 2 // П 3

  
  
  
M = m( F1 ,− F1 ) = m( F2 ,− F2 ) = m( F3 ,− F3 )

8. Статика Лекция 5
2. Сложение пар
Система, состоящая из нескольких пар, эквивалентна одной паре,
момент которой равен геометрической сумме моментов заданных
пар:
 
 
 

n  
  
(( F1,−F1 ),..., ( Fn ,−Fn )) ~ (Q,−Q ) ⇔m(Q,−Q ) = ∑m( Fs ,−Fs ) .
s =1
3. Равновесие пар
Для того чтобы система, состоящая из нескольких пар, была
уравновешенной,
необходимо
и
достаточно,
чтобы
геометрическая сумма моментов всех пар системы равнялась
нулю:
 
 

n  
(( F1,−F1 ),..., ( Fn ,−Fn )) ~ 0 ⇔ ∑m( Fs ,−Fs ) = 0 .
s =1

9. Статика Лекция 5
4. Теорема Вариньона
Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент
относительно любой точки (оси) равен сумме моментов всех
сил системы относительно той же точки (оси):



n 
∗
 ∗
( F1,..., Fn ) ~ R ⇒ mO R = ∑ mO ( Fs ) ∀ т.O
( ) s=1


∗

n
∗
( F1,..., Fn ) ~ R ⇒ ml ( R ) = ∑ ml ( Fs )
s=1
∀ l.

10. Статика Лекция 5
4. Теорема Вариньона
Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент
относительно любой точки (оси) равен сумме моментов всех
сил системы относительно той же точки (оси):



n 
∗
 ∗
( F1,..., Fn ) ~ R ⇒ mO R = ∑ mO ( Fs ) ∀ т.O
( ) s=1


∗

n
∗
( F1,..., Fn ) ~ R ⇒ ml ( R ) = ∑ ml ( Fs )
s=1
∀ l.