Ejercicios productos cocientes notables-widmar aguilar

ALGEBRA PREUNIVERSITARIA Ing. Widmar Aguilar, Msc.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ALGEBRA
PREUNIVERSITARIA
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
Ing. WIDMAR AGUILAR, Msc
Febrero 2021

Se puede utilizar la siguiente información:

Además:

1)
De;
= → ( + ) = 4
+ 2 + = 4 → − 2 + = 0
( − ) = 0 → =
=
√
+
=
√
+ = + 1 = 1 + 1
= 2 → ( )
2)
De:
+ = 1 ; ( + ) = 1
+ 2 + = 1 → + = 1 − 2 … … . (1)
( + ) = 1 ; + 3 + 3 + − 1
+ = 1 − 3 ( + )
+ = 1 − 3 (1)
+ = 1 − 3 … … … … . . (2)
Reemplazando (1) y (2) en la expresión a calcular:
= 6( + ) − 4( + )
= 6(1 − 2 ) − 4(1 − 3 )
= 6 − 12 − 4 + 12
= 2 → ( )

3)
Multiplicando entre sí las expresiones:
Eb = √ + + √ − ! √ + − √ − !
= "( + ) − ( − )#
= + − + = 2
= 2 → ( )
4)
Sumando 2 a cada miembro de:
$ + $ = 7 → $ + 2$ = 5
($
'
+ $
'
) = 9 → $
'
+ $
'
= 3 ----(1)
Sumando a la expresión (1), -2 a cada lado:
$
'
− 2 + $
'
= 3 − 2
$
'
− 2 + $
'
= 1
()$
'
- )$
'
) = 1
*$
+
− $
+
, = 1 → -)

5)
.
+
.
= → =
( + ) = 4 → + 2 + = 4
− 2 + = 0 → ( − ) − 0, 01234:
= --------(1)
Reemplazando (1) en E;
= $
( )678
678 678
6
= $
( )678
678
6
= $
. 6. 678
678
6
= √29
6
= 2 → ( )
6)
( + ) = 1 → ( + ) = 1
( + + 3 + 3 ) = 1
( + ) + 3 + 3 = 1
Como E = ( + )
+ 3 ( + ) = 1 → + 3 :
.
; = 1
= 1 − 3 ……………………(a)
De :
= ( + ) = ( + )( − + )
= (
.
)( ( − + )
= ( − + ) = ( + ) −
= ( + ) −
= 2 − --------(b)

Igualando las ecuaciones (a) y (b):
1 − 3 = 2 −
= −0,5
Reemplazando en (b),
= 2 − (−0,5)
= 2,5 → ( )
7)
<
− = 6(2 − )
< = =
= 6(2 − ) → 8 − = 6 92 − ), factorizando:
(2 − ) (4 + 2 + ) = 6 (2 − )
4 + 2 + = 6
4 − 4 + = 0 → (2 − ) = 0
= 2 , luego:
E = 4( + )
= 4 : + ; = 4 :
.
+ 2;
= 4 : ; = 10 → ( )
8)
Desarrollando la expresión E;
= + ? + 3 ?( + ?) − 18( + ?) + 20
= + ? + ( + ?)(3 ? − 18) + 20
@A B-4 0 A ℎDEóG2ADA, A2 GD2B2:
= (10) + ( + ?)(3(6) − 18) + 20

= 10 + 20
= 30 → ( )
9)
+ = −
.
→ = −
.
4 + 4 = −
+ 4 + 4 = 0 → ( + 2 ) = 0
= −2
Utilizando E:
= +
<
= 1 + 2
= 3 → ( )
10)
$
=
+ $
=
= 3 ; 2; 202H B-4 0 1 4,
( $
=
+ $
=
) = 27
+ + 3$ .
=
($
=
+ $
=
) =27
+ = 27 − 3(3)
+ = 18
− 2 + = 18 − 2 → ($ − $ ) = 16
Sacando la raíz cuadrada de cada lado,

$ − $ = 4
= $ − $ = 4 → (2)
11)
( − ) = 3 ; ( + ) = 7
Elevando al cuadrado a ( − ) = 3 .
( − ) = 9
( − 2 + ) = 9
( + ) − 2 = 9, como ( + ) = 7:
7 - 2 = 9 → = −1 → = −1
= 1 ………………..(a)
Como E = ( + + ) , sumando y estando ,
= ( + + − + )
= "( + 2 + ) − }
= "( + ) − # ; J G4KDL B-4:
= ( + − )( + + )
Usando: → = −1 ? = 1 , se tiene:
= (1)(
M
+ 1)(
M
− 1)
= :
M
.
+ 1; :
M
.
− 1; = (8)(6)
= 48
12)

Reduciendo el numerador y denominador:
( + ) + + = + 4 + 6 + 4 + + +
= 2 + 2 + 4 + 6 + 4
= 2( + + 3 + 2 + 2 )
{( − ) + ( + ) + 2 } =
= ( − 2 + + + 2 + + 2 )
= (2 + 2 + 2 )
= 4( + + )
= 4" + + + 2( + + )#
= 4( + + 3 +2 + 2 )
=
( ' ' = =)
( ' ' = =)
=
.
→ ( )
13)
+ + = 3 ; -2A 4OE4BD2B-4 20 3 2B 1 ? 2;
+ + = 1 + 2
+ ( − 1) + ( -2) =0 ; elevando todo al cubo,
" + ( − 1) + ( − 2)# = 0
+ ( − 1) + ( − 2) = 3( )( − 1)( − 2) ….propiedad
=
= ( .)= (P )=
( .)(P )
=
( )( .)(P )
( .)(P
= 3
= 3 → ( )

14)
=
QR QS Q=
QS
=
Q=
QS
( − + 1) --------(1)
De:
− 3 + 1 = 0 → + 1 = 3 ; 202H B-4 0 1 -K -4:
( + 1) = 9 → + 1 + 2 = 9
+ 1 = 7 − − − − − −( )
( ) 2B (1):
=
Q=
QS
"( + 1) − )
=
.
Q
( 7 − ) =
.
Q
(6 )
= 6 → ( )
15)
= $
6 6
√ 6 6
=
= $
6 6
6 6
=
= $
6
6 6 +
6
6 6
=
= $( )
6
+ 2( )
6
=
--------(a)
De:
( )9
+ 4 ( )9
= 725 → ( )9
+ 4 + 4 ( )9
= 725 + 4
( )9
+ 4 + 4 ( )9
= 729

( )
6
+ 2( )
6
) = 27
( )
B
2 + 2( )
B
2 = 27 …………………( )
( ) 2B ( );
E = $( )
6
+ 2( )
6
=
= √27
=
= √3
=
= 3 → ( )
16)
Sumando 2 para obtener un trinomio cuadrado perfecto,
+ 2 + = 34 + 2
( + ) = 36
+ = 6 ; A1O B-4 − 2 G4- 0 2 EK2ADóB
− 2 + = 6 − 2 → − 2 + = 4
( − .
) = 4 → − .
= 2
− .
= 2 → (-)
17)
( + ) = 3 , 202H B-4 0 T1DBG ,
( + ) = 3
+ 5 + 10 + 10 + 5 + = 3
+ + 10 ( + ) + 5 ( + ) = 3 -------(a)
De: ( + ) = 3
= + + 3 ( + ) ------(1)

(1) en (a) :
+ + 10 (3) + 5 (27 − 3 (3)) = 3
ab = 3-2 =1
+ + 10 (1)(3) + 5(1)(27 − 3(1)(3)) = 3
+ = 243 − 30 − 90
+ = 123 → ( )
18)
De: a+b = 5 → ( + ) = 25
+ 2 + = 25 ; + 2(5) + = 25
+ = 15 − − − − − −( )
( + ) = 125 → + + 3 ( + ) = 125
+ = 125 − 3(5)(5)
+ = 50 − − − − − ( )
(a) y (b) en E:
= = = .U
=
.
U .U
=
.
→ ( )
19)
.
+
.
=
.
→ =
.
( + ) = --------(a)
+ + 2 = → + = −
Elavando (a) al cubo:

( + )V
= -------(b)
De: + = − b
( + ) = (− )
V
+ V
+ 3 ( + ) = −
V
+ V
+ 3 (− ) = −
V
+ V
= 2 -----(c )
(a) , (b), (c) en E:
=
( )W V( W W)
( )=
=
3 3
V(2 3 3
)
( )=
=
.. 3 3
3 3
= −11 → (2)
20)
+ + = 0 → X
+ = −
+ = −
+ = −
De:
( + + ) = 0 → + + = −3( + )( + )( + )
+ + = −3(− )(− )(− )
+ + = 3
De:
=
P
+
P
+
P
=
= = P=
P
=
P
P
= 3
= 3 → ( )

21)
− 1 = √2 → ( − 1) = 2
− 2 + 1 = 2
+ 1 = 2(1 + ) … … … … … . . ( )
+ 1 = 2 + 2
− 1 = 2 … … … … … … … ( )
Como = 1 + 2 → = (1 + 2 ) − − − − − ( )
=
YQ .ZYQW .Z
Q'
=
((Q .)((Q )= .)
Q'
=
YQ .ZYQ .Z(Q' Q .)
Q'
=
(Q .) "Q' YQ .Z#
Q'
; reemplazando (a), (b) y (c)
=
(Q .) "(. Q) Q#
(. Q)
=
(Q .) (. Q Q Q)
(. Q)
=
(Q .) (. Q Q )
(. Q)
=
(Q .) (. Q Q )
(. Q)
=
(Q .) (Q Q )
(. Q)
; = 1 + 2
=
(. Q Q )( Q )
(. Q)
=
(Q Q )( Q )
(. Q)
=
U(Q )
(. Q)
= 40.
(. Q)
(. Q)
= 40 → (-)
22)
+ = 62 − − − A1O B-4 2 - 0 -4,
+ 2 + = 64
( + ) = 64 → + = 8 √

= :
√
;
8
=
= :
<√
√
;
8
=
= (8)
8
= = √2
=
= 2
= 2 → ( )
23)
( + 2 + 2 + 1)( − 2 + 2 − 1) =
= V
− 2 + 2 − + 2 − 4 + 4 − 2 + 2 − 4 +
4 − 2 + − 2 + 2 − 1
= V
− 1 + (2 − 2) + (4 − 4) + (5 − 5) + (2 − 2) +
(2 − 2)
= V
− 1
= $
(Q= Q Q .)(Q= Q Q .)
Q .
+
= $
QW .
Q .
+ = $
QW Q' Q .
Q .
= $
(QW Q ) (Q' .)
Q .
= $
Q (Q' .) (Q' .)
Q .
= $
(Q' .)(Q .)
Q .
= $
(Q .)(Q .)(Q .)
Q .
= [( + 1) = + 1
= + 1 → ( )
24)

= ( V
+ 2 ? + V
? + ? − 2 ? + V V
).
.
' W
+
2 ?
= ( V
+ V
? + ? + V V).
.
' W
+ 2 ?
=
Y 'QW ''Z Y W' WQWZ
' W
+ 2 ?
=
'YQW 'Z W(QW ')
' W
+ 2 ? =
YQW 'Z( ' W)
( ' W)
+ 2 ?
= ( V
+ ? ) + 2 ? = V
+ 2 ? + ? , , , , , , , ]^_
= ( + ? ) → ( )
25)
= : + + + − − ( + + − + );. ( +
+ + − + + + − + )
= ( + + + − − − − + − )(2 +
2 + 2 )
= (2 − 2 )( 2 + 2 + 2 )
= 4( − )( + + )
= 4 ( + + − − − )
= 4 ( − )
= 4 − 4 → ( )
26)
+ ? = → ( + ?) =
+ ? + 2 ? = ; ? = --------(c)
+ ? = − 2 − − − − − ( )

De:
Q= =
Q(Q )
=
.
, A2 GD2B2:
(Q )YQ Q Z
5 ?( +?)
=
.
→
Q Q
Q
=
.
--------(b)
(a ) y (c ) en ( b ):
=
.
→ − 2 − =
= 4
√ = √4 → = 2 → ( )
27)
= ( − + ) − ( − − )
= − + + 3( − )( + )( − ) − " − − + 3( −
)( − )(− − )
= − + − + + + 3( − )( + )( − ) − 3( − )( −
)( + )
= 2 + 3( − )( + )( − ) + 3( − )( − )( + )
= 2 + 3( − )"( + )( − ) + ( − )( + )#
E = 2 + 3( − ) ( − − + ) + ( + − − )
= 2 + 3(a-b) ( − − + + + − − ))
= 2 + 3(a-b) ( 2 − 2 )
= 2 + 6( − )( − ) = 2 ( − − + )
= 2 + 6( − 2 + )
= 2 + 6 ( −2ab + ) -------------(a)
De: : − 3; = : − 3;
: ; = : ;
( − 3 ) = ( − 3 )

− 3 = − 3
− = 3 ( − )
(a-b)( + + ) = 3 ( − )
+ + = 3
+ = 2 − − − − − ( )
(b) en (a), se tiene:
= 2 + 6 ( + − 2 b )
= 2 + 6 (2 − 2 )
= 2 → ( )
28)
= ? .
+ ? .
=
Q

+

Q
=
Q= =
Q
=
(Q )YQ Q Z
Q
− − − ( )
`
+ ? = 30
+ ? = 6
---------(1)
+ ? = 6 → ( + ?) = 36
+ ? + 2 ? = 36
30+2xy =36
xy = 3 -------(b)
( )? (1)2B ( );
=
V( U )
=
M∗V
= 54
= 54 → (-)

29)
+
.
Q
= 3 →
Q .
Q
= 3 → + 1 = 3 -------(1)
=
QW .
Q(Q' .)
=
(Q )= .
Q(Q' .)
=
(Q .)(Q' Q .)
Q(Q' .)
-------- (a)
+ 1 = 3 → ( + 1) = 9
+ 2 + 1 = 9
+ 1 = 7 ----------- (b)
( ) 2B ( ):
=
(Q .)((Q' .) Q )
Q(Q' .)
=
(Q .)(7 2
− 2
)
Q(7 2)
( 1) en E:
=
Q(VQ )
Q(7 2
)
=
.<
M
→ ( )
30)
b
( + ) = 1
( + ) =
Dividiendo entre si las dos ecuaciones anteriores,
= =Y = =Z
( )
= → ( + ) = ( + )
( + )( − + ) = (a+b)
( − + ) =

( + ) − =
( + ) = +
Como : = ( + )
= + − − − − − − − − − − − ( )
De:
( + ) = 1 → ( + ) = 1
( + + 3 ( + )# = 1
( + + 3) = 1 → + =
.
= = − 3 ---(b)
De: ( + ) = → + = = =
− − − −( )
( ) = ( ) →
.
= =
− 3 = = =
= = = −3 → = −
.
− − − −(-)
(-) 2B ( ):
= + = −
.
+
= 2 → ( )
31)
+ √ = + √
− = √ -√
Y√ − √ Z(√ + [ ) = √ -√ − − − −-DJ2K2B D -2 1 -K -4A
Y√ − √ ZY√ + √ Z = √ √ − √ √
Y√ − √ ZY√ + √ Z = √ Y√ − √ Z
Y√ − √ ZY√ + √ Z = −√ Y√ − √ Z
√ + √ = −√

√ + √ + √ = 0 − − − − − ( )
( ) − − − − − 202H B-4 0 1 4:
Y√ + √ + √ Z = 0
(√ ) + (√ ) + (√ ) = 3√ √ √
(√ ) + (√ ) + (√ ) = 3√ − − − − − −( )
De E :
=
√ P
+
√ P
+
P
√
=
√
√ P
+
√
√ P
+
P√P
√ P
=
√ =
√ P
+
√ =
√ P
+
√P=
√ P
=
√ 3+[ 3
+√ 3
√ P
( )2B ∶
=
√ P
√ P
= 3 → ( )
32)
( + ) = √3
=
→ ( + ) = 3
+ + 3 ( + ) = 3 − − − −( )
( − ) = √2
=
→ ( − ) = 2
− − 3 ( − ) = 2 − − − −( )
`
+ + 3 ( + ) = 3
− − 3 ( − ) = 2
( ) + ( ):
2 + 3 ( + − + )=5
2 + 6 = 5
2 ( + 3 ) = 5 → + 3 = − − − ( )

( ) − ( ) :
`
+ + 3 ( + ) = 3
− + + 3 ( − ) = −2
2 + 3 ( + + − )= 1
2 + 3 (2 ) = 1 → 2 + 6 = 1
2 ( + 3 ) = 1 → + 3 =
.
− − − −(-)
( ) ? (-) 2B :
= 4 ( + 3 )( + 3 )
= 4 : ; :
.
;
= 5 → ( )
33)
d
− = √7
R
− = √7
R
− = 2√7
R
-------------(a)
( ) 2B :
=
( P)R ( P)R ( )R
MU
=
Y √M
R
Z
R
Y √M
R
Z
R
Y √M
R
Z
R
MU
=
R.M M M
MU
=
e.U
MU
= 13
= 13 → ( )
34)
+ = + → + = ( + ) … … . ( )

=
( = =) ( = = )
( )
=
= = = = ( )
( )
( ) 2B :
=
= = = = = =
( )
=
( = =)
( )
− − − −( )
De: + = ( + )
(a+b) ( − + ) = ( + )
− + =
− 2 + = 0 → ( − ) = 0
= … … … … … . ( )
( ) 2B ( ):
=
( = =)
( )
=
( = =)
( )
=
V =
=
= 6
= 6 → ( )
35)
+ + = 2( + )( + )( + ) … … . A1O B-4 G4-4:
= = P=
+ = ( + )( + )( + )+abc
+ + + 2 = 2"( + )( + )( + ) + #
Como :
( + )( + )( + ) + = ( + + )( + + ) − − − EK4ED2- -
+ + + 2 = 2 ( + + )( + + )
( + + ) − 3( + + )( + + ) + 3 + 2 = 2 ( + + )( +
+ )
1 − 3 (1)( + + ) + 5 = 2(1)( + + )
1 − 3( + + ) + 5 = 2( + + )

+ 5 = 5 ( + + ) -------(a)
De:
( ) 2B :
=
. P
P P
=
( P P)
( P P)
= 5 → ( )
36)
Si: + + = 0
( + + ) = 0 → + + = 3 − − − ( )
( ) 2B :
=
f f Pf ( = =)( = P=)( = P=)
V( = = P=) . P
Además:
( ) + ( ) + ( ) + 3( + )( + )( + ) =
= ( 3 +
3
+ 3)
=
( 3+
3
+ 3)
=
V( P) . P
=
( P)=
P
= (3 )
= 9 → ( )
37)
( + 1)( − 1) = − 1
=
( . )( ' .)( W = .)( W = .)
f .

=
( W .)( W = .)( W = .)
( f .)
De; ( − 1) (( ) − + 1) = ( e
− 1)
( + 1) (( ) + + 1) = ( e
+ 1)
=
( W .)( = .)( W = .)( = .)( W = .)
( f .)( = .)( = .)
=
( W .)( f .)( f .)
( f .)( = .)( = .)
=
( W .)( f .)
( = .)( = .)
=
( = .)( = .)( f .)
( = .)( = .)
= e
− 1
= e
− 1 → ( )
38)
+ = 2 → = 2
− 2 + = 0 → ( − ) = 0
= − − − − − ( )
1A B-4 ( ):
E = ( )g
+ ( )g
= ( )g
+ ( )g
→ = (1)g
+ (1)g
Como h ∈ j → = 1 + 1
= 2 → ( )
39)

=
(
8
k
8
l
) (
8
k
8
l
)
−
=
8
k kl
8
l
:
8
k kl
8
l
;
−
=
8
k kl
8
l
8
k kl
8
l
−
=
'
kl
− =
'mk l
kl
−
=
( )
− =
( )( )
( )
−
= − = = = 1
= 1 → ( )
40)
Q
Q
= 1 −
Q

-------------(a)
Q
Q
= 1 −

Q
---------------(b)
(a) por (b):
Q
Q
.
Q
Q
= :1 −
Q

; : 1 −

Q
;
1 = (
Q

)(
Q
Q
)
? = −(? − )(? − )
-xy = (? − )
− ? = + ? − 2 ?
+ ? = ? − − − − − ( )
( + ? ) = ? → + 2 ? + ? = ?
+ ? = − ? − − − − − − − (-)
( )? (-) 2B :

=
(Q )(Q' ')
QW W
=
(Q )(Q' ')
"(Q )= ( )=#
=
(Q )(Q' ')
(Q )(Q' Q ')
=
Q' '
Q' Q '
=
Q
Q Q
=
Q
Q
=
.
→ ( )
41)
( + + + -) = 4 ( + )( + -)
Agrupando el factor cuadrático:
"( + ) + ( + -)# = 4 ( + )( + -)
( + ) + ( + -) + 2( + )( + -) = 4 ( + )( + -)
( + ) − 2( + )( + -) + ( + -) = 0
"( + ) − ( + -)# = 0
( + ) = ( + -) − − − − − −( )
( ) 2B :
= 4
n7o
(k7l) = 4
k7l
(k7l) = 4
8
= √4
= 2 → (-)
42)
+ + + - = 0 ; + - = 1
a+b +1 =0 → + = −1
( + + 1) = 0 → + + 1 = −3
+ = −1 − 3 − − − − − −( )
( + - − 1) = 0 → + - − 1 = −3 -

+ - = 1 − 3 - − − − − − − − ( )
De: + = −1 → ( + ) = 1 → + 2 + = 1
+ = 1 − 2 − − − − − ( )
+ - = 1 → ( + -) = 1 → + 2 - + - = 1
+ - = 1 − 2 - − − − − − (-)
( ) , ( ) , ( )? (-) 2B :
=
3
+ 3
+ 3
+ -3
( + ) − − -
=
. . Pp
( ) P p
=
( Pp)
. (. Pp)
=
( Pp)
. . Pp
( Pp)
( Pp)
= → ( )
43)
+ ? + L = 4
( + ? + L) = 64
+ ? + L + 3( + ?)(? + L)( + L) = 64
+ ? + L + 3( ? + L + ? + ?L)( + L) = 64)
+ ? + L + 3 (16 + ? + L + L + ? + ? L + ?L + ? ) = 64
+ ? + L + 3" ?(4 − L) + ?(4 − ?) + ?L(4 − )# = 64 − 48
+ ? + L + 3 "4 ? − ?L + 4 L − ?L + 4?L − ?L ) = 16
+ ? + L + 3 "4( ? + L + ?L) − 3 ?L# = 16
Como:
? + L + ?L = 6 y xyz =8
+ ? + L + 3 "4(6) − 3(8)# = 16

+ ? + L = 16
E = + ? + L
= 16 → ( )
44)
+ ? = √5
'
+ 2? → − ? = √5
'
(q − r) =(√5
'
) → − 2 ? + ? = √5
? = √5 → + ? = √5 + 2√5
+ ? = 3√5
+ ? = 3√5 → + ? + 2 ? = 2 ? + 3√5
( + ?) = 5√5 → + ? = (5√5)./
+ ? = √5√5
'
+ ? = 3√5 → + ? − 2 ? = −2 ? + 3√5
( − ?) = √5 → − ? = (√5)./
+ ? = √5
'
De:
( + ?)( − ?) = √5√5
'
. √5
'
− ? = Y√5ZY √5
'
Z = √5 √5
= − ? = 5
= 5 → ( )
45)
( + ) = 12 + ( − )
+ 2 + = 12 + − 2 +

4 = 12 → = 3
=
Q tQ t V
VP PQ
=
(e) t t V
VP VP
=
.
= 15 → ( )
46)
.
+
.
= 8 → + = 8 --------(a)
De E:
=
"( ) ( ) #
( ' ') ( ' ')
=
( )
" ' ' ( ' ')#"( ' ') ( ' '#
( ) 2B :
=
( )
( ')( ')
=
(8 2 2
)
' '
=
V ' '
' '
E = 64 → (2)
47)
( − ?) + ( − L) + (? − L) = 0
→ X
− ? = 0 → = ?
− L = 0 → = L
? − L = 0 → ? = L
= $
QS S uS
(Q u)S
= $
QS QS QS
(Q Q Q)S
= $
QS
SQS
=
.
e
→ ( )

48)
( + ) + ( − ) = 4
+ 2 + + − 2 + = 4
2 + 2 = 4 → + = 2
− 2 + = 0 → ( − ) = 0 → = − − − ( )
( ) 2B :
= +
= =
= ( )( )
+ 0 = = 1
= 1 → ( )
49)
+ + = 5 → + + ( − 5) = 0
" + + ( − 5)# = 0 → + + ( − 5) = −2" + ( − 5) +
( − 5)#
→ + + − 10 + 25 = −2( + − 5 + − 5 )
Como: + + =41
41 − 10 + 25 = −2( + + ) + 10( a+b)
66 − 10 = −2( + + ) + 10 (5 − )
66 − 50 − 10 + 10 = −2( + + )
( + + ) = −8 − − − − − − − ( )
( ) 202H -4 0 1 -K -4:
( + + ) = 64
+ + + 2( )( + + ) = 64 ---propiedad

+ + = 184
184 + 2abc(5) =64
= −12 − − − − − − − − − − − − − ( )
De: + + = 5 → ( + + ) = 125
+ + + 3( + + )( + + ) − 3 = 125
(a) y (b) en E:
+ + + 3(5)(−8) − 3(−12) = 125
+ + = 125 + 125 − 36= 209
= + +
= 209 → ( )
50)
+ + = 1
+ + = 1
" + + ( − 1)# = 0 → + + − 2 + 1 = −2( + ( − 1) +
( − 1))
+ + − 2 + 1 = −2( + − + − )
(1) − 2 + 1 = −2 Y + + − ( + )Z
2 − 2 = −2 ( + + ) + 2(1 − )
2 − 2 − 2 + 2 = −2 ( + + )
+ + = 0 − − − − − − − −( )
( + + ) = 1 → + + + 3( + + )( + + ) − 3 = 1 ---
(b)
( ) 2B ( ):
+ + − 3 = 1 ------------(c)
De:
( + + ) = 0
+ + + 2 ( + + ) = 0

+ + + 2 (1) = 0
+ + = −2 − − − − − (-)
De:
+ + ( − 1) = 0 → Y + + ( − 1)Z = 0
+ + − 2 + 1 = −2" + ( − 1) + ( − 1)#
+ + = 2 − 1 − 2( + − + − )
+ + = 2 − 1 − 2( + + − ( + ))
+ + = 2 − 1 − 2( + + − (1 − ))
+ + = 2 − 1 + 2 − 2 – 2( + + )
+ + = 1 − 2( + + ) − − − −(2)
(-) 2B (2) ∶
+ + = 1 + 4
=
= = P= P
' ' P' P
=
.
. P P
= 1
= 1 → (-)
51)
+ + = 0 → ( + + ) = 0
+ + = 3
+ = 3 − − − − − − ( )
+ = − → ( + ) =
+ + 2 =

+ = − 2 − − − − − ( )
+ + =
.
( + + ) − − − ( ) EK4ED2- -
( ), ( ) ? ( ) 2B :
=
( P )( = ( = P=)
' ' P'
=
( P )( = ( P =))
8
( P )
=
( = P)
P
=
V ( P)
P
=
V ( P)
( P)
= 3
= 3 → ( )
52)
+ + = 0;
X
+ = −
+ = −
+ = −
----------------------------(a)
=
P
"( ) ( P P)#( P)
=
P
" ( ) P( )#( P)
=
P
( )( P)( P)
( ) 2B :
=
P
( )( )( P)
=
P
P
= −2
= −2 → ( )
53)
+ + = 1 → ( + + ) = 1

abc = 0 --------------------(a)
+ + + 2( + + ) = 1 -------------(b)
Reemplazando (a):
+ + + 2(0) = 1
+ + = 1 − − − − − − − − − − − −(1)
( + + ) = 1 → + + + 3( + )( + )( + ) = 1
+ + + 3( + + + )( + ) = 1
= = = 0
+ + + 3 ( + ) = 1
+ + + 3( ) + 3( ) = 1
+ + = 1 − − − − − − − − − − − (2)
(1) ? (2) 2B :
=
2
+ 2
+ 2
−
3
+ 3
+ 3
=
.
−
.
=
V
=
.
V
→ (2)
54)
√
=
+ √
=
+ √
=
= 0
(√
=
+ √
=
+ √
=
) = 0 → + + + 3(√
=
+ √
=
)(√
=
+ √
=
)(√
=
+ √
=
) =0
d
√
=
+ √
=
= −√
=
√
=
+ √
=
= −√
=
√
=
+ √
=
= −√
=
------------------(a)
+ + + 3 Y−√
=
ZY −√
=
ZY −√
=
Z = 0
+ + = 3 √
=
√
=
√
=
= 3 √
=
+ + = 3 √
=
→ ( + + ) = 27 − − − ( )
+ + + 3( + )( + )( + ) = 27

+ + − 27 = − 3( + )( + )( + ) − − − −( )
( ) 2B :
=
= = P= M P
( )( P)( P)
=
( + )( + )( + )
( + )( + )( + )
= −3
= −3 → ( )
55)
+
.
= 2 → − 2 +
.
= 0 → − 2 + 1 = 0
( − 1) = 0 → = 1 − − − − − ( )
( ) 2B :
= $
' mW
m' W
+
= )
.' 8
8W
8
8' .W
+
= $
. .
. .
+
= √1
+
= 1
= 1 → (2)
56)
+
.
Q
= 1 → : +
.
Q
; = 1
+ 2 +
.
Q
= 1 → +
.
Q
= −1----------(a)
+
.
Q
= 1 → : +
.
Q
; = 1
+
.
Q=
+ 3 .
.
Q
: +
.
Q
; = 1

+
.
Q=
= 1 − 3 : +
.
Q
;
+
.
Q=
= 1 − 3(1)
+
.
Q=
= −2 − − − −( )
( ) ( ):
( +
.
Q
)( +
.
Q=
) = (−1)(−2)
( + .
.
Q=
+ .
.
Q
+
.
QS
) = 2
+
.
QS
= 2 − : +
.
Q
; = 2 − 1
+
.
QS
= 1
= $ +
.
QS
S
= √1
S
= 1 → ( )
57)
=
(Q )"( )' ( )'#
( Q ) ( Q)
=
(Q )"( ) ( ) #"( ) ( ) #
Q Q Q Q
=
(Q )( )(
( Q ) ( Q )
=
(Q )( )( )
(Q ) (Q )
=
< (Q )( )
( )(Q )
= 8 → ( )

58)
+ ? + L = 0 → ( + ? + L) = 0
+ ? + L = −2( ? + ?L + L) − − − − − ( )
+ ? + L = 0 → ( + ? + L) = 0
+ ? + L = 3 ?L − − − −( )
( ) ( ) ∶
( + ? + L )( + ? + L ) = −6 ?L( ? + ?L + L)
+ ? + L + ? + L + ? + ? L + L + L ? = −6 ?L( ? + ?L +
L)
+ ? + L + (? + ? ) + ( L + L ) + (? L L ? = −6 ?L( ? + ?L +
L)
+ ? + L + ? ( + ?) + L ( + L) + ? L (? + L) = −6 ?L( ? + ?L + L)
+ ? + L + ? (−L) + L (−?) + ? L (− ) = −6 ?L( ? + ?L + L)
+ ? + L − ? L − ?L − ? L = −6 ?L( ? + ?L + L)
+ ? + L − ? L − ?L − ? L = −6 ? L − 6 ? L − 6 ?L
+ ? + L = −5 ? L − 5 ? L − 5 ?L
+ ? + L = −5 ?L ( ? + ?L + L) − − − − − −( )
( ) ? ( ) 2B :
=
QS S uS
Q u
=
Qu (Q u Qu)
(Q u Qu)
= ?
= ? → (-)

59)
+ .
= 3 → +
.
Q
= 3
: +
.
Q
; = 9 → + 2 :
.
Q
; +
.
Q
= 9
+ 2 +
.
Q
= 9 → +
.
Q
= 7 − − − − − ( )
+
.
Q
= 3 → ( +
.
Q
) = 27
+
.
Q= + 3 .
.
Q
: +
.
Q
; = 27
+
.
Q= = 27 − 3(3)
+
.
Q=
= 18 − − − − − ( )
Sumando ( ) ? ( ):
E = + + +
= +
.
Q
+ +
.
Q= = 7 + 18
= 25 → ( )
60)
= $
(Q u)
Q u
= $
Q u (Q u Qu)
Q u
= $
Q Q Qu Q Q Qu
Q Q Qu
= $
(Q u Qu)
Q u Qu
= √3

= √3 → ( )
61)
_( ) = + +
_( ) = ( ) + ( ) + ( )
Y : E( ) = (2 − )(1 − ) (1 + )( + 2)
→ (2 − )(1 − ) (1 + )( + 2) = ( ) + ( ) + ( )
(2 − 2 − + )( + 2 + + 2 ) = ( ) + ( ) + ( )
(2 − 3 + )( + 3 + ) = ( ) + ( ) + ( )
(2 + 6 + 4 − 3 − 9 − 6 + + 3 + 2 ) = ( ) + ( ) +
( )
(-5 + + 4) = V
+ +
V
− 5 + 4 = V
+ +
Igualando coeficientes:
X
= 1
= −5
= 4
= + +
= 1 − 5 + 4
= 0 → ( )
62)
_( ) = " − + + − + + − + #
_( ) = " + − ( + + ) + + ( + + )#

_( ) = " ( + + ) − ( + + ) + ( + + )#
_( ) = " (1) − (1) + 1# = ( − + 1)
_( + + ) = _(1)
_(1) = (1 − 1 + 1) = 1
P(a+b+c) = 1 → (-)
63)
=
( t 9) ( 9 t)
( )(t 9 )
=
t t9 9 9 t9 t
( )(t 9 )
=
( t 9 ) 9 t
( )(t 9 )
=
(t 9 ) (t 9 )
( )(t 9 )
=
( )(t 9 )
( )(t 9 )
= 1 → ( )
64)
= + − − − −( )
= $:
P
; :
P
− ; :
P
− ; :
P
− ;
= $:
+ +
2
; :
+ + −2
2
; :
+ + −2
2
; :
+ + −2
2
;
=
.
[( + + )( + − )( + − )( + − )

=
.
["( + ) − #" + ( − )#" − ( − )#
=
.
[( + + 2 − )( − ( − ) )
=
.
[( + ) + 2 − )( − − + 2 )
=
.
[( + ) + 2 − )( + 2 − ( + ))
( ) 2B :
=
.
[( + 2 − )( + 2 − )
=
.
[(2 )(2 ) =
.
. 2 ( )
=
P
→ ( )
65)
+ + = 0 − − − − − −( )
+ = − ; + = −
= v P
+
P
+
P
w "
P P
#
= v
.
P
+
.
P
+
P.P
P
w v P P
w
= :
= = P=
P
; : P P
;
+ + = 0 → ( + + ) = 0
+ + = 3
= :
P
P
; : P P
; = 3 : P P
; − − − −( )
+ + = ( + ) − = −
+ + = ( + ) − = −
= 3 :
P
P
; = 3 :
P ( P)
P( P)
;
= 3 (
P P)
P P)
= 3

= 3 → ( )
66)
(Q )(Q )
Q P
+
(Q )(Q P)
Q
+
(Q )(Q P)
Q
= 1
(Q ) (Q ) (Q ) (Q P) (Q ) (Q P)
( + )( + )( + )
= 1
(Q ) "(Q ) (Q P) # (Q ) (Q P)
( + )( + )( + )
= 1 ------------(a)
( + ) + ( + ) = 0 2B ( )
(Q ) "U# (Q ) (Q P)
( + )( + )( + )
= 1
( + ) ( + ) = ( + )( + )( + )
( + )( + ) = +
Como E =
Q
(Q )(Q P)
=
(Q )(Q P)
(Q )(Q P)
= 1 → ( )
67)
= "( + ) + ( − ) # − 4"(: ; − x: ; y
= v + 2 + + − 2 + w − 4" − #
= (2 + 2 ) -4"
'
'
− 2 +
'
'
#

= 4 :
'
'
+ 2 +
'
'; − 4
'
'
+ 8 - 4
'
'
= 4
'
'
+ 8 + 4
'
'
−4
'
'
+ 8 - 4
'
'
= 16 → ( )
68)
+ + = − − − − − −( )
+ = − = ( − 1) = − (1 − )
+ = − = ( − 1) = − (1 − )
+ = − = ( − 1) = − (1 − )
De:
.
:
.
; +
.
:
. P
P
; +
.
P
:
. P
P
; =
= −
.
P
:
.
.
; −
.
:
. P
. P
; −
.
P
:
. P
. P
;
= −
.
P
−
.
−
.
P
=
P
P
= −
P
P
=
P
P
= −1 → (2)
69)
? = 1 → ? = 1 − − − − − −( )
=
Q( .)
Q .
+
(Q .)
.
=
Q( .) (Q .)
(Q .)( .)
=
Q( .) (Q Q .)
(Q .)( .)
=
(Q) (Q) Q Q(Q) Q
(Q .)( .)

( 1 ) en E:
=
(.) (.) Q(.) Q
(Q .)( .)
=
Q Q
(Q .)( .)
=
(Q )
Q Q .
=
(Q )
. Q .
=
(Q )
(Q )
= 2
= 2 → ( )
70)
Y√
'
+ 1ZY√
'
− 1Z(√ + 1)( + 1)( + + 1) =
= Y√
'
− 1ZY√ + 1Z( + 1)( + + 1)
= Y√ − 1Z Y√ + 1Z( + 1)( + + 1)
= ( − 1)( + 1)( + + 1)
= ( − 1)( + + 1)
De:
QW .
Q .
= ( + + 1)
= V
− 1 → ( )
71)
= ( − ? ) − − 2 ? − ?V
= ( − ? ) − ( + 2 ? + ?V
)
= ( − ? ) − ( + ? )

= "( − ? ) − ( + ? )#" ( − ? ) + ( + ? )#
= " ( − ? )-1][ − ? + 1#
= = ( − ? ) − 1 = + ?V
− 2 ? − 1
= (2) − 2 ? − 1 = 1 − 2 ? − − − − − ( )
Además E:
= ( − ? ) − ( + ? )
E = − 2 ? + ?V
− − 2 ? − ?V
= −4 ? − − − − − − − ( )
(a) =(b)
1 − 2 ? = −4 ? → − 2 ? = 1 --------©
= 1 − 2 ? = 1— 1 = 2
= 2 → ( )
72)
= → − = 0
( − )( + + ) = 0
≠ → + + = 0 → + = − − − − −( )
( ) 2B :
=
( )
=
E = = − = −
.
= −
1
3
→ (-)

73)
=
( )
+
( P)
P
+
( P )
P
= +
. P eP
P
+
eP V P
P
= − 4 + +
P
− 12 +
eP
+
eP
− 6 +
P
= : +
9
; + :
4
+
9
; + :
4
+ ; − 22
= (
eP
) + :
eP
; + : P
; − 22 − − − −( )
De: a+4b+9c = 0
X
+ 9 = −4
4 + 9 = −
+ 4 = −9
-----------------(b)
( ) 2B :
= − − −
eP
P
− 22 = −4 − 1 − 9 − 22
= −36 → ( )
74)
+ ? + L = 0 → X
+ ? = −L
+ L = −?
? + L = −
− − − − − ( )
( ) 2B :
=
(Q u) (Q u ) ( u Q)
Q u
=
( u u) ( ) ( Q Q)
Q u

=
eu e eQ
Q u
=
e(Q u )
Q u
= 9
= 9 → ( )
75)
=
"( + ?) + ( − ?) # − 4( − ? )
( + ? ) − ( − ? )
=
(Q Q Q Q ) (Q )
QW Q== W QW Q==W
=
( Q ) (Q )
Q==
=
" Q (Q )#" Q (Q )#
Q==
=
( )( Q )
Q==
=
Q
=
Q
→ ( )
76)
De:
( + + ) = 3( + + )( + + ) − 2( + + ) + 6 −
− − − − − − −EK4ED2- -
( + + ) = 3( + + )(6)-2(-8) +6(2)
( + + ) = 18( + + ) + 16 + 12
( + + ) − 18( + + ) − 28 = 0
Haciendo: + + =
− 18 − 28 = 0;

(x+2) ( − 2 − 14) = 0
+ 2 = 0 → + + = −2 − − − −( )
+ + = −2 → ( + + ) = −8
+ + + 3( + + )( + + ) − 3 = −8
−8 + 3 (−2)( + + ) − 3(2) = −8
− 6 ( + + ) = 6
+ + = −1 − − − − − ( )
( ) 202H B-4 0 1 4:
( + + ) = −1 →
+ + + 3( + + ) ( + + ) − 3 = −1
Como E = + +
+ 3(−1)Y ( ) + ( ) + ( )Z − 3(2) = −1
− 3Y ( + + )Z − 6 = −1
− 3 "2 (−2)# = 5
= 5 − 12
= −7 → ( )
77)
[ + ? + ? + [ − ? + ? = ? − − − −( )
= [ + ? + ? − [ − ? + ? = ?
( ) E4K :

? = ([ + ? + ? + [ − ? + ? )([ + ? + ? −
[ − ? + ? )
? = ( + ? + ? ) − ( − ? + ? )
? = + ? + ? − + ? − ?
? = 2 ?
= 2 → (-)
78)
( + 1)( + 1) = ( + ) + 1
+ + + 1 = + 2 + + 1
+ = + +
= ( + ) − ( + ) =( + ) − ( + )
= ( + )(1 − ) − − − − − −( )
+ = + + → = ( + ) − ( + )
= ( + )(1 − ) − − − − − −( )
( ) ? ( ) 2B ;
=
( .)
( .)
=
( .)
( )( .)( .)
=
( )( .)
=
( )( .)
( )( .)
= 1 → ( )
79)
Dividiendo entre sí los datos dados:

( )( )
( )
=
<<<
U
2+
2
=
.U
+ = :
222
105
; − − − − − − − ( )
= ( ) = ; (a) en E:
=
:
222
105
; +2
:
222
105
; −2
=
'=
8|S
8
8|S
=
.
= 36 → ( )
80)
.
+
.
P
=
P
P
P( )
=
P
→ ( − + )( − + ) = 4 ( − )
( − + ) = 4 ( − )
+ + + 2 − 2 − 2 = 4 − 4
+ + − 2 − 2 + 2 = 0
( + − ) = 0 → + − = 0
= + − − − − − − − ( )
=
P
+
P
+
P
P
; (a) en E:
= +
P
P
+
P
P P
= + 1 +
P
P
= 1 + 1 + 1
= 3 → ( )

81)
+ + 34 = 10 + 6
( − 10 + 25) + ( − 6 + 9) = 25 + 9 − 34
( − 5) + ( − 3) = 0
}
− 5 = 0
− 3 = 0
→ = 5 ? = 3
E = + + = (5)(3) + 5 + 3 = 15 + 8
= 23 → ( )
82)
+ 2 ? = 1
Sumando 1 a cada lado:
+ 1 = 2 − 2 ? = 2(1 − ?) − − − − − −( )
+ 2 ? = 1 → + 2 ? + ? = 1 + ?
( + ?) = 1 + ? − − − − − ( )
(a) y (b) en E:
= 2 [1 + ? +
(. Q )
[.
=
Q(. ) (. Q )
[.
=
Q Q ( Q)
[.
=
Q Q Q
[.
=
(Q )
[.
=
(Q )
[(Q )
=
(Q )
(P )
= 2
= 2 → ( )

83)
= + ? − 12
+ ? = 5 → + ? + 2 ? = 25
( + ? ) + 2 ? = 25
11+2xy =25 → ? = 7 − − − −( )
= ( + ? ) − 12
= ( + ?)( − ? + ? ) − 12
(a) Y las hipótesis en E:
= (5)(11 − 7) − 12
= 20 − 12
= 8 → ( )
84)
( + ) + ( − ) = 4
+ 2 + + − 2 + = 4
2 − 4 + 2 = 0 → − 2 + = 0
+( − ) = 0 → =
=
( )=
= =
=
( )=
= =
=
< =
=
= 4 → ( )
85)

− = − = 2
= − 2
= − 2 − − − − − − − ( )
= + + − − −
= ( + 2) + + ( − 2) − ( + 2) − ( − 2) − ( + 2)( − 2)
= + 4 + 4 + + − 4 + 4 − − 2 − + 2 − + 4
= 12 → (-)
86)
.
Q
+
.

= →
Q
Q
=
+ ? = ?
? = → + ? = − − − − − ( )
De:
( + ?) =
= + 2 ? + ? ; -2 ( ):
= ( + ? ) + 2 ?
= + 2b
= ( + 2) → ( )
87)
+ + = 0 → + = − → ( + ) =
+ 2 + = → − 2 + 2 + 2 + =
− 2 + = − 4

( − ) = ( − ) = − 4 − − − − − −( )
+ + = 0 → + = − → ( + ) =
+ 2 + = → − 2 + 2 + 2 + =
− 2 + = − 4
( − ) = − 4 − − − − − −( )
+ + = 0 → + = − → ( + ) =
+ 2 + = → − 2 + 2 + 2 + =
− 2 + = − 4
( − ) = − 4 − − − − − −( )
( ), ( ) ? ( ) 2B ;
=
( )
(P )
+
( P)
P( P)
+
(P )
P( P)
=
2
−4
( 2−4 )
+
2
−4
P( 2−4 )
+
2
−4
P( 2
−4 )
=
.
+
.
P
+
.
P
=
P
P
=
P
P
=
U
P
= 0 → ( )
88)
+ + = 0 → ( + + ) = 3 − − − −( )
X
+ = −
+ = −
+ = −
---------------(b)
(a) y (b) en E:
= ( + − ) + ( + − ) + ( + − )
= (− − ) + (− − ) + (− − )

= (16 ) + 16 + 16
= 16 ( + + )
= 16 :
.
; (3 ) = 16.3 :
.
; (
.
)
= 3 → ( )
89)
.U .U
+ 16 .U .U
= 41
8|
8|
+ 16.
8|
8|
= 41
U
+ 16 U
= 41 .U .U
→ U
+ 8 .U .U
+ 16 U
= 41 .U .U
+ 8 .U .U
U
+ 8 .U .U
+ 16 U
= 49 .U .U
( .U
) + 8 .U .U
+ (4 .U
) = 49 .U .U
( .U
+ 4 .U
) = 49 .U .U
→ .U
+ 4 .U
= √49 .U .U
.U
+ 4 .U
= 7
( ) − 4 + (2 ) = 7 − 4
( − 2 ) = 3 → − 2 = √3
= $
5−2 5
√
S
= $
[3 5 5
√
S
= )$
3 5 5
S
= √ 5 5
8|
= √ → ( )
90)

De:
( + + ) = + + + 2( + + ) − − − −( )
( + + ) = + + + 3( + + )( + + ) − 3
( + + ) = 3 + 3( + + )( + + ) − 3 − − − −( )
( + + ) = 2 + 2( + + ) − − − − − ( )
(a+b+c) por (c) :
( + + )( + + ) = 2( + + ) + 2( + + )( + + )
( + + ) = 2( + + ) + 2( + + )( + + ) − − − (-)
( ) 2B (-):
3 + 3( + + )( + + ) − 3 = 2( + + ) + 2( + + )( + +
)
3+ ( + + )( + + ) − 3 = 2( + + )
( + + )( + + ) = 3 − 3 + 2( + + ) − − − −(2)
(e) en E:
=
( P)( P P)
. P
=
( P) ( P)( P P)
. P
=
( P) {3 −3+2( + + )}
. P
=
( P) P ( P)
. P
=
P
. P
=
(. P)
( P)
= 3 → (-)
101)
~ =
V9 .
9
=
9
9

~ =
9
9
~ = BúO2K4 -2 GéKODB4A
~ = 5 → ( )
102)
~ = BúO2K4 -2 GéKODB4A
~ =
9 .
9 <
=
9
9 e
(4B + 12)(B − 9) = (4B − 3)(B − 8)
4B − 24B − 108 = 4B − 35B + 24
11B = 132 → B = 12
~ =
(. ) .
. <
=
VU
= 15 → ( )
103)
• = ~. -2 GéKODB4A
• =
‚
=
‚
E = 1296
E = 36
• =
V
= 12 → ( )

104)
• = ~. -2 GéKODB4A
• =
9
9 .
=
9 U
9
(3 + 5B)(B + 2) = (5B + 30)(B − 1)
5B + 13B + 6 = 5B + 25B − 30
12n = 36 ; n =3
• =
( )
.
=
.<
• = 9 → ( )
105)
GP = Q
→ • = DOE K
GP = ( u
)ƒ g
( )g .
= Q
2(h − 1) = 24
h = 13
• =
M
u
= 25 → L = 3

• =

= 25 → ? = 50
L (• − h) = → = 3(25 − 13) = 36
+ ? + L = 3 + 50 + 36
= 89 → (2)
106)
Gg = ( )„ g
(?M
)g .
Gg = 33 → …† = 309
5(~ − 33) + 7(33 − 1) = 309
5~ − 165 + 224 = 309
5 ~ = 250 ; ~ = 50
N = n = 50 → ( )
107)
N =n
Q=(QS)6 (S)6(8|)=
Q6m8 67
=
=
Q=QS6 S6=|
Q6m8 67
=
Q=7S6 =|7S6
Q6m8 67
~ =
9
9 .
=
U 9
9
(3 + 5B)(B + 2) = (30 + 5B)(B − 1)

5B + 13B + 6 = 5B + 25B − 30
12B = 36 ; B = 3
~ =
9
9 .
=
.
= 9 → (^)
108)
Gg = G
QS S
Q
=
=
( Q)S ( )S
Q
G → −(2 ) . (3?) .
= −(2 ).(3?)
G → −54 ?
Coeficiente → −54 → ( )
109)
G< = ?
V9
9
=
U
= •
• = 10
6n = 10 (n-4) → 6B = 10B − 40
B = 10
QW| '|
QW '

G< = ( V
).U <
(? )< .
G< = .
? <
→ (-)
110)
GM → …† = 57
GM → ( M
)„ g
(?V
)g .
→ ( M
)„ M
(?V
)M .
→ ( M
)„ M
(?V
)V
→ ( M
)„ M
? V
7(~ − 7) + 36 = 57
7N -49 = 57-36
7N = 70 → ~ = 10
N = N. de términos = 10 → ( )
111)
Qˆ6 6‰
Qˆ ‰
=
(Qˆ)6 (‰)6
Qˆ ‰
t9
t
=
9
‚
= ~
~ = B
G → …† = 42
→ ( t
)„
(?‚
) .
→ O(~ − 5) + 4E = 42 − − − −( )

G< → …† = 45
→ ( t
)„ <
(?‚
)< .
→ O(~ − 8) + 7E = 45 − − − −( )
El grado relativo a “y” del término 7 es 21:
7p = 21 → E = 3
-2 ( ) ? ( ):
`
OB − 5O + 4E = 42
OB − 8O + 7E = 45
`
OB − 5O + 4(3) = 42
OB − 8O + 7(3) = 45
→ }
OB − 5O = 30
OB − 8O = 24
}
OB − 5O = 30
−OB + 8O = −24
3O = 6 → O = 2
O = 2 → (-)
112)
U.
=
g VU
g
→ BúO2K4 -2 GéKODB4A
4h =
.
. (3h + 60) → 8 h = 3h + 60
5h = 60 → h = 12
h + 1 =
= 12 + 1
= 145 → ( )

113)
G → .MV V
• = ~. -2 GéKODB4A
• =
'Š
S‹mf
'Š 'Š
S‹mf S‹mf
=
( S‹mf)Œ ( S‹mf)Œ
S‹mf S‹mf
G = Y
‹ e
Z
ƒ
. (
‹ e
) .
Y
‹ e
Z
ƒ
. (
‹ e
) = .MV V
`
(• − 5)(5
− 9) = 176
4(5
− 9) = 64
5
− 9 = 16
16(• − 5) = 176 → • = 16
N = • = 16 → (-)
114)
Gg → …† = 252
Q8W| +|
Q' R
=
(Q')'| (R)'|
Q' R
• = 40 GéKODB4A
Gg
= ( ) U g
(?M
)g .
4(40 − h) + 7(h − 1) = 252

160 − 4h + 7h − 7 = 252
3 k = 99 → h = 33
Lugar de Gg = 33 → ( )
115)
Como el denominador tiene signo (-) →
20 G2KODB4 16 GD2B2 AD3B4 (−)
G.V = −( ) . .V
. (?).V .
G.V = − .
.(?).
→ (-)
116)
• = ~]
• =
9 .
9 <
=
9
9 e
(4B + 12)(B − 9) = (4B − 3)(B − 8)
4B − 24B − 108 = 4B − 35B + 24
−24B − 108 = −35B + 24
11n = 132
B = 12
• =
(. ) .
. <
= 15
• = 15 → ( )

117)
Q'ˆ Q'l
Q Qm=
=
(Q ) ˆ (Qm=)m(
'l
=
)
Q Qm=
←
G.U = ( )g .
. ( ) t g
G.U = g
. Vt g
G.U = g Vt g
; k=10
Al ser independiente de n :
U Vt U
= U
20 − 2 − 6O + 30 = 0
O = 8 → 2O = 16
- = 16 → = −12
(Q ) ˆ (Qm=)m(
'l
=
)
Q Qm=
=
(Q )8W (Qm=)8W
Q Qm=
Gg = ( ).V g
. ( )g .
contados desde la derecha
Gg = ( ).V g g
Para que sean racionales enteros -----el numerador ≥ 0
32 − 2h − 3h + 3 ≥ 0

35 ≥ 5h
5h ≤ 35 → h ≤ 7
N. términos racionales → 7 → ( )
118)
• =
<
t
= 4 → O = 2
Q+ .
Q .
=
(Q )' .
Q .
De:
O + O + O + − − − − − + O9
=
t678 t
t .
Oe
+ O<
+ OM
+ − − − − − − +O + 3 =
=
tf78 t
t .
+ 3
=
t8| t
t .
+ 3 =
t(tf .)
t .
+ 3
=
( f .)
.
+ 3
= 2.U
− 2 + 3
= 2.U
+ 1 → ( )
119)
Gg = GP − − − G2KODB4A DOE K2A

Qkl Qklml
Qk Qkm8
=
(Qk)l (Qkm8)l
Qk Qkm8
K =
.
GP = ( )
l78
. ( .
)
l78
.
GP = ( )
lm8
. ( .
)
lm8
GP = ( . .
)
lm8
GP = ( .
)
lm8
GP = ( .
)
lm8
GA : ( − 1)(2 − 1) = 30
( − 1)(2 − 1) = 30
a < b:
b -1= par → (2 − 1) 2A DOE K
b-1=2 b= 3 y 2 − 1 = 15 → = 8
b-1 =6 b = 7 y 2a -1 = 5 → = 3
b-1 =10 b= 11 y 2a -1 = 3 → = 2
b-1 = 30 b= 31 y 2a -1 = 1 → = 1
= 7 → ~. -2 GéKODB4A → ( )
120)
(Q )6 6
Q
=
(Q )6 6
(Q )
(Q )6 6
(Q )
= ( + )9 .
+ ( + )9
. + ( + )9
. −
− − − + 9 .
El termino independiente → = 0

]• = 9 .
+ 9
+ 9
+ − − − + 9 .
]• = 9 .
+ 9 .
+ 9 .
+ − − − − + 9 .
]• = B 9 .
→ (-)
121)
Q=67 S6m8
Q 6mS
=
(Q )
=67
(6mS)
S6m8
6mS
Q 6mS
9
=
9 .
9
3B − 13B − 10 = 10B − 2
3B -23n -8 =0
B =
± √ eV
V
=
±
V
→ b
B. = 8
B = −
.
B = 8
Gg = G.. = ( )
=67
..
. (?9 ).. .
G.. = ( )
=67
..
. (?9 ).U
G.. → ’“” ?
GA = 3B + 2 − 22 + 10B − 50
…† = 13B − 70 = 13(8) − 70
…† = 34 → ( )
122)

• =
Ut
t .
=
Ut M
t
(20O + 35)(O − 3) = (20O − 57)(O + 1)
20O − 25O − 105 = 20O − 37O − 57
12 O = 48 → O = 4
• =
U( )
.
= 23
• = 23 → ( )
123)
Qkˆ 6
Q Qm=
=
(Q )
kˆ
(Qm=)m
l6
=
Q Qm=
-
9
=
t
→
G.U = ( )g .
. ( )
kˆ
.U
G.U = g U
=kˆ
→ U
2h − 2 + 30 −
t
= 0
2(10) − 2 + 30 −
t
= 0
t
= 48 → O = 32

B = −
t
= −48
(Q )
kˆ
(Qm=)m
l6
=
Q Qm=
=
(Q )8W (Qm=)8W
Q Qm=
Gg = ( ).V g
( )g .
32-2k +3-3k ≥ 0 → A2 4 GD2B2 G2KODB4A K D4B 02A 2BG2K4A
35 ≥ 5h → 5h ≤ 35
h ≤ 7
Número de términos = 7 → ( )
124)
Qˆ6 6
Qˆ
=
(Qˆ)6 ()6
Qˆ
; n = N. de términos
Gg = ( t
)9 g
. (?)g .
GA = m(n-k)+k-1
G = ( t
)9
. (?) → …† = 21
O (B − 4) + 3 = 21
OB − 4 O = 18 − − − − − − − ( )
Además: considerando el término 2 y el tres:
O(B − 2) + 1 − "O(B − 3) + 2# = 2
OB − 2O + 1 − OB + 3O − 2 = 2
m - 1=2 ; m = 3
De: OB − 4 O = 18
(3)B − 4(3) = 18
B = 10 → ( )

125)
n =
t
=
‚
M
− − − − − − − (1)
GP = ?MU
→ ~. GéKODB4A DOE K2A
h =
9 .
Gg = ( )9
678
. (?M
)
678
.
Gg = ( )
6m8
. (?M
)
6m8
= ?MU
b
B − 1 =
M
(B − 1) = 70
M
= 70 → = 20
B = + 1 = 21 ; O = 2B = 42 ; E = 147
= E − 3O − 20
= 147 – 3(42) -20
= 1 → (-)
126)

Qˆ Q6
Q' R
=
(Q')
ˆ
' (QR)
6
R
Q' R
t
=
9
M
Gg” GQ = ( )
ˆ
'
g
(?M
)g .
( )
ˆ
'
g
(?M
)g .
= ‚
? <
----------(a)
( )g .
(?M
)
ˆ
'
g
= .V
? (‚ V)
-----(b)
-2 ( );
}
4O − 16h = 4E
7h − 7 = 28
7h − 7 = 28 → h = 5
O − 20 = E − − − − − ( )
-2 ( ):
`
4h − 4 = 16
7O − 28h = 8E − 48
4 h − 4 = 16 → h = 5
7O − 28(5) = 8E − 48
7O − 8E = 92 ------- (d)
-2 ( ) ? (-);
`
8O − 8E = 160
−7O + 8E = −92
O = 68 ; E = O − 20 = 48
t
=
9
M
→ B = 7 :
t
; = 7(17) = 119

E = m +n+p
= 68 + 119 + 48
= 235 → (-)
127)
8||
S .
=
( S) | .
S .
† = G.V
G.V” ( ) U .V
. (1).V .
= U
De:
( |)88 ( ')88
| '
, A1 GéKOD 4 2BGK 0 A2Ká:
K =
.. .
= 6
GP = GV
GP = −( U
).. V
. ( )V .
GP = −( U
) . ( ) = − .UU U
→ ( )
128)
• =
9 .
9
=
‚
‚
• = 4 → 5B − 12 = 4B

B = 12
QS6m8 '‰
Q6 ‰
=
QS(8 )m8 (‰)'
Q8 ‰
=
Q'+ (‰)'
Q8 ‰
(Q8 )' (‰)
Q8 ‰
Gg = ( .
) g
. (?‚
)g .
( .
) g
. (?‚
)g .
= ?
`
48 − 12h = 24
Eh − E = 3
48 − 12h = 24 → 12 h = 24 → h = 2
Eh − E = 3 → E(2 − 1) = 3 → E = 3
= B + E
= 12 + 3 = 15 → ( )
129)
QRS =|
QS
=
(QS)8S ( )8S
QS
Gg = ( )g .
(? ). g
− − − -2 DLT1D2K- -2K2 ℎ
…† -2 h → 5 (h − 1) + 2(15 − h) = 40
5k -5 + 30-2 k = 40
3h = 15 → h = 5
Gg = GM P–9— p– p˜ p˜™˜Pš ›uœ•›˜™p

GM” ( ). M
(? )M .
GM” ( )<
(? )V
GM = U
?.
GM → …† = 40 + 12
…† = 52 → ( )
130)
Qk7lkl k=7l=7kl
(Q)kl k 7l
=
Qk7lkl k=7l=
.kl
Qklkl k 7l
=
kl(Qk7l k=7l=
)
kl(Qkl ‹k 7l
‹kl )
=
Qk7l k=7l=
Qkl k 7l mkl
• = =
= =
=
( )( )
( )
= +
.
= 1
= 1 → ( )
131)

GP = 9 → ~] = • = 17
tŠ=m'| 9‹=m88'
tŠ 9‹
=
(tŠ)
Š=m'|
Š (9‹)
‹=m88'
‹
tŠ 9‹
17 =
Q=m'|
Q
=
=m88'

− 17 − 40 = 0 → 1A 4 ž j
(x-5)( + 5 + 8) − 0
→ − 5 = 0 ; = 5
Y :
? − 17? − 114 = 0 → 1A 4 ?ž j
(? − 6)(? + 6? + 19) = 0
→ ? − 6 = 0 ; ? = 6
t+S 98|
tS 9W
=
(tS)8R (9W)8R
tS 9W
GP = Ge

Ge = (O ).M e
. (BV
)e .
= O U
Bu
(O )<
. (BV
)<
= O U
Bu
48 = z
= + ? + L
= 5 + 6 + 48
= 59 → (-)
132)
N = número de términos = n
(Q )6 6
Q
=
(Q )6 6
(Q )
Penúltimo término → ~ − 1
G„ . = ( + 2?)„ („ .)
. ?„ . .
( + 2?).)
. ?„
= ? + 2?V
(x+2y). ?„
= ? ( + 2?)
→ ~ − 2 = 5
~ = 7 = n → ( )
133)
• =
t
9

Qˆ7 ˆ7
Q6 6
=
(Q6)Œ (6)Œ
Q6 6
G U = −( 9
)ƒ U
(?9
).e
= − ? <
}
B(• − 20) = 2
19B = 38
B = 2
2 (• − 20) = 2 → • = 21
De: • =
t
9
21 =
t
→ O = 40
= O + B
= 40 + 2 = 42
= 42 → (-)
134)
(Q )=W Q=W
Q
=
(Q )=W Q=W
(Q ) Q
G e = ( + 3) V e
( ) e .
G e = ( + 3)M
( ) <
= −1 → G e = (−1 + 3)M
(−1) <
= 2M (1) = 128
= 128 → ( )

135)
( ˆ)ˆ78 ( )ˆˆ
ˆ
→
Gg = ( t
)tˆ g( )g .
←
Gg = ( t
)g .( )tˆ g
O (Ot
− h) + h − 1 − "O(h − 1) + Ot
− h# = 4O − 4
O (Ot) − Oh + h − 1 − Oh + O − Ot
+ h = 4O − 4
O. Ot
− Ot
− 2Oh + 2h = 3O − 3
Ot(O − 1) − 2h(O − 1) = 3(O − 1)
Ot
− 2h = 3
h =
tˆ
ht›9 → Ot
− 3 = 0
Si m =3 ; h = 12
ht›9 = 12 → ( )

136)
• =
t
=
9
= 8
O = 24 ? B = 40
Qˆ 6
Q= S
=
(Q=)+ (S)+
Q= S
G = ( )<
. (? ) .
G = ( ) .(? )
G = e
? U
→ ( )
137)
• =
Ut
t .
=
Ut M
t
(20O + 35)(O − 3) = (O + 1)(20O − 57)
20O − 25O − 105 = 20O − 37 − 57
12 m = 48 → O = 4
• =
U( )
.
• = ~] = 23 → ( )

138)
• =
9 e
=
9
6B + 18 = 9B ; B = 6
Q=67f =6
Q=
=
Q=(W)7f =(W)
Q=
=
(Q=)f ( )f
Q=
GP =
e .
= 5
GP = G = ( )e
(? ) .
GP = G = ( ) (? )
GP = G = .
?<
= 1 ? ? = 2 → GP = (1). (2)<
GP = 256 → ( )
139)
(Q )8' 8'
Q Q
=
(Q )8' 8'
(Q Q )
=
(Q )8' 8'
(Q )
=
"(Q ) #R ( )R
(Q )
• = ~. -2 GéKODB4A = 7
GP = Gg =
M .
= 4
G = −"( + ) #M
. ( ) .

G = −"( + ) # . ( )
G = −( + )V V
→ ( )
140)
Q8SS f=
QS =
=
(QS)=8 (=)=8
QS =
• = 31
Gg = ( ) . g
(? )g .
5(31-k) + 3(k-1)= 122
155 − 5h + 3h − 3 = 122 → h = 15
G. = ( ) . .
(? ). .
G. = ( ).V
(? ).
G. = <U
?
DE = diferencia de exponentes:
Ÿ = 80 − 42 = 38 → ( )
141)
Q6 .
Q .
=
G.U = 9 .U
1e
= 9 .U
G U = 9 U
1 e
= 9 U
G.UU = 9 .UU
1ee
= 9 .UU

G.U. G U. G.UU = V
( 9 .U
). ( 9 U). ( 9 .UU
) = V
9 .VU
= V
3B − 160 = 236
• = B = 132 → ( )
142)
• = 5 =
9
→ B = 15
G = ( ) (1) .
= V
G = ( ) (1) .
= 1
G + G = 1 + V
→ ( )
143)
Recuerde:
Como la diferencia de las X y de “y”de dos posiciones consecutivas es:

190-195 = - 5
147-140 = 7
El denominador del cociente es: − ?M
Q? ?
QS R
El exponente de las variables x e y será:
( )9
− (?M
)9
(QS)6 (R)6
QS R
Un término k y k+1 será:
Gg = ( )9 g
(?M
)g .
= .e
. ?. U
Gg . = ( )9 (g .)
(?M
)(g .) .
= .eU
. ?. M
}
5B − 5h = 195
7h − 7 = 140
7h − 7 = 140 → h = 21
5B − 5h = 195 → 5B − 5(21) = 195
B = 60 → (-)
144)
GP = œ
? → ~] = • → DOE K
M
‚
=
t
→ EO = 150
(Q‰)
RS
‰ ( )
ˆ
Q‰
GP = ( ‚
)
RS
‰
g
(? )g .
= œ
?
2h − 2 = 24 → h = 13

GP = G. → • = 25
• =
M
‚
=
t
; E = 3 ? O = 50
‚(M g‚)
‚
= T ; T = 75 − hE → T = 75 − (13)(3)
T = 36
= O + E + T
= 50 + 3 + 36
= 89 → (-)
145)
=6m= =6m=
Q
‰ m8
‰ m8
• =
6
‰ .
=6m= =6m=
Q
‰ m8
‰ m8
=
Q( ‰ m8)Œ ( ‰ m8)Œ
Q
‰ m8
‰ m8
Gg = G = :
‰ .
;
ƒ
. (?
‰ .
).
= .U
?.
b
(• − 2)Y2‚
− 1Z = 210
2‚
− 1 = 15
15(• − 2) = 210 → • = 16
2‚
− 1 = 15 → 2‚
= 2
E = 4 → 4E = 16 − − − − − ( )
• =
6
‰ .
→ 16 =
6
‰ .
=
6
.
39
− 3 = 240 → 39
= 3

B = 5
De:
= $
‚ 9
= $
.V( )
= 4 → ( )
146)
Qk '
Ql n
=
(Ql)
k
l (n)
'
n
Ql n
Gg = G.< = ( )
k
l
.<
(?P
).< .
( )
k
l
.<
(?P
).M
= ?.M
b :
.<
; = − 54
17 = 17
17 = 17 → = 1
− 18 = − 54 → = 3
Qk '
Ql n
=
Qk '
Q=
= 24 → = 72
= + +
= 72 +3+1
= 76 → ( )

147)
Qˆ 6
Q =
=
(Q )
ˆ
(=)
6
=
Q =
• =
t
=
9
Gg = GM
= ( )
ˆ
M
(? )M .
= ?
b
:
t
− 7; 2 =
18 =
O − 14 = 18 → O = 32
De:
t
=
9
→ 16 =
9
→ B = 48
(Q )
ˆ
(=)
6
=
Q =
=
(Q )8W (=)8W
Q =
G. = ( ).V .
. (? ). .
G. = ( ).
. (? ).
G. = ?
G. → …† = 2 + 42 = 44 → ( )
148)
Qk=m'| l=m88'
Qk l
GP = Ge → • = ~] = 17

= U
= 17 =
= ..
→ − 17 − 40 = 0
− 17 − 114 = 0
− 17 − 40 = 0 → ( − 5)( + 5 + 8) = 0
= 5
− 17 − 114 = 0 → ( − 6)( + 6 + 19) = 0
= 6 ž j
Qk=m'| l=m88'
Qk l
=
Q+S 8|
QS W
=
(QS)8R (W)8R
QS W
Ge = ( ).M e
(?V
)<
= U
?P
48 = c
= + +
= 5 + 6 + 48
= 59 → (-)
149)

8Sˆ7S| 8Sˆm8|
Qˆ78 ˆm
• =
. t U
t .
=
. t .U
t
(15O + 50)(O − 2) = (15O − 10)(O + 1)
15O + 20O − 100 = 15O + 5O − 10
15m = 90 → O = 6
8Sˆ7S| 8Sˆm8|
Qˆ78 ˆm
=
Q8'| +|
QR '
=
(QR) | (') |
QR '
Gg = ( M
) U g
(? )g .
7(20 − h) + 4(h − 1) = 85
140 – 7k +4k -4 =85
3h = 51 ; h = 17
Gg = 17 → ( )
150)
=| ˆ
Q6
• =
U
9
=
t
= 10
O = 20 ; B = 3
=| ˆ
Q6
=
Q=| |
Q=
=
(Q=)8| ( )8|
Q=
= O + B
= 20 + 3
= 23 → ( )

Ejercicios productos cocientes notables-widmar aguilar

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Similar to Ejercicios productos cocientes notables-widmar aguilar

Similar to Ejercicios productos cocientes notables-widmar aguilar (20)

More from Widmar Aguilar Gonzalez

More from Widmar Aguilar Gonzalez (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ejercicios productos cocientes notables-widmar aguilar