The document contains the solutions to exercises on graphs and digraphs. For a graph with 8 vertices, the student calculates the adjacency and incidence matrices, shows that it is connected and simple but not regular or complete, finds chains and cycles. For a digraph with 6 vertices, the student finds the connection matrix, shows it is simple, finds chains and cycles, and uses the accessibility matrix to show it is strongly connected. Finally, Dijkstra's algorithm is used to find distances from one vertex in the digraph.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE COMPUTACIÓN
Ejercicios Propuestos
 Alumna: Verónica Torres
 C.I: V-28.399.477
 SAIA A
 Estructuras Discretas II
 Prof. Edecio Freitez

2. Ejercicio 1: grafo
Dado el siguiente grafo, encontrar:
a) Matriz de adyacencia
b) Matriz de incidencia
c) ¿Es conexo? Justifique su respuesta
d) ¿Es simple? Justifique su respuesta
e) ¿Es regular? Justifique su respuesta
f) ¿Es completo? Justifique su respuesta
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
h) Un ciclo no simple de grado 5
i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
j) Subgrafo parcial
k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
l) Demostrar si es hamiltoniano

3. 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
SOLUCIÓN
Para a) Matriz de adyacencia
𝑀𝐴(𝑔) =
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉 [
0 1 1 1 1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 1 0]
Para b) Matriz de incidencia
𝑀𝑖(𝑔) =
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉 [
1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]
Para c) ¿Es conexo? Justifique su respuesta
Si es conexo, ya que se cumple la condición de que todos los vértices están conectados a
través de al menos una trayectoria, es decir, existe una cadena para todos los vértices.
Para d) ¿Es simple? Justifique su respuesta
Efectivamente es un grafo simple, esto debido a que se cumple que no existen lazos y
tampoco hay más de una arista entre cada par de vértices.
Para e) ¿Es regular? Justifique su respuesta
No es un grafo regular ya que sus vértices tienen grados diferentes.
Nótese que:
𝑔𝑟(𝑉 ) = 5 → 𝐺𝑅𝐴𝐷𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝑉É𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸 1
𝑔𝑟(𝑉 ) = 6 → 𝐺𝑅𝐴𝐷𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝑉É𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸 3
⇒ 𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑔𝑟(𝑉 ) ≠ 𝑔𝑟(𝑉 ), 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

4. Para f) ¿Es completo? Justifique su respuesta
No es un grafo completo porque hay vértices que no están conectadas por una arista.
Para g) Una cadena simple no elemental de grado 6
𝐶 = [𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 0 , 𝑉 ]
Como se repite el vértice (𝑉 ) no es elemental.
Para h) Un ciclo no simple de grado 5
𝐶 = [𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 9 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 ]
Es un ciclo no simple
Para i) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor
Para j) Subgrafo parcial

5. Para k) Demostrar si es Euleriano aplicando el algoritmo de Fleury
Como el grado de 𝑉 = 5 (impar), como no existen vértices de grado impar el grafo no es
Euleriano.
Para l) Demostrar si es hamiltoniano
Ciclo que contiene todos los vértices
Tiene un ciclo hamiltoniano, por lo tanto esto quiere decir que el grafo es hamiltoniano.
Ejercicio 2: dígrafo
Dado el siguiente dígrafo
a) Encontrar matriz de conexión
b) ¿Es simple? Justifique su respuesta
c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
d) Encontrar un ciclo simple
e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad
f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra
Arista a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14
Pond. 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3

6. 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
SOLUCIÓN
Para a) Encontrar matriz de conexión
𝑴𝒄 =
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝟑
𝑽𝟒
𝑽𝟓
𝑽𝟔 [
𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎]
Para b) ¿Es simple? Justifique su respuesta
Si es un dígrafo simple ya que se puede observar que no tiene arcos ni lazos paralelos.
Para c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5
𝐶 = [𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 0 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 ]
Como se repite el vértice 𝑉 es una cadena no simple elemental de grado 5 por sus 5 arcos.
Para d) Encontrar un ciclo simple
𝐶 = [𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴 , 𝑉 , 𝐴9 , 𝑉 ]

7. 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
Para e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de
accesibilidad
𝑴𝒄 =
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝟑
𝑽𝟒
𝑽𝟓
𝑽𝟔 [
𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎]
𝑴𝒄𝟐
= 𝑴𝒄. 𝑴𝒄
𝑴𝒄𝟐
=
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝟑
𝑽𝟒
𝑽𝟓
𝑽𝟔 [
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎
𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏]
𝑴𝒄𝟑
= 𝑴𝒄. 𝑴𝒄𝟐
𝑴𝒄𝟑
=
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝟑
𝑽𝟒
𝑽𝟓
𝑽𝟔 [
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏]
𝑴𝒄𝟒
= 𝑴𝒄. 𝑴𝒄𝟑
𝑴𝒄𝟒
=
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝟑
𝑽𝟒
𝑽𝟓
𝑽𝟔 [
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏]

8. 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉
𝑴𝒄𝟓
= 𝑴𝒄. 𝑴𝒄𝟒
𝑴𝒄𝟓
=
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝟑
𝑽𝟒
𝑽𝟓
𝑽𝟔 [
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏]
Entonces:
𝑨𝒄𝒄(𝑫) = 𝒃𝒊𝒏 [ 𝑰𝟕 + 𝑴𝒄 + 𝑴𝒄𝟐
+ 𝑴𝒄𝟑
+ 𝑴𝒄𝟒
+ 𝑴𝒄𝟓
]
= 𝒃𝒊𝒏
[
𝟑 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓 𝟒
𝟒 𝟐 𝟓 𝟓 𝟓 𝟓
𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟒 𝟒
𝟒 𝟒 𝟑 𝟓 𝟒 𝟒
𝟑 𝟒 𝟒 𝟓 𝟒 𝟓
𝟑 𝟑 𝟑 𝟒 𝟏 𝟒]
=
[
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏]
Como la matriz de accesibilidad no tiene componentes nulos el dígrafo es fuertemente
conexo.
Para f) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo
de Dijkstra
Con el algoritmo de Dijkstra se encuentran las siguientes distancias:
𝑫(𝑽𝟐 , 𝑽𝟏) = 𝟖
𝑫(𝑽𝟐 , 𝑽𝟐) = 𝟎
𝑫(𝑽𝟐 , 𝑽𝟑) = 𝟑
𝑫(𝑽𝟐 , 𝑽𝟒) = 𝟒
𝑫(𝑽𝟐 , 𝑽𝟓) = 𝟔
𝑫(𝑽𝟐 , 𝑽𝟔) = 𝟑