Δομική μηχανική (Structural mechanics)

Μηχανική
Τζανετής Βογιατζής
Πολιτικός Μηχανικός, BEng (Hons), MEng, PhD
Τμήμα Σχεδιαστών Δομικών Έργων &
Γεωπληροφορικής
| GEO106 | Τμήμα Σχεδιαστών Δομικών Έργων Φθινοπωρινό Εξάμηνο, 2020Β
Δ.ΙΕΚ Σίνδου

GEO 106: Μηχανική – Στατική των Κατασκευών
1 Θεμελιώδεις αρχές
1.1 Οι Υποδιαιρέσεις της Μηχανικής
1.2 Αντικείμενο της Στατικής

Θεμελιώδεις Αρχές
o Το συνολικό πεδίο της Κλασσικής
Μηχανικής μπορεί να διαιρεθεί σε
δύο ενότητες με κριτήριο τη
φυσική κατάσταση των υλικών
σωμάτων που μελετώνται
Μηχανική – Στατική των Κατασκευών
Οι Υποδιαιρέσεις της Μηχανικής

4/2
| 2020, Οκτώβριος | Δ.Ι.Ε.Κ. Σίνδου 4
o Το συνολικό πεδίο της Κλασσικής
Μηχανικής μπορεί να διαιρεθεί σε
δύο ενότητες με κριτήριο τη
φυσική κατάσταση των υλικών
σωμάτων που μελετώνται
o Στη Μηχανική των Ρευστών:
Περιλαμβάνει την Υδρομηχανική
και την Αερομηχανική και
πραγματεύεται τα της ισορροπίας
και κίνησης υγρών και αερίων, τα
οποία χαρακτηρίζονται από την
κοινή ιδιότητα της ροής.
Μηχανική – Στατική των Κατασκευών Θεμελιώδεις Αρχές

o Στη Μηχανική των Στερεών:
Μπορεί, χάριν συστηματικότερης
μελέτης, να υποδιαιρεθεί στη
Μηχανική των απολύτως στερεών
σωμάτων και στη Μηχανική των
παραμορφωσίμων σωμάτων.

▪ Η πρώτη είθισται να καλείται
Στερεομηχανική και να διαλαμβάνει
φυσικά σώματα των οποίων η μορφή,
κατά παραδοχή, δεν υφίσταται
γεωμετρικές μεταβολές.

▪ Η δεύτερη περιλαμβάνει, μεταξύ
άλλων, το σύνολο γνώσεων που
παραδοσιακά χαρακτηρίζεται ως
Αντοχή Υλικών, Ελαστομηχανική
(Μηχανική των ελαστικών σωμάτων)
και Πλαστομηχανική.

o Η Κλασσική Μηχανική μπορεί
επίσης να διαιρεθεί με κριτήριο την
κινητική κατάσταση των υλικών
σωμάτων σε δύο άλλες ενότητες:

▪ Στην Κινηματική, η οποία περιγράφει
γεωμετρικώς τις καταστάσεις της
κίνησης και παραμόρφωσης των
σωμάτων ανεξαρτήτως αιτιών και

▪ Στην Κινηματική, η οποία περιγράφει
γεωμετρικώς τις καταστάσεις της
κίνησης και παραμόρφωσης των
σωμάτων ανεξαρτήτως αιτιών και
▪ Στη Δυναμική, η οποία πραγματεύεται
την κίνηση των σωμάτων συναρτήσει
των δυνάμεων που δρουν πάνω σε
αυτά.

o Μία άλλη διάκριση που γίνεται
παραδοσιακά είναι η διάκριση
μεταξύ:

μεταξύ:
▪ Της Θεωρητικής Μηχανικής, που δίνει
ιδιαίτερη έμφαση στην αξιωματική
θεμελίωση της Μηχανικής και στην
ανάπτυξη των μαθηματικών μεθόδων
περιγραφής και επίλυσης των
μηχανικών προβλημάτων, και

μεταξύ:
▪ Της Θεωρητικής Μηχανικής, που δίνει
ιδιαίτερη έμφαση στην αξιωματική
θεμελίωση της Μηχανικής και στην
ανάπτυξη των μαθηματικών μεθόδων
περιγραφής και επίλυσης των
μηχανικών προβλημάτων, και
▪ Της Εφαρμοσμένης ή Τεχνικής
Μηχανικής ή Μηχανικής των
Κατασκευών που προσανατολίζουν εκ
προοιμίου τις μεθόδους τους στη

o Η Εφαρμοσμένη Στατική, η οποία
αποτελεί υποσύνολο της
Εφαρμοσμένης Μηχανικής,
o προσαρμόζει τις μεθόδους της
στις ανάγκες μελέτης των
διαφόρων τεχνικών κατασκευών
o από τον χώρο των δομικών έργων
πολιτικού μηχανικού (κτίρια,
γέφυρες, φράγματα, κελύφη κτλ),
της ναυπηγικής, της
αεροναυπηγικής, των
μηχανολογικών κατασκευών κτλ

Αντικείμενο της Στατικής
o Αντικείμενο και βασικός στόχος της Στατικής των
Κατασκευών είναι η μελέτη και ο υπολογισμός των
καταστάσεων έντασης και παραμόρφωσης των δομικών
φορέων υπό την επενέργεια εξωτερικών δυνάμεων (π.χ.
φορτία χρήσης, άνεμος κ.α) και καταναγκασμένων (π.χ.
θερμοκρασιακές μεταβολές, σεισμός κ.α.).
o Ακριβέστερα, και όπως θα αναπτυχθεί εκτενώς στη
συνέχεια, αυτό που μελετάται και υπολογίζεται δεν είναι ο
πραγματικό φορέας, αλλά ένα κατάλληλο επιλεγμένο
προσομοίωμά του. Γι’ αυτό, εκτός από τις ίδιες μεθόδους
υπολογισμού, αναπόσπαστα τμήματα της Στατικής των
Κατασκευών αποτελούν

o Γι’ αυτό, εκτός από τις ίδιες μεθόδους υπολογισμού,
αναπόσπαστα τμήματα της Στατικής των Κατασκευών
αποτελούν
o αφενός η προσομοίωση της πραγματικής κατασκευής που
οδηγεί στον καθορισμό ενός προσομοιώματος (μοντέλου)
της και
o αφετέρου η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων του
υπολογισμού του προσομοιώματος σε σχέση με την
πραγματική κατασκευή.
Αντικείμενο της Στατικής

2 Οι Κατασκευές και τα Προσομοιώματα τους
2.1 Το δομικό σύστημα και το υπολογιστικό του προσομοίωμα
2.1.1 Ορισμός του δομικού συστήματος
2.1.2 Το Μηχανικό Προσομοίωμα
2.1.3 Η Αρχή της Αρμονικής Ακρίβειας
2.1.4 Απλοποιημένο Παράδειγμα
2.1.5 Προσομοιώσεις Υλικών Σωμάτων

Ορισμός του Δομικού Συστήματος
Οι Κατασκευές και τα Προσομοιώματα τους
o Οι δομικές κατασκευές είναι
σύνθετα μηχανικά συστήματα
αποτελούμενα από διαφόρων
τύπων φέροντα δομικά στοιχεία
συζευγμένα μεταξύ τους μέσω
συνδέσμων,
o καθώς και από άλλα στοιχεία και
τμήματα που δεν συμμετέχουν
στον φέροντα οργανισμό (δομικό
φορέα).

o Προορισμός του φέροντα
οργανισμού είναι να παραλάβει
όλες τις επιρροές (δράσεις) που
δέχεται η κατασκευή λόγω της
χρήσης της
o και λόγω του περιβάλλοντος στο
οποίο είναι εκτεθειμένη και να τις
μεταβιβάσει με ασφάλεια στο
στερεό έδαφος θεμελίωσης, με το
οποίο συνδέεται μέσω στηρίξεων
(εφεδράνων και θεμελίων
διαφόρων μορφών

o Προορισμός του φέροντα
οργανισμού είναι να παραλάβει
όλες τις επιρροές (δράσεις) που
δέχεται η κατασκευή λόγω της
χρήσης της
o και λόγω του περιβάλλοντος στο
οποίο είναι εκτεθειμένη και να τις
μεταβιβάσει με ασφάλεια στο
στερεό έδαφος θεμελίωσης, με το
οποίο συνδέεται μέσω στηρίξεων
(εφεδράνων και θεμελίων
διαφόρων μορφών)

o Είναι προφανές ότι το υπό μελέτη
συνολικό δομικό σύστημα
συμπεριλαμβάνει, εκτός από την
ίδια την κατασκευή, το έδαφος
θεμελίωσης και τις φορτίσεις.

Το Μηχανικό Προσομοίωμα
o Η πολυπλοκότητα της πραγματικής μηχανικής
συμπεριφοράς των δομικών συστημάτων μας αναγκάζει να
χρησιμοποιούμε λιγότερο
o ή περισσότερο απλοποιημένα μηχανικά Προσομοιώματα
προκειμένου να καταστεί δυνατός ο υπολογισμός των
εντάσεων και των παραμορφώσεων τους.
o Με τον όρο ‘μηχανικό προσομοίωμα’ χαρακτηρίζεται ένα
μοντέλο της κατασκευής, το οποίο προκύπτει μέσα από μια
ολόκληρη σειρά εξιδανικεύσεων της πραγματικής
κατασκευής, οι οποίες ισοδυναμούν με μικρότερες ή
μεγαλύτερες απλοποιήσεις.

o Με τον όρο ‘μηχανικό προσομοίωμα’ χαρακτηρίζεται ένα
μοντέλο της κατασκευής, το οποίο προκύπτει μέσα από μια
ολόκληρη σειρά εξιδανικεύσεων της πραγματικής
κατασκευής, οι οποίες ισοδυναμούν με μικρότερες ή
μεγαλύτερες απλοποιήσεις.
o Των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της κατασκευής (ανωδομής
και θεμελίωσης) και των μηχανικών ιδιοτήτων των δομικών
υλικών από τα οποία κατασκευάζεται οργανισμός της.
o Των ιδιοτήτων εδάφους πάνω στο οποίο θεμελιώνεται η
κατασκευή.
o Των χαρακτηριστικών των διαφόρων φορτίσεων στις οποίες
αναμένεται να υποβληθεί η κατασκευή.

Η Αρχή της Αρμονικής Ακρίβειας
o Είναι πρόδηλο ότι μόνο
μέσα από μία ώριμη
επιλογή προσομοιωμάτων
θα προκύψουν ρεαλιστικά
αποτελέσματα,
o δηλαδή αποτελέσματα που
θα αποδίδουν με επαρκή για
την εκάστοτε περίπτωση
ακρίβεια τη μηχανική
συμπεριφορά της
πραγματικής κατασκευής.

o Είναι επίσης αυτονόητο ότι
κανένα προσομοίωμα δεν
αποδίδει πλήρως την
πραγματικότητα και ότι εκ
τούτου οποιοδήποτε
προσομοίωμα είναι πάντοτε
επιδεικτικό βελτιώσεων.
o Εντούτοις, προσομοίωση
και υπολογισμός θα πρέπει
να διέπονται από την «αρχή
της αρμονικής ακρίβειας»

o η οποία επιβάλλει την
προσαρμογή των
δυνατοτήτων του μοντέλου
στις απαιτήσεις του εκάστοτε
προς επίλυση προβλήματος.
o Δεν έχει νόημα, π.χ., να
κάνουμε χονδροειδείς
απλοποιήσεις σχετικά με το
μηχανικό προσομοίωμα και
στη συνέχεια να το επιλύουμε
με τις πλέον ακριβές
μεθόδους υπολογισμού.

o Για το τρίπτυχο
«προσομοίωση-επίλυση-
αξιολόγηση» χρησιμοποιείται
ο όρος «ανάλυση» της
κατασκευής.

Απλοποιημένο Παράδειγμα
Κατασκευές και Προσομοιώματα
o Παρουσιάζεται σε αδρές γραμμές
ένα απλοποιημένο παράδειγμα
προσομοίωσης μια δικτυωτής
γέφυρας.

o Παρουσιάζεται σε αδρές γραμμές
ένα απλοποιημένο παράδειγμα
προσομοίωσης μια δικτυωτής
γέφυρας.
o Στο παράδειγμα αυτό ο δομικός
φορέας της γέφυρας απλοποιείται
με τρόπο που επιτρέπει τον
ανεξάρτητο και διαδοχικό
υπολογισμό περισσοτέρων επί
μέρους στατικών φορέων:

o Πρώτα υπολογίζεται η ένταση και
παραμόρφωση των διαμήκων
δοκών λόγω των διαφόρων
φορτίων που δέχονται (π.χ. από
τα διερχόμενα οχήματα).

o Κατόπιν υπολογίζεται η ένταση
και η παραμόρφωση των
εγκάρσιων δοκών.
o Ως φορτία τους λαμβάνονται οι
προηγούμενες υπολογισθείσες
αντιδράσεις στήριξης των
διαμήκων δοκών.
o Ο υπολογισμός γίνεται θεωρώντας
ότι οι εγκάρσιες δοκοί στηρίζονται
ακλόνητα επί των κύριων
δικτυωτών δοκών της γέφυρας.

o Τέλος υπολογίζεται η ένταση και
παραμόρφωση των κύριων
δικτυωτών δοκών.
o Ως φορτία τους λαμβάνονται οι
προηγούμενες υπολογισθείσες
αντιδράσεις στήριξης των
εγκαρσίων δοκών.
o Ο υπολογισμός γίνεται θεωρώντας
ότι οι κύριες δικτυωτές δοκοί
στηρίζονται ακλόνητα μέσω
κατάλληλων θεμελίων επι εδάφους
θεμελίωσης.

Προσομοιώσεις Υλικών Σωμάτων
o Μία σειρά εξιδανικεύσεων αφορά στα ίδια
τα υλικά σώματα και στη μηχανική
συμπεριφορά τους.
o Έτσι, ενώ μας είναι γνωστό ότι η ύλη
αποτελείται από μόρια, άτομα και διάφορα
υποατομικά σωματίδια που κινούνται που
κινούνται το ένα ως προς το άλλο σε
μεγάλες αποστάσεις σε σχέση με το ίδιο
τους το μέγεθός,

o απλοποιήσουμε την πραγματικότητα
αγνοώντας την ασυνεχή αυτή δομή των
υλικών σωμάτων και θεωρώντας τα ως
συνεχή μέσα,
o Δηλαδή ως αποτελούμενα από συνεχώς
κατανεμημένη ύλη.

o Η απλουστευτική αυτή παραδοχή αποδεικνύεται από την
εμπειρία μας ως πλήρως ικανοποιητική, εφόσον τα υλικά
σώματα που εξετάζουμε (δηλαδή τα δομικά στοιχεία και οι
δομικές κατασκευές) έχουν διαστάσεις πάρα πολύ
μεγαλύτερες από εκείνες των ατομικών σωματιδίων,
αποτελούνται δηλαδή από πρακτικώς άπειρα άτομα.
o Επίσης, υπό την επενέργεια εξωτερικών αιτιών (διάφορα
φορτία, θερμοκρασιακές μεταβολές κτλ.) τα συνεχή
σώματα μεταβάλλουν κατά κανόνα τη μορφή τους, είναι
δηλαδή γενικώς παραμορφώσιμα. Εντούτοις, σε πολλές
περιπτώσεις προβλημάτων η παραμόρφωση μπορεί να
θεωρηθεί αμελητέα

o Εντούτοις, σε πολλές περιπτώσεις προβλημάτων η
παραμόρφωση μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα (π.χ. η
παραμόρφωση ενός ογκώδους πεδίλου θεμελίωσης σε
σχέση με την παραμόρφωση του επ’ αυτού
υποστυλώματος), οπότε είναι θεμιτή η παραδοχή του
απολύτως στερεού σώματος, στο οποίο οι αποστάσεις
μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του παραμένουν
αναλλοίωτες.
o Ακόμη, όπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, χάριν
συστηματικότερης διαφόρων προβλημάτων εισάγεται και η
έννοια του υλικού σημείου, δηλαδή ενός υλικού σώματος
μηδενικών διαστάσεων, αλλά πεπερασμένης μάζας

o Τέλος, η υλική συμπεριφορά των παραμορφώσιμων
σωμάτων προσομοιώνεται περαιτέρω με πολλούς και
διάφορους τρόπους, π.χ. γραμμικά ελαστική,
ελαστοπλαστική κτλ., ανάλογα με το εκάστοτε προς
επίλυση πρόβλημα.
o Στο παρόν μάθημα η συμπεριφορά των υλικών θεωρείται
γραμμικά ελαστική και επομένως όλες οι παρουσιαζόμενες
εδώ μέθοδοι κινούνται μέσα στα όρια της θεωρίας της
ελαστικότητας και ειδικότερα της Ελαστοστατικής.

2.1 Το δομικό σύστημα και το υπολογιστικό του προσομοίωμα
2.2 Τα είδη των δομικών στοιχείων και η εξιδανίκευσή τους
2.3 Τα φέροντα χαρακτηριστικά των δομικών στοιχείων

Τα Είδη των Δομικών Στοιχείων
o Ο φέρων οργανισμός (δομικός φορέας) των κατασκευών
συντίθεται από επί μέρους φέροντα δομικά στοιχεία, τα
οποία είναι γενικώς τρισδιάστατα υλικά σώματα.
o Λόγω όμως της πολυπλοκότητας και των δυσκολιών που
παρουσιάζει η επίλυση τρισδιάστατων δομικών φορέων,
αναζητούνται τρόποι απλοποίηση τους και αναγωγής τους
σε φορείς μόνο μίας ή δύο διαστάσεων.

o Προς τούτο ταξινομούνται τα επί μέρους δομικά στοιχεία
από τα οποία συντίθενται οι κατασκευές:
o Με βάση τη γεωμετρική μορφή τους σε γραμμικά
στοιχεία, επιφανειακά στοιχεία και στοιχεία όγκου.
o Για κάθε γεωμετρική μορφή με βάση τη μηχανική τους
συμπεριφορά, τον τρόπο δηλαδή που καταπονούνται
κατά τη μεταβίβαση των φορτίων και καταναγκασμών
που δέχονται.

o Παράδειγμα 1ο: κύρια ξύλινη δοκό πατώματος, που στηρίζει
άλλες δευτερεύουσες, ενώ η ίδια στηρίζεται πάνω σε τρείς
τοίχους. Στο μοντέλο μας οι τοίχοι υποκαθιστούνται από
εξειδικευμένους συνδέσμους (τις τρείς στηρίξεις 1,2,3).

o Παράδειγμα 1ο: έχουμε μία κύρια ξύλινη δοκό πατώματος,
που στηρίζει άλλες δευτερεύουσες, ενώ η ίδια στηρίζεται
πάνω σε τρείς τοίχους. Η κύρια δοκός σχεδιάστηκε σαν μία
απλή γραμμή (κεντροβαρικός άξονας).

o Παράδειγμα 1ο: Επίσης οι στηριζόμενες δοκοί
υποκαταστάθηκαν από τα φορτία που αυτές μεταβιβάζουν
στη δοκό, τα οποία μάλιστα εξιδανικεύτηκαν με μοναχικά
φορτία. Το ίδιο βάρος της δοκού θεωρήθηκε αμελητέο.

o Παράδειγμα 2ο: Στον εξεταζόμενο
κτιριακό φορέα παραλείπονται
από το μοντέλο οι τοιχοποιίες.
o Επίσης στο μοντέλο, τα επι
μέρους δομικά στοιχεία
συνδέονται μεταξύ τους και με το
υπόβαθρο μέσω εξιδανικευμένων
συνδέσμων (στηρίξεων).
o Έτσι θεωρούμε ότι τα
υποστυλώματά και τα τοιχώματα
είναι πακτωμένα σε τελείως
απαραμόρφωτο έδαφος.

o Μονοδιάστατα ή ραβδόμορφα ή
γραμμικά στοιχεία:
o Στα γραμμικά δομικά στοιχεία οι 2
διαστάσεις (διαστάσεις b και h της
διατομής τους) είναι πολύ
μικρότερες από την τρίτη (το
αξονικό μήκος Lx).

o Μονοδιάστατα ή ραβδόμορφα ή
γραμμικά στοιχεία:
o Προκειμένου να επικεντρωθεί η
μελέτη στα ουσιώδη και να
απλοποιηθούν οι αναγκαίοι
υπολογισμοί,
o τα τρισδιάστατα στην
πραγματικότητα δομικά αυτά
στοιχεία αντικαθίστανται από μία
γραμμή που αντιπροσωπεύει τον
κεντροβαρικό τους άξονα.

o Δισδιάστατα ή επιφανειακά
στοιχεία:
o Σε αυτά τα στοιχεία η μία του
διάσταση (πάχος h) είναι μικρή
έναντι των άλλων δύο Lx και Ly.
o Στο μηχανικό προσομοίωμά
(στατικό μοντέλο) αρκεί η
απεικόνιση μόνο των δύο αυτών
διαστάσεων, ενώ το πάχος
υπεισέρχεται στους υπολογισμούς
ως απλή παράμετρος.

o Τρισδιάστατα στοιχεία ή
στοιχεία όγκου:
o Όλες οι διαστάσεις οφείλουν να
λαμβάνονται εξίσου υπόψη. Τα
στοιχεία αυτά χρησιμοποιούνται
για τη προσομοίωση ογκωδών
φορέων (π.χ. φράγματα όγκου),

o Τρισδιάστατα στοιχεία ή
στοιχεία όγκου:
o Όλες οι διαστάσεις οφείλουν να
λαμβάνονται εξίσου υπόψη. Τα
στοιχεία αυτά χρησιμοποιούνται
για τη προσομοίωση ογκωδών
φορέων (π.χ. φράγματα όγκου),
o για τη προσομοίωση περιοχών του
εδάφους θεμελίωσης και σε άλλες
περιπτώσεις, κυρίως μέσα στο
πλαίσιο της μεθόδου των
πεπερασμένων στοιχείων.

o Οι δράσεις (εξωτερικά φορτία και καταναγκασμοί) που
δέχεται ο φέρων οργανισμός μια κατασκευής
«παραλαμβάνονται» από τα δομικά της στοιχεία και
μεταφέρονται στη συνέχεια μέσω των στηρίξεων της στο
έδαφος θεμελίωσης.
Χαρακτηριστικά Δομικών Στοιχείων

o Οι δράσεις (εξωτερικά φορτία και καταναγκασμοί) που
δέχεται ο φέρων οργανισμός μια κατασκευής
«παραλαμβάνονται» από τα δομικά της στοιχεία και
μεταφέρονται στη συνέχεια μέσω των στηρίξεων της στο
έδαφος θεμελίωσης.
o Τα δομικά στοιχεία υφίστανται καταπονήσεις ανάλογα με το
είδος των δράσεων που είναι σε θέση να παραλάβουν. Η
προσομοίωση της φέρουσας συμπεριφοράς ενός
δομικού στοιχείου προς δημιουργία του τελικού
υπολογιστικού προσομοιώματος απαιτεί την εισαγωγή
κατάλληλων στατικών μεθόδων (δυνάμεις και μετακινήσεις,
εντάσεις και παραμορφώσεις)

o Γραμμικά στοιχεία: Ανάλογα με το είδος των δυνάμεων
που μπορεί να δεχθεί και να μεταφέρει ένα γραμμικό δομικό
στοιχείο, χαρακτηρίζεται ως ράβδος ή δοκός.
o Οι ράβδοι είναι ευθύγραμμα στοιχεία που μπορούν να
δεχθούν και να μεταφέρουν μόνον κατά τη διεύθυνση του
άξονα τους (αξονικές δυνάμεις, εφελκυστικές ή θλιπτικές),
μπορούν δηλαδή να καταπονηθούν μόνο σε διάταση
υφιστάμενα επιμηκύνσεις ή βραχύνσεις. Επειδή εξ ορισμού
μία ράβδος δεν μπορεί να παραλάβει ροπές και συνεπώς
δεν εκπονείται σε κάμψη συμβολίζεται με μία γραμμή
(=κεντροβαρικός άξονας) και δύο μικρούς κύκλους στα
άκρα της,

Γραμμικά στοιχεία - Ράβδοι:
o Επειδή εξ ορισμού μία ράβδος δεν μπορεί να παραλάβει
ροπές και συνεπώς δεν εκπονείται σε κάμψη συμβολίζεται
με μία γραμμή (=κεντροβαρικός άξονας) και δύο μικρούς
κύκλους στα άκρα της,
o οι οποίοι υποδηλώνουν εξιδανικευμένες (χωρίς τριβή)
καμπτικές αρθρώσεις, δηλαδή συνδέονται μεταξύ δύο
στοιχείων ή μεταξύ ενός στοιχείου και του υποβάθρου
στήριξης που δεν μπορούν να μεταφέρουν καμπτικές
ροπές.

o Η σαφέστερη περίπτωση ράβδων
είναι εκείνη στην οποία το
γραμμικό στοιχείο συνδέεται στα
άκρα του με πραγματικές
μηχανικές αρθρώσεις.
o Στην κατασκευή του σχήματος
διακρίνονται οι δύο λοξές
μεταλλικές ράβδοι κοίλης κυκλικής
διατομής (σωλήνες), οι οποίες
συγκροτούν μία μεταλλική δοκό
πρόβολο μεγάλου μήκους που
φέρει πλάκα οπλισμένου
σκυροδέματος.

o Μια παρόμοια κατασκευή με μία
λοξή ράβδο φαίνεται
απλοποιημένα στο κάτω σχήμα.
o Η ράβδος είναι στερεωμένη στον
φέροντα οργανισμό του κτιρίου
μέσω ενός αγκυρωμένου σ’ αυτόν
δακτύλιο (άρθρωση) και στη
μεταλλική δοκό μέσω ενός
συγκολλημένου σ’αυτήν δακτύλιο.
o Διαισθητικά αντιλαμβάνεται κανείς
ότι, λόγω των κατακόρυφων
φορτίων που θα δεχθεί η δοκός,
το σημείο σύνδεηση

o Διαισθητικά αντιλαμβάνεται
κανείς ότι, λόγω των
κατακόρυφων φορτίων που θα
δεχθεί η δοκός,
o το σημείο σύνδεσης της
ράβδου με τη δοκό
μετατοπίζεται προς τα κάτω,
αφού η ράβδος επιμηκύνεται
λόγω εφελκυσμού της.

3 Εισαγωγή στη μηχανική
3.1 Βασικές έννοιες και παραδοχές
3.2 Μονάδες
3.3 Αριθμητική ακρίβεια των αποτελεσμάτων

o Η έννοια του χώρου συνδέεται με τον προσδιορισμό της
θέσης ενός σημείου. Πράγματι η θέση οποιουδήποτε
σημείου μπορεί να οριστεί μονοσήμαντα από τρία μήκη
που μετρούν τις αποστάσεις του από ένα προκαθορισμένο
σημείο αναφοράς (την αρχή των συντεταγμένων),
παράλληλα προς τρείς διευθύνσεις.
o Τα μήκη αυτά αποτελούν τις συντεταγμένες του σημείου.
Έτσι ο χώρος που γίνεται αντιληπτός από την αίσθηση της
όρασης, εκφράζεται γεωμετρικά από τις βασικές αρχές της
Ευκλείδειας Γεωμετρίας του Σημείου, της Ευθείας, του
Επιπέδου και τις μεταξύ τους σχέσεις.
Βασικές έννοιες και παραδοχές
Εισαγωγή

o Ο Χρόνος ορίζεται και αυτός έμμεσα με βάση τις
ανθρώπινες αισθήσεις αλλά από τη παρακολούθηση της
εξέλιξης των φυσικών φαινομένων. Στη κλασσική
Νευτώνεια Μηχανική ο Χρόνος Θεωρείται ανεξάρτητος του
χώρου.
o Η Μάζα ενός σώματος εκφράζει το ποσό της ύλης που
περιέχεται σ ’αυτό. Αποτελεί επίσης ένα ποσοτικό μέτρο
της αντίστασης του σώματος στη μεταβολή της κινητικής
του κατάστασης (αδράνειας) και από την ΄άποψη αυτή
μπορούμε να συγκρίνουμε τη δράση ενός σώματος με
εκείνη κάποιου άλλου.
Εισαγωγή

o Η Δύναμη αποτελεί την αιτία που προκαλεί τη μεταβολή είτε
της κινητική κατάστασης είτε τη μορφής των σωμάτων.
Επομένως προκειμένου να ασχοληθούμε με την έννοια της
δύναμης θα ξεκινήσουμε από τις εντυπώσεις που
προέρχονται από τα αισθητήρια όργανα.
o Έτσι όταν ένα σώμα Σ1 που δέχεται μία ώθηση ή μία έλξη
από ένα άλλο σώμα Σ2 , μεταπίπτει από τη κατάσταση της
ηρεμίας στην οποία βρισκόταν, σε μία κατάσταση χρονικά
μεταβαλλόμενης κίνησης, λέμε ότι η επίδραση του Σ2 στο
Σ1 είναι μία δύναμη ത
𝐅 που προέρχεται από το Σ2 αλλά
εφαρμόζεται στο Σ1 . Ορίζουμε δηλαδή τη δύναμη από το
αποτέλεσμα της, ενώ η φύση της παραμένει άγνωστη.
Εισαγωγή

o Όταν με το σώμα μας ασκούμε επίδραση πάνω σε άλλο
σώμα μεταβάλλοντας έτσι τη κίνηση ή τη μορφή του, μας
δημιουργούνται διάφορες φυσικές εντυπώσεις, οπτικές,
μυϊκές, αφής κ.α. Πράγματι προκειμένου να θέσουμε σε
κίνηση ή να παρεμποδίσουμε τη κίνηση ενός σώματος,
διαπιστώνουμε ότι απαιτείται η άσκηση μυϊκής δύναμης.
o Επίσης αν κρατήσουμε με το χέρι μας ένα σώμα,
αισθανόμαστε το βάρος του ως πίεση πάνω στο χέρι μας,
που συνοδεύεται με μυϊκή ένταση που παρεμποδίζει τη
πτώση του σώματος. Από την άλλη πλευρά παρατηρείται ότι
όπου η αίσθηση της αφής δημιουργεί εντυπώσεις πίεσης,
εμφανίζονται παραμορφώσεις έμμεσα ή άμεσα αντιληπτές.
Εισαγωγή

o Διαμορφώνεται έτσι ένα σύνολο μεταβολών είτε στη κίνηση
είτε στη μορφή των σωμάτων στις οποίες κυριαρχεί η
εντύπωση και της έντασης, δημιουργώντας την έννοια της
μυϊκής δύναμης αλλά και του βάρους. Καταλήγουμε λοιπόν
στο κατάλληλο για τις ανάγκες τις Στατικής ορισμό της
δύναμης ως του φυσικού μεγέθους που μπορεί να
ισορροπήσει μυϊκή δύναμη ή βάρος.
o Με βάση τις έννοιες της Ύλης και του Χώρου που
αναφέρθηκαν παραπάνω, ορίζεται το Υλικό Σημείο ως
στοιχείο της ύλης που έχει πεπερασμένη μάζα και μηδενικές
διαστάσεις και όγκο. Το υλικό σημείο κατέχει μία ορισμένη
θέση στο χώρο ταυτιζόμενο με το αντίστοιχο γεωμετρικό
σημείο.
Εισαγωγή

o Η έννοια των μηδενικών διαστάσεων έχει συγκριτική σημασία
καθόσον αναφέρεται στις διαστάσεις του περιβάλλοντος
χώρου. Έτσι από την άποψη αυτή ως υλικά σημεία μπορούν
να θεωρηθούν σώματα με πραγματικά πολύ μικρές
διαστάσεις όπως μόρια, αλλά και με πολύ μεγαλύτερες όπως
τα ουράνια σώματα συγκρινόμενα με τις σχετικές αποστάσεις
τους.
o Για την ανάπτυξη της θεωρίας της Στατικής, γίνονται οι
θεμελιώδεις παραδοχές του Απολύτως Στερεού Σώματος
και της Συγκεντρωμένης Δύναμης, που συναρτώνται με τις
έννοιες του Υλικού Σημείου και της Δύναμης.
Εισαγωγή

o Αναλυτικότερα ως Απολύτως Στερεό Σώμα θεωρείται
οποιοσδήποτε συνδυασμός μεγάλου αριθμού υλικών σημείων
που χαρακτηρίζεται από συνέχεια στη κατανομή τους, οι
αμοιβαίες αποστάσεις των οποίων παραμένουν αναλλοίωτες,
όταν αυτό υπόκειται στην επίδρασή δυναμικών φορτίων.
o Βέβαια στη πράξη κανένα σώμα δεν είναι απόλυτα στερεό
καθόσον η εφαρμογή και της παραμικρότερης δύναμης
προκαλεί παραμορφώσεις, οι διαστάσεις των οποίων όμως
εφόσον είναι μικρές σε σχέση με εκείνες του σώματος,
μπορούν καταρχήν να παραληφθούν χωρίς σφάλμα.
o Η παραδοχή του Απολύτως Στερεού Σώματος είναι καθαρά
ιδεατή με γεωμετρικό μόνο χαρακτήρα
Εισαγωγή

o Η παραδοχή του Απολύτως Στερεού Σώματος είναι καθαρά
ιδεατή με γεωμετρικό μόνο χαρακτήρα και οι όποιες ιδιότητες
του υλικού σώματος δεν λαμβάνονται υπόψη κατά την
ανάλυση της εντατικής του κατάστασης.
o Γεννιέται λοιπόν το φυσικό ερώτημα πότε ένα συμπαγές σώμα
μπορεί να θεωρηθεί ως Απολύτως Στερεό Σώμα;
o Την απάντηση στο ερώτημα αυτό καθορίζουν δύο
παράγοντες, δηλαδή η σημασία που έχει το σφάλμα που
δημιουργείται από τη παράλειψή των παραμορφώσεων όπως
και η δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος με βάση τη
παραδοχή του Απολύτως Στερεού Σώματος.
Εισαγωγή

o Και το μεν σφάλμα από τη παράλειψη των παραμορφώσεων
ελέγχεται εύκολα με τη βοήθεια μαθηματικών σχέσεων που
εκφράζουν την ισορροπία του σώματος. Όσον όμως αφορά τη
δυνατότητα επίλυσης του προβλήματος η παραδοχή του Απολύτως
Στερεού Σώματος οδηγεί τη Τεχνική Μηχανική στη διαίρεση της στις
δυο βασικές περιοχές που αναφέρθηκαν, τη Μηχανική του
Στερεού Σώματος και τη Μηχανική του Παραμορφώσιμου
Σώματος.
o Πράγματι μία ολόκληρη κατηγορία προβλημάτων της Στατικής που
αναφέρονται στην εντατική κατάσταση ειδικών μηχανικών
συστημάτων, του ισοστατικούς φορείς, μπορεί να επιλυθεί με βάση
μόνο τις συνθήκες ισορροπίας του Απολύτως Στερεού Σώματος,
ενώ υπάρχουν άλλα προβλήματα όπου θα πρέπει να ληφθεί υπόψη
και η παραμόρφωση του σώματος.
Εισαγωγή

o Η δεύτερη παραδοχή που γίνεται αφορά τη Συγκεντρωμένη ή
Μοναχική Δύναμη και ως η δύναμή εκείνη η επίδραση της
οποίας συγκεντρώνεται σε ένα σημείο, το σημείο εφαρμογής. Η
έννοια της συγκεντρωμένης δύναμης είναι εντελώς θεωρητική
αλλά χρησιμοποιείται γιατί διευκολύνει σημαντικά την επίλυση
πολλών προβλημάτων της Μηχανικής.
o Πράγματι η αίσθηση της αφής, από την οποία όπως
προαναφέρθηκε σχηματίστηκε η παράσταση της μυϊκής
δύναμης, εκτείνεται στο τμήμα της επιφάνειας του χεριού επί του
οποίου γίνεται αντιληπτή η πίεση και όχι σε συγκεκριμένο
σημείο.
o Εν τούτοις επειδή η αποδοχή της ύπαρξης μοναχικών δυνάμεων
απλουστεύει σημαντικά τα προβλήματα γίνεται αποδεκτή.
Εισαγωγή

o Εκτός από τις παραδοχές αυτές όμως για τη θεμελίωση της
Στατικής του στερεού σώματος (Στερεοστατική) είναι
απαραίτητο να τεθούν και τα παρακάτω αξιώματα:
Εισαγωγή
1. Η αρχή του παραλληλογράμμου.
o Το αποτέλεσμα της δράσης δύο δυνάμεων F1
και F2 που ασκούνται συγχρόνως σε ένα
υλικό σημείο Α, είναι το ίδιο με εκείνη μία
δύναμης ഥ
𝐑 η οποία προκύπτει ως διαγώνιος
του παραλληλόγραμμου των δύο δυνάμεων.
o Η αρχή αυτή διατυπώθηκε για πρώτη φορά
από τον Ολλανδό μαθηματικό S. Stevin το
1586 και επαληθεύτηκε αργότερα από τον P.
Varignon.

2. Μετακίνηση δύναμης στο φορέα της. Το αποτέλεσμα μίας
δύναμης ത
𝐅 που δρα σε ένα στερεό σώμα (Σ) δεν μεταβάλλεται αν η
δύναμη μετακινηθεί σε οποιοδήποτε σημείο κατά μήκος του φορέα της.
Εισαγωγή
o Η μετακίνηση επιτρέπεται να γίνει και έξω από την
υλική περιοχή του σώματος, με την προϋπόθεση ότι η
δύναμη εξακολουθεί να ασκείται επί του σώματος.
o Για το σκοπό αυτό αρκεί να διευρύνουμε νοερά το
απόλυτα στερεό σώμα (Σ) δεδομένου ότι το
γεωμετρικό του σχήμα δεν επηρεάζει καθόλου την
επήρεια της δύναμης έτσι ώστε να περιλάβουμε το νέο
σημείο εφαρμογής της δύναμης.
o Υπό τη έννοια αυτή λοιπόν η δύναμη είναι ολισθαίνον
διάνυσμα στη Στερεοστατική, πράγμα που δεν
συμβαίνει στη Στατική του παραμορφώσιμου σώματος.

3. Στατική ισορροπία. Αν το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης δράσης
δύο δυνάμεων που δρουν επάνω σε ένα στερεό σώμα που βρίσκεται
σε ηρεμία, με εφαρμογή των παραπάνω αξιωμάτων είναι μηδέν, τότε
το σώμα διατηρεί τη κατάσταση της ηρεμίας.
Εισαγωγή
o Αν συνδυάσουμε το πρώτο και το τρίτο αξίωμα
προκύπτει ότι δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις που
ενεργούν επάνω σε ένα υλικό σημείο
αλληλοαναιρούνται και είναι σαν να μην υπάρχουν.
o Δηλαδή αν σε ένα σημείο που βρίσκεται σε ηρεμία
εφαρμοστούν δύο τέτοιες δυνάμεις, όπως π.χ. το
Β, τότε το σημείο θα εξακολουθήσει να βρίσκεται
σε κατάσταση ηρεμίας. Το συμπέρασμα αυτό με τη
βοήθεια του δεύτερου αξιώματος οδηγεί στο ότι,

δύο δυνάμεις με την ίδια ένταση και αντίθετες φορές, που ενεργούν
κατά το μήκος του ίδιου φορέα αλλά σε διαφορετικά σημεία του
ισορροπούν. Πράγματι, στο σώμα του σχήματος όπου δύο τέτοιες
δυνάμεις ενεργούν στα σημεία Α και Β της ευθείας (ε), είναι δυνατόν
Εισαγωγή
o Σύμφωνα με το δεύτερο αξίωμα να μεταφέρουμε τη
δύναμη ത
𝐅 από το σημείο Α στο σημείο Β οπότε
προκύπτουν στο Β δύο ίσης ένταση αλλά αντίθετης
φοράς δυνάμεις οι οποίες ισορροπούν.
o Παρατηρούμε δηλαδή ότι για τη Στερεοστατική όπου
ισχύει η αρχή του μη παραμορφώσιμου σώματος,
δεν ενδιαφέρει η φορά των αλληλοαναιρούμενων
δυνάμεων κάτι που δεν συμβαίνει στην Αντοχή των
Υλικών (κάθε Πέμπτη!), όπου Λαμβάνονται υπόψη
οι προκαλούμενες παραμορφώσεις.

o Π.χ. για την Στατική οι κατασκευές στο σχήμα (α) και (β), είναι
εντελώς ισοδύναμες και ανάγονται σε εκείνη του σχήματος (γ).
o Αντίθετα για τη Μηχανική του Παραμορφώσιμου σώματος τα
σχήματα (α) και (β) εκφράζουν αντίθετες καταστάσεις καθόσον υπό
Εισαγωγή
o την επήρεια των ίσης έντασης αλλά αντιθέτων
φορών δυνάμεων ത
𝐅,
o στο σχήμα (α) η ράβδος τείνει να μικρύνει
(θλίβεται)
o ενώ στο σχήμα (β) τείνει να μεγαλώνει
(εφελκύεται).

4. Δράση και αντίδραση.
o Οι αμοιβαίες δράσεις ανάμεσα σε δύο σώματα είναι δυνάμεις
που έχουν το ίδιο στήριγμα, ίσες εντάσεις και αντίθετες φορές.
o Σύμφωνα με την αρχή αυτή που διατυπώθηκε από τον Newton,
οι δυνάμεις στη φύση εμφανίζονται πάντοτε διπλές, η μία ενεργεί
επάνω στο σώμα που δέχεται τη δράση η δε άλλη με ίση ένταση,
αντίθετη φορά και συνευθειακή, επί του προκαλούντος τη
δύναμη.
o Επίσης με την έκφραση σώμα εννοείται το υλικό σημείο όπως
ορίστηκε παραπάνω. Η αρχή αυτή επαληθεύεται από τη
καθημερινή εμπειρία όπου Π.χ. πιέζοντας ένα αντικείμενο με το
χέρι μας αισθανόμαστε ότι και αυτό ασκεί πίεση επάνω στο χέρι
μας.
Εισαγωγή

o Στην Μηχανική χρησιμοποιούνται εν γένει οι μονάδες του
Διεθνούς Συστήματος (SI). Στο σύστημα αυτό η δύναμη είναι
παράγωγο μέγεθος και μετράται σε Νιούτον (Newton) 𝚴, που
ορίζεται ως η δύναμη που προκαλεί επιτάχυνση 1 Τ
𝑚 𝑠𝑒𝑐2
σε
μάζα 1 kg, δηλαδή 1 Ν = 1 kg = 1 Τ
𝑚 𝑠𝑒𝑐2
.
o Πρακτικά το (Ν) είναι μικρή μονάδα καθώς είναι περίπου ίση με
102 gr γι’ αυτό στη πράξη πολλές φορές χρησιμοποιείται το
πολλαπλάσιο του 1 kΝ = 1000 N . Άλλες μονάδες που
χρησιμοποιούνται στη πράξη είναι:
o 1 𝑙𝑏 = 1 𝑝𝑜𝑢𝑛𝑑 = 4,45 𝑁 και 1 𝑠𝑙𝑢𝑔 = 32,2 𝑙𝑏 = 143 𝑁
o 1 𝑘𝑝 = 1 𝑘𝑔𝑟 = 9,81 𝑁
o 1 𝑡𝑜𝑛 = 1000 𝑘𝑝
Μονάδες
Εισαγωγή

o Για το μήκος χρησιμοποιείται ως μονάδα
το μέτρο (m). Πολλές φορές όμως
ανάλογα με τη περίπτωση
χρησιμοποιούνται υποπολλαπλάσια του,
όπως 1 𝑐𝑚 = 10−2 𝑚, 1 𝑚𝑚 = 10−3 𝑚
o ενώ άλλες μονάδες που
χρησιμοποιούνται κυρίως στις
Αγγλόφωνες χώρες είναι όπως 1 𝑖𝑛 =
0,0254 𝑚, 1 𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛 = 0,3048 𝑚.
o Στο διπλανό σχήμα παρουσιάζονται
συγκριτικά οι μονάδες του
Αγγλοσαξονικού και του Διεθνούς
Συστήματος για τα βασικά μεγέθη της
Δύναμης, της Μάζας και του Μήκους.
Μονάδες
| Διδακτικές Σημειώσεις| Δ.Ι.Ε.Κ. Σίνδου, 6-11-2020 83
Εισαγωγή

o Η αριθμητική ακρίβεια της λύσης ενός προβλήματος εξαρτάται
κυρίως από δύο παράγοντες: (1) την ακρίβεια με την οποία
δίνονται τα δεδομένα και (2) την ακρίβεια των υπολογισμών.
o Έτσι λοιπών είναι λογικό ότι η ακρίβεια της λύσης δεν μπορεί να
υπερβαίνει το λιγότερο ακριβή από τους δύο αυτούς
παράγοντες.
o Για παράδειγμα αν το βάρος μίας γέφυρας είναι γνωστό ότι είναι
350 kΝ με πιθανό σφάλμα 450 Ν, δηλαδή είναι 350 ± 0,45 kΝ,
τότε το σχετικό σφάλμα που δίνει και το βαθμό ακρίβειας των
δεδομένων θα είναι:
0,45 Ν
350 kN
= 0,003 = 0,13%.
Αριθμητική ακρίβεια των αποτελεσμάτων
Εισαγωγή

o Αν λοιπόν η αντίδραση σε μία από τις στηρίξεις της γέφυρας
προκύψει από του υπολογισμούς ίση με 73,3251 kΝ, είναι χωρίς
σημασία αν θα γραφεί ακριβώς έτσι, καθώς το πιθανό σφάλμα
θα είναι στη περίπτωση αυτή 0,0013 ∙ 72,3251 ≈ 0,1 kN και
συνεπώς το αποτέλεσμα θα είναι 72,3251 ± 0,1 kΝ.
o Στην πράξη τα δεδομένα παρέχονται συνήθως με μία ακρίβεια
της τάξης του 0,2 % και συνεπώς με αυτή την ακρίβεια θα πρέπει
να εκτελούνται οι υπολογισμοί.
Αριθμητική ακρίβεια των αποτελεσμάτων
Εισαγωγή

4 Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών
4.1 Γενικά
4.2 Σύνθεσή και ανάλυση διανυσματικών δυνάμεων στο επίπεδο

o Κάθε οικοδόμημα είναι συνήθως μια χωρική κατασκευή. Γι’
αυτό και οι δυνάμεις που ενεργούν σε αυτό είναι
κατανεμημένες στο χώρο. Αλλά όπως απεικονίζουμε τα
οικοδομήματα σε επίπεδα – δε κάτοψη, εγκάρσια τομή,
διαμήκη τομή κλπ – έτσι εξετάζουμε τις περισσότερες
φορτίσεις και τις δυνάμεις που ενεργούν σε αυτά, καθώς
και τις φορτίσεις που προκαλούν, επίσης σε επίπεδα χάριν
απλοποίησης.
o Αυτά τα επιλέγουμε κατά κανόνα κάθετα (⊥) μεταξύ τους
προκειμένου να κατανοήσουμε ευκολότερα τη δράση των
δυνάμεων στο χώρο. Στις θεωρήσεις που ακολουθούν
κάνουμε αρχικά την
Γενικά
Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

o Στις θεωρήσεις που ακολουθούν κάνουμε αρχικά την ότι οι
εκάστοτε δυνάμεις που εξετάζουμε βρίσκονται σε ένα
επίπεδο. Μιλάμε τότε για Στατική του Επιπέδου και για
επίπεδες φέρουσες κατασκευές με καταπόνηση στο
επίπεδό του, σε αντίθεση με τη Στατική του Χώρου ή τις
χωρικές φέρουσες κατασκευές (όπως π.χ. καμπύλες
γέφυρες, χωρικά πλαίσια, τρούλοι και κελύφη).
Γενικά

o Στις θεωρήσεις που ακολουθούν κάνουμε αρχικά την ότι οι
εκάστοτε δυνάμεις που εξετάζουμε βρίσκονται σε ένα
επίπεδο. Μιλάμε τότε για Στατική του Επιπέδου και για
επίπεδες φέρουσες κατασκευές με καταπόνηση στο
επίπεδό του, σε αντίθεση με τη Στατική του Χώρου ή τις
χωρικές φέρουσες κατασκευές (όπως π.χ. καμπύλες
γέφυρες, χωρικά πλαίσια, τρούλοι και κελύφη).
o Οι απαιτήσεις προς τη Στατική συνίστανται αρχικά, στον
σίγουρο υπολογισμό των εξωτερικών δυνάμεων που
ενεργούν επάνω και μέσα σε μια κατασκευή και την
παρακολούθηση τους μέχρι τη διοχέτευση τους στο
έδαφος. Κατά τη διαδικασία αυτή τίθενται δύο προβλήματα.
Γενικά

o Κατά τη διαδικασία αυτή τίθενται δύο προβλήματα:
1. Η σύνθεση και η ανάλυση των δυνάμεων και
2. Η επίτευξη και ο έλεγχος της ισορροπίας
Γενικά

o Κατά τη διαδικασία αυτή τίθενται δύο προβλήματα:
1. Η σύνθεση και η ανάλυση των δυνάμεων και
2. Η επίτευξη και ο έλεγχος της ισορροπίας
o Η παρούσα ενότητα «Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και
ροπών» ασχολείται με το 1ο πρόβλημα, ενώ η επόμενη
ενότητα «ισορροπία, ασφάλεια έναντι ανατροπής και
ολίσθησης και προσδιορισμός κέντρων βάρους» με το 2ο
πρόβλημα.
Γενικά

o Για την επίλυση των δυο προβλημάτων μπορούμε να
χρησιμοποιήσουμε τόσο αναλυτικές όσο και γραφικές
μεθόδους.
o Οι αναλυτικές μέθοδοι είναι απλούστερες όταν πρόκειται
για παράλληλες δυνάμεις ή δυνάμεις που τέμνονται κάθετα,
προτιμώνται όμως σήμερα και γενικότερα.
o Οι γραφικές μέθοδοι είναι καταλληλότερες όταν πρόκειται
για δυνάμεις με τυχαία διεύθυνση. Απαιτούν όπως πάντα
ακριβή σχεδίαση υπό κλίμακα προκειμένου να
περιορισθούν σε ανεκτά όρια οι αναπόφευκτές ανακρίβειες.
Γενικά

o Οι γραφικές λύσεις έχουν συνήθως το πλεονέκτημα της
παραστατικότητας και έτσι οδηγούν γρηγορότερα στην
κατανόηση των στατικών μεθόδων.
o Στις γραφικές λύσεις τα διανύσματα των δυνάμεων
απεικονίζονται με ένα βέλος υπό μια ορισμένη κλίμακα, την
κλίμακα των δυνάμεων. Αυτός ο τρόπος απεικόνισης
χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τον Simon Stevin (1548-
1620).
o Εδώ θα πρέπει να παρατηρήσουμε πως η αρχή του
βέλους είναι το αρχικό σημείο του διανύσματος της
δύναμης και η μύτη του βέλους το τεχνικό σημείο της.
Γενικά

o Η κλίμακα των δυνάμεων (κλ.Δ.) πρέπει να επιλέγεται με
γνώμονα τα παρακάτω κριτήρια:
Γενικά

o Η κλίμακα των δυνάμεων (κλ.Δ.) πρέπει να επιλέγεται με
γνώμονα τα παρακάτω κριτήρια:
1. Σύμφωνα με το μέγεθος των δυνάμεων που θέλουμε να
απεικονίσουμε
2. Σύμφωνα με την επιφάνεια του χαρτιού σχεδίασης που
έχουμε στη διάθεση μας
3. Σύμφωνα με την επιδιωκόμενη ακρίβεια.
Γενικά

Παράδειγμα:
o Κλ. Δ. 1 𝑐𝑚 ≜ 5 kN
Γενικά

Παράδειγμα:
o Κλ. Δ. 1 𝑐𝑚 ≜ 20 kN
Γενικά

o Για το μονοσήμαντο καθορισμό μιας δύναμης στο επίπεδο
απαιτούνται τρία στοιχεία:
1. Το μέτρο, αποτελούμενο από την αριθμητική τιμή και τη
μονάδα μέτρησης
2. Η κατεύθυνση (διεύθυνση και φορά)
3. Το σημείο εφαρμογής
Το σημείο εφαρμογής του διανύσματος μιας δύναμης είναι το
σημείο στο οποίο η δύναμη ενεργεί στην κατασκευή ή στο
εξιδανικευμένο φέρον σύστημα.
Γενικά

o Όπως θα δούμε αργότερα, μία από τις μεθόδους της
Στατικής είναι να κόβουμε τις φέρουσες κατασκευές νοητά
σε κομμάτια και να εξετάζουμε το καθένα από αυτά
αυτόνομα.
o Όταν χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο πρέπει να
γνωρίζουμε σε ποιο από τα κομμάτια της φέρουσας
κατασκευής που δημιουργήσαμε νοητά με το κόψιμο
ενεργεί το διάνυσμα κάθε δύναμης.
o Εφόσον αυτή η αντιστοίχιση είναι σαφής, τότε, στα
προβλήματα που εξετάζουμε εδώ, τα διανύσματα των
δυνάμεων μπορούν να ολισθήσουν κατά βούληση επάνω
στη γραμμή δράσης τους, για την περαιτέρω αναλυτική ή
Γενικά

o γραφική εξέταση των φερόντων στοιχείων, επάνω στα
οποία δρουν τα διανυσματικά αυτά.
o Από τα εφαρμοσμένα διανύσματα λοιπόν επιτρέπεται να
γίνουν ολισθαίνονται διανύσματα.
Γενικά

o Αυτό ισχύει και όταν εξετάζουμε ολόκληρη τη φέρουσα
κατασκευή προκειμένου να βρούμε τις αντιδράσεις
στήριξης.
Γενικά

o Τα διανυσματικά μεγέθη με κατεύθυνση (διεύθυνση και
φορά), στα οποία μαζί με τις δυνάμεις ανήκουν και οι
ταχύτητες, οι επιταχύνσεις, οι μετατοπίσεις και οι ροπές, τα
διακρίνουμε σε ελευθέρα, ολισθαίνονται ή δεσμευμένα.
o Τα ελευθέρα διανύσματα μπορούν να ολισθαίνουν κατά
βούληση επάνω στη γραμμή δράσης τους καθώς και να
μεταφέρονται παράλληλα προς τον εαυτό τους.
Προσδιορίζονται πλήρως 1ον από το μέτρο και 2ον από την
κατεύθυνση.
o Τα ολισθαίνονται διανύσματα μπορούν να ολισθαίνουν
κατά βούληση επάνω στη γραμμή δράσης τους αλλά όχι
και να μεταφέρονται παράλληλα προς τον εαυτό τους.
Βοηθητικό υλικό – Δυνάμεις και φορτία

o Τα ολισθαίνονται διανύσματα μπορούν να ολισθαίνουν
κατά βούληση επάνω στη γραμμή δράσης τους αλλά όχι
και να μεταφέρονται παράλληλα προς τον εαυτό τους. Για
να προσδιορισθούν απαιτείται, εκτός από το μέτρο και την
κατεύθυνση, και ένα τρίτο στοιχείο, το οποίο είναι η θέση
της γραμμής δράσης τους, δηλ. η εξίσωση της ή ένα
οπουδήποτε σημείο της.
o Τα δεσμευμένα διανύσματα δεν επιτρέπεται ούτε να
ολισθήσουν επάνω στη γραμμή δράσης τους, ούτε να
μετατεθούν παράλληλα προς τον εαυτό τους. Το τρίτο
στοιχείο που απαιτείται για τον πλήρη προσδιορισμό τους
είναι το σημείο εφαρμογής.
Βοηθητικό υλικό – Δυνάμεις και φορτία

4 Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων και ροπών
4.1 Γενικά
4.2 Σύνθεσή και ανάλυση διανυσματικών δυνάμεων
4.2.1. Ανάλυση δυνάμεων

o Στα προβλήματα όπου πρέπει να συνθέσουμε ή να
αναλύσουμε διανύσματα δυνάμεων πρέπει αρχικά να
διαπιστώσουμε εάν οι γραμμές δράσης του τέμνονται σε
ένα σημείο η όχι.
Σύνθεση και ανάλυση διανυσματικών δυνάμεων

o Στα προβλήματα όπου πρέπει να συνθέσουμε ή να
αναλύσουμε διανύσματα δυνάμεων πρέπει αρχικά να
διαπιστώσουμε εάν οι γραμμές δράσης του τέμνονται σε
ένα σημείο η όχι.
o Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:
1. Οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε ένα
σημείο.
2. Οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε διάφορα
σημεία της επιφάνειας του χαρτιού σχεδίασης.

1. Οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε ένα σημείο
1.1 Ανάλυση Δυνάμεων
Το πρόβλημα της ανάλυσης μια δύναμης 𝐹 στο σημείο 𝛢 σε δύο
συνιστώσες με διευθύνσεις 1 και 2 επιλύεται γραφικά με τη βοήθεια
του παραλληλογράμμου των δυνάμεων:
Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών/

1. Οι γραμμές δράσης των δυνάμεων τέμνονται σε ένα σημείο
1.1 Ανάλυση Δυνάμεων
Το πρόβλημα της ανάλυσης μια δύναμης 𝐹 στο σημείο 𝛢 σε δύο
συνιστώσες με διευθύνσεις 1 και 2 επιλύεται γραφικά με τη βοήθεια
του παραλληλογράμμου των δυνάμεων:
Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών/
o Η αρχή της δύναμης μεταφέρεται στο
σημείο 𝛢. Κατόπιν, από το πέρας 𝛦
της δύναμης, φέρουμε παράλληλους
προς τις διευθύνσεις 1 και 2.

Δομική μηχανική (Structural mechanics)

Δομική μηχανική (Structural mechanics)

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Δομική μηχανική (Structural mechanics)