กรณฑ์ที่สอง

1. คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.3 เล่ม1
บทที่1 กรณฑ์ที่สอง
บทที่2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม
บทที่3 สมการกาลังสอง
บทที่4 พาราโบลา
บทที่5 พื้นที่ผิวและปริมาตร

2. คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.3 เล่ม1
บทที่1 กรณฑ์ที่สอง

3. กรณฑ์ที่สอง
ทบทวนความรู้กันก่อน
ความหมายของรากที่สอง
1. เมื่อ 𝑎 แทนจานวนจริงบวกใดๆ หรือศูนย์ (เขียนแทนด้วย 𝑎 ≥ 0)
รากที่สองของ 𝑎 คือจานวนที่ยกกาลังสองแล้วได้ 𝑎
ตัวอย่าง
9 เป็นรากที่สองของ 81 เพราะ92 = 81
-9 เป็นรากที่สองของ 81 เพราะ……….....
1
2
เป็นรากที่สองของ
1
4
เพราะ ……….....
−
1
2
เป็นรากที่สองของ
1
4
เพราะ ……….....
0.5 เป็นรากที่สองของ 0.25 เพราะ ……….....
-0.5 เป็นรากที่สองของ 0.25 เพราะ ……….....
2. เมื่อ 𝑎 เป็นจานวนจริงบวก รากที่สองของ 𝑎 มีสองรากคือ รากที่
สองที่เป็นบวก ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ √𝑎 (เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า
กรณฑ์ที่สองของ 𝑎) และรากที่สองที่เป็นลบ ซึ่งแทนด้วย
สัญลักษณ์ −√𝑎 เมื่อ 𝑎 = 0 รากที่สองของ 𝑎 คือ 0
ตัวอย่าง
รากที่สองของ 4 มีสองรากคือ √4 และ −√4
หรือ 2 และ -2
รากที่สองของ
25
36
มีสองรากคือ ........ และ .........
หรือ ........ และ .........

4. รากที่สองของ 0.49 มีสองรากคือ ........ และ .........
หรือ ........ และ .........
รากที่สองของ 17 มีสองรากคือ ........ และ .........
ในกรณีที่รากของสองของจานวนเต็มบวกไม่เป็นจานวนเต็ม รากที่
สองของจานวนเต็มบวกนั้นเป็นจานวนอตรรกยะ
3. เมื่อ 𝑎 เป็นจานวนจริงบวก (√𝑎)2
= 𝑎 และ (−√𝑎)2
= 𝑎
ตัวอย่าง
(√3)2
= 3
(−√54)2
= ...........
(√
5
6
)
2
= ...........
(√0.69)
2
= ...........
รากที่สองของแต่ละจานวนต่อไปนี้เท่ากับเท่าใด
1. 36
2. 196
3. 50

5. 4. 200
5.
16
81
6.
24
75
7. 0.16
8. 0.0049

6. ค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์ของจานวนใดๆ หาได้จากระยะที่จานวนนั้นอยู่ห่างจาก 0
บนเส้นจานวน เช่น
จากเส้นจานวน 2.5 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 2.5 หน่วย จึงกล่าวว่า
ค่าสัมบูรณ์ของ 2.5 เท่ากับ 2.5
จากเส้นจานวน −
3
4
อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ
3
4
หน่วย จึงกล่าวว่า ค่า
สัมบูรณ์ของ −
3
4
เท่ากับ
3
4
ค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริง 𝑎 ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เป็นจานวนจริงบวก
เสมอ และค่าสัมบูรณ์ของศูนย์เท่ากับศูนย์ เขียนแทนค่าสัมบูรณ์ของ 𝑎
ด้วย |𝑎|
เมื่อ 𝑎 > 0 ค่าสัมบูรณ์ของ 𝑎 เท่ากับ 𝑎 เมื่อ 𝑎 < 0 ค่าสัมบูรณ์ของ 𝑎
เท่ากับ – 𝑎 และเมื่อ 𝑎 = 0 ค่าสัมบูรณ์ของ 𝑎 เท่ากับ 0
นั่นคือ |𝑎| = 𝑎 เมื่อ 𝑎 > 0
|𝑎| = −𝑎 เมื่อ 𝑎 < 0
|𝑎| = 0 เมื่อ 𝑎 = 0
เช่น |8| = ..........
|−8| = ..........
|0| = ..........

7. กรณฑ์ที่สองของ 𝒂𝟐
เป็นเท่าไร?????
มาตอบคาถามกันก่อน
1. √32 = 3 หรือไม่
ตอบ
2. √32 เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ 3 หรือไม่
ตอบ
3. √(−9)2 = √92 หรือไม่
ตอบ
4. √(−9)2 = 9 หรือไม่
ตอบ
5. √(−9)2 เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ -9 หรือไม่
ตอบ
6. น้องๆ คิดว่า เมื่อ 𝑎 เป็นจานวนจริงใดๆ √𝑎2 เทากับค่าสัมบูรณ์ของ
𝑎 หรือไม่
ตอบ

8. √𝑎2 = |𝑎| เมื่อ 𝑎 เป็นจานวนจริงใดๆ
ตัวอย่างที่ 1 จงหา √36
ตัวอย่างที่ 2 จงหา −√81
ตัวอย่างที่ 3 จงหา √(−21)2

9. ตัวอย่างที่ 4 จงหา √
225
289
ตัวอย่างที่ 5 จงหา √0.25
ตัวอย่างที่ 6 จงหา −√(−0.09)2

10. ตัวอย่างที่ 7 จงทา √4𝑥2 เมื่อ 𝑥 > 0 ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ตัวอย่างที่ 8 จงทา √16𝑝2𝑞8 ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ตัวอย่างที่ 9 จงทา √1.44𝑚4𝑛12 ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

11. 1.1 สมบัติของ √𝒂 เมื่อ 𝒂 ≥ 𝟎
จานวนในรูป √𝑎 เมื่อ 𝑎 ≥ 0 มีสมบัติ 2 ข้อ ดังนี้
1. √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 เมื่อ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0
2.
√𝑎
√𝑏
= √
𝑎
𝑏
เมื่อ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 > 0
ตัวอย่างที่ 1 จงทา √8 ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ √32 × √2

12. ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธ์ของ
√8
√2
ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลัพธ์ของ √
81
625
ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลลัพธ์ของ √
𝑚4
25

13. ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าประมาณของ √12 (กาหนดให้ √3 ≈ 1.732)
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าประมาณของ 3√50 (กาหนดให้ √2 ≈ 1.414)
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าประมาณของ √
75
4
(กาหนดให้ √3 ≈ 1.732)
มาช่วยกันคิด
น้องๆ คิดว่า จากสมบัติ √
𝑎
𝑏
=
√𝑎
√𝑏
เมื่อ 𝑎 ≥ 0 และ 𝑏 > 0 ถ้า 𝑏 = 0 แล้ว
สมบัติข้อนี้จะยังเป็นจริงรึเปล่า

14. 1.2 การดาเนินการของจานวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง
เนื่องจากการบวกและการคูณจานวนจริงมีสมบัติการสลับที่ สมบัติ
การเปลี่ยนหมู่ และสมบัติการแจกแจง ดังนั้นการบวกการคูณในรูป √𝑎 เมื่อ
𝑎 ≥ 0 ก็สมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และสมบัติการแจกแจงด้วย
กล่าวคือ
สมบัติการสลับที่สาหรับการบวก
√𝑎 + √𝑏 = √𝑏 + √𝑎
เช่น √2 + √5 = √5 + √2
√6.5 + √3 = ........................
สมบัติการเปลี่ยนหมู่สาหรับการบวก
(√𝑎 + √𝑏) + √𝑐 = √𝑎 + (√𝑏 + √𝑐)
เช่น (√2 + √3) + √5 = √2 + (√3 + √5)
(√5 + √7) + √10 = ............................................
สมบัติการสลับที่สาหรับการคูณ
√𝑎 × √𝑏 = √𝑏 × √𝑎
เช่น √11 × √15 = √15 × √11
√17 × √9.3 = .............................

15. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มสาหรับการคูณ
(√𝑎 × √𝑏) × √𝑐 = √𝑎 × (√𝑏 × √𝑐)
เช่น (√5 × √19) × √23 = √5 × (√19 × √23)
(√7 × √13) × √69 = ..............................................
สมบัติการแจกแจง
√𝑎 × (√𝑏 + √𝑐) = (√𝑎 × √𝑏) + (√𝑎 × √𝑐)
และ (√𝑎 + √𝑏) × √𝑐 = (√𝑎 × √𝑐) + (√𝑏 × √𝑐)
เช่น √2 × (√3 + √5) = (√2 × √3) + (√2 × √5)
(√3 + √7) × √11 = (√3 × √11) + (√7 × √11)
(√7 + √19) × √23 =
…………………………………………….
(√7 × √2) + (√7 × √3) =
……………………………………………..
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 2√2 + 4√2

16. ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ √27 + √12
ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลบของ √50 − √8
ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลบของ 3√20 − √500

17. ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลลัพธ์ของ √450 + √200 − √72
ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลบวกของ 7√12 + √75 − 15√27
ตัวอย่างที่ 7 จงหาผลลัพธ์ของ (2√5 + 3√7) − (2√7 − 3√5)

18. ตัวอย่างที่ 8 จงหาผลลัพธ์ของ (7 + √32) − (4 + √8)
ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลคูณของ √2 × √10
ตัวอย่างที่ 10 จงหาผลคูณของ √12 × 2√3

19. ตัวอย่างที่ 11 จงหาผลลัพธ์ของ √3 × (√3 + √3)
ตัวอย่างที่ 12 จงหาผลลัพธ์ของ √2 × (√2 + √12)
ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลลัพธ์ของ √3 × (√15 − √75)

20. ตัวอย่างที่ 14 จงหาผลลัพธ์ของ 2√6 × (3√6 − 2√24)
ตัวอย่างที่ 15 จงหาผลลัพธ์ของ
2√242
√18
ตัวอย่างที่ 16 จงหาผลลัพธ์ของ
6√1125
√20

21. ตัวอย่างที่ 17 จงหาผลลัพธ์ของ 5√3 ×
−4
√27
ในกรณีที่ผลลัพธ์ที่ได้จากการดาเนินการเป็นเศษส่วนที่ตัวส่วนอยู่ใน
รูปกรณฑ์ที่สอง นิยมทาให้ตัวส่วนเป็นจานวนเต็มด้วยการคูณทั้งตัวเศษ
และตัวส่วนด้วยตัวส่วนนั้น เช่น
ตัวอย่างที่ 18 จงหาค่าประมาณของ √
25
2
(กาหนดให้ √2 ≈ 1.414)

22. ตัวอย่างที่ 19 จงหาค่าประมาณของ √
50
3
(กาหนดให้ √6 ≈ 2.449)
ตัวอย่างที่ 20 จงทา 2√5 +
3
√5
ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ช่วยกันคิดหน่อย
ซาร่าแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ข้อหนึ่งได้คาตอบเป็น 21√2 ซึ่งไม่ตรงกับ
เฉลย จึงให้สมชายช่วยคิดว่าตนทาผิดในขั้นตอนใด ทั้งสองคนพบว่า ซา
ร่าทาผิดในขั้นตอนสุดท้ายด้วยการนา √6 ไปคูณ แทนที่จะนาไปหาร
แสดงว่าคาตอบที่แท้จริงของปัญหานี้คืออะไร

23. 1.3 การนาไปใช้
ตัวอย่างที่ 1 การเดินทางไกลของลูกเสือหมู่หนึ่งเป็นไปตามผังดังรูป เริ่ม
ออกเดินทางจากจุด A ไปทางทิศเหนือ 7 กิโลเมตร ถึงจุด B แล้วเดินทาง
ต่อไปยังทิศตะวันออก 9 กิโลเมตร ถึงจุด C จากนั้นได้เดินทางต่อไปยังทิศ
เหนืออีก 6 กิโลเมตร จนถึงจุด D ซึ่งเป็นที่ตั้งค่ายพักแรม จงหาว่าที่ตั้งค่าย
พักแรมอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้นกี่กิโลเมตร
ตัวอย่างที่ 2 กล่องทรงลูกบาศก์ใบหนึ่งมีแต่ละด้านยาว 12 นิ้ว ดังรูป จงหา
ว่า 𝑎𝑐
̅̅̅ ยาวเท่าไร

24. ตัวอย่างที่ 3 ลานกีฬากลางแจ้งรูปวงกลมสองแห่ง สาหรับผู้ใหญ่และเด็ก
มีพื้นที่ 200π ตารางเมตร และ 50π ตารางเมตร ตามลาดับ จงหาว่ารัศมีของ
ลานกีฬาสาหรับผู้ใหญ่ยาวกว่ารัศมีของลานกีฬาสาหรับเด็กเท่าไร
ตัวอย่างที่ 4 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ 𝑎 หน่วย จะมีความสูงและ
พื้นที่เป็นเท่าไร

25. แบบฝึกหัด
ข้อที่ 1 จงทาจานวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ก. √112
ข. √(−17)2
ค. −√(
71
84
)
2

26. ง. √
9
16
𝑥6
𝑦8
จ. −√0.0625𝑎16𝑏24
ฉ. √200

27. ช. −√725
ซ. √7200

28. ข้อ 2 จงหาผลลัพธ์ของจานวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. √48 × √12
ข. √200 × √50
ค.
√98
√2

29. ง. √
121
625
จ. √0.0064 × √𝑎18
ฉ. √
484
𝑚28 เมื่อ 𝑚 ≠ 0

30. ข้อที่ 3 จงหาค่าประมาณของจานวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้
√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236
ก.√18
ข.−√
450
121

31. ค.7√3125
ง. 15
√2
จ.2√
98
3

32. ข้อ 4 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. 8√2 + 7√2
ข. 4√3 − √12

33. ค. √50 + √18 − √8
ง. √500 − 3√125 − √245

34. ข้อที่ 5 จงหาผลลัพธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. (2√6 + 4√3) + (8√3 − 5√6)
ข. (√180 − √72) − (√200 + √20)

35. ค. (√675 + √45) − (√300 − √125)
ง. (12√48 + 25) − (48 − 2√75)

36. ข้อ 6 จงหาผลลัพธ์ของแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. √7 × (2√7 + 5√5)
ข. (√12 + 3√72) × 2√3

37. ค. −6√175 ×
5
3√98
ง. 12√8 × (−√18) ×
3√2
72

38. จ. √
4
3
𝑦 × √3𝑦 เมื่อ 𝑦 > 0
ฉ.
√12𝑥3
√2𝑥
เมื่อ 𝑥 > 0

39. ข้อที่ 7 จงทาจานวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
ก. 5√11 −
7
√11
+
3
√11
ข. 2√50 +
6
√72
−4√162

40. ข้อที่ 8 จงหาผลลัพธ์ของ
√49𝑎2𝑏2+√(−5𝑎𝑏)2
(√2𝑎𝑏)
2 เมื่อ 𝑎 > 0 และ 𝑏 > 0
ข้อที่ 9 จงหาค่าของ 𝑎 เมื่อ
 𝑎2
= 441
 (𝑎 + 1)2
= 16

41.  √4𝑎 = 8
 √4(𝑚 + 1) = 20
ข้อที่ 10 กาหนดให้ ∆ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านประกอบมุม
ฉากยาวเท่ากันและมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13√2 หน่วย จงหาว่าด้าน
ประกอบมุมฉากแต่ละด้านยาวเท่าไร

42. ข้อ 11 จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมยาว
18√2 หน่วย
ข้อที่ 12 กาหนด ∆ ABC ดังรูป ถ้าความสูงจากจุด C เป็น 5√3 หน่วย จง
หาความยาวของด้าน BC

43. ข้อที่ 13 ลานสนามหญ้ารูปวงกลมสองแห่ง แห่งที่หนึ่งมีพื้นที่ 176 ตาราง
เมตร และแห่งที่สองมีพื้นที่ 44 ตารางเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางของสนาม
หญ้าแห่งที่หนึ่งยาวเป็นกี่เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของสนามหญ้าแห่งที่
สอง
ข้อที่ 14 บ้านของฮงซอลอยู่ในซอยซึ่งห่างจากถนนใหญ่ 50 เมตร บน
ถนนสายนี้ร้านอาหารอร่อยอยู่ห่างจากปากซอยบ้านของฮงซอลไป 100
เมตร ดังแผนภาพ ปกติฮงซอลจะใช้สองเส้นทางในการไปรับประทาน
อาหารร้านนี้คือ ไปถนนใหญ่แล้วเดินขึ้นไป กับทางลัดจากบ้านไป
ร้านอาหารโดยตรง ฮงซอลต้องการทราบว่าเส้นทางลัดที่ฮงซอลใช้ประจา
นั้นสั้นกว่าอีกเส้นทางหนึ่งกี่เมตร (กาหนด √5 ≈ 2.236)

44. ข้อ 15 ถังน้าทรงกระบอกใบที่หนึ่งสูง 7 ฟุต สามารถบรรจุน้าได้ 6,600
ลูกบาศก์ฟุต ถังทรงเดียวกันใบที่สองสูง 14 ฟุต สามารถบรรจุน้าได้
22,000 ลูกบาศก์ฟุต รัศมีของถังใบที่หนึ่งเป็นกี่เท่าของรัศมีของถังใบที่
สอง (กาหนดให้ π ≈
22
7
และ √15 ≈ 3.873)
ข้อที่ 16 จงหาค่าของ 𝑥 เมื่อ √𝑥 + 1 + √𝑥 + 6 = 5

45. ข้อที่ 17 จงหาค่าของ 𝑥 เมื่อ √𝑥 + 8 + √33 − 𝑥 = 9
ข้อที่ 18 จงหาค่าของ 𝑥 เมื่อ √𝑥 − 2 + √4 − 𝑥 = √𝑥 + 1