3. II.1. Vi phân cấp 1
Định nghĩa
Cho hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 xác định trên 𝐷 ⊂ ℝ2
và điểm 𝑥0,𝑦0 ∈ 𝐷. Khi đó, hàm 𝑓 𝑥, 𝑦
được gọi là khả vi tại 𝑥0,𝑦0 nếu số gia toàn phần
∆𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥,𝑦0 + ∆𝑦 − 𝑓 𝑥0,𝑦0
có thể biểu diễn được ở dạng: ∆𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝐴.∆𝑥 + 𝐵.∆𝑦 + 𝛼. ∆𝑥 + 𝛽. ∆𝑦
Trong đó: 𝐴, 𝐵 là các hằng số và 𝛼, 𝛽 → 0 khi ∆𝑥, ∆𝑦 → 0.
Thành phần 𝐴. ∆𝑥 + 𝐵. ∆𝑦 được gọi là vi phân toàn phần của hàm 𝑓 𝑥,𝑦 tại điểm
𝑥0,𝑦0 . Ký hiệu: 𝑑𝑧 𝑥0,𝑦0 hoặc 𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 .
𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝐴.∆𝑥 + 𝐵. ∆𝑦
Hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 được gọi là khả vi trong miền 𝐷 nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc
miền 𝐷.
4. Ví dụ II.1: Xét sự khả vi của hàm số 𝑧 = 𝑥3
+ 𝑦3
tại điểm 𝑥0,𝑦0 .
Dễ thấy hàm số 𝑧 = 𝑥3
+ 𝑦3
có miền xác định 𝐷 = ℝ2
nên 𝑥0,𝑦0 có thể là điểm bất kỳ.
Ta có:
Hiển nhiên hàm số 𝑧 = 𝑥3
+ 𝑦3
khả vi tại điểm 𝑥0,𝑦0 vì 𝐴, 𝐵 là các hằng số và 𝛼, 𝛽 → 0
khi ∆𝑥,∆𝑦 → 0. Ngoài ra, ta có:
𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 = 3𝑥0
2
.∆𝑥 + 3𝑦0
2
.∆𝑦
3 3 3 3
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 3 3
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
,
3 3 3 3
3 3 3 3
A B
f x y x x y y x y
x x y y x x y y x y
x x y y x x x x y y y y
5. II.1. Vi phân cấp 1
Định nghĩa
Khi xét ∆𝑓 𝑥0,𝑦0 , không phải lúc nào cũng dễ dàng xác định được 𝛼, 𝛽. Để cho đơn
giản, 𝛼∆𝑥 + 𝛽∆𝑦 được thay bởi 𝑜 𝜌 là VCB bậc cao tại lân cận điểm 𝑥0,𝑦0 . Khi đó:
Vậy 𝑓 𝑥, 𝑦 sẽ khả vi tại 𝑥0,𝑦0 nếu ∆𝑓 𝑥0,𝑦0 − 𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 là một VCB bậc cao tại lân
cận điểm 𝑥0,𝑦0 . Tức là:
2 2
0 0 0 0
0 0
0
lim , , lim 0
x
y
o
f x y df x y x y
0 0 0 0 0 0
0 0
, , ,
,
f x y f x x y y f x y
df x y A x B y
2 2
0 khi , 0
x y x y
0 0 0 0
2 2
0
0
, ,
lim 0
x
y
f x y df x y
x y
Hay với
0 0 0 0
, , ;
f x y df x y o
0
lim 0
o
6. II.1. Vi phân cấp 1
Định lý (điều kiện cần của sự khả vi)
Nếu hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 khả vi tại điểm 𝑥0,𝑦0 thì:
𝑓 𝑥,𝑦 liên tục tại 𝑥0,𝑦0 .
𝑓 𝑥,𝑦 có các đạo hàm riêng cấp 1 tại 𝑥0,𝑦0 và 𝐴 = 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 ,𝐵 = 𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 .
Định lý (điều kiện đủ của sự khả vi)
Nếu hàm 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 xác định trong một lân cận nào đó của điểm 𝑥0,𝑦0 và các đạo
hàm riêng 𝑓𝑥
′
,𝑓𝑦
′
liên tục tại 𝑥0,𝑦0 thì hàm 𝑓 𝑥,𝑦 khả vi tại 𝑥0,𝑦0 .
0 0 0 0 0 0
, , ,
f f
df x y x y x x y y
x y
7. II.1. Vi phân cấp 1
Tính chất của hàm số khả vi
Nếu 𝑥,𝑦 là các biến số độc lập thì ∆𝑥 = 𝑑𝑥,∆𝑦 = 𝑑𝑦. Khi đó, vi phân toàn phần của
hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 được viết dưới dạng:
Cho 𝑓 𝑥, 𝑦 và 𝑔 𝑥, 𝑦 khả vi tại 𝑥0,𝑦0 . Khi đó:
f f
df dx dy
x y
2
1)
2)
3)
4) 0
d a f df
d f g df dg
d f g g df f dg
f g df f dg
d g
g g
8. II.1. Vi phân cấp 1
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
Cho hàm 𝑓 𝑥,𝑦 khả vi tại 𝑥0,𝑦0 . Khi đó ta có:
∆𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝑓 𝑥,𝑦 − 𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 .∆𝑥 + 𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 .∆𝑦 + 𝛼.∆𝑥 + 𝛽. ∆𝑦
⟺ 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥0,𝑦0 + 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 .∆𝑥 + 𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 .∆𝑦 + 𝛼. ∆𝑥 + 𝛽.∆𝑦
⟹ 𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 𝑥0,𝑦0 + 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 𝑦 − 𝑦0
Công thức trên có thể viết lại: 𝑓 𝑥,𝑦 − 𝑓 𝑥0,𝑦0 ≈ 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 𝑑𝑦
hay ta có: ∆𝑓 ≈ 𝑑𝑓
9. Ví dụ II.2: Chứng minh rằng hàm số 𝑧 = 𝑥𝑒𝑥𝑦
khả vi tại 1,0 . Sử dụng kết quả này để
tính gần đúng giá trị 𝑧 1.1,−0.1 .
Ta có: 𝑧𝑥
′
= 𝑒𝑥𝑦
+ 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦
, 𝑧𝑦
′
= 𝑥2
𝑒𝑥𝑦
.
Các đạo hàm riêng trên liên tục trên ℝ2
nên cũng liên tục trong lân cận của điểm 1,0 .
Do đó, hàm số 𝑧 = 𝑥𝑒𝑥𝑦
khả vi tại điểm 1,0 .
Chọn 𝑥0,𝑦0 = 1,0 ⟹ ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 = 1.1 − 1 = 0.1
∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 = −0.1 − 0 = −0.1
So sánh với giá trị thực: 𝑓 1.1,−0.1 = 1.1 ⋅ 𝑒−0.11
≈ 0.98542
1.1, 0.1 1,0 1,0 1,0 1 1 0.1 1 0 1
.1
x y
f f f x f y
10. Ví dụ II.3: Xét sự khả vi của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 tại điểm 𝑂 0,0 .
Sử dụng định nghĩa về hàm khả vi, ta xét: ∆𝑓 0,0 = 𝑑𝑓 0,0 + 𝜀 𝜌 . 𝜌
với 𝜌 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2 → 0 khi ∆𝑥,∆𝑦 → 0
Ta có:
Giới hạn trên không tồn tại nên lim
𝜌→0
𝜀 𝜌 ≠ 0. Vậy 𝑓 𝑥,𝑦 không khả vi tại 𝑂 0,0 .
2 2 2 2
0 0 0
0 0
2
2 2 2
0 0
0
1 1
0,0 0,0
lim lim lim
cos sin
lim lim cos sin
x x
y y
x r
y
x y x y x y
f df
x y x y
x y r
x y r
11. II.1. Vi phân cấp 1
Vi phân của hàm hợp
Cho với 𝑥, 𝑦 là các biến độc lập. Khi đó, ta có:
Vi phân cấp 1 có tính bất biến về dạng.
,
,
,
f f u v
u u x y
v v x y
f u f v f u f v
df dx dy
u x v x u y v y
f u u f v v
dx dy dx dy
u x y v x
f
y
f
dx
f
d
x
dv
v
y
f
du
y
u
f f
df du dv
u v
12. Ví dụ II.4: Tìm 𝑑𝑓 của hàm hợp 𝑓 = 𝑓 𝑢,𝑣 = 𝑒𝑢𝑣
với 𝑢 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑦2
;𝑣 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦.
Ta có:
Với:
u v
df f du f dv
2 2
2 ; 2 3 2 3
;
uv uv uv uv
u v
u v
du d xy y dx xydy dv d x y dx dy
f e ve f e ue
2
2
2 2 3
2 2 3
uv uv
uv uv
df ve y dx xydy ue dx dy
e vy u dx e vxy u dy
13. II.2. Vi phân cấp cao
Định nghĩa
Cho hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥,𝑦 xác định trên 𝐷 ⊂ ℝ2
. Vi phân toàn phần (nếu có) cũng là hàm
của 2 biến 𝑥, 𝑦: 𝑑𝑓 = 𝑓𝑥
′
𝑥,𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦
′
𝑥,𝑦 𝑑𝑦
Vi phân toàn phần của 𝑑𝑓 (nếu tồn tại) được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 (gọi tắt là
vi phân cấp 2) của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 và được ký hiệu là 𝑑2
𝑓.
𝑑2
𝑓 = 𝑑 𝑑𝑓 = 𝑑 𝑓𝑥
′
𝑑𝑥 + 𝑓𝑦
′
𝑑𝑦 = 𝑓𝑥𝑥
′′
𝑑𝑥2
+ 2𝑓𝑥𝑦
′′
𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓𝑦𝑦
′′
𝑑𝑦2
Tổng quát, ta có định nghĩa của vi phân cấp 𝑛 của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 :
𝑑𝑛
𝑓 = 𝑑 𝑑𝑛−1
𝑓
Một cách hình thức, ta có công thức tính vi phân cấp 𝑛 (sử dụng nhị thức Newton):
n
n
d f dx dy f
x y
14. II.2. Vi phân cấp cao
Vi phân cấp cao của hàm hợp
Cho Khi đó: 𝑑2
𝑓 = 𝑑 𝑑𝑓 = 𝑑 𝑓𝑢
′
𝑑𝑢 + 𝑓𝑣
′
𝑑𝑣 = 𝑑 𝑓𝑢
′
𝑑𝑢 + 𝑑 𝑓𝑣
′
𝑑𝑣 .
Chú ý, 𝑢, 𝑣 là các hàm của 2 biến 𝑥, 𝑦 nên 𝑑𝑢,𝑑𝑣 không phải là hằng số. Do đó:
𝑑2
𝑓 = 𝑑 𝑓𝑢
′
.𝑑𝑢 + 𝑓𝑢
′
.𝑑 𝑑𝑢 + 𝑑 𝑓𝑣
′
.𝑑𝑣 + 𝑓𝑣
′
.𝑑 𝑑𝑣
Ở đây, 𝑓𝑢
′
,𝑓𝑣
′
là những hàm hợp 2 biến. Suy ra:
Vi phân cấp 2 không còn tính bất biến về dạng.
,
, .
,
f f u v
u u x y
v v x y
2 2
;
;
u u u v v v
u v u v
d f f du f dv d f f du f dv
d du d u d dv d v
15. Ví dụ II.5: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 và vi phân cấp 2 của hàm 𝑧 = ln 𝑥2
+ 𝑦
Ta có:
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 1 1
;
1 2 2 2
;
y x
z x z z z
x x y x y x y y
x y x y
z x z x x
x y x x y y x y x y
x y x y
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 4 1
z z z
d z dx dxdy dy
x x y y
y x x
dx dxdy dy
x y x y x y
16. Ví dụ II.6: Tìm 𝑑2
𝑓 của hàm 𝑓 𝑢, 𝑣 = 2𝑢 + 𝑣2
với 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥;𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
.
Ta có: 𝑑2
𝑓 = 𝑑 𝑑𝑓 = 𝑑 𝑓𝑢
′
𝑑𝑢 + 𝑓𝑣
′
𝑑𝑣
Trong đó:
2 2 2
2
2
u v
du y dx x
dv x
dy dx yd
f
f f
d y
v
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
d f d y dx xdy v xdx ydy
d y dx xdy d v xdx ydy
d y dx d xdy xdx ydy dv vd xdx ydy
2 2 2 2
2 2 ;
2 2 2 2 2 2 ; 2 2
d y dx dxd y dxdy d xdy dxdy
d xdx ydy d xdx d ydy dx dy dv d x y xdx ydy
2 2 2 2 2 2 2
12 4 8 16 4 12
d f x y dx xy dxdy x y dy
18. III.1. Đạo hàm theo hướng
Đặt vấn đề
Nếu tiếp tuyến (trong hình vẽ) nằm trên mặt phẳng không song song với bất kỳ trục
tọa độ nào thì độ dốc của nó tại 𝑥0,𝑦0 biểu thị điều gì?
19. III.1. Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa
Xét hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 xác định 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2
. Qua điểm 𝑀0 𝑥0,𝑦0 ∈ 𝐷𝑓, cho đường thẳng
định hướng ℒ với vectơ đơn vị 𝑢 𝑎, 𝑏 .
Nếu ℎ → 0 và tồn tại hữu hạn giới hạn
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm theo hướng
𝑢 𝑎, 𝑏 tại điểm 𝑀0 𝑥0,𝑦0 của hàm 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 .
Ký hiệu:
0 0
0 0
lim lim
h h
f M f M f M
h h
0 0 0
, ,
u u
f
M f M D f M
u
20. III.1. Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa
Nếu 𝑢 ∥ Ԧ
𝑖 thì:
Tuy nhiên, nếu không tồn tại đạo hàm riêng theo 𝑥 tại 𝑀0 thì vẫn có thể có đạo hàm
theo hướng tại 𝑀0.
(vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng chỉ là giới hạn một phía)
0
h M M
0 0 0 0
0 0
0
, ,
lim
h
f x h y f x y
f f
M M
u h x
⟹ Đạo hàm theo hướng của Ԧ
𝒊 1,0 tại 𝑀0 là đạo hàm riêng
theo 𝑥 tại 𝑀0, nếu đạo hàm riêng theo 𝑥 tại 𝑀0 tồn tại.
21. III.1. Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa
Nếu 𝑢 ∥ Ԧ
𝑗 thì:
Tuy nhiên, nếu không tồn tại đạo hàm riêng theo 𝑦 tại 𝑀0 thì vẫn có thể có đạo hàm
theo hướng tại 𝑀0.
(vì theo định nghĩa, đạo hàm theo hướng chỉ là giới hạn một phía)
0 0 0 0
0 0
0
, ,
lim
h
f x y h f x y
f f
M M
u h y
⟹ Đạo hàm theo hướng của Ԧ
𝒋 0,1 tại 𝑀0 là đạo hàm riêng
theo 𝑦 tại 𝑀0, nếu đạo hàm riêng theo 𝑦 tại 𝑀0 tồn tại.
0
h M M
22. III.1. Đạo hàm theo hướng
Định lý
Theo định nghĩa, ta có:
Lập hàm trong đó
Giả sử tồn tại 𝑓𝑥
′
, 𝑓𝑦
′
. Khi đó, ta có:
0
0
0
0 0 0 0
0
lim
cos , cos ,
lim
h
h
f M f M
f
M
u h
f x h y h f x y
h
0 0
cos , cos .
x x h y y h
,
g h f x y
h x h y h
g f x f y
, cos , cos
x y
g h f x y f x y
0 0 0 0
0 , cos , cos
x y
g f x y f x y
Khi ℎ = 0:
𝟏
23. III.1. Đạo hàm theo hướng
Định lý
Lập hàm trong đó
Giả sử tồn tại 𝑓𝑥
′
, 𝑓𝑦
′
. Khi đó, ta có:
0 0
cos , cos .
x x h y y h
,
g h f x y
h x h y h
g f x f y
, cos , cos
x y
g h f x y f x y
0 0 0 0
0 , cos , cos
x y
g f x y f x y
Khi ℎ = 0:
Mà
0
0 0 0 0
0
0
0 lim
cos , cos ,
lim
h
h
g h g
g
h
f x h y h f x y
h
0 0 0 0 0 0
1 , 2 & 3 , , cos , cos
f f f
x y x y x y
u x y
𝟐
𝟑
24. III.1. Đạo hàm theo hướng
Định lý
Nếu hàm 𝑓 𝑥,𝑦 tồn tại các đạo hàm riêng 𝑓𝑥
′
, 𝑓𝑦
′
tại điểm 𝑀0 𝑥0,𝑦0 thì đạo hàm theo
hướng 𝑢 = cos 𝛼 ,cos 𝛽 tại 𝑀0 𝑥0,𝑦0 của hàm 𝑓 𝑥,𝑦 được tính bởi công thức:
0 0 0
cos cos
f f f
M M M
u x y
25. III.1. Đạo hàm theo hướng
Ý nghĩa hình học
𝑀0
𝑀
𝑀′
𝑀0
′
𝑪
𝑻
𝑥
𝑦
𝑧
𝑶
𝒖
𝛼
𝑥0
𝑥0 + ∆𝑥
𝑦0 + ∆𝑦
𝑦0
ℎ = 𝑀0𝑀
0
f
M
u
Độ dốc của đường cong 𝐶 tại
điểm 𝑀0
′ theo hướng 𝑀0𝑀
Mặt cong 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦
26. III.1. Đạo hàm theo hướng
Chú ý
Nếu hàm số 𝑓 𝑥,𝑦 khả vi tại điểm 𝑥0,𝑦0 thì nó có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm
này.
Tuy nhiên, nếu hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm 𝑥0,𝑦0 thì không có
gì đảm bảo là hàm 𝑓 𝑥,𝑦 khả vi tại điểm 𝑥0,𝑦0 .
Ví dụ: Hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm 𝑂 0,0
nhưng không khả vi tại điểm này (sinh viên tự chứng minh).
27. III.2. Gradient
Định nghĩa
Cho hàm 𝑓 𝑥,𝑦 và giả sử rằng các đạo hàm riêng 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 ,𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 đều tồn tại. Khi
đó gradient của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 là một vectơ được định nghĩa như dưới đây:
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 Ԧ
𝒊 + 𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0 Ԧ
𝒋
hoặc 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 = 𝑓𝑥
′
𝑥0,𝑦0 ;𝑓𝑦
′
𝑥0,𝑦0
Ký hiệu: 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0.𝑦0 , 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 hoặc 𝛻𝑓 𝑥0,𝑦0 .
28. III.2. Gradient
Tính chất
Đạo hàm theo hướng 𝑢 = cos 𝛼 , cos𝛽 tại điểm 𝑥0,𝑦0 của hàm 𝑓 𝑥,𝑦 chính là tích
vô hướng của 2 vectơ: 𝑢 và 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 .
Ở đây, 𝜑 là góc tạo bởi 2 vectơ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 và 𝑢.
Nếu 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 = 0 thì 𝑓𝑢
′
𝑥0,𝑦0 = 0 với bất kỳ vectơ 𝑢 nào.
Nếu 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 ≠ 0 thì max 𝑓𝑢
′
𝑥0,𝑦0 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 khi 𝜑 = 0.
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
, , , cos
, cos , cos
f
x y grad f x y u grad f x y
u
f f
x y x y
x y
min 𝑓𝑢
′
𝑥0,𝑦0 = − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥0,𝑦0 khi 𝜑 = 𝜋.
30. Ví dụ III.1: Tính đạo hàm của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝑥 tại điểm 𝑀 1,2 theo hướng của
vectơ 𝑀𝑁 với 𝑁 3,0 .
Gọi 𝑢 = cos 𝛼 , cos𝛽 là vectơ đơn vị của 𝑀𝑁 2,−2 . Khi đó, ta có:
Ta lại có:
2 2
2 2
2 1 2 1
cos ; cos
2 2
2 2 2 2
2 2
2 1,2 2 1 2 6
2 1,2 2 1 2 4
x x
y y
f x y f
f xy f
1 1 2
1,2 6 4 2
2 2 2
f
u
31. Ví dụ III.2: Tính đạo hàm của hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3
− 3𝑥𝑦 + 4𝑦2
tại điểm 𝑄 1, −1 theo
hướng hợp với chiều dương của 𝑂𝑥 một góc 𝜑 = Τ
𝜋 6.
Gọi 𝑢 = cos 𝛼 , cos𝛽 là vectơ đơn vị của vectơ đi qua điểm 𝑄 1, −1 và hợp với 𝑂𝑥 +
một góc 𝜑 = Τ
𝜋 6. Khi đó:
Mặt khác:
3
cos cos
3 1
6 2 ;
2 2
1
cos sin
6 2
u
2
1, 1 6
3 3
1, 1 11
3 8
x
x
y
y
f
f x y
f
f x y
3 1 6 3 11
1, 1 6 11
2 2 2
f
u
