1. 1
APPENDICE A.1
I calcoli che seguono fanno riferimento al biossido di uranio, il risultato finale però vale anche per gli altri
elementi (ad eccezione dell’idrogeno e dell’ossigeno, per i quali sarà necessario apportare alcune
modifiche).
Dati x grammi di UO2 vogliamo sapere quanti atomi di U235 abbiamo. Sappiamo che 1 molecola di UO2 ha 1
atomo di uranio (arricchito, quindi sia U235 che U238) e 2 atomi di ossigeno. Quindi 1 molecola di UO2 avrà
massa pari a: ( . . ) = ( . . ) + (1 − )( . . ) + 2( . . ) = 269,898 . . .
= 3,4% ℎ .
Vogliamo ora sapere 1 mole di molecole di UO2 che massa ha in grammi. 1 mole di molecole corrisponde a
6,022× 10 , e ogni molecola ha una massa pari a 269,898 a.m.u.;
essendo 1 a.m.u. = 1,66054×10-24g abbiamo: (6,022× 10 )( 269,898 a.m.u.)
, ×
. . .
≅269,9 g
che rappresenta la massa di una mole di molecole di UO2.
Possiamo ora valutare quante moli di molecole ci sono in x grammi di UO2. In 269,9 g di UO2 vi è 1 mole di
molecole, quindi in x grammi ci saranno:
,
= ⟶ = ,
Passiamo ora dalle molecole agli atomi:
in una molecola di UO2 c’è 1 atomo di uranio e 2 di ossigeno, quindi 1 mole di molecole di UO2 contiene 1
mole di atomi di uranio e 2 moli di atomi di ossigeno. Di conseguenza in moli di molecole di UO2 ci
saranno moli di atomi di uranio:
= ⟶ =
1
Infine, 1 mole di atomi di uranio corrisponde a ℵ atomi di uranio (per definizione di mole), quindi moli
di atomi di uranio corrispondono a:
ℵ
= ⟶ ( ) = (ℵ )
Quindi, dato che conosciamo i grammi di combustibile (x grammi di UO2) e vogliamo sapere il numero di
atomi di fissile (U), mettendo tutto insieme andando a ritroso:
( ) = (ℵ ) =
ℵ
=
= ,
ℵ
=
=
ℵ
,
(1)
2. 2
Dove riscriviamo semplicemente ‘ℵ ’ come ℵ , inoltre la massa di combustibile può essere
scritta come: (x grammi di U) = = dove = 10,97 / è la densità teorica del
biossido di uranio; l’UO2 sotto forma ceramica è prodotto per sinterizzazione di polveri e in questo caso la
sua densità è pari al 95,5% di quella teorica. Quindi: = (0,955), per cui sostituendo nella (1):
( ) =
ℵ
( . . )
0,955 =
ℵ
( . . )
Per trovare il numero di atomi di uranio per unità di volume di combustibile, basta dividere primo e
secondo membro per il volume di UO2:
=
ℵ
( . . )
Da cui possiamo ricavarci il numero di atomi di U235 e U238 per unità di volume, sapendo che l’arricchimento
medio del combustibile (che prima abbiamo indicato con ‘a’) è pari al 3,4%; questo arricchimento non è
una percentuale in massa ma in atomi cioè (indicandolo con la lettera ‘x’):
x = nel nostro caso vuol di re che il 3,4% di atomi di uranio presenti sono di U235.
Quindi infine: =
ℵ
. .
= (1 − )
ℵ
. .
sto pesando su di una mole di molecole, la devo mettere in a.m.u. (il risultato non cambia).
Analogamente per gli altri elementi abbiamo: =
ℵ
. .
; =
ℵ
. .
;
e i valori delle densità sono: = 10,47 ; = 0,83 ; = 0,034 ; = 6,74
le densità atomiche relativamente alla cella elementare considerata saranno quindi, in generale: N = ·
dove F è la frazione volumetrica della sostanza considerata. Otteniamo così i valori trascritti
nell’esercitazione.
Consideriamo invece separatamente il caso dell’idrogeno e dell’ossigeno. In una molecola dì acqua ci sono
2 atomi di idrogeno, per cui seguendo il ragionamento fatto per l’uranio, dovremo moltiplicare la formula
generale della densità atomica per 2, essendoci 2 moli di atomi di idrogeno per ogni mole di molecola di
H2O, per cui: = 2
ℵ
. .
L’ossigeno invece è presente sia nella molecola d’acqua (1 mole di atomi di ossigeno per ogni mole di
molecola di acqua) che in quella di combustibile ( 2 moli di atomi di ossigeno per ogni mole di molecola di
biossido di uranio), sommando le due densità atomiche otteniamo la densità atomica totale di ossigeno
presente nella cella elementare (indicando con NO la densità atomica totale, quella relativa al
combustibile e quella relativa all’acqua):
NO = + = 2
ℵ
. .
+
ℵ
. .
3. 3
APPENDICE A.2
Sappiamo che 1 molecola di UO2 è composta da 1 atomo di U e 2 di ossigeno, quindi il suo peso molecolare
sarà (tenendo conto dell’arricchimento dell’U in fissile):
( . . ) . . . = [ (235) + (1 − )(238) + 2(16,0)] . . .
Ma sappiamo che 1 a.m.u. = 1,6605×10-24 g, per cui: [( . . ) . . .]
, ×
. . .
= ( . . ) di una
molecola di UO2. Ora, una mole di molecole di UO2 sono 6,022×1023 molecole, ed essendo il peso di una
molecola di UO2 ( . . ) , una mole di molecole avrà un peso pari a:
( . . ) (6,022 × 1023 ) = di UO2. Dato che in x grammi di UO2 ci sono 1 mole di molecole,
avendo a disposizione ‘y grammi’ di UO2 (sono i Kg di UO2 che vogliamo trasformare) posso calcolarmi
quante moli ci sono in ‘y grammi’ di UO2:
ℵ
= ⟶ =
ℵ
Ma sappiamo che 1 molecola di UO2 è costituita da 1 atomo di U, quindi x’ molecole di UO2 conterranno x’’
atomi di U:
1
1
= ⟶ =
1
1
Abbiamo quindi il numero di atomi presenti in ‘y grammi’ di biossido di uranio; vogliamo ora vedere a
quanti grammi di uranio corrispondono. Sapendo che il peso atomico di un atomo di uranio è di:
( . . ) = 235 + 238(1 − )
Che in grammi diviene: ( . . ) = ( . . ) (1,66054 × 10 ) , che moltiplicato per il numero di
atomi di uranio presenti nella massa di combustibile, ci fornisce la massa di uranio:
= ( . . )
Andando ora a ritroso e mettendo insieme le varie relazioni:
= ( . . )
1
1 ℵ
ma =
ℵ
( . . ) quindi:
, =
. .
. .
, (8)
Dove , sono i Kg di UO2, che posso riscrivere come: = dove ricordiamo
= (0,955), e volendola esprimere per unità di volume di combustibile (cioè i Kg di uranio per
unità di volume di biossido di uranio):
5. 5
a
A1
O
F
I
APPENDICE A.3
DISPOSIZIONE DEGLI ELEMENTI DI COMBUTIBILE NEL NOCCIOLO
Prendendo la sezione circolare del nocciolo, gli elementi di combustibile dovranno essere disposti
all’interno di questa in maniera simmetrica rispetto agli assi. Vediamo come procedere:
prendiamo una circonferenza di raggio generico ‘r’, e tracciamo due diametri perpendicolari tra loro:
Collegando i quattro punti di intersezione tra i diametri e il perimetro della
circonferenza, otteniamo il quadrato di area massima inscrivibile nella
circonferenza. Sappiamo che le diagonali di un quadrato oltre che essere uguali
(e lo sono perché corrispondono ai due diametri della circonferenza) devono
anche essere ortogonali tra oro, ma lo sono per ipotesi. Essendo poi i quattro
raggi perpendicolari tra loro, andranno ad individuare sulla circonferenza distanze
uguali (pari ai lati del quadrato).
Due raggi contigui qualsiasi, formano con il lato del quadrato che gli appartiene, un triangolo rettangolo la
cui ipotenusa è proprio il lato stesso. Quest’ultimo quindi sarà pari a: = √ + = √2
Definiamo altre due grandezze che ci serviranno in seguito:
· ‘a’ rappresenta l’altezza del triangolo rettangolo prima definito. Sappiamo che questa divide la base (lato
del quadrato) in due parti uguali, di modo che ‘a’ possa essere calcolato considerandolo come uno dei
cateti del triangolo rettangolo OFI: = − =
√
· l’area A1 è invece calcolata considerando che la differenza tra l’area del cerchio e quella del quadrato
massimo inscrivibile è divisa in quattro parti uguali, per cui: = =
Fatte queste premesse cerchiamo di capire come sia possibile disporre gli elementi di combustibile in una
circonferenza in maniera simmetrica.
Cominciamo col considerare ogni elemento di combustibile come se fosse una unità, e diciamo che il
numero di elementi trovati deve essere uguale all’area di una circonferenza. Voglio quindi avere una
circonferenza in grado di contenere gli elementi di combustibile trovati. Nota l’area, a questo punto mi
calcolo il raggio di questa circonferenza, raggio che moltiplicato per (√2) fornisce il lato del quadrato di
area massimo inscrivibile in suddetta circonferenza. Il valore numerico del lato corrisponderà al numero di
elementi di combustibile da disporre (in corrispondenza del lato stesso). Naturalmente questo valore non
verrà mai intero, ma sappiamo che non è possibile avere ad esempio 7,34 elementi di combustibile; per cui
si procede in questo modo:
si prendono i due numeri interi subito precedente e successivo al valore ottenuto (in questo esempio
quindi l=7 e l=8), approssimando quindi per difetto e per eccesso.
Otteniamo cosi due quadrati, uno più grande ed uno più piccolo della circonferenza. Ci calcoliamo ora
l’area indicata come A1 che in questo caso rappresenta, avendo già collocato il numero necessario di
elementi per riempire il quadrato, il numero rimanente di elementi da collocare “al di sopra” dei lati del
quadrato. Calcolata A1 nei due casi (con l=7 e con l=8), si vede che tra i due, quello che fornisce come
risultato un numero intero è quello giusto.
Si vede inoltre che se il numero totale di elementi di combustibile è pari, tra i due lati del quadrato
disponibili (approssimando per eccesso e per difetto) quello corretto è quello pari; e viceversa se il numero
totale di elementi è dispari. Se poi abbiamo un numero elevato di elementi di combustibile da disporre,
6. 6
x
r
O
una volta individuato il valore corretto del lato del quadrato, bisognerà capire come disporli (*).
Vediamo come funziona nel nostro caso, dove si tratta di disporre 156 elementi di combustibile nel
nocciolo. L’area del cerchio sarà quindi: = = 156 ⇒ = 7,04672564 , al quale corrisponde
un lato del quadrato pari a: = √2 = 9,965575968.
Si tratta ora di individuare il lato corretto:
= 9
= 10
⟶
= 81
= 100
⟶
=
−
4
= 18,75
=
−
4
= 14
Questo significa quindi che il “lato corretto” è l = 10, dato che il risultato di A1 è un numero intero; inoltre,
essendo appunto l = 10 questo implica che nel quadrato centrale verranno disposti 100 elementi di
combustibile, ed i restanti 56 intorno ai lati di questo quadrato. Quel ‘14’ sta ad indicare che nell’area
compresa tra quella della circonferenza e quella del quadrato verranno disposti 14 elementi di
combustibile.
(*)
Facendo la differenza tra il parametro ‘a’ , descritto precedentemente, e il
raggio della circonferenza, ci ritroviamo con una grandezza che chiamiamo ‘x’ :
x = r – a = r -
√
= r (1 -
√
) . In questo modo troviamo quante file di elementi di
combustibile bisognerà disporre “una sopra l’altra”. Naturalmente anche qui
avremo a che fare con un numero non intero; comunque a seconda di quale
approssimazione prendiamo (eccesso o difetto), ci porterà solo fuori o dentro la
circonferenza. Sarà comunque una disposizione corretta.
Nel nostro caso otteniamo: x = 2,0639 , cioè si potrebbero mettere due file e avanzerebbe comunque un
po' di spazio. Vediamo quindi quali sono le due configurazioni simmetriche ammesse nel nostro caso:
