Application of Residue Theorem to evaluate real integrations.pptx
Ejercicios resueltos-vectores-2016
1. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 0
2.12. PROBLEMAS RESUELTOS
2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A
⃗
⃗ | = 10 m , |B
⃗
⃗ | = 20 m, |C
⃗ | = 5 m, |D
⃗⃗ | = 22 m, α = 40°, φ =
75°, θ = 35° Hallar: a) σR−D b) RC−C
Solución:
21,712
288
,
68
-
90
288
,
68
,388
4
11,020
-
Rx
Ry
tg
resultante
vector
del
direccion
la
calcular
para
ngente
funcion ta
la
Aplicando
m
11,861
R
11,020
-
,388
4
Ry
Rx
R
:
Pitagoras
de
teorema
el
Aplicando
m
11,020
-
Ry
m
,388
4
Rx
75
sen
5
-
35
sen
22
40
sen
10
Ry
20
75
cos
5
40
cos
10
5
3
cos
2
2
Rx
Cy
-
Dy
Ay
Ry
B
-
Cx
-
Ax
Dx
Rx
Ry
Cy
-
Dy
Ay
Rx
B
-
Cx
-
Ax
Dx
Ry
V
Rx
V
Y
eje
y
X
eje
el
ene
vectores
de
sumatoria
Aplicando
2
2
2
2
Y
X
a) Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σR−D )
b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C
Datos
A = 10 m
α = 40°
B = 20 m
C = 5 m
φ = 75°
D = 22 m
θ = 35°
𝑨
⃗⃗
𝛼
𝑪
⃗
⃗
𝜑
𝑫
⃗⃗
𝜃
𝑩
⃗⃗
𝑨
⃗⃗
𝑩 𝛼
𝑪
⃗
⃗
𝜑
𝑫
⃗⃗
𝜃
Ax
Cx
Cy
Dx
Ay
Dy
R
Ǿ
Ry
Rx
β
𝑫
⃗⃗
𝜽
β
δ
𝑹
⃗⃗
288
,
33
712
,
21
5
3
90
90
90
𝑪
𝑹
⃗⃗
𝜑
15°°
𝛽
𝑪
𝑹𝑪−𝑪
834
,
8
)
712
,
21
15
cos(
020
,
11
)
15
cos(
m
R
R
R
R
C
C
C
C
C
C
2. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 1
2.12.2. Tres vectores de |A
⃗
⃗ | = 100 m, |B
⃗
⃗ | = 75 m y |C
⃗ | = 165 m, tienen como resultante |R
⃗
⃗ | qué forma 315° con el
vector B
⃗
⃗ , asimismo el vector B y C forman un ángulo de 250°. (Nota: los ángulos se miden en sentido contrario
de las agujas del reloj). Hallar: a) El ángulo que forma el vector A
⃗
⃗ con la resultante R
⃗
⃗ , b) La componente del
vector R
⃗
⃗ sobre el eje formado por el vector A-A.
Solución:
813
,
29
8627
,
0
2
sen
1
1,8627
2
sen
3648
,
1
sen
cos
2
1
100
75
70
cos
165
70
sen
165
sen
sen
cos
2
cos
B
Cx
Cy
sen
cos
B
Cx
Cy
sen
A
cos
A
B
Cx
Cy
Ay
Ax
Cy
Ay
x
Ax
Ry
Rx
2
Ec.
Ry
Cy
Ay
1
Ec.
Rx
x
Ax
Ry
V
Rx
V
Y
eje
y
X
eje
el
ene
vectores
de
sumatoria
Aplicando
2
2
2
2
2
2
Y
X
A
C
B
C
B
a) El ángulo que forma el vector A
⃗
⃗ con la resultante R
⃗
⃗
b) La componente del vector R
⃗
⃗ sobre el eje formado por el vector A-A.
Datos
A = 100 u
B = 75 u
C = 165 u
θ = 70°
R=
σ = 45°
Ax
θ
α
Cx
Ay
B
C
A
Cy
R
σ
Ry
Rx
B
α
A
θ
C
813
,
74
813
,
29
45
024
,
39
)
813
,
74
cos(
962
,
148
)
cos(
R
componente
la
de
Calculo
m
962
,
48
1
R
70
cos
165
75
813
,
29
cos
100
45
cos
R
x
Ax
Rx
1
Ec.
De
A
-
A
m
R
R
R
R
C
B
A
A
A
A
A
A
R
α
Ǿ
A
σ
R
Ǿ
A
A
RA-A
3. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 2
2.12.3. Tres vectores situados en un plano tienen de |A
⃗
⃗ | = 22 m, |B
⃗
⃗ | = 35 m y |C
⃗ | = 15 m de magnitud. El primero y
el segundo forman un ángulo de β=80º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de θ =130º.a)
Encontrar la magnitud del vector |L
⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los
vectores. b) Encontrar la magnitud del vector dado por F
⃗ = −2 ∙ A
⃗
⃗ + 3 ∙ R
⃗
⃗ (todos los ángulos se miden en
sentido anti horario).
Solución:
a) Encontrar la magnitud del vector |L
⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los vectores.
b) Encontrar la magnitud del vector dado por F
⃗ = −2 ∙ A
⃗
⃗ + 3 ∙ R
⃗
⃗
Datos
A = 22 m
B = 35 m
C = 15 m
𝛽 = 80°
θ = 30°
22
,
149
224
,
29
90
30
C
y
L
entre
angulo
del
Calculo
m
91
,
80
776
,
60
cos
22
2
901
,
30
3
2
22
2
901
,
30
3
cos
2
3
2
2
3
cosenos
de
teorema
el
Aplicando
2
2
2
2
2
F
F
A
R
A
R
F
𝑨
⃗⃗
θ
𝑪
⃗
⃗
𝑩
⃗⃗
𝛽 Bx
θ
Cx
By
C
B
Cy
A
β
776
,
60
90
224
,
29
180
180
180
29,224
776
,
60
1,787
087
,
15
26,968
Dx
Dy
)
tan(
vector
del
direccion
la
de
Calculo
m
901
,
30
R
26,968
087
,
15
Ry
Rx
vector
del
modulo
del
Calculo
m
26,968
Ry
m
087
,
15
Rx
30
5
1
80
35
Ry
30
cos
15
80
cos
35
22
Rx
Ry
By
Rx
Cx
Ry
V
Rx
V
Y
eje
y
X
eje
el
ene
vectores
de
sumatoria
Aplicando
2
2
2
2
Y
X
R
R
R
sen
sen
Cy
Bx
A
R
Ǿ
𝑪
⃗
⃗
β
φ
θ
𝑳
⃗
⃗
Ǿ
α
α
m
L
L
R
L
80
,
61
901
,
30
2
2
L
vector
del
modulo
del
Calculo
β
δ
𝟑 ∙ 𝑹
⃗⃗
−𝟐 ∙ 𝑨
⃗⃗
𝜶
∅
𝟑 ∙ 𝑹
⃗⃗
−𝟐 ∙ 𝑨
⃗⃗
𝑭
⃗⃗
∅
4. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 3
2.12.4. Cuatro vectores de |A
⃗
⃗ | = 50 u, |B
⃗
⃗ | = 75 u, |C
⃗ | = 90 u y D
⃗⃗ tienen como resultante |R
⃗
⃗ | = 50 u y se encuentra
en el tercer cuadrante formando un ángulo de 25° con la vertical , α = 40°, φ = 35°, θ = 75°. Hallar: a) El
ángulo que forma el vector D
⃗⃗ con la resultante R
⃗
⃗ b) El modulo y dirección del vector R1
⃗⃗⃗⃗ = 3 ∙ D
⃗⃗ +C
⃗
Solución:
a) El ángulo que forma el vector D
⃗⃗ con la resultante R
⃗
⃗
b) El modulo del vector R1
⃗⃗⃗⃗ = 3 ∙ D
⃗⃗ +C
⃗ y el ángulo que forma el vector R1 con el vector C
Datos
A = 50 u
B = 75 u
C = 90 u
α = 40°
𝜑 = 35°
θ = 70°
R= 50 u
σ = 65°
Dx
θ
Cx
Dy
B
C
D
Cy
R
σ
Ry
Rx
B
α
𝑫
⃗⃗
θ
𝑪
⃗
⃗
948
,
139
948
,
74
65
745
,
2
254
,
67
70
254
,
67
96,994
917
,
1
5
3
052
,
35
sen
sen
R
D
3
sen
sen
R
sen
D
3
sen
senos
los
de
teorema
el
Aplicando
994
,
96
052
,
35
cos
90
917
,
51
3
2
90
917
,
51
3
cos
3
2
3
cosenos
de
teorema
el
Aplicando
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
C
R
C
R
u
R
R
C
D
C
D
R
𝑩
⃗⃗
𝜑
By
Bx
α
𝜑
β
𝑨
⃗⃗ A Ay
Ax β
R
β
Ǿ
D
σ
052
,
35
948
,
74
70
180
180
180
948
,
74
-3,718
483
,
13
50,136
Dx
Dy
)
tan(
vector
del
direccion
la
de
Calculo
917
,
51
D
50,136
483
,
13
Dy
Dx
D
vector
del
modulo
del
Calculo
u
50,136
Dy
u
483
,
13
Dx
65
50
70
90
40
50
35
75
Dy
65
cos
50
70
cos
90
40
cos
50
35
cos
75
Dx
Ry
Cy
Ay
Dy
Rx
Cx
x
Bx
Ry
Cy
Ay
Dy
Rx
Cx
x
Bx
Ry
V
Rx
V
Y
eje
y
X
eje
el
ene
vectores
de
sumatoria
Aplicando
2
2
2
2
Y
X
D
u
D
sen
sen
sen
sen
By
A
Dx
By
A
Dx
γ
δ
3.𝑫
⃗⃗
𝑪
⃗
⃗
R1
⃗⃗⃗⃗
R1
C
β
γ
D
θ
δ
5. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 4
2.12.5. Dado los siguientes vectores en el espacio B
⃗
⃗ = (5,4,3) y F
⃗ = (2,3, −4) : a) realizar los gráficos, b) hallar los
vectores unitarios B
̂ y F
̂ c) Hallar los cosenos directores de los vectores B
⃗
⃗ y F
⃗
a) realizar los gráficos
B
⃗
⃗ = (5,4,3) F
⃗ = (2,3, −4)
b) hallar los vectores unitarios B
̂ y F
̂
c) Hallar los cosenos directores de los vectores B
⃗
⃗ y F
⃗
B
⃗
⃗ = (5,4,3) F
⃗ = (2,3, −4)
Bx= 5
By= 4
Bz= 3
𝐵
⃗
𝛼
𝜃
𝛽
Fx= 2
Fy= 3
Fz=- 4
𝐹
∅
𝛿
𝜑
k
j
i
k
j
i
u
Bz
By
Bx
ˆ
4243
,
0
ˆ
5657
,
0
ˆ
7071
,
0
b
071
,
7
ˆ
3
ˆ
4
ˆ
5
B
B
b
b
unitario
vector
del
Calculo
071
,
7
B
3
4
5
B
B
B
de
modulo
del
Calculo
2
2
2
2
2
2
k
j
i
k
j
i
u
Fz
Fy
Fx
F
ˆ
743
,
0
ˆ
557
,
0
ˆ
371
,
0
f̂
385
,
5
ˆ
4
ˆ
3
ˆ
2
F
F
f̂
f̂
unitario
vector
del
Calculo
385
,
5
F
4
3
2
F
F
de
modulo
del
Calculo
2
2
2
2
2
2
89
,
64
4243
,
0
071
,
7
3
B
cos
55
,
55
5657
,
0
071
,
7
4
B
cos
0
,
45
7071
,
0
071
,
7
5
B
cos
Bz
By
Bx
01
,
42
743
,
0
385
,
5
4
F
cos
15
,
56
557
,
0
385
,
5
3
F
cos
22
,
68
371
,
0
385
,
5
2
F
cos
Fz
Fy
Fx
6. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 5
2.12.6. Dado los vectores A
⃗
⃗ = (2,5, −3) y C
⃗ = (−3,4,4), a) Graficar los vectores b) Hallar el ángulo que forman los
vectores A
⃗
⃗ y C
⃗ en forma escalar , c) Hallar el ángulo que forman los vectores A
⃗
⃗ y C
⃗ en forma vectorial
a) Grafico de los vectores A
⃗
⃗ y C
⃗
b) Hallar el ángulo que forman los vectores A
⃗
⃗ y C
⃗ en forma escalar
c) Hallar el ángulo que forman los vectores A
⃗
⃗ y C
⃗ en forma vectorial
𝐴
∅
𝐶
𝑥
𝑦
𝑧
1
,
87
0,0507
4031
,
6
1644
,
6
2
C
A
C
A
cos
cos
C
A
C
A
2
C
A
4
3
-
4
5
3
-
2
4
,
4
,
3
2,5,-3
C
A
4031
,
6
4
4
3
C
1644
,
6
A
3
5
2
A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
u
C
Cz
Cy
Cx
u
Az
Ay
Ax
1
,
87
0,9987
4031
,
6
1644
,
6
4208
,
39
C
A
C
x
A
C
A
C
x
A
4208
,
39
C
x
A
23
1
32
C
x
A
ˆ
23
ˆ
1
ˆ
32
C
x
A
ˆ
)
5
(
)
3
(
)
4
(
2
ˆ
)
3
(
)
3
(
)
4
(
2
)
3
(
)
4
(
)
4
(
)
5
(
4
4
3
3
5
2
ˆ
ˆ
C
x
A
2
2
2
2
sen
sen
u
k
j
i
k
j
i
k
j
i
7. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 6
2.12.7. Si la superficie de un terreno tiene forma de un paralelogramo y está definido por dos vectores A(5,-3,3) km y
B( 6,3,-2) km. a) Graficar la forma del terreno, b) Hallar el área del terreno en forma vectorial, c) Hallar los
ángulos internos del terreno.
a) Graficar la forma del terreno
b) Hallar el área del terreno en forma vectorial
c) Hallar los ángulos internos del terreno.
06
,
109
2
94
,
70
2
360
2
2
360
360
2
2
angulo
del
94
,
70
9452
,
0
557
,
6
7
382
,
43
A
B
A
B
A
B
A
B
7
B
2
3
6
B
557
,
6
A
3
3
5
A
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Calculo
x
sen
sen
x
km
Bz
By
Bx
km
Az
Ay
Ax
𝐵
⃗
∅
𝐴
𝑥
𝑦
𝑧
∅
𝛼
𝛼
2
2
2
2
2
382
,
43
382
,
43
A
x
B
33
28
3
A
x
B
ˆ
33
ˆ
28
ˆ
3
A
x
B
ˆ
)
3
(
)
5
(
)
3
(
6
ˆ
)
2
(
)
5
(
)
3
(
6
)
2
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
3
3
5
2
3
6
ˆ
ˆ
A
x
B
km
Area
km
k
j
i
k
j
i
k
j
i
8. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 7
2.12.8. Dado los vectores A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ mostrados en la figura en donde |A
⃗
⃗ | = 30 m y |B
⃗
⃗ | = 50 m. Hallar : a) El producto
escalar A
⃗
⃗ oB
⃗
⃗ , b) Hallar el ángulo que forman A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ en forma vectorial.
a) El producto escalar A
⃗
⃗ xB
⃗
⃗
b) Hallar el ángulo que forman A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ en forma vectorial.
8
m
6
m
3
m
𝑨
⃗⃗
𝑩
⃗⃗
Y
X
Z
k
j
i
k
,
j
,
i-
,
b
k
,
j
,
i-
,
b
k
,
j
,
i-
,
k
j
i
F
F
m
F
Fz
Fy
Fx
F
F
H
N
F
N
F
H
736
,
28
368
,
14
38,314
B
5747
0
2874
0
7663
0
50
ˆ
B
B
5747
0
2874
0
7663
0
ˆ
5747
0
2874
0
7663
0
10,440
6
3
8
f̂
440
,
10
6
3
8
)
6
,
3
,
8
(
)
0
,
3
,
0
(
)
6
,
0
,
8
(
obtiene
se
grafico
Del
2
2
2
2
2
2
𝑯
⃗⃗⃗
𝑭
⃗⃗
𝑵
⃗⃗
𝒇
̂
2
2
2
2
2
2
2
57
,
1231
A
B
)
82
,
26
(
736
,
28
)
41
,
13
(
)
368
,
14
(
0
38,314)
(
A
B
82
,
26
41
,
13
0
736
,
28
368
,
14
38,314
A
B
escalar
producto
del
Calculo
82
,
26
41
,
13
0
A
894
0
447
0
0
30
ˆ
A
A
894
0
447
0
0
ˆ
894
0
447
0
0
6,708
6
3
0
ˆ
708
,
6
6
3
0
)
6
,
3
,
0
(
)
6
,
0
,
8
(
)
0
,
3
,
8
(
obtiene
se
grafico
Del
m
k
j
i
k
j
i
k
j
i
k
,
j
,
i
a
k
,
j
,
i
a
k
,
j
,
i
k
j
i
S
S
s
m
S
Sz
Sy
Sx
S
S
N
C
S
C
S
N
𝑪
⃗
⃗
𝑺
⃗
⃗
𝑵
⃗⃗
𝒔
̂
81
,
34
0,8210
30
50
57
,
1231
A
A
cos
cos
B
B
A
B
A
B
9. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 8
2.12.9. Dado los vectores A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ mostrados en la figura en donde |A
⃗
⃗ | = 10 m y |B
⃗
⃗ | = 20 m. Hallar :a) Hallar el
producto vectorial A
⃗
⃗ xB
⃗
⃗ , b) Hallar la componente del vector A
⃗
⃗ sobre eje formado por el vector B-B
a) Hallar el producto vectorial A
⃗
⃗ xB
⃗
⃗
b) Hallar la componente del vector A
⃗
⃗ sobre eje formado por el vector B-B
5
m
8
m
2
m
𝑨
⃗⃗
𝑩
⃗⃗
Y
X
Z
k
j
i
k
j
,
i-
,
b
k
j
,
i-
,
b
k
j
,
i-
,
k
j
i
F
F
m
F
Fz
Fy
Fx
F
F
H
N
F
N
F
H
0
428
,
7
18,57
B
0
3714
0
9285
0
20
ˆ
B
B
0
3714
0
9285
0
ˆ
0
3714
0
9285
0
385
,
5
0
2
5
f̂
385
,
5
0
2
5
)
0
,
2
,
5
(
)
8
,
2
,
0
(
)
8
,
0
,
5
(
obtiene
se
grafico
Del
2
2
2
2
2
2
k
j
i
k
,
j
,
i
a
k
,
j
,
i
a
k
,
j
,
i
k
j
i
S
S
s
m
S
Sz
Sy
Sx
S
S
N
C
S
C
S
N
702
,
9
425
,
2
0
A
9702
0
2425
0
0
10
ˆ
A
A
9702
0
2425
0
0
ˆ
9702
0
2425
0
0
8,246
8
2
0
ˆ
246
,
8
8
2
0
)
8
,
2
,
0
(
)
8
,
0
,
5
(
)
0
,
2
,
5
(
obtiene
se
grafico
Del
2
2
2
2
2
2
𝑪
⃗
⃗
𝑺
⃗
⃗
𝑵
⃗⃗
𝒔
̂
m
A
A
A
k
j
i
k
j
i
B
B
A
B
A
B
B
B
B
B
901
,
0
83
,
84
cos
10
cos
83
,
84
0,0901
10
20
702
,
9
425
,
2
0
0
428
,
7
18,57
cos
A
A
cos
cos
𝑯
⃗⃗⃗
𝑭
⃗⃗
𝑵
⃗⃗
𝒇
̂
k
j
i
k
j
i
k
j
i
ˆ
032
,
45
ˆ
166
,
180
ˆ
066
,
73
B
x
A
ˆ
)
425
,
2
(
)
57
,
18
(
)
4
,
7
(
0
ˆ
)
,702
9
(
)
57
,
18
(
)
0
(
0
)
,702
9
(
)
428
,
7
(
)
0
(
)
4
,
2
(
0
428
,
7
57
,
18
,702
9
425
,
2
0
ˆ
ˆ
B
x
A
10. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 9
2.12.10. La suma de de 2 vectores A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ es 5i + j + 3k, su producto vectorial A
⃗
⃗ xB
⃗
⃗ = -10i – j + 17k y su producto escalar
A
⃗
⃗ ∙ B
⃗
⃗ = 6 u. ¿Hallar los vectores A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ ?.
k)
0,054
3,351
244
,
0
(
B
y
k)
946
,
2
351
,
2
244
,
5
(
A
2
Solucion
k)
661
,
2
220
,
2
101
,
4
(
B
y
k)
339
,
0
220
,
3
899
,
0
(
A
1
Solucion
0,054
946
,
2
3
946
,
2
5
1
244
,
5
5
3
661
,
2
339
,
0
3
339
,
0
5
1
899
,
0
5
3
3,351
351
,
2
1
351
,
2
5
17
244
,
5
5
1
220
,
2
220
,
3
1
220
,
3
5
17
899
,
0
5
1
244
,
0
244
,
5
5
244
,
5
101
,
4
899
,
0
5
899
,
0
35
2
165
35
4
215
215
0
165
215
35
225
1
6
9
15
45
289
34
85
5
25
125
225
1
3
15
45
17
85
5
25
125
(25)
*
10
5
1
5
3
5
1
5
3
3
5
17
5
1
5
17
5
1
5
10
3
5
10
3
1
5
10
5
17
5
1
5
1
5
3
17
5
1
5
3
10
1
3
17
5
1
5
3
10
1
3
17
5
1
1
5
3
10
1
3
17
1
10
17
10
3
1
5
3
1
5
3
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
j
i
j
i
j
i
j
i
Bz
Bz
Az
Az
Bz
Bz
Az
Az
By
By
Ay
Ay
By
By
Ay
Ay
Bx
Bx
Ax
Bx
Bx
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Az
Az
Ay
Ay
Ax
Ax
Az
Az
Ay
Ay
Ax
Ax
Bz
Az
By
Ay
Bx
Ax
Bz
By
Bx
Az
Ay
Ax
B
A
Ay
Ax
Az
Ax
Ay
Ax
Az
Ax
Az
Ay
Ax
Ay
Ay
Ay
Ax
Ax
Az
Ax
Az
Az
Ax
Ax
Ay
Az
Az
Ay
Az
Ay
Ax
Ay
Ay
Ax
Ax
Az
Az
Ax
Ay
Az
Az
Ay
Ay
Bx
By
Ax
Az
Bx
Bz
Ax
Az
By
Bz
Ay
k
j
i
k
Ay
Bx
By
Ax
j
Az
Bx
Bz
Ax
i
Az
By
Bz
Ay
Bz
By
Bx
Az
Ay
Ax
B
x
A
Az
Bz
Ay
By
Ax
Bx
Bz
Az
By
Ay
Bx
Ax
k
j
i
k
Bz
Az
j
By
Ay
i
Bx
Ax
k
Bz
j
By
i
Bx
k
Az
j
Ay
i
Ax
B
A
11. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 10
2.12.11. Se tiene dos vectores A
⃗
⃗ y B
⃗
⃗ cuya suma es S
⃗ = A
⃗
⃗ + B
⃗
⃗ = −4î − 6ĵ + 2k
̂ paralelos entre si y cuyo producto
escalar es -22. Hallar dichos vectores
k)
4,954
2,862
908
,
1
(
B
y
k)
954
,
2
862
,
8
908
,
5
(
A
2
Solucion
k)
393
,
1
821
,
7
241
,
5
(
B
y
k)
607
,
0
821
,
1
241
,
1
(
A
1
Solucion
4,954
954
,
2
2
2
954
,
2
908
,
5
5
,
0
5
0
393
,
1
607
,
0
2
2
607
,
0
214
,
1
5
,
0
5
0
2,862
,862
8
6
6
862
,
8
908
,
5
5
,
1
5
1
821
,
7
821
,
1
6
6
821
,
1
214
,
1
5
,
1
5
1
908
,
1
5,908
4
4
908
,
5
241
,
5
241
,
1
4
4
241
,
1
3
2
22
3
4
14
14
0
22
14
3
0
22
14
3
22
,25
0
25
,
2
9
4
22
,5
0
,5
0
2
5
,
1
5
,
1
6
4
22
2
6
4
22
2
6
4
22
5
,
1
,5
0
0
5
,
1
0
2
0
3
0
4
6
0
4
2
0
6
2
0
4
6
0
4
2
0
6
2
0
0
0
0
0
0
2
6
4
2
6
4
2
6
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
j
i
j
i
j
i
j
i
Bz
Az
Bz
Az
Ax
,
Az
Bz
Az
Bz
Az
Ax
,
Az
By
Ay
By
Ay
Ax
,
Ay
By
Ay
By
Ay
Ax
,
Ay
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Az
Az
Ay
Ay
Ax
Ax
Az
Az
Ay
Ay
Ax
Ax
Bz
Az
By
Ay
Bx
Ax
Bz
By
Bx
Az
Ay
Ax
B
A
Ay
Ax
Az
Ax
Ay
Ax
Az
Ax
Az
Ay
Ax
Ay
Ay
Ay
Ax
Ax
Az
Ax
Az
Az
Ax
Ax
Ay
Az
Az
Ay
Az
Ay
Ax
Ay
Ay
Ax
Ax
Az
Az
Ax
Ay
Az
Az
Ay
Ay
Bx
By
Ax
Az
Bx
Bz
Ax
Az
By
Bz
Ay
k
j
i
k
Ay
Bx
By
Ax
j
Az
Bx
Bz
Ax
i
Az
By
Bz
Ay
Bz
By
Bx
Az
Ay
Ax
B
x
A
Az
Bz
Ay
By
Ax
Bx
Bz
Az
By
Ay
Bx
Ax
k
j
i
k
Bz
Az
j
By
Ay
i
Bx
Ax
k
Bz
j
By
i
Bx
k
Az
j
Ay
i
Ax
B
A
12. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 11
2.12.12. Hallar el vector unitario de un vector de módulo 20 que sea perpendicular a (2, –4, 0) y forme un ángulo de 30°
con (0, 0, 4).
k)
544
,
18
350
,
3
,700
6
(
A
1
Solucion
350
,
3
700
,
6
5
,
0
5
,
0
2
Ec.
De
700
,
6
896
,
44
120
,
56
25
,
1
400
880
,
343
25
,
0
400
544
,
18
5
,
0
400
1
Ec.
la
en
2
Ec.
y
3
Ec.
la
do
Reemplazan
3
Ec.
544
,
18
20
22
cos
20
4
20
4
0,0,4
,
,
4
,
0
,
0
,
,
cos
cos
22
angulo
un
formen
(0,0,4)
vector
el
con
vector
el
que
para
Condicion
2
Ec.
5
,
0
0
4
2
0
0
,
4
,
2
,
,
0
0
,
4
,
2
vector
el
con
vector
del
laridad
perpenticu
de
Condicion
1
Ec.
400
20
buscado
vector
al
Llamamos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
j
i
Ay
Ax
Ay
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Ax
Az
Ay
Ax
Az
Az
Az
Az
Az
Ay
Ax
Az
Ay
Ax
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
Ax
Ay
Ay
Ax
Az
Ay
Ax
B
A
B
A
Az
Ay
Ax
Az
Ay
Ax
A
k
Az
j
Ay
i
Ax
A
13. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 12
2.12.13. Hallar el volumen y superficie en forma vectorial de una prisma de base un hexágono de lado a y altura 4.a.
a
4.a
Y
X
Z
a
60°
60°
60°
a
a
392
,
10
60
12
4
3
3
:
1
Ec
la
en
el
do
Reemplazan
4
0
0
cos
0
0
cos
4
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
cos
volumen
del
Calculo
1
Ec
3
2
6
prisma
la
de
volumen
del
Calculo
)
0
;
4
;
0
(
)
0
;
0
;
(
)
;
0
;
cos
(
:
vectores
los
obtiene
se
grafico
Del
prisma
la
de
volumen
del
Calculo
a)
3
3
3
1
1
3
1
1
1
1
1
1
a
sen
a
sen
a
sen
a
a
a
sen
a
a
a
a
sen
a
a
a
sen
a
a
H
B
x
A
a
C
a
B
sen
a
a
A
T
T
T
T
T
𝑨
⃗⃗
𝑩
⃗⃗
𝑯
⃗⃗⃗
Y
X
Z
a
4.a
θ
𝑪
⃗
⃗
𝑯
⃗⃗⃗
Y
Z
4.a
a
𝑨
⃗⃗
𝑩
⃗⃗
X
Z
a
θ
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
196
,
2
60
4
6
4
6
6
6
6
2
6
2
6
:
total
Area
del
Calculo
0
0
0
0
cos
0
cos
i
0
0
0
0
0
0
cos
4
0
0
4
0
0
4
0
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
4
0
0
0
volumen
del
Calculo
)
0
;
4
;
0
(
)
;
0
;
0
(
)
0
;
0
;
(
)
;
0
;
cos
(
:
vectores
los
obtiene
se
grafico
Del
prisma
la
de
l
superficia
area
del
Calculo
b)
a
A
sen
a
A
sen
a
a
A
A
A
A
A
A
A
sen
a
A
sen
a
A
k
a
a
j
sen
a
a
a
sen
a
A
a
sen
a
a
B
x
A
A
a
A
a
A
k
j
i
a
k
a
j
a
i
a
a
A
a
a
H
x
C
A
a
H
a
C
a
B
sen
a
a
A
T
T
T
14. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 13
2.12.14. Una prisma de base un pentágono de lado b y altura 5 u tiene un volumen de 2000 u³ Hallar: a) El lado del
pentágono en forma vectorial b) La superficie externa de dicho pentágono en forma vectoria .
u
a
u
sen
b
sen
a
h
sen
a
h
a
a
sen
a
a
a
h
sen
a
h
a
sen
a
a
H
B
x
A
h
C
a
B
sen
a
a
A
T
T
T
971
,
12
249
,
15
b
2000
72
8506
,
0
5
5
,
2
5
,
2
5
,
2
:
1
Ec
la
en
el
do
Reemplazan
0
0
cos
0
0
cos
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos
volumen
del
Calculo
1
Ec
5
,
2
2
5
prisma
la
de
volumen
del
Calculo
)
0
;
;
0
(
)
0
;
0
;
(
)
;
0
;
cos
(
:
vectores
los
obtiene
se
grafico
Del
prisma
la
de
altura
la
de
Calculo
a)
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
𝑪
⃗
⃗
𝑯
⃗⃗⃗
Y
Z
5
a
𝑨
⃗⃗
𝑩
⃗⃗
X
Z
a
θ
²
24
,
1124
72
971
,
12
971
,
12
5
5
5
5
5
5
2
5
2
5
:
total
Area
del
Calculo
0
0
0
0
cos
0
cos
i
0
0
0
0
0
0
cos
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
volumen
del
Calculo
)
0
;
;
0
(
)
;
0
;
0
(
)
0
;
0
;
(
)
;
0
;
cos
(
:
vectores
los
obtiene
se
grafico
Del
prisma
la
de
l
superficia
area
del
Calculo
b)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
u
A
sen
A
sen
a
a
h
A
A
A
A
A
A
A
sen
a
A
sen
a
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k
a
a
j
sen
a
a
a
sen
a
A
a
sen
a
a
B
x
A
A
a
h
A
a
h
A
k
j
i
a
h
k
h
j
a
i
a
h
A
h
a
H
x
C
A
h
H
a
C
a
B
sen
a
a
A
T
T
T
Y
X
Z
b
5 u
𝑨
⃗⃗
𝑩
⃗⃗
𝑯
⃗⃗⃗
Y
X
Z
b
h=5
θ
b
5
,
0
b
72°
54°
54°
a
a
36°
a
b
a
a
b
sen
8506
,
0
5
,
0
36
15. DEPARTAMENTO DE FISICA DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
TEXTO DE FISICA I - CIV 121 GESTION 2016 Pag. 14
2.12.15. Cuatro vectores A
⃗
⃗ , B
⃗
⃗ , C
⃗ y D
⃗⃗ definen una prisma en el espacio, el vector de menor longitud es el vector que
define la prisma, A(5,5,3), B(-2,2,2), C(2,5,-2), D(-3,4,-1): Hallar el volumen de la prisma y
3
52
3
4
3
7
3
1
4
4
7
2
1
3
4
3
1
3
2
1
4
3
4
1
3
7
prisma
la
de
volumen
del
Calculo
)
3
;
2
;
1
(
)
2
;
2
;
2
(
)
1
;
4
;
3
(
)
4
;
3
;
4
(
)
2
;
2
;
2
(
)
2
;
5
;
2
(
)
1
;
3
;
7
(
)
2
;
2
;
2
(
)
3
;
5
;
5
(
:
vectores
los
obtiene
se
grafico
Del
prisma
la
de
volumen
del
Calculo
a)
u
H
N
x
L
H
H
B
D
H
D
H
B
N
N
B
C
N
C
N
B
L
L
B
A
L
A
L
B
𝐴
𝐵
⃗
𝐶
𝐷
⃗
⃗ 𝑵
⃗⃗
𝑳
⃗
⃗
𝑯
⃗⃗⃗
