3. Mechanics :-- is the area of physics concerned with the motions of macroscopic objects. ... It can also
be defined as a branch of science which deals with the motion and forces on bodies not in the quantum realm.
Mechanics is that branch of Physics in which we study about state of rest or motion of the material object of
particle and their aquarium under the action of the external force
The four fundamental concepts of classical mechanics discussed so far, i.e., space, time, mass, and force, allow us
to introduce the so-called kinetic units.
Statics:-- which deals with forces acting on and in a body at rest.
An object may be at rest when several forces are acting on it but they are in equilibrium condition.
In static measurement of time is not necessary.
kinematics:--which describes the possible motions of a body or system of bodies.
Kinematics the study of motion of material objects of particles without considering the causes of
motion is called kinematics.
In kinematics measurement of time is necessary .
The word kinematics has been derived from the Greek word Kinema which means motion.
kinetics:--which attempts to explain or predict the motion that will occur in a given situation.
Dynamics the study of motion of the material objects or particles by considering the causes of
motion forces is called dynamics.
In dynamics measurement of time is necessary .
The word dynamic has been derived from the Greek word dynamics which means power.
Since motion is caused by force source dynamics is is based on the concept of force.
4.
5. Rest:--Weuse the word‘rest’ veryoften. For example, whensomeoneis doing no work or lying on the bed, we
often say that the person is resting. Thismeans that the personis not moving. scientificallyas well, the word
‘rest’ has a similar meaning.
• Scientifically, we say an object is at rest whenthe position of the object does not change with time, with respect
to its surroundings.
Motion :--A body is said to be in motion if it changes its position with respect to its surroundings.
Basically, there are three types of Motion, Translatory motion, Rotatory motion, and Vibratory
motion. Some Other Examples of Motion are Linear motion, Random motion, Circular
motion, Uniform and Non-Uniform Motion.
Motion is change in position of an object with time.Motion of object along a
straight line is called rectilinear motion. Examples include flying kite, moving train,
earth’s rotation etc. Motion along a straight line
Motion along a straight line is described using only X-axis of the coordinate system.
Types of motion –
1) Rectilinear Motion- The motion in which a particle moves along a straight line is called
rectilinear motion. Example- Motion of a sliding body on an inclined plane.
2) Circular Motion- The motion in which a particle moves in a circular path is called circular
motion. Example- A string whirled in a circular loop.
7. 3) Oscillatory Motion- The motion in which a particle moves to and fro about a given point is
known as oscillatory motion. Example- Simple pendulum.
Types of Motion
In order to completely describe the motion of an object, we need to specify its position. For this, we need to
know the position co-ordinates. In some cases, three position co-ordinates are required, while in some cases
two or one position co-ordinate is required.
Based on these, motion can be classified as:
(i) One dimensional motion:- A particle moving along a straight-line or a path is said to undergo one
dimensional motion.
One dimensional motion the motion of an object is said to be One dimension if only one out of the three
coordinates which are required for specifying the position of the object changes with time.
For example, motion of a train along a straight line, freely falling body under gravity etc.
(ii) Two dimensional motion:-A particle moving in a plane is said to undergo two dimensional motion.
One dimensional motion the motion of an object is said to be One dimension if only two out of the three
coordinates which are required for specifying the position of the object changes with time .
For example, motion of a shell fired by a gun, carrom board coins etc.
(iii) Three dimensional motion:- A particle moving in space is said to undergo three dimensional motion.
One dimensional motion the motion of an object is said to be One dimension if all the three coordinates which
are required for specifying the position of the object changes with time.
For example, motion of a kite in sky, motion of aeroplane etc.
8. Point Object:-If the length covered by the objects are very large in comparison to the size of
the objects, the objects are considered point objects.
• Reference Systems:-The motion of a particle is always described with respect to a
reference system. A reference system is made by taking an arbitrary point as origin and imagining
a co-ordinate system to be attached to it. This co-ordinate system chosen for a given problem
constitutes the reference system for it. We generally choose a co-ordinate system attached to the
earth as the reference system for most of the problems.
Rest and motion are relative terms :-It means an object may be in a state of rest with
respect to one object but at the same time it will be at in state of motion with respect to
other object.
Absolute rest and motion are not known:- State of rest and motion of a body are said
to be absolute if a reference point is available which is fixed or at rest.Scince our earth is
revolving continuously around the sun so no such point is available on the earth. In a similar
manner the entire solar system rotates about the galastic centre and the cluster of galaxies
move with respect to other cluster.
Thus no object in the universe is in the state of absolute rest and has absolute motion also can
not be realised .Only relative term and the relative motion can be realise partially.
9. Note :- 1. We Can take any point as absolute according to our convenience.
2. Direction as well as distance both is required to know ones position.
Relative and Absolute Position
In the figure position of B with respect to A is ABEast
In Respect to C is CB North East.
Thus position of a particular point can vary with
different points
•This is known as Relative Position .
•But in order to consider all points in one frame we
need to consider one point as a absolute referral
point an position of all other points with respect to
that point will be their
Absolute Position.
For example consider 0 as a absolute point then
position of all other points with respect to 0 will be
their absolute position for B is OB in North East.
Similarly A is OA North West and So On.
south D
East
C
10. 1) Position - It is defined as the point where an object is situated. Position can be determined by the
coordinate axis that is, marked in units of length and that has positive and negative direction.
Example- If an object is situated at -1m then minus sign indicates that the position has negative direction but if
the object at 0m position then it will be said to be at rest.
2) Frame of Reference- The fixed point or place with respect to which the position velocity and acceleration
of a body is measured is known as frame of reference.
In order to know the change in position of an object, a reference point is required. Point O in the
figure is the reference point or Origin and together with three axes, this system is called
the coordinate system. A coordinate system with time frame is called frame of reference.
•Objects changing positions with time with respect to the frame of reference are in motion while
those which do not change position are at rest.
•For a moving car, for the frame of reference outside the car, it appears moving. While for the frame
of reference inside the car, the car appears stationary.
Frame of reference are of two types :-
1) Inertial frame of reference :- Any frame of reference which is either at rest or moving with uniform
velocity is called Inertial frame of reference.
Example :- A plane moving on a horizontal track with constant is an inertial frame reference.
2) Non-Inertial Frame of reference :- A frame of reference which is accelerated is called non-inertial frame
of reference.
Example :- Body falling down under the force of gravity.
11.
12. 3) Path length and Distance :- The path covered by a object in a given time interval, is called Path length or
Distance.
It is the distance between two points along a straight line. It is scalar quantity.
Example :- Suppose an object moves along xaxis to a distance of 100m from the origin in time
‘t’. Then the path length is 100m.
4) Displacement :- The shortest distance from the initial position to the final position of the
particle is called displacement. Displacement = x2 – x1
It is the change in position in a particular time interval. It is vector quantity. Change is position is
usually denoted by Δx (x2-x1) and change in time is denoted by Δt (t2-t1).
13. Speed :--Speed in Physics is the distance covered by an object in unit time.
In other words, the rate at which the object is moving is called speed.
Unit time may be a second, an hour, a day, or a year.
It tells us how fast or slow an object is moving.
Speed is the scalar Quantity.
SI unit of speed is m/s.
Other units like kilometer per hour, miles per hour, feet per second are also used.
Here S is the distance covered by the object, V is its speed, and t is the time taken by it.
S = d / t
Dimensional formula is M0L1T-1
14. 1)Uniform Speed:--The body has uniform speed if it covers equal distances in
equal intervals of time however short the interval may be.
In the equation, S=v. t
v is the average speed of a body during time t. It is because the speed of the body may be
changing during the time interval t
2)Non Uniform Speed:-“A body does not have uniform speed if it does not cover
the equal distance with an equal interval of time.”
3)Average Speed :- Average speed is defined as the ratio of Total distance travelled to the
Total time taken.
Average Speed = Total Distance travelled /Total time taken
4)Instantaneous Speed :- When a body is moving with variable speed then the speed of a
body at any instant of time is called instantaneous speed.
s = ds/ dt
The speedometer of an automobile indicate its instantaneous speed.
15. Velocity :- The rate of change in position or displacement of an object with time is called the
velocity of that object.
Velocity = Displacement/ Time
1)Uniform Velocity :- An object could have uniform velocity if it covers equal displacement
in equal interval of time.
2) Non-Uniform Velocity :- A body said to be move with non-uniform velocity if it covers
unequal displacement in equal interval of time.
3)Average Velocity :- Average velocity is defined as ratio of total Displacement to the total
time taken.
Average Velocity = Total Displacement /Total time taken
4)Instantaneous Velocity :- Instantaneous of a particle is defined as the velocity of a
particle at any instant of time. V = dx/ dt
16. Velocity :--
“The rate of displacement of a body is called its velocity.”
The velocity tells us not only the speed of a body but also the direction along which the body is
moving.
The velocity of a body is a vector quantity.
It is equal to the displacement of a body in unit time. And is represented as:
Velocity = displacement / time
V = d/t
SI unit of velocity is the same as speed i.e., meter per second.
1)Non Uniform velocity:-“A body has uniform velocity if it dose not covers equal displacement in
equal intervals of time.
2)Uniform velocity:-“A body has uniform velocity if it covers equal displacement in equal intervals of
time however short the interval maybe.”In equation( d=v .t ) v is the average velocity of a body
during time t . It is because the velocity of the body may be changing during the time interval.
However, in many cases, the speed and direction of a body do not change. In such a case the body
possesses uniform velocity. That is the velocity of a body during any interval of time has the same
magnitude and direction.
3) Average velocity:-- is the total displacement covered in any direction in a total interval of time.” or
ratio of total displacement to time.
17. Acceleration :- The rate of change of velocity of an object with time is called the acceleration
of a body.
Acceleration = Change in Velocity /Time taken
1)Average Acceleration :- Average acceleration is defined as the change in velocity of a
body divided by total time taken.
Average acceleration = v/ t
2) Instantaneous acceleration :- It is defined as the acceleration of an object at any
instant of time during its motion.
Instantaneous acceleration = dv /dt
3)Uniform acceleration :- The motion of a body whose acceleration is constant is known as
uniformly accelerated motion.
4) Non-Uniform acceleration :- The motion of an object having variable acceleration is
known as non-uniform accelerated motion.
4) Instantaneous velocity :- It is defined as the velocity of an object at any instant of time
during its motion.
Instantaneous velocity = ds /dt
18.
19. Distance Displacement
It is a magnitude that measures
the length that is traveled by an
object from one point to another.
It is a magnitude that measures
the variation of the position of a
body between two points,
considering a starting point and an
endpoint.
It is considered a scalar
magnitude.
It is considered a vector
magnitude.
It depends on the path that the
object follows.
It does not depend on the path
that the object follows.
It is expressed by a number and a
unit of magnitude frequently in
meters.
In physics, it is expressed by a
module (value), unity, direction,
and meaning.
It is obtained from the sum of all
the lengths traveled by an object.
It is obtained from the difference
in the length value of an endpoint
and an initial point of an object.
Difference between Distance and Displacement
20. Speed Velocity
Speed is the distance covered
by a body
in unit time.
Velocity is the
displacement covered by
a body in a unit time.
It is a scalar quantity. It is a vector quantity.
It Determines “How fast an
object
is moving”?
It determines “In which
direction an object is
moving”?
It indicates the rapidity of
objects.
It indicates both the
rapidity and position of
the object.
It is the rate of change of
distance.
It is a rate of change of
displacement.
It cannot be negative.
The velocity of moving
Objects can be negative,
positive or can be zero.
Difference between speed and velocity
23. 1S T EQUATION OF MOTION
Consider an object which is moving along a straight line
path with uniform acceleration .
u= initial velocity of object velocity at time t=0 .
v= velocity of object after time t.
S= displacement covered by the object in time t.
The velocity time graph of the object is represented by
the line OB
acceleration =change in velocity
Total time taken
a = BA
DA
a = CD
OC
a = OD-OC
OE
a = v-u
t
v = u + at
24. SECOND EQUATION OF MOTION
Consider an object which is moving along a straight line path with
uniform acceleration .
u= initial velocity of object velocity at time t=0 .
v= velocity of object after time t.
S= displacement covered by the object in time t.
The velocity time graph of the object is represented by the line OB
Distance = area of trapezium [shown ingraph]
Distance or s = ½ (OD+BE) xh
s = ½ (u+v)x t
s = ½(u+u+at) x t [v = u+at by 1st of equation motion]
s = ½ (2u+at) x t
s=ut+½at2
25. THIRDEQUATION OF MOTION
Consider an object which is moving along a straight line path with
uniform acceleration .
u= initial velocity of object velocity at time t=0 .
v= velocity of object after time t.
S= displacement covered by the object in time t.
The velocity time graph of the object is represented by the line OB
Distance = area of trapezium [shown ingraph]
Distance or s =½ (OD+BE or BE+OD) x h
s = ½ (v+u) x t
s = ½ (v+u) x v-u [v =u+at then t = v-u ]
a a
s=(v2-u2)/2a
2as=(v2-u2)
26. First Equation of Motion
The first equation of motion is v=u + at. It gives the velocity acquired by
a body in time t
Consider a body having initial velocity ‘u’. Suppose it is subjected to a
uniform acceleration ‘a’ so that after time ‘t’ its final velocity becomes
‘v’. Now, from the definition of acceleration we know that;
—> Acceleration = Change in velocity
—> Acceleration = Final velocity –Initial velocity
—> a = v - u
—> at=v - u
—> v=u + at
28. Criteria Scalar Vector
Definition
A scalar is a quantity with
magnitude only.
A vector is a quantity with
magnitude and direction.
Direction No Yes
Specified by A number (magnitude) and a unit
A number (magnitude), direction
and a unit
Represented by quantity’s symbol
quantity’s symbol in bold or an
arrow sign above
Example mass, temperature velocity, acceleration
29. Position and Displacement Vectors
Position Vector: Position vector of an object at time t is
the position of the object relative to the origin. It is
represented by a straight line between the origin and the
position at time t.
Displacement Vector: Displacement vector of an object
between two points is the straight line between the two
points irrespective of the path followed. The path length is
always equal or greater than the displacement.
30. Unit Vectors
A unit vector is a vector of unit magnitude and a particular direction.
•They specify only direction. They do not have any dimension and unit.
•In a rectangular coordinate system, the x, y and z axes are represented by unit
vectors, î,ĵ andk̂
•These unit vectors are perpendicular to each other.
•|î| = |ĵ | = |k
̂ | = 1
31. Free and Localized Vectors
A free vector(or non-localized vector) is a vector of which
only the magnitude and direction are specified, not the
position or line of action. Displacing it parallel to itself
leaves it unchanged.
A localized vector is a vector where line of action and
position are as important as magnitude and direction.
These vectors change with change in position and
direction.
Equality of Vectors
Two vectors are said to be equal only when they have same
direction and magnitude.For example, two cars travelling with
same speed in same direction. If they are travelling in opposite
directions with same speed, then the vectors are unequal.
32. Addition and Subtraction of Vectors – Triangle Method
The method of adding vectors graphically is by arranging
them so that head of first is touching the tail of second
vector and making a triangle by joining the open sides.
This method is called head-to-tail method or triangle
method of vector addition Vector addition is:
Commutative: A + B = B + A
Associative: (A + B) + C = A + (B+ C)
Adding two vectors with equal magnitudes and opposite
directions results in null vector.
Null Vector: A + (-A) = 0
Subtraction is adding a negative vector(opposite direction) to a
positive vector.
A – B = A + (-B)
33. ddition of Vectors – Parallelogram Method
The method of adding vectors by parallelogram method is by:
•Touching the tail of the two vectors
•Complete a parallelogram by drawing lines from the heads of the two vectors.
•Vector resulting from the origin to the point of intersection of above lines gives
the addition.
34. Quantity Value
Components of
velocity at time t
vx = v0 cosθ0
vy = v0 sinθ0–gt
Position at time t
x = (v0 cosθ0)t
y = (v0 sinθ0)t – ½
gt2
Equation of path of
projectile motion
y = (tan θ0)x –
gx2/2(v0 cosθ0)2
Time of maximum
height
tm = v0 sinθ0 /g
Time of flight 2 tm = 2 (v0 sinθ0 /g)
Maximum height of
projectile
hm = (v0 sinθ0)2/2g
Horizontal range of
projectile
R = v0
2 sin 2θ0/g
Maximum
horizontal range
(θ0=45°)
Rm = v0
2/g
35. Uniform circular motion
When an object follows a circular path at a constant
speed, the motion is called uniform circular motion.
•Velocity at any point is along the tangent at that point in
the direction of motion.
•Average velocity between two points is always
perpendicular to Average displacement. Also, average
acceleration is perpendicular to average displacement.
•For an infinitely small time interval, Δtà 0, the average
acceleration becomes instantaneous acceleration which
means that in uniform circular motion the acceleration of
an object is always directed towards the center. This is
called centripetal acceleration.
36. वृत्तीय गति (Circular Motion): जब कोई वस्िु ककसी वृत्ताकार मागग पर गति करिी है िो इसे वस्िु की वृत्तीय गति कहा जािा
है।
एकसमान वृत्तीय गति - (Uniform Circular Motion): "जब कोई वस्िु एक तनश्चिि बबन्दु को क
े न्र मानकर उसक
े िारो ओर
वृत्तीय पथ पर समान िाल(constant speed) से गति करिी है िो उसकी गति एकसमान वृत्तीय गति कहलािी है।वृत्तीय गति क
े
प्रकार
रैखिक गति (Linear motion) या ऋजुरेिीय गति (rectilinear motion) वह गति है श्जसमें पपण्ड का गतिपथ एक सरल रेखा हो। इस प्रकार की गति का गणििीय तनरूपि क
े वल एक अवकाशीय पवमा (spatial dimension) का
उपयोग करिे हुए ककया जा सकिा है। रैणखक गति सभी गतियों में सबसे सरल गति है।
रैणखक गति दो प्रकार की हो सकिी है-
•(१) एकसमान रैणखक गति (uniform linear motion) - इसमें वेग अपररवतिगि होिा है, त्वरि शून्य होिा है।
•(२) असमान रैणखक गति (non uniform linear motion) - इसमें वेग एकसमान नह ीं रहिा, त्वरि अशून्य होिा है। यह भी दो प्रकार का हो सकिा है-
• (क) एकसमान त्वरि क
े अन्िगगि रैणखक गति - शून्य वेग से छोडी गयी गेंद की गति असमान रैणखक गति है।
• (क) पररविी त्वरि क
े अन्िगगि रैणखक गति - जैसे, श्स्प्रींग से लटक
े रव्यमान की गति। (यह गति सरल आविग गति भी है।
37. वृत्तीय गति (Circular Motion)गति (Motion)
वृत्तीय गति (Circular Motion): ' जब कोई वस्िु ककसी वृत्ताकार मागग पर गति करिी है िो
इसे वस्िु की वृत्तीय गति कहा जािा है।"
एकसमान वृत्तीय गति - (Uniform Circular Motion): "जब कोई वस्िु एक तनश्चिि
बबन्दु को क
े न्र मानकर उसक
े िारो ओर वृत्तीय पथ पर समान िाल(constant speed) से
गति करिी है िो उसकी गति एकसमान वृत्तीय गति कहलािी है।"
38.
39. ऋजुरेखीय गति (Translatory motion) जब कोई वस्िु एक सीधी रेखा में गति करिी है िो ऐसी गति को स्थानान्िर य गति
कहिे हैं। स्थानान्िर य गति को रेखीय गति भी कहा जािा है। जैसे सीधी पटररयों पर िलिी रेलगाडी। स्थानान्िर य गति में
मूल बबींदु से दायीीं ओर की दूर को धनात्मक और बायीीं ओर की दूर को ऋिात्मक रूप में व्यक्ि ककया जािा है। ऋजुरेखीय
गति दो प्रकार की होिी है ।
1.1 सीधी सरल रेखीय गति(Rectilinear motion): जब कोई वस्िु सीधी सरल रेखा क
े अनुददश गति करिी है। िो उसकी
गति सीधी सरल रेखीय गति कहलािी है। सैतनको की सीधी परैड, िीदटयों का एक पींश्क्ि म िलना , पत्थर का गगरना ,
िलिी हुई नाव सीधी सरल रेखीय गति क
े उदहारि है ।
7 1.2 वक्र रेखीय गति (curvilinear motion) जब कोई वस्िु वक्र रेखा क
े अनुददश गति करिी है िो उसकी गति वक्र रेखीय
गति कहलािी है एक ढलान पर ककसी बच्िे का किसलन वक्र रेखीय गति कहलािी है।
8 2. घूिगन गति/िक्रीय गति (Rotatory motion) जब कोई पपण्ड ककसी अक्ष क
े पररिः घूमिा है िो ऐसी गति को घूिगन
गति कहिे हैं। जैसे पृथ्वी का अपने अक्ष पर घूमाना, घूमिे लट्टू की गति, िलिे हुए पींखे की गति आदद।
9 3. कम्पनीय गति/दोलन गति (Oscillatory/vibratory motion) जब कोई ककसी तनश्चिि बबन्दु क
े इधर–उधर गति करिी है
िो उसे कम्पनीय गति कहिे हैं। जैसे घडी की लोलक का अपनी मध्यमान श्स्थति क
े दोनों ओर दोलन करना।
10 4. वृत्तीय गति (Circular motion) जब कोई वस्िु ककसी वृिाकार मागग पर गति करिी है, िो उसकी गति को वृत्तीय गति
कहिे हैं. यदद वह एक समान िाल से गति करिी है िो उसकी गति को एक समान वृत्तीय गति कहिे हैं
40. कोणीय ववस्थापन (Angular Displacement) : "जब कोई कण वृत्ताकार मागग पर गति
करिा है िो अपनी प्रारश्भिक श्स्थति क
े सापेक्ष, कण श्जिने कोण से घूम जािा है उसे कोणीय
ववस्थापन कहा जािा है।
• कोणीय ववस्थापन एक सददश राशश होिी है।
• कोणीय ववस्थापन का मात्रक 'रेडियन' (Radian) होिा है।
• दक्षक्षणाविग कोणीय ववस्थापन को ऋणात्मक माना जािा है।
• वामाविग कोणीय ववस्थापन को धनात्मक माना जािा है।
θ = ∆s/r
रेिीय ववस्थापन = बत्रज्या × कोणीय ववस्थापन
कोणीय वेग (Angular Velocity): " वृत्तीय मागग पर गति करिे हुए कण क
े
कोणीय ववस्थापन की पररविगन दर, उस कण का कोणीय वेग कहलािी है।"
ω = Δθ / Δt
•कोणीय वेग एक सददश राशश है।
•कोणीय वेग का मात्रक रेडियन / सैक
े ण्ि होिा है
•ववमीय सूत्र [ T-1 ] होिा है।
कोणीय वेग िथा रेिीय वेग में संबंध:
रेिीय वेग = वृत्त की × बत्रज्या कोणीय वेग
41.
42.
43. वृत्तीय गति या घूिगन गति करिे हुए ककसी कि क
े बिज्या
सददश या श्स्थति सददश द्वारा ककसी तनश्चिि समयान्िराल में
क
ें र या घूिगन अक्ष पर अन्िररि कोि , कि का कोणीय
ववस्थापन कहलािा है। इसका मािक रेडडयन है। ...
44. कोणीय वेग िथा रेिीय वेग मे संबंध
माना कोई कण r बत्रज्या से वृत्तीय पथ पर एक समान िाल से िल रहा है माना कण वृि की
पररधध पर Δt समय में Δs िलिा है अि: कण का कोणीय ववस्थापन
Δθ = Δs/r
दोनो ओर Δt से िाग करने पर ,
Δθ / Δt = 1/r . Δs / Δt lim
Δt → 0
यदद Δt = 0 िो
Δθ / Δt = 1/r lim
Δt → 0
Δs / Δt
dθ / dt = 1/r . ds/dt
ω = 1/r . v
ω = v/r
v = r ω
45. : प्रक्षेप्य का पथ परवलयाकार होने की सीमाएं (Limitations)— ककसी प्रक्षेप्य का पथ
परवलयाकार ििी होिा है जबकक प्रक्षेप्य का त्वरण अिर (पररमाण एवं ददशा दोन में)
हो िथा त्वरण की ददशा प्रक्षेप्य क
े वेग की ददशा से शिन्न हो। पृथ्वी िल से फ
ें क
े गये
प्रक्षेप्य गुरुत्वीय त्वरण (g) क
े अन्िगगि गति करिे हैं।
गुरुत्वीय त्वरणg का मान तनभनशलखिि सीमाओं क
े अन्िगगि ही अिर रह सकिा है :
(i) प्रक्षेप्य बहुि अधधक ऊ
ँ िाई िक न जाये, अन्यथा g का मान घटिा जायेगा।
(ii) प्रक्षेप्य का परास बहुि अधधक न हो, अन्यथा पृथ्वी की वक्रिा क
े कारण g का मान ब
दल जायेगा।
(iii) प्रक्षेपण वेग बहुि अधधक न हो, श्जससे वायु का प्रतिरोध (resistance) नगण्य रहे।
िोप से छ
ू टे गोले की गति उपरोक्ि शमसाइल (ICBM अथवा InterCOntinental
BalliStiC MiSSile) का गमन-पथ परवलयाकार न होकर दीघगवृत्ताकार होिा है।
46. ऋजु रेिीय गति (motion in a straight line):-- में वपण्ि एक ऋजु रेिा में ऐसे तनयि
त्वरण क
े
अन्िगगि गति करिा है श्जसकी ददशा सदैव वपण्ि क
े प्रारश्भिक वेग की ददशा क
े समान्िर होिी है।
इस गति में वपण्ि की िाल समय क
े साथ-साथ बदलिी रहिी है, परन्िु ददशा नहीं बदलिी।
समिल में गति:-- परन्िु जब कोई वपण्ि ककसी ऐसे तनयि त्वरण क
े अन्िगगि गति
करिा है श्जसकी ददशा वपण्ि क
े प्रारश्भिक वेग की ददशा से शिन्न हो िो उसक
े वेग का पररमाण व
ददशा दोन ह समय क
े साथ-साथ बदलिे जािे हैं।िलस्वरूप वपण्ि एक समिल में वक्र पथ
(curved path) पर गति करिा है। ऐसी गति को 'समिल में गति' (motion in a plane) कहिे हैं।
वृत्तीय गति िथा प्रक्षेप्य गति एक समिल में गति क
े ह उदाहरि हैं
47. प्रक्षेप्य गति
प्रक्षेप्य गति :--जब हम ककसी वपण्ि को ककसी प्रारश्भिक वेग से, ऊध्र्वाधर ददशा से शिन्न ककसी ददशा में फ
ें किे
हैं िो उस पर गुरुत्वीय त्वरण सदैव ऊर्धवागधर नीिे की ओर लगिा है िथा वपण्ि ऊध्र्वाधर िल में एक वक्र पथ
पर गति करिा है। इस गति को प्रक्षेप्य गति कहिे हैं।
# प्रक्षेप्य पथ सदैव परवलयाकार (parabolic) होिा है।
# प्रक्षेप्य गति में फ
ें क
े गये वपण्ि को प्रक्षेप्य(projectile) कहिे हैं।
# वपण्ि फ
ें का जािा है उसे Y प्रक्षेप्य बबन्दु कहिे हैं।
# श्जस वेग से वपण्ि फ
ें का जािा है उसे प्रक्षेप्य वेग कहिे हैं
# श्जस कोण पर वपण्ि फ
ें का जािा है उसे प्रक्षेप्य कोण कहिे हैं।
# प्रक्षेप्य गति को सदैव दो सरल रेिीय गतिय में ववयोश्जि ककया जा
सकिा है :क्षेतिज गति िथा ऊध्र्व गति।
ये दोन गतियाँ पूणगरूप से स्विन्त्र अथागि् एक-दूसरे से स्विन्त्र होिी हैं। अि: वास्िव में प्रक्षेप्य गति एक तनयि
त्वरण वाली द्ववववमीय गति का ही उदाहरण है।
48.
49. उिुयन काल :--वपण्ि (प्रक्षेप्य) को प्रक्षेपण बबन्दु O से अधधकिम ऊ
ं िाई क
े बबन्दु P िक जाकर
पुन: उसे क्षैतिज क
े अन्य बबन्दु C िक आने में लगे समय को उड्यन काल कहिे हैं,
# इसे प्राय:T, से व्यक्ि करिे हैं/
# श्जिने समय में वपण्ि बबन्दु O से उच्ििम बबन्दु P िक जािा है उिने ही समय में वह
बबन्दुP से C िक लौटिा है जो कक बबन्दुO की ठीक सीध में है।
# वपण्ि का उिुयन काल अधधकिम ऊ
ँ िाई िक पहुँिने क
े समय का दो गुना होिा है।
50. अददश राशश (scalar quantity ):
वैसी भौतिक राशश, श्जनमें क
े वल पररमाि होिा है. ददशा नह ीं, उसे अददश राशश कहा जािा
है: जैसे – रव्यमान, िाल , आयिन, कायग , समय, ऊजाग आदद.
नोट: पवद्युि धारा (current), िाप (temprature), दाब (pressure) ये सभी अददश राशशयाीं हैं.
सददश राशश (vector quantity):
वैसी भौतिक राशश श्जनमें पररमाि क
े साथ-साथ ददशा भी रहिी है और जो योग क
े तनश्चिि
तनयमों क
े अनुसार जोडी जािी हैं, उन्हें सींददश राशश कहिे हैं: जैसे- वेग, पवस्थपान, बल,
त्वरि आदद.
51.
52. कोिीय पवस्थापन िथा रेखीय पवस्थापन (Angular Displacement and Linear Displacement)
- 'एकसमान वृत्तीय गति करिे P2 हुए कि की बिज्य वेक्टर (radial vector) एक तनश्चिि
समय @>र अन्िराल में श्जिना कोि घूम जािी है / * वह गतिमान किा का कोिीय
P0 पवस्थापन कहलािा है। '' गिि 10.2 में कोई कि वृत्ताकार पथ पर श्स्थति P, से गति
आरम्भ करिा गिि 10.2 है और इस श्स्थति से गति आरम्भ क
े क्षि से t, िथा t.. समय
बाद यह कि वृत्ताकार पथ क
े बबन्दु P, िथा P, पर पहुुँि जािा है, जहाुँ इसकी कोिीय
श्स्थतियाुँ क्रमश: 0, िथा 6, हैं। इस प्रकार समय-अन्िराल At =(t2 –t,) में कि का कोिीय
पवस्थापन A0 = (02 –01) है। इस समय-अन्िराल में कि वृत्ताकार पथ पर दूर PP. = As िय
करिा है। यह गतिमान कि का रेखीय पवस्थापन कहलािा है। यदद वृत्ताकार पथ की
बिज्या 7 हो िो कोिीय पवस्थापन AS िाप A0 = हैं। * कोि =ह्रथा अथवा AS = 7* × AG
अथागि् रेखीय पवस्थापन = बिज्या × कोिीय पवस्थापन यह रेखीय पवस्थापन िथा कोिीय
पवस्थापन में सम्बन्ध होिा है
53. पृथ्वी िल से ककसी ऊ
ुँ िाई से क्षैतिज ददशा में प्रक्षेपपि प्रक्षेप्य (पपण्ड) की गति :--
पृथ्वी िल से H ऊ
ुँ िाई पर श्स्थि कोई बबन्दु O है, जहाुँ से कोई पपण्ड (प्रक्षेप्य) क्षैतिज
ददशा OX में अथागि् पृथ्वी क
े समान्िर प्रारश्म्भक वेग g, से प्रक्षेपपि ककया गया है। YOY
बबन्दु O से गुजरिी पृथ्वी क
े लम्बवि् रेखा है। अि:O को मूलबबन्दु मानिे हुए प्रारम्भ में
अथागि् क्षि t = 0 पर x, = 0 िथा y, =0। क्षैतिज ददशा में पपण्ड पर कोई त्वरि कायग नह ीं
करिा अथागि्d, = 0, इसशलए इस ददशा में प्रक्षेप्य का वेग g, तनयि रहिा है। ऊध्र्वाधरिः
नीिे की ओर पपण्ड का त्वरिa, = – g। माना प्रक्षेपपि ककये जाने क
े # समय पचिाि्
अथागि् क्षि f पर
54. रेिीय वेग कोणीय वेग
ऋजुरेिीय गति में ककसी कण क
े
रेिीय ववस्थापन की समय क
े
साथ पररविगन दर को उस कण
का रेिीय वेग कहिे हैं।
कोणीय ववस्थापन की दर को
कोणीय वेग कहिे हैं।
यह रैखिक ददशाओं का वेग
कहलािा है।
यह कोणीय ददशाओं का वेग
कहलािा है।
इसका मात्रक मीटर/सेक
ं ि होिा
है।
रेडियन / सेक
ं ि
होिा है।
इसे v से दशागिे हैं। ω (ओमेगा) से दशागिे हैं।
रेिीय वेग और कोणीय वेग में अंिर
55. गति:- यदद कोई वस्िु अन्य वस्िुओीं की िुलना में समय क
े सापेक्ष में स्थान पररविगन करिी
है, िो वस्िु की इस अवस्था को गति (motion/मोशन) कहा जािा है।
गति क
े प्रकार:-
1. सरल रेखीय गति
2. वृत्तीय गति
3. घूिगन गति
4. दोलन गति
5. आविी गति
6. प्रक्षेप्य गति
■ सरल रेखीय गति:-
जब कोई वस्िु सदैव एक सरल रेखा में गति करिी है िो उसकी गति सरल रेखीय गति
कहलािी है। जैसे- सीधी सडक पर िलिी हुई कार की गति
56. अशिक
ें रीय बल
बल जब कोई कण एकसमान िाल v से र बत्रज्य क
े वृत्तीय पथ पर गति करिा है िो उस पर एक अशिक
े न्र त्वरण
कायग करिा है। न्यूटन क
े दरिीय तनयमानुसार त्वरण सदैव ककसी बल से ही उत्पन्न होिा है िथा m इस बल की
ददशा िी वही होिा है जो त्वरण की ददशा होिी है इस बल को अशिक
ें रीय बल कहिे हैं. इस बल क
े अिाव में वस्िु
वृत्ताकार मागग पर नही िल सकिी है
f = m v / r
57. अशिक
ें रीय बल क
े उदाहरण
1. जब कोई कार या रेल सड़क क
े मोड़ पर या रेल पटरी पर मुड़िी है िो उसे मुड़ने
क
े शलए आवचयक अशिक
े न्र बल टायर िथा सड़क क
े बीि लगने वाले घषणग
बल से प्राप्ि हो जािा है।
2. ग्रह को सूयग क
े िार ओर घूमने क
े शलए िथा उपग्रह को ग्रह क
े िार ओर
घूमने क
े शलए आवचयक अशिक
े न्र बल , गुरुत्वाकषगण बल से प्राप्ि होिा है।
3. ककसी परमाणु में नाशिक क
े िार ओर वृत्तीय कक्षाओं में घूमने क
े शलए
इलेक्रॉन्स की आवचयक अशिक
े न्र बल ,धन आवेशशि नाशिक िथा ऋणावेशशि
इलैक्रॉन क
े बीि लगने वाले वैधुि आकषगण बल से प्राप्ि होिा है।
4. जब एक हल्की गेंद या पत्थर क
े टुकड़े को िोरी क
े शसरे से बांधकर क्षैतिज
वृत्ताकार पथ में घूमिे हैं िो हमें िोरी को अन्दर की ओर िींिे रहना
पड़िा है अथािग िोरी पर अन्दर की ओर एक बल लगाना पड़िा है
58. यह डोर पर उत्पन्न िनाव (Tension ) होिा है। अिः डोर क
े
िनाव द्वारा गेंद पर अशभक
े न्र बल लगाया जािा है। यदद डोर
को हाथ से छोड दें िो डोर का िनाव समाप्ि हो जािा है ओर
आवचयक अशभक
ें र य बल न शमलपाने से घूम रह गेंद या
पत्थर का टुकडा सरल रेखा में गति करने लगिा है.
59. अपक
ें रीय बल
यदद एक अजित्वी तनकाय में न्यूटन क
े तनयमो को लागू करना हो िो क
ु छ परीश्स्थतियो में ऐसा आिास होिा है
कक ककसी वस्िु पर कोई बल लग रहा है ककन्िु वास्िव में उस वस्िु पर बल नहीं लग रहा होिा है, इन आिासी
बालो को छद्दम बल (Pseudo Force ) कहा जािा है
. अपक
ें रीय बल िी एक प्रकार का छद्दम बल या जड़त्वीय बल होिा है।
• अपक
ें रीय बल कक ददशा अशिक
े न्र बल क
े ववपरीि ददशा में होिी है।
अपक
ें रीय बल क
े उदाहरण:
1 यदद कोई व्यश्क्ि ककसी घूमिी हुयी वस्िु पर श्स्थि हो जैसे कक िकक्रय झूले(Merry-go-round) पर
श्स्थि व्यश्क्ि, यदद झूले कक रश्स्सय को हाथ से न पकड़े िो वह बाहर की ओर एक बल (अपक
ें रीय बल)
अनुिव करेगा और श्जससे वह धगर िी सकिा है।
2. यदद कोई व्यश्क्ि एक गाड़ी में बैठा है और गाड़ी अिानक दायी ओर को घूम जाये िो व्यश्क्ि झटक
े क
े
साथ बायीं ओर कक दीवार से टकरा जािा है। यहाँ ऐसा प्रिीि होिा है कक गाड़ी क
े दायी ओर मुड़ने क
े
कारण व्यश्क्ि पर एक ववपरीि बल बायीं ओर को लगा है, ककन्िु वास्िव में ऐसा नहीं होिा है। ऐसी
श्स्थति मे गाड़ी को मुड़ने हेिु आवचयक अशिक
े न्र बल िो प्राप्ि हो जािा है ककन्िु जड़त्व क
े करण
गाड़ी में बैठा व्यश्क्ि अपनी पूवगवि श्स्थति बनाये रिना िाहिा है श्जससे कार क
े मुड़िे ही कार में बैठा
व्यश्क्ि ववपरीि ददशा में झटक
े का अनुिव करिा है।
60. जड़त्व
जड़त्व (Inertia)ककसी वस्िु का वह गुण श्जसक
े कारण वह अपनी ववरामावस्था गत्यावस्था या ददशा में स्विः ही
पररविगन करने में असमथग होिी है, उसका जड़त्व कहलािा है। जड़त्व िीन प्रकार क
े होिे हैं :-
1. ववराम का जड़त्व : यदद कोई वस्िु श्स्थर है िो श्स्थर ही रहेगी, जब िक कक उस पर कोई बाह्य बल न
लगाया जाये। वस्िु क
े इस गुण को ववराम का जड़त्व कहिे हैं।
2. गति का जड़त्व: यदद कोई वस्िु िल रही है िो वह उसी वेग से उसी ददशा में िब िक िलिी रहेगी, जब िक
कक उस पर कोई बाह्य बल न लगाया जाय। वस्िु क
े इस गुण को गति का जड़त्व कहिे हैं।
3. ददशा का जड़त्व : ककसी वस्िु का वह गुण श्जसक
े कारण वह अपनी ददशा में पररविगन करने में असमथग होिी
है। वस्िु का वह गुण ददशा का जड़त्व कहलािा है।
ववराम क
े जड़त्व क
े उदाहरण:-
(1) मोटरकार क
े एकाएक िलने पर उसमें बैठा व्यश्क्ि पीछे की ओर धगर जािा है।
(2) एक धगलास क
े ऊपर कािग िथा कािग क
े ऊपर शसक्का रिकर यदद कािग को
िेजी से धक्का ददया जाये िो शसक्का धगलास में धगर जािा है।
61. ककसी वस्िु का वह गुि जो उसकी गति की अवस्था में ककसी
भी प्रकार क
े पररविगन का पवरोध करिा है, जड़त्व (Inertia /
इनशशगया) कहलािा है। 'गति की अवस्था में पररविगन' का
मिलब है - उसकी िाल में पररविगन, उसकी गति की ददशा में
पररविगन, या िाल और ददशा दोनों में पररविगन। दूसरे शब्दों में,
जडत्व ह वह गुि है श्जसक
े कारि वस्िु बबना ददशा बदले,
एक सरल रेखा में, समान वेग से िलिी रहिी है। जडत्व का
माप रव्यमान होिा हैं। अगर ककसी वस्िु का रव्यमान अगधक
है िो उस वस्िु की गति का प्रतिरोध भी अगधक होगा। जडत्व
क
े प्रकार। जडत्व िीन प्रकार क
े होिे हैं - : (1) पवराम का
जडत्व। (2) गति का जडत्व। (3) ददशा का जडत्व।
62. (3) कभबल को छड़ी से पीटने पर धूल क
े कण झड़ जािे हैं।
(4) पेड़ को दहलाने पर उसमें लगे फल नीिे धगरने लगिे हैं।
(5) बन्दुक की गोली से खिड़की की काँि में स्पष्ट छेद बन जािा है, काँि िटकिा नहीं,
ककन्िु पत्थर मारने से काँि िटक जािा है।
गति क
े जड़त्व क
े उदाहरण
(1) लंबी क
ू द क
े खिलाड़ी क
ु छ दूर पहले दौड़कर छलांग लगािे हैं।
(2) िलिे वाहन में एकाएक ब्रेक लगाने पर उसमे बैठा व्यश्क्ि आगे की
ओर झुक जािा है।
63. िौतिक राशश :- सामान्य शब्दों में वे सभी राशशयाुँ श्जनको नापा जा सकिा है िौतिक राशशयाँ कहलािी है।
या ये कहें श्जस राशश का कोई मान होिा है अथवा श्जसका कोई मािक होिा है वह भौतिक राशशयाुँ कहलािी है।
ककसी भी भौतिक राशश को पूिगिः व्यक्ि करने क
े शलए ददशा की आवचयकिा होिी है िथा ददशा क
े
आधार पर भौतिक राशशय को दो भागों में बाींटा जािा है।
(1) अददश राशशयाँ (2) सददश राशशयाँ
(1). अददश या स्क
े लर राशशयाँ
वह भौतिक राशशयाुँ श्जन्हें व्यक्ि करने क
े शलए क
े वल पररमाि magnitude की आवचयकिा होिी है direction ददशा
कक नह ीं अददश राशशयाुँ कहलािी है।
उदाहरि क
े शलए दूरी, िाल, रव्यमान, समय, कायग, ऊजाग, िाप, आदद।
(2). सददश राशशयाँ या वेक्टर राशशयाँ) ):-:- वह भौतिक राशशयाुँ श्जन्हें व्यक्ि करने क
े शलए पररमाि व ददशा दोनों
की आवचयकिा होिी है सददश राशशयाुँ कहलािी है।
उदाहरि क
े शलए पवस्थापन, वेग, त्वरि, बल, रेखीय, सींवेग, बल आघूिग आदद।
64. लेककन क
ु छ िौतिक राशशयाँ ऐसी िी हैं श्जनमें ददशा क
े बारे में बिाया जािा है परंिु कफर िी वे सददश राशश नहीं
होिी ।
उदाहरण क
े शलए ववद्युि धारा इसमें ददशा का ज्ञान होिा है लेककन कफर िी इसे सददश राशश नहीं कहा जािा है िो
इसका अथग यह हुआ कक सददश राशश क
े शलए पररमाण एवं ददशा क
े अलावा ककसी अन्य िीज श्जसकी आवचयकिा है
सददश राशश की पूणग पररिाषा इस प्रकार है:
वे िौतिक राशशयाँ श्जनमें पररमाण एवं ददशा दोन होिे हैं िथा जो vector क
े योग क
े तनयम का पालन करिी है
सददश राशशयाँ कहलािी है।
सददश राशशय का तनरूपण :--सददश राशश को शलिने क
े शलए उसक
े ऊपर िीर का तनशान लगा देिे हैं ग्राफीय
तनरूपण में सददश राशश को िीर द्वारा व्यक्ि ककया जािा है।
िीर की लंबाई उस राशश क
े पररमाण को िथा नोक उस राशश की ददशा को व्यक्ि करिी है। जहाँ से vector शुरू
होिा है उसे प्रारंशिक बबंदु (Initial Point) या पुच्छ (Tail) िथा श्जस बबंदु पर वह समाप्ि होिा है उसे शीषग (Head) या
Terminal Point कहिे है।
65. 1. समान वेक्टर (Equal Vectors):- वे वेक्टर श्जनक
े पररमाण बराबर होिे हैं िथा श्जनकी ददशाएं िी एक
समान होिी है, समान वेक्टर कहलािे हैं।
2. असमान सददश :--वह सददश श्जसकी पररमाण सामान होने पर ददशा अलग होिी है या ददशा समान होने पर
पररमाण अलग होिे है, असमान सददश कहलािे है।
3. ववपरीि वेक्टर (Opposite Vectors):- ऐसे वेक्टर श्जनक
े पररमाण िो बराबर होिे हैं परंिु ददशा
ववपरीि हो, ववपरीि वेक्टर कहलािे हैं।
A
B
A
B
A
B
A
B
66. 4. शून्य वेक्टर (Null Vector):- ऐसा ववेक्टर श्जसका पररमाण zero होिा है, अथागि श्जस
वेक्टर का प्रारंशिक बबंदु एवं टशमगनल बबंदु संपािी Coincidence
हो शून्य वेक्टर (Null Vector) अथवा जीरो वेक्टर (Zero
Vector) कहलािा है।
5. एकांक वेक्टर अथवा एकांक सददश (Unit Vector):- वह वेक्टर श्जसका पररमाण (Magnitude)
एकांक (Unit) हो अथागि श्जसका पररमाण 1 हो एकांक वेक्टर
कहलािा है ।
यह मात्रकहीन (unitless) िथा वीमाहीन (Dimensionless) होिा है।
इसमें क
े वल ददशा (Direction) होिी है।
इसे A, cap से प्रदशशगि करिे हैं।
A
67. 6. संरेिीय सददश :--ऐसे सददश जो रेिा क
े अनुददश हो या रेिा क
े समान्िर हो संरेिीय सददश कहलािे है।
संरेिीय सददश में पररमाण ककिना िी हो िाहे लेककन ददशा होनी िादहए।
स्पष्टिः समरेि वेक्टर क
े बीि 0 अथवा 180 का कोण होिा है।
संरेिीय सददश दो प्रकार क
े होिे है।
1. समान ददशीय संरेखिि सददश
2. ववपरीि संरेिीय सददश
समान ददशीय सददश :-- यदद सददश की ददशा समान हो व रेिा क
े अनुददश (उसी ददशा में) या रेिा क
े
समान्िर हो िो ऐसे सददश को, समान ददशीय संरेखिि सददश कहिे है।
ववपरीि संरेिीय सददश :-- अगर सददश की ददशा असमान हो व रेिा क
े अनुददश या रेिा क
े समान्िर हो िो
ऐसे सददश को, ववपरीि संरेिीय सददश कहिे है।
A
B
68. 7. समिलीय वेक्टर (Coplaner vector):- वह वेक्टर जो एक ही िल में श्स्थि होिे हैं
समिलीय वेक्टर कहलािे हैं, जैसे कागज क
े िल में िींिे गए
सिी वेक्टर समिलीय होिे हैं।
8. सम-प्रारंशिक वेक्टर (Cointial vector):- ऐसे सिी वेक्टर जो एक ही बबंदु से प्रारंि होिे हैं
सम -प्रारंशिक वेक्टर कहलािे हैं, अथागि श्जनका
मूल बबंदु एक समान हो।
A
B
C
A
B
C
69. 9. Orthogonal unit vector :- यदद दो या दो से अधधक एकांक वेक्टर जो
एक दूसरे से लंबवि होिे हैं orthogonal unit vector
कहलािे हैं।
10. श्स्थति सददश ( Position Vector):- वह वेक्टर जो ककसी वस्िु की मूल
बबंदु क
े सापेक्ष श्स्थति प्रदशशगि करिा है श्स्थति सददश कहलािा है।
70. 11. ववस्थापन वेक्टर ( Displacement Vectors):- ककसी ददए गए अंिराल (Time Interval)
में ककसी कण क
े ववस्थापन को प्रकट करने वाले ववेक्टर को ववस्थापन वेक्टर कहिे हैं।
X
Y
Y1
Y2
X1 X2
A
B
△x
△Y
71. िात्क्षखणक वेग : ककसी क्षण क
े ववस्थापन को िात्क्षखणक वेग कहिे है।
V = dr/dt
72. वेग : ककसी वस्िु द्वारा तनश्चिि ददशा में एकांक समय में िय की गयी दूरी को वेग कहिे है।
V= ववस्थापन / समय
वेग की ववमा = L/T = [L1T-1]
वेग एक सददश राशश होिी है।
औसि वेग : वस्िु द्वारा िय क
ु ल ववस्थापन और उसमे लगे समय क
े अनुपाि को औसि वेग कहिे है।
औसि वेग = क
ु ल ववस्थापन/क
ु ल समय
V = (r2 – r1)/(t2 – t1)
V = △r/△t = मीटर/सेक
ं ि
Y
△y
△r
V = (x2 – x1)/(t2 – t1)V = △x/△t
r2
△x
r1
73. त्वरण सददश(Acceleration Vector):- कण क
े वेग पररविगन की दर को कण का त्वरण कहिे हैं।
कण का औसि त्वरण = वेग पररविगन /समयांिराल
aav =△v/△t
74. िात्क्षणिक त्वरि : ककसी क्षि पवशेष पर वस्िु क
े वेग में पररविगन की दर को िात्क्षणिक त्वरि
कहिे ह
a= lim △v/△t
△t -0
=dv/dt
75. बत्रिुज की ववधध से दो वेक्टर का जोड़
"यदद दो ददए गए वेक्टर पररमाण िथा ददशा में एक ही क्रम में बत्रिुज की
दो िुजाओंद्वारा प्रदशशगि हो िो बत्रिुज की िीसरी िुजा ववपरीि क्रम में
पररमाण िथा ददशा में उनक
े वेक्टर योग को प्रकट करेगी।“
Q
P
माना दो सददश P ओर Q है श्जनक
े बीि θ कोण है वेक्टर क
े
बत्रिुज योग क
े तनयम से
R = A + B
माना िुजा AB को D िक आगे बढ़ािे हैं और AD पर CD को लभबवि
िींििे है िाकक यह एक समकोण बत्रिुज की िरह बन जाये ओर
मान तनकालने में आसानी हो।
θ
A
B
C
D
Q
R
P
R
76. Direction Of Vector R (वेक्टर R की ददशा)
वेक्टर R की ददशा ON व OS क
े बीि बनने वाले कोण का मान ज्ञाि कर की जािी है।
P
Q
R
A
B D
C
77.
78. वेक्टर का ववयोजन (Resolution of a Vector) -
वेक्टर को जोड़ने की ववपरीि कक्रया वेक्टर
ववयोजन कहलािी है। अि: ककसी ददये हुए वेक्टर को ऐसे दो या दो से अधधक वेक्टर में
वविक्ि करना श्जसका समिुल्य प्रिाव वही हो जो ददये हुए अक
े ले वेक्टर का है, िो इस
प्रकार प्राप्ि वेक्टर ददये हुए वेक्टर क
े अवयव अथागि् घटक(comp0 nents) कहलािे हैं
िथा यह कक्रया वेक्टर ववयोजन कहलािी है। इस प्रकार, 'वेक्टर (सददश) ववयोजन वह
कक्रया है श्जसमें ककसी ददये गये सददश को दो या दो से अधधक ऐसे सददश में ववयोश्जि
करिे हैं श्जनका पररणामी, ददये गये सददश क
े बराबर होिा है। '
79. वेक्टर का गुणन (Multiplication of Vectors)दो सददश राशशय (वेक्टर ) की परस्पर गुणा करने से प्राप्ि गुणनफल एक अददश राशश िी हो सकिी है अथवा सददश राशश िी।
80. A A
A
A
B
A
C
B
B
B
C
B
सददश का जोड़ना :- दो या दो से अधधक सददश को ििी जोड़ा जा सकिा है जब उनकी प्रकृ ति समान हो ।
a ) क्रम-ववतनमेय (commutative) तनयम का पालन करिा है।
A + B = ( B + A )
b) सददश योग साहियग तनयम का पालन करिा है।
A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
81. जब कोई वस्िु ककसी वृत्ताकार मागग पर िलिी है, िो उस पर कोई बल एक वृत्त क
े क
ें र पर कायग करिा है, इस बल को अशभक
ें र य बल कहिे हैं।
इस बल क
े अभाव में वस्िु वृत्ताकार मागग पर नह ीं िल सकिी है। यदद कोई m रव्यमान का पपींड v से r बिज्या क
े वृत्तीय मागग पर िल रहा है िो उस पर कायगकार वृत्त क
े क
ें र की ओर आवचयक अशभक
ें र य बल f=mv2/r होिा
है।।
ककसी पपण्ड क
े िात्क्षणिक वेग क
े लम्बवि ददशा में गतिपथ क
े क
े न्र की ओर लगने वाला बल अशिक
े न्रीय बल (Centripetal force) कहलािा है। अशभक
े न्र बल क
े कारि पपण्ड वक्र-पथ पर गति करिी है (न कक रैणखक पथ पर)।
उदाहरि क
े शलये वृत्तीय गति का कारि अशभक
े न्र य बल ह है।
जहाुँ:
अशभक
ें र य त्वरन है,
वेग का पररमाि (magnitude) है,
पथ की वक्रिा बिज्या है,
श्स्थति सददश है,
बिज्य सददश है,
कोिीय वेग है।
न्यूटन क
े गति क
े द्पविीय तनयम क
े अनुसार यदद कह ीं कोई त्वरि है िो त्वरि की ददशा में बल अवचय लग रहा होगा। अिः यदद m रव्यमान का कि एकसमान वृत्तीय गति कर रहा हो िो उस पर लगने वाले अशभक
े न्र य
बल
का मान तनम्नशलणखि सि द्वारा ददया जायेगा:
83. Types of mechanics
•Quantum Mechanics
•classical Mechanics
•Fluid Mechanics
•Kinematics
•Dynamics
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speed and velocity
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