hgujik

1. Azərbaycan RespublikasıTəhsil nazirliyi
Sumqayıt DövlətUniversiteti
Fakültə:Riyaziyyat
İxtisas: Riyaziyyat vəİnformatikamüəllimliyi
Qrup:425
Kurs:II
Fənn:Riyazianaiz-4
Tələbə:AğayevaNilufər
Müəllim:
Sumqayıt-2021

2. Suallar:
1.Ədədisıraanlayışı
2. 1-
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟖
+ ⋯+(-1)n-1
/2n-1
+… sırasının cəmini tapın
və yığılan olmasını isbat edin

3. Ədədi sıra anlayışı
Tutaq ki, bizə
,...
,...,
,
, 3
2
1 n
a
a
a
a (1)
sonsuz həqiqi ədədlər ardıcıllığı verilmisdir. Bu ardıcıllığın hədlərindən düzəldilmiş








1
3
2
1 ...
...
n
n
n a
a
a
a
a (2)
ifadəsinə, sonsuz sıra və ya ədədi sıra deyilir. Burada k
a  
,...
2
,
1

k ədədləri
sıranın hədləri, 1
a ədədi sıranın birinci, n
a isə n-ci həddi adlanır.
Aydındır ki, bu ifadəyə cəm demək olmaz, çünki cəm anlayışı sonlu sayda
ədədlərə aiddir. Lakin (2) ifadəsi sonsuz sayda ədədlərdən düzəldilmişdir. Bundan
sonra n
a ədədinə sıranın ümumi həddi deyəcəyik. Qeyd edək ki, sıranın ümumi
həddi n-dən asılı elə funksiyadır ki, onun ifadəsində n-in yerinə ,...
3
,
2
,
1 ədədlərini
yazdıqda sıranın uyğun hədlərini alarıq.
Sonlu sayda toplananların cəmi və onu təyinetmə qaydası bizə məlumdur. Sıra
isə “sonsuz sayda” ədədlərin “cəmidir”. Buna görə də sonsuz sayda ədədlərin
cəminin nə demək olduğunu müəyyən etmək məqsədilə (2) sırasının hədlərindən
aşağıdakı kimi cəm düzəldək:







n
k
k
n a
a
a
a
a
1
3
2
1 ... ,...)
2
,
1
( 
n . (3)
Tərif: Sıranın birinci n həddinin cəminə onun n-ci xüsusi cəmi deyilir.
(2) sıranın birinci n dənə həddini atdıqdan sonra alınan













1
2
1 ...
...
n
k
k
p
n
n
n
n a
a
a
a
R (4)
sırasına (2) sırasının qalığı, yaxud da n-ci qalığı deyilir.
n
R sıranın qalıq həddi adlanır. Deməli, n
R qalıq həddi öz növbəsində sonsuz




 1
n
k
k
n a
R sırasının cəmidir.


1
n
n
a sırasının birinci n həddinin
n
a
a
a
a 


 ...
3
2
1
cəmini n
S ilə işarə edək. (2) sırasının xüsusi cəmlərini yazaq:
S1=a1
S2=a1+a2
.
...
.......
..........
..........
..........
3
2
1 n
n a
a
a
a
S 




Aydındır ki, hər bir sıranın sonsuz sayda xüsusi cəmi var, yəni sıranın xüsusi
cəmlərindən düzəldilmiş.

4. ,...
,...,
,
, 3
2
1 n
S
S
S
S (5)
ardıcıllığ sonsuz ardıcıllıqdır. Sıranın ümumi həddini onun xüsusi cəmləri ilə
göstərmək olar:
1
1 S
a  , 1


 n
n
n S
S
a ( ,...
4
,
3
,
2

n ).
Tərif. Verilmiş (2) sırasının xüsusi cəmlərindən düzəldilmiş S1,S2,S3...,Sn,...
ardıcıllığının sonlu və müəyyən
n
n
S
S

 lim (6)
limiti varsa, ona yığılan sıra, S ədədinə isə sıranın cəmi deyilir. Bu halda
...
...
3
2
1 




 n
a
a
a
a
S (7)
kimi yazılır.
Tərif. Əgər “n” qeyri-məhdud artdıqda, xüsusi cəmlər ardıcıllığının limiti
yoxdursa və ya 



n
n
S
lim isə, onda (2) sırası dağılan sıra adlanır.
Qeyd edək ki, hər bir sonlu
n
a
a
a
a 


 ...
3
2
1 (8)
cəminə sonsuz sayda hədləri sıfra bərabər 0
...
2
1 

 
 n
n a
a olan sıra kimi
baxmaq olar. Bu halda 

1
k
k
a sırasının cəmi (8) cəminə bərabər olar.
Yığılan və dağılan sıranın tərifindən görünür ki, 

1
n
n
a sırasının yığılması
məsələsi, S1,S2,S3...,Sn,... ardıcıllığının yığılması məsələsinə gətirilir. Əksinə, }
{ n
S
ardıcıllığı verildikdə
...
)
(
...
)
(
)
( 1
2
3
1
2
1 






 
n
n S
S
S
S
S
S
S (9)
sırasını qurmaq olar. Bu sıranın n-ci xüsusi cəmi n
S -dir. Deməli, }
{ n
S ardıcıllığının
yığılması məsələsi də (9) sırasının yığılması məsələsinə gətirilir və (9) sırasının cəmi
}
{ n
S ardıcıllığının limitinə bərabərdir. Aydındır ki, sonsuz sıranın yığılması məsələsi,
ardıcıllığın yığılması məsələsinin başqa bir şəklidir.
Sıranın qalığı haqqında teorem
Teorem. (2) və (4) sıraları eyni zamanda ya yığılır, ya da dağılır.
Bu teoremi İsbat etmək üçün (2) və (4) sıralarının xüsusi cəmlərini uyğun
olaraq n
S və p
 ilə işarə edək:
p
n
n
n
p a
a
a 

 


 ...
2
1
 .
Onda p
n
p
n S
S 


 vəya. p
n
p
n S
S 


 (10)
bərabərliyi doğru olar.
Tutaq ki, (2) sırası yığılandır. Onda S
Sp
p



lim limiti və buna görə də
S
S p
n
p




lim limiti sonlu olar. Bu halda (10) bərabərliyindən

5.   n
n
p
n
p
p
p
S
S
S
S 


 




lim
lim 
münasibəti alınır ki, bu da (4) sırasının yığılan və cəminin n
S
S  olduğunu göstərir.
İndifərz edək ki, (4) sırası yığılandır: 
 


p
p
lim . Onda (10) bərabərliyindən
  
 








n
p
n
p
p
n
p
S
S
S lim
lim alınır ki, bu da (2) sırasının yığılan olduğunu
göstərir.
Buradan aydındır ki, (2) və (4) sıralarının biri dağılan olduqda, o biri də dağılan
olar. Çünki sıranın biri yığılan olduqda, isbat etdiyimiz kimi o biri də yığılan
olmalıdır.
Bu teoremin iki nəticəsini qeyd edək.
Nəticə 1. Verilmiş sıranın sonlu sayda həddini atmaq və ya ona sonlu sayda
yeni hədd əlavə etmək, həmin sıranın yığılan və ya dağılan olmasına təsir etmir.
Nəticə 2. Yığılan sıra qalığının limiti sıfra bərabərdir.
Qeyd edək ki,








1
3
2
1 ...
...
n
n
n a
a
a
a
a
sırası yığılan olduqda, onun cəmini S ilə işarə etsək, onda n
n R
S
S 
 olar.
Burada S
Sn
n



lim olduğundan 0
lim 


n
n
R olur.
Yığılan sonsuz ədədi sıraların bir neçə xassəsi vardır. Bu xassələr sonlu sayda
toplananı olan cəmin xassələri ilə eyni olub, aşağıdakılardan ibarətdir.
Teorem 1. Əgər








1
3
2
1 ...
...
k
k
n a
a
a
a
a (11)
sırası yığılandırsa, istənilən c ədədi üçün


1
k
k
ca (12)
sırası da yığılandır.
(11) sırasının xüsusi cəmi n
S olarsa, onda
n
n
k
k
n
k
k
n cS
a
c
ca 





 1
1

olar və buradan cS
S
c
cS n
n
n
n
n
n









lim
lim
lim  alınır. Deməli, 

1
k
k
ca sırası
yığılandır.
Nəticə. (11) sırası dağılandırsa, istənilən 0

c ədədi üçün (2) sırası da
dağılandır.
Teorem 2. (11) sırası və

6. ...
...
3
2
1
1









n
k
k b
b
b
b
b (13)
sırası yığılandırsa, onda həmin sıraların cəmi və fərqi adlanan
        ...
...
2
2
1
1
1








 


n
n
k
k
k b
a
b
a
b
a
b
a (14)
və
        ...
...
2
2
1
1
1








 


n
n
k
k
k b
a
b
a
b
a
b
a (5)
sıraları da yığılandır.
İsbatı. (11), (13), (14) və (15) sıralarının xüsusi cəmlərini uyğun olaraq
n
n
n T
S ,
,  və n
Q ilə işarə etsək, onda
,
lim
lim
lim
,
lim
lim
lim
,
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
Q
S
T
S
Q
S
T
























olar. Buradan teoremin doğruluğu aydındır.
Qeyd edək ki, (11) və (13) sıralarının biriyığılan, digəri dağılan olduqda (14) və
(15) sıralarıdağılan olar. (11) və (13) sıralarının ikisi də dağılan olduqda (14) və (15)
sıralarının yığılan və ya dağılan olması haqqında heç nə demək olmaz. Məsələn,
dağılan ...
1
...
1
1 


 və ...
1
...
1
1 



 sıralarının cəmi yığılandır:
  ...,
0
...
0
0
1





 


k
k
k b
a
fərqi isə dağılandır:
  ...
2
...
2
2
1





 


k
k
k b
a . .
Teorem 3. Yığılan (1) sırasının hədlərini, düzülüş sırasını pozmadan, istənilən
şəkildə qruplaşdırdıqda alınan
      ...
...
...
...
... 2
1
2
1
2
1 1
1
2
1
1
1












 


 
 n
n
n k
k
k
k
k
k
k a
a
a
a
a
a
a
a
a (16)
sırası da yığılandır və onun cəmi verilmiş (11) sırasının cəminə bərabərdir.
İsbatı. Tutaq ki, (11) sırası S ədədinə yığılır. (16) sırasını
...
...
2
1 


 n
T
T
T (17)
kimi yazaq; burada
 
,...
2
,
1
0
,
... 0
2
1 1
1





 
 

m
k
a
a
a
T m
m
m k
k
k
m .
(11) və (17) sıralarının xüsusi cəmlərini uyğun olaraq n
S və n
W ilə işarə etsək,
onda n
k
n S
W  olar. Buradan 

n şərtində 

n
k olduğunu nəzərə alsaq,
S
S
S
W n
n
n k
k
k
n
n
n









lim
lim
lim
alınar ki, bu da (16) sırasının S ədədinə yığıldığını göstərir.
Qeyd. Teoremin tərsi doğru deyildir.
Nəticə. (16) sırası dağılan olduqda uyğun (11) sırası da dağılan olar.

7. Teorem 4. Sıranın başlanğıcdan sonlu sayda hədlərini atdıqda və ya sıraya
sonlu sayda yeni hədlər əlavə etdikdə, sıranın yığılması və ya dağılması pozulmaz.
İsbatı.
...
...
,
...
...
6
5
4
3
4
3
2
1












n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
sıralarına baxaq. Birinci sıranın birinci iki həddini atdıqda ikinci sıra alınar. n
S və
n
 ilə uyğun olaraq həmin sıraların əvvəlinci hədləri cəmini göstərsək,
 ,
2
1
2 a
a
Sn
n 




 
2
1
2 a
a
S n
n 

 

alarıq.


n şərtində n
S -in limiti varsa, 2

n
 -nin də limiti var və əksinə, 2

n
 -nin
limiti varsa, n
S -nin də limiti vardır.
Aydındır ki, həmin iki sıranın cəmi müxtəlif olar: yəni,
 
2
1 a
a
S 

  və  
2
1 a
a
S 


 .

8. Sual-2
1-
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟖
+ ⋯+(-1)n-1
/2n-1
+… sırasınıncəminitapınvə yığılan olmasını isbat
edin.