Bai giang ve_ky_thuat

BAØI GIAÛNG VEÕ KYÕ THUAÄT
Trang 1
CHÖÔNG I
CAÙC TIEÂU CHUAÅN TRÌNH BAØY BAÛN VEÕ
BAØI 1 PHÖÔNG TIEÄN TRÌNH BAØY BAÛN VEÕ
I. VAÄT LIEÄU VEÕ VAØ DUÏNG CUÏ VEÕ
ƒ Vaät lieäu veõ laø phöông tieän thöïc hieän baûn veõ döôùi daïng tieâu hao : Giaáy, buùt chì, goâm, …
ƒ Duïng cuï veõ : laø phöông tieän thöïc hieän baûn veõ döôùi daïng taùi söû duïng : thöôùc
keû, eâke, compa, raäp veõ voøng troøn, …
II. CAÙCH SÖÛ DUÏNG CAÙC DUÏNG CUÏ VEÕ
1. Vaùn veõ
Duøng ñeå thay theá cho baøn veõ
chuyeân duøng. Khi söû duïng neân choïn
maët thaät phaúng vaø caïnh traùi thaät
thaúng. Giaáy ñöôïc coá ñònh beân goùc traùi
phía döôùi cuûa vaùn veõ.
2. Thöôùc T
Thöôùc T ñöôïc keát hôïp vôùi vaùn veõ ñeå
döïng caùc ñöôøng baèng. Ñaàu thöôùc T luoân
aùp saùt vaøo vaùn veõ.
3. EÂke
Duøng ñeå keát hôïp vôùi thöôùc T ñeå
döïng caùc ñöôøng thaúng ñöùng hay caùc
ñöôøng xieân 30o
, 45o
, 60o
.
4. Compa vaø raäp voøng troøn
Compa : duøng ñeå veõ caùc cung troøn hay voøng troøn coù baùn kính lôùn.
Raäp voøng troøn : duøng ñeå veõ caùc cung troøn hay voøng troøn coù baùn kính nhoû.

Trang 2
5. Goâm (taåy)
Duøng ñeå taåy, xoaù caùc veát dô, caùc neùt veõ sai, thöøa treân baûn veõ. Tröôùc khi duøng
phaûi lau saïch ñaàu goâm.
6. Buùt chì
Neân choïn buùt chì theo kyù hieäu cuûa ngoøi chì. Buùt chì meàm (kyù hieäu B) duøng ñeå
veõ caùc neùt ñaäm, vieát chöõ vaø soá. Buùt chì cöùng (kyù hieäu HB) duøng ñeå veõ caùc neùt maûnh.
Khi veõ muõi buùt chì phaûi töïa vaøo caïnh treân cuûa thöôùc vaø ñöôïc xoay luùc veõ.
Neân duøng buùt chì kim.
BAØI 2 TIEÂU CHUAÅN TRÌNH BAØY BAÛN VEÕ
I. Ñöôøng neùt (Theo TCVN 0008 – 1993 qui ñònh)
Ñeå bieåu dieãn vaät theå, treân baûn veõ kyõ thuaät duøng caùc loaïi neùt veõ coù hình daïng vaø
kích thöôùc khaùc nhau. Caùc loaïi neùt veõ ñöôïc qui ñònh theo TCVN.
Teân goïi Hình daùng ÖÙng duïng cô baûn
Neùt lieàn ñaäm
Beà roäng s
- Khung baûn veõ, khung teân.
- Caïnh thaáy, ñöôøng bao thaáy.
- Ñöôøng ñænh ren thaáy, ñöôøng ren thaáy.
Neùt lieàn maûnh
Beà roäng s/3
- Ñöôøng doùng, ñöôøng daãn, ñöôøng kích thöôùc.
- Ñöôøng gaïch gaïch treân maët.
- Ñöôøng bao maët caét chaäp
- Ñöôøng taâm ngaén.
- Ñöôøng thaân muõi teân chæ höôùng.
Neùt ñöùt
Beà roäng s/2
- Caïnh khuaát, ñöôøng bao khuaát.

Trang 3
Neùt chaám gaïch
Beà roäng s/3
Duøng cho ñöôøng truïc vaø ñöôøng taâm
Neùt löôïn soùng
Beà roäng s/3
Giôùi haïn hình caét hoaëc hình chieáu khi khoâng
duøng ñöôøng truïc laøm ñöôøng gôùi haïn.
QUI TAÉC VEÕ :
Khi hai neùt veõ truøng nhau, thöù töï öu tieân :
ƒ Neùt lieàn ñaäm : caïnh thaáy, ñöôøng bao thaáy.
ƒ Neùt ñöùt : caïnh khuaát, ñöôøng bao khuaát.
ƒ Neùt chaám gaïch : ñöôøng truïc, ñöôøng taâm.
ƒ Neáu neùt ñöùt vaø neùt lieàn ñaäm thaúng haøng thì choã noái tieáp veõ hôû. Tröôøng hôïp
khaùc neáu caùc neùt veõ caét nhau thì chaïm nhau.
VÍ DUÏ :
II. CHÖÕ VAØ SOÁ (Theo TCVN 6 – 85 qui ñònh)
Chöõ vaø soá treân baûn veõ kyõ thuaät phaûi roõ raøng, deã ñoïc. Tieâu chuaån nhaø nöôùc qui
ñònh caùch vieát chöõ vaø soá treân baûn veõ nhö sau
ƒ Khoå chöõ : laø chieàu cao cuûa chöõ hoa, tính baèng (mm). Khoå chöõ qui ñònh laø : 1.8
; 2.5 ; 3.5 ; 5 ; 7 ; 10…
ƒ Kieåu chöõ (kieåu chöõ A vaø kieåu B): goàm coù chöõ ñöùng vaø chöõ nghieâng.
- Kieåu chöõ A ñöùng (beà roäng cuûa neùt chöõ b = 1/14h)
- Kieåu chöõ A nghieâng (beà roäng cuûa neùt chöõ b = 1/14h)
- Kieåu chöõ B ñöùng (beà roäng cuûa neùt chöõ b = 1/10h)
- Kieåu chöõ B nghieâng (beà roäng cuûa neùt chöõ b = 1/14h)

Trang 4
Ñeå ñôn giaûn, ta duøng ba khoå chöõ sau :
ƒ Khoå chöõ to (h7) : ghi töïa baûn veõ.
ƒ Khoå trung bình (h5) : ghi teân hình bieåu dieãn, höôùng chieáu, veát maët phaúng caét
ƒ Khoå chöõ nhoû (h3.5) : ghi soá kích thöôùc, yeâu caàu kyõ thuaät, noäi dung khung teân
vaø baûng keâ.
III. KHOÅ GIAÁY (TCVN 2 – 74 qui ñònh)
Khoå giaáy laø kích thöôùc qui ñònh cuûa baûn veõ.
Theo TCVN khoå giaáy ñöôïc kyù hieäu baèng 2 soá lieàn
nhau.
Kyù hieäu theo TC ISO Kyù hieäu TCVN Kích thöôùc
Khoå giaáy 44 A0 1189 × 841
Khoå giaáy 24 A1 594 × 841
Khoå giaáy 22 A2 594 × 420
Khoå giaáy 12 A3 297 × 420
Khoå giaáy 11 A4 297 × 210
IV. KHUNG BAÛN VEÕ VAØ KHUNG TEÂN
( TCVN 3821 – 83 qui ñònh)
Khung baûn veõ vaø khung teân keû baèng neùt
lieàn ñaäm. Khung baûn veõ keû caùch meùp ngoaøi
cuûa khoå giaáy laø 5mm. Tröôøng hôïp muoán ñoùng
thaønh taäp thì phía beân traùi keû caùch meùp khoå
giaáy laø 25 mm. Khung teân ñaët ôû phía döôùi goùc
beân phaûi cuûa baûn veõ.

Trang 5
Khung baûn veõ maãu :
Tröôøng Trung hoïc KT - CN - ÑN
Lôùp : THSCCK05A (6)
(7)
(3)
(4)
(2)
Kieåm tra
(1)
Ngöôøi veõ
Tyû leä
(5)
- OÂ
- 1 : Hoï vaø teân ngöôøi veõ
- OÂ2 : Ngöôøi kieåm tra kyù teân
- OÂ3 : Ngaøy veõ
- OÂ4 : Ngaøy kieåm tra
- OÂ5 : Teân baøi taäp, teân chi tieát
- OÂ6 : Kyù hieäu vaät lieäu
- OÂ7 : Kyù hieäu baøi taäp
IV. TYÛ LEÄ (TCVN 3 – 74 qui ñònh)
Tyû leä laø tyû soá giöõa kích thöôùc ño ñöôïc treân baûn veõ vaø kích thöôùc töông öùng ño
ñöôïc treân vaät thaät. TCVN qui ñònh caùc loaïi tyû leä sau :
Tyû leä nguyeân hình 1 : 1
Tyû leä phoùng to 2 : 1 2.5 : 1 4 : 1 5 : 1 10 : 1 …
Tyû leä thu nhoû 1 : 2 1 : 2.5 1 : 4 1 : 5 1 : 10 …
Chuù yù : Tyû leä cuûa baûn veõ ghi trong khung teân. Tyû leä cuûa hình bieåu dieãn ghi beân caïnh.

Trang 6
BAØI 3 GHI KÍCH THÖÔÙC
Kích thöôùc ghi treân baûn veõ duøng ñeå cho bieát ñoä lôùn cuûa vaät theå. Theo TCVN
5705 – 1993 qui ñònh.
I. QUI ÑÒNH CHUNG
ƒ Con soá kích thöôùc khoâng phuï thuoäc vaøo tyû leä baûn veõ vaø möùc ñoä chính xaùc
cuûa baûn veõ.
ƒ Ñôn vò kích thöôùc daøi laø (mm) nhöng khoâng ghi ñôn vò sau con soá kích
thöôùc.
ƒ Ñôn vò : Ñoä, phuùt, giaây phaûi ghi sau con soá kích thöôùc.
VÍ DUÏ :
II. CAÙC THAØNH PHAÀN CUÛA KÍCH THÖÔÙC
1. Ñöôøng doùng
Keû baèng neùt lieàn maûnh, vuoâng goùc vôùi ñoaïn caàn ghi kích thöôùc (tröôøng hôïp
ñaëc bieät cho pheùp keû xieân). Ñöôøng doùng vöôït qua ñöôøng ghi kích thöôùc 3 ÷ 5mm. Coù
theå duøng ñöôøng taâm keùo daøi laøm ñöôøng doùng.
2. Ñöôøng kích thöôùc
Keû baèng neùt lieàn maûnh, song song vôùi ñoaïn caàn ghi kích thöôùc, ñöôøng kích
thöôùc caùch ñoaïn caàn ghi kích thöôùc töø 5 ÷ 10mm. Khoâng duøng ñöôøng truïc, ñöôøng
taâm laøm ñöôøng kích thöôùc.
3. Muõi teân
Muõi teân ñaët ôû hai ñaàu ñöôøng kích thöôùc, chaïm vaøo ñöôøng doùng.

Trang 7
Goùc ôû muõi teân khoaûng 30o
.
Ñoä lôùn cuûa muõi teân tyû leä thuaän vôùi beà
roäng cuûa neùt lieàn ñaäm. Neáu ñöôøng
kích thöôùc quaù ngaén thì cho pheùp
thay muõi teân baèng neùt gaïch xieân hay
daáu chaám.
4. Con soá kích thöôùc
Con soá kích thöôùc ghi ôû phía treân, khoaûng giöõa ñöôøng kích thöôùc. Chieàu cao
cuûa con soá kích thöôùc khoâng beù hôn 3,5mm.
a. Ñoái vôùi con soá kích thöôùc ñoä daøi : caùc chöõ soá ñöôïc xeáp thaønh haøng song
song vôùi ñöôøng kích thöôùc. Höôùng cuûa con soá kích thöôùc phuï thuoäc vaøo phöông cuûa
ñöôøng kích thöôùc.
ƒ Ñöôøng kích thöôùc naèm ngang : con soá kích thöôùc ghi ôû phía treân.
ƒ Ñöôøng kích thöôùc thaúng ñöùng hay nghieâng sang beân phaûi : con soá kích thöôùc
naèm ôû beân traùi.
ƒ Ñöôøng kích thöôùc nghieâng traùi : con soá kích
thöôùc ghi ôû beân phaûi.
ƒ Ñöôøng kích thöôùc naèm trong vuøng gaïch gaïch :
con soá kích thöôùc ñöôïc doùng ra ngoaøi vaø ñaët treân giaù
ngang.
b. Ñoái vôùi con soá kích thöôùc goùc : höôùng veát cuûa
con soá kích thöôùc tuyø thuoäc vaøo phöông cuûa ñöôøng vuoâng
goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc ñoù .
III. MOÄT SOÁ QUI ÑÒNH KHI GHI CAÙC LOAÏI KÍCH THÖÔÙC
1. Kích thöôùc song song : khi coù nhieàu kích
thöôùc song song nhau thì ghi kích thöôùc nhoû tröôùc, lôùn

Trang 8
sau. Caùc con soá kích thöôùc ghi so le nhau vaø khoaûng caùch
ñeàu nhau.
2. Ghi kích thöôùc voøng troøn
3. Ghi kích thöôùc cung troøn
4. Ghi kích thöôùc hình vuoâng
IV. TRÌNH TÖÏ THÖÏC HIEÄN BAÛN VEÕ
1. Giai ñoaïn chuaån bò
- Moâi tröôøng laøm vieäc : saïch, thoaùng maùt, khoâng oàn.
- Phöông tieän : ñaày ñuû, hôïp lyù.
2. Giai ñoaïn thöïc hieän
- Boá trí hình veõ treân giaáy
- Veõ môø

Trang 9
- Veõ ñaäm
- Ghi kích thöôùc, noäi dung khung teân.
- Ghi kích thöôùc, noäi dung khung teân.
3. Giai ñoaïn hoaøn chænh
- Kieåm tra vaø söûa laïi baûn veõ.
CHÖÔNG 2
VEÕ HÌNH HOÏC
BAØI 1 DÖÏNG HÌNH HOÏC
I. CAÙC ÑÖÔØNG THAÚNG
1. Döïng ñöôøng trung tröïc
Cho ñoaïn thaúng AB, yeâu caàu döïng ñöôøng trung tröïc
cuûa AB.
- Veõ ñöôøng troøn (A, R > AB/2)
- Veõ ñöôøng troøn (B, R)
- Hai ñöôøng troøn naøy caét nhau taïi hai ñieåm C vaø D.
- CD chính laø ñöôøng trung truïc cuûa AB.
2. Döïng ñöôøng vuoâng goùc
a. Qua ñieåm D naèm ngoaøi ñöôøng thaúng (a)
- Veõ [D, R > d(D/a)], ñöôøng troøn naøy caét (a) taïi
hai ñieåm A vaø B.
- Döïng ñöôøng trung truïc cuûa ñoaïn thaúng AB.
- Nhö vaäy DC chính laø ñoaïn thaúng caàn döïng.
b. Qua ñieåm D naèm treân ñöôøng thaúng (a)

Trang 10
- Döïng (D, R), ñöôøng troøn naøy caét (a) taïi hai ñieåm
A vaø B.
- Döïng ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AB.
- Nhö vaäy, DC chính laø ñoaïn thaúng caàn döïng.
c. Qua ñieåm D naèm ôû ñaàu muùt cuûa ñöôøng thaúng
(a)
(Hoïc sinh töï döïng)
3. Döïng ñöôøng thaúng song song
Cho ñieåm D naèm ngoaøi ñöôøng thaúng (a).
Qua D haõy döïng ñöôøng thaúng song song vôùi (a).
II. VEÕ CAÙC GOÙC
Goùc phaân giaùc Veõ laïi goùc ñaõ cho Caùc goùc ñaëc bieät
III. ÑOÄ DOÁC
Ñoä doác cuûa ñöôøng thaúng AB ñoái vôùi
ñöôøng thaúng AC laø tgα

Trang 11
Goïi ñoä doác laø i :
AC
BC
tg
i =
= α
Ví duï : veõ ñoä doác i = 1 : 6 cuûa ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm B ñoái vôùi ñöôøng thaúng
AC cho tröôùc
IV. ÑOÄ COÂN
Ñoä coân tyû soá giöõa hieäu ñöôøng kính hai maët caét vuoâng goùc cuûa moät hình noùn troøn
xoay vôùi khoaûng caùch giöõa hai maët caét ñoù : α
tg
h
d
D
k 2
=
−
=
Ví duï : veõ hình coân ñænh A truïc AB coù ñoä coân : k = 1 : 5
V. CHIA ÑEÀU ÑÖÔØNG TROØN
1. Chia ñöôøng troøn laøm 3 phaàn baèng nhau
Cho (O, R = 2d), chia ñöôøng troøn naøy laøm ba phaàn
baèng nhau.
- Döïng hai ñöôøng kính AB vaø CD vuoâng goùc nhau.
- Veõ ñöôøng troøn taâm (C, R). Ñöôøng troøn naøy caét (O,
R) taïi hai ñieåm E vaø F.
- Nhö vaäy, ba phaàn baèng nhau cuûa ñöôøng troøn (O, R) laø ba cung DE, EF vaø FD.
- Xaùc ñònh trung ñieåm M cuûa ñoaïn AO.
- Döïng ñöôøng troøn taâm M baùn kính R=MC, ñöôøng
troøn naøy caét ñöôøng kính AB taïi N.

Trang 12
- CN chính laø caïnh cuûa hình nguõ giaùc noäi tieáp trong ñöôøng troøn.
(Hoïc sinh töï veõ)
4. Chia ñöôøng troøn laøm 7, 9, 11, … phaàn baèng nhau
- Döïng (D, DC), ñöôøng troøn naøy caét AB keùo daøi taïi E vaø F.
- Chia DC laøm 7 ñoaïn thaúng baèng nhau.
- Noái E vaø F vôùi caùc ñieåm chaün.
- Caùc ñöôøng thaúng naøy keùo daøi caét ñöôøng troøn taïi caùc ñieåm G, H, I, K, L, M.
- Noái caùc ñieåm C, G, H, I, D, K, L, M laïi ta coù hình caàn döïng.

Trang 13
BAØI 2 VEÕ NOÁI TIEÁP
I. VEÕ TIEÁP TUYEÁN VÔÙI ÑÖÔØNG TROØN
1. Qua ñieåm A treân ñöôøng troøn
- Xaùc ñònh O’ ñoái xöùng vôùi O qua A
- Döïng ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn OO’.
- AA’ chính laø tieáp tuyeán caàn döïng.
2. Qua ñieåm A ngoaøi ñöôøng troøn
- Xaùc ñònh trung ñieåm M cuûa ñoaïn OA.
- Döïng ñöôøng troøn taâm M, ñöôøng kính
OA, ñöôøng troøn naøy caét (O, R) taïi 2
ñieåm B vaø C.
- AB vaø AC chính laø tieáp tuyeán caàn döïng.
II. TIEÁP TUYEÁN CHUNG CUÛA HAI ÑÖÔØNG TROØN
1. Tieáp tuyeán chung ngoaøi
Cho (O1, r vaø O2, R).
Yeâu caàu döïng tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn naøy.
r
O2
B2
O1
B1
M
B
R
-
r
A1
A2
A
R

Trang 14
- Veõ (O2, R-r).
- Döïng tieáp tuyeán cuûa ñieåm O1 ñoái vôùi (O2, R-r)
- O1A vaø O1B laø hai tieáp tuyeán cuûa ñieåm O1 ñoái vôùi (O2, R-r).
- O2A vaø O2B keùo daøi caét (O2, R) taïi hai ñieåm A1 vaø B1.
- Döïng A1A2 song song vôùi O1A.
- Döïng B1B2 song song vôùi O1A.
- A1A2 vaø B1B2 laø tieáp tuyeán caàn döïng
2. Tieáp tuyeán chung trong ( Hoïc sinh töï döïng)
III. NOÁI HAI ÑÖÔØNG THAÚNG BAÈNG MOÄT CUNG TROØN
IV. NOÁI ÑÖÔØNG THAÚNG VÔÙI CUNG TROØN BAÈNG MOÄT CUNG TROØN
1. Tieáp xuùc ngoaøi
- Döïng ñöôøng thaúng (d’) song song vaø caùch (d) moät khoaûng R.
- Döïng ñöôøng troøn (O, R + r), ñöôøng troøn naøy caét (d’) taïi O’.
A1
B2
R
O1
A2
M
B1
B
O2
A
r
R
+
r

Trang 15
- OO’ caét (O, r) taïi ñieåm 2.
- O’-1 vuoâng goùc vôùi (d).
- Cung troøn taâm taïi O’ baùn kính
R caàn döïng ñi qua hai ñieåm 1 vaø
2.
2. Tieáp xuùc trong (hoïc sinh töï veõ)
V. NOÁI HAI CUNG TROØN BAÈNG MOÄT CUNG TROØN KHAÙC

Trang 16
1. Tieáp xuùc ngoaøi
- Veõ ñöôøng troøn (O, R + r).
- Veõ ñöôøng troøn (O, R +r’).
- Hai ñöôøng troøn naøy caét nhau taïi ñieåm A.
- AO caét (O, r) taïi B.
- AO’caét (O, r’) taïi C.
- Cung troøn (A, R) ñi qua hai ñieåm B vaø C chính laø cung caàn döïng.
2. Tieáp xuùc trong (Hoïc sinh töï veõ)
3. Tieáp xuùc trong vaø ngoaøi (Hoïc sinh töï veõ)

Trang 17

Trang 18
BAØI 3
DÖÏNG MOÄT SOÁ ÑÖÔØNG CONG THOÂNG DUÏNG
I. HÌNH OÂ VAN
Cho tröôùc ñoä daøi hai truïc AB vaø CD.
- Döïng cung troøn (O, OA), cung troøn naøy caét
CD keùo daøi taïi E.
- Döïng cung troøn (C, CE), cung troøn naøy caét
AC taïi M.
- Döïng ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AM, ñöôøng
trung tröïc naøy caét AB taïi O1 vaø caét CD taïi O2.
- Veõ cung troøn (O1, O1A), döøng laïi taïi ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AM.
- Veõ cung troøn (O2, O2C), döøng laïi taïi ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn AM.
- Cung AC chính laø ¼ hình caàn döïng.
- Caùc phaàn coøn laïi hoïc sinh töï veõ.
(Löu yù : caùc taâm coøn laïi laáy ñoái xöùng qua O)
II. HÌNH ELÍP
Elip laø quyõ tích cuûa nhöõng ñieåm coù toång
khoaûng caùch ñeán hai ñieåm coá ñònh F1, F2 baèng
moät haèng soá lôùn hôn khoaûng caùch giöõa hai ñieåm
coá ñònh.
Vẽ elip biết hai trục AB và CD
• Vẽ hai đường tròn tâm O, đường kính là AB và CD.
• Chia 2 đường tròn đó ra làm 12 phần đều nhau
• Từ các điểm chia 1, 2, 3...và 1', 2', 3'... kẻ các đường thẳng song song với
trục AB và CD.
Giao điểm của các đường 1 –1', 2 – 2' là các điểm nối thành Elip.

Trang 19
Vẽ Elip khi biết 2 đường kính liên hợp EF và GH
* Phương pháp hai chùm tia:
• Qua E và F kẻ MP và NQ // GH
• Qua G và H kẻ PQ và MN // EF
• Chia các đoạn OH, PH, QH ra làm 3 phần bằng nhau bởi các điểm 1, 2, 3 và
1',2', 3' (H là điểm chung 3 và 3' của cả 3 đoạn này)
• Nối E với các điểm 1', 2' thuộc PH và với 1, 2 thuộc OH ; nối F với các điểm
1', 2' thuộc HQ và 1, 2 thuộc OH.
• Giao điểm của 2 tia tương ứng thuộc 2 chùm tia E và F xác định các điểm
thuộc Elip.

Trang 20
Phương pháp tám điểm
• Qua A và B kẻ đường thẳng song song với CD, qua C và D kẻ hai đường
thẳng song song với AB ta được hình bình hành EFGH.
• Dựng tam giác vuông cân EIC (vuông tại I).
• Vẽ cung tròn tâm C, bán kính CI cắt đường thẳng EF tại K và L.
• Qua K và L vẽ các đường thẳng song song với CD, các đường thẳng này
cắt các đường chéo EG và HF tại 4 điểm 1,2, 3, 4 là những điểm thuộc elip
cần xác định.
III. ÑÖÔØNG XOAÉN OÁC ARCHIMET
Ñöôøng xoaén oác Archimet laø quõi ñaïo cuûa moät ñieåm chuyeån ñoäng ñeàu treân moät
baùn kính quay khi baùn kính naøy quay ñeàu quanh taâm O.
Ñoä dôøi cuûa ñieåm treân baùn kính quay naøy
ñöôïc moät voøng goïi laø böôùc xoaén.
Caùc böôùc veõ ñöôøng xoaén oác Archimet
böôùc xoaén a nhö sau :
ƒ Veõ ñöôøng troøn baùn kính baèng böôùc xoaén
a vaø chia ñöôøng troøn laøm n phaàn baèng nhau
ƒ Chia böôùc xoaén a ra laøm n phaàn baèng nhau

Trang 21
ƒ Ñaët leân caùc ñöôøng chia taïi caùc ñieåm 1, 2, 3, … caùc ñoaïn thaúng 01, 02, 03, …
ñöôïc caùc ñieåm M1, M2, M3, … thuoäc ñöôøng xoaén oác Archimet.
IV. ÑÖÔØNG THAÂN KHAI CUÛA ÑÖÔØNG TROØN
Ñöôøng thaân khai cuûa ñöôøng troøn laø quyõ ñaïo cuûa moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng
khi ñöôøng thaúng naøy laên khoâng tröôït treân moät ñöôøng troøn coá ñònh (ñöôøng troøn cô sôû)
Veõ ñöôøng thaân khai khi bieát ñöôøng troøn cô sôû baùn kính R.
ƒ Chia ñöôøng troøn cô sôû laøm n phaàn baèng nhau (ví duï n = 12)
ƒ Veõ tieáp tuyeán cuûa ñöôøng
troøn taïi caùc ñieåm chia ñeàu ñöôøng
troøn
ƒ Laàn löôït ñaët caùc tieáp tuyeán taïi
caùc ñieåm 1, 2, 3, … caùc ñoaïn thaúng baèng
1, 2, 3, … laàn
12
2
R
π , ta ñöôïc caùc ñieåm
M1, M2, M3, … thuoäc ñöôøng thaân khai

Trang 22
CHÖÔNG 3
HÌNH CHIEÁU VUOÂNG GOÙC
BAØI 1 KHAÙI NIEÄM VEÀ PHEÙP CHIEÁU
I. KHAÙI NIEÄM VEÀ PHEÙP CHIEÁU
Trong khoâng gian cho maët phaúng (P) vaø moät
ñieåm S coá ñònh ngoaøi maët phaúng (P). Töø moät ñieåm
A baát kyø trong khoâng gian döïng ñöôøng thaúng SA.
Ñöôøng thaúng naøy caét (P) taïi A’. Ta noùi raèng ñaõ thöïc
hieän pheùp chieáu ñieåm A leân maët phaúng (P).
ƒ S : taâm chieáu
ƒ A : vaät chieáu
ƒ (P) : maët phaúng hình chieáu
ƒ SA : tia chieáu
ƒ A’ : hình chieáu cuûa A
II. PHAÂN LOAÏI PHEÙP CHIEÁU
1. Pheùp chieáu xuyeân taâm
Laø pheùp chieáu maø caùc tia chieáu ñoàng qui taïi
moät ñieåm S coá ñònh. Ñieåm S goïi laø taâm chieáu.
A’, B’, C’ : goïi laø hình chieáu xuyeân taâm cuaû A,
B, C treân maët phaúng (P), taâm chieáu S.
2. Pheùp chieáu song song
Pheùp chieáu song song laø pheùp maø caùc tia chieáu song song vôùi moät ñöôøng
thaúng (a) coá ñònh, ñöôøng thaúng naøy goïi laø phöông chieáu.
Qua ñieåm A döïng ñöôøng thaúng song song vôùi (a). ñöôøng thaúng naøy caét (P) taïi
A’. A’ goïi laø hình chieáu song song cuûa A treân (P) theo phöông chieáu (a).
P
A'
A
S
C
B'
P C'
A'
B A
S

Trang 23
Pheùp chieáu song song ñöôïc chia laøm hai loaïi :
ƒ Pheùp chieáu xieân : laø pheùp chieáu maø phöông chieáu nghieâng so vôùi maët
phaúng hình chieáu.
ƒ Pheùp chieáu vuoâng goùc : Laø pheùp chieáu maø phöông chieáu vuoâng goùc vôùi
maët phaúng hình chieáu.
Caùc tính chaát cuûa pheùp chieáu song song :
ƒ Hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng song song vaãn laø
caùc ñöôøng thaúng song song : AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’
ƒ Tyû soá cuûa caùc ñoaïn thaúng song song vaãn
ñöôïc giöõ nguyeân khi chieáu :
'
'
'
'
//
D
C
B
A
CD
AB
CD
AB =
⇒
ƒ Tyû soá ñôn cuûa 3 ñieåm thaúng haøng cuõng ñöôïc giöõ nguyeân.
( ) ( )
'
'
'
'
'
'
'
E
B
A
E
B
E
A
BE
AE
ABE =
=
=
III. PHÖÔNG PHAÙP VEÀ CAÙC HÌNH CHIEÁU VUOÂNG GOÙC
Ta thaáy raèng, moät ñieåm A trong khoâng gian thì coù moät hình chieáu duy nhaát treân
maët phaúng hình chieáu laø A’. Nhöng ngöôïc laïi, töø moät hình chieáu A’ ta laïi coù theå xaùc
ñònh ñöôïc voâ soá caùc ñieåm khaùc nhau A, B, C, … treân cuøng moät hình chieáu. Suy ra,
bieát moät hình chieáu cuûa vaät theå treân moät maët phaúng hình chieáu thì ta chöa theå hình
P
A'
A
(a)
PHEÙP CHIEÁU VUOÂNG GOÙC PHEÙP CHIEÁU XIEÂN
P
A'
(a)
A

Trang 24
dung ñöôïc vaät theå ñoù trong khoâng gian. Do vaäy, ñeå traùnh nhaàm laãn caàn phaûi coù hai
hình chieáu trôû leân.
Phöông phaùp veõ hình chieáu vuoâng goùc cuûa vaät theå :
Chieáu vuoâng goùc vaät theå leân caùc maët phaúng hình chieáu vuoâng goùc nhau töøng ñoâi
moät. Sau ñoù xoay caùc maët phaúng hình chieáu truøng nhau thaønh moät maët phaúng (xoay
theo qui öôùc). Maët naøy chính laø maët phaúng baûn veõ. Luùc naøy treân maët phaúng cuûa baûn
veõ seõ coù nhieàu hình chieáu vuoâng goùc cuûa vaät theå. Nghieân cöùu caùc hình veõ naøy ta seõ
hình dung ra hình daïng cuûa vaät theå trong khoâng gian
≡ ≡

Trang 25
BAØI 2
HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑIEÅM – ÑOAÏN THAÚNG – HÌNH PHAÚNG
I. HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑIEÅM
1. Hình chieáu cuûa ñieåm treân hai maët phaúng
Trong khoâng gian cho ñieåm A tuøy yù vaø hai maët phaúng (P1), (P2) vuoâng goùc nhau
theo giao tuyeán x.
Töø A döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P1) vaø (P2), ta coù A1 vaø A2 treân hai maët
phaúng (P1) vaø (P2).
ƒ A1 : hình chieáu ñöùng cuûa A
ƒ A2 : hình chieáu baèng cuûa A
ƒ A1A2 : ñöôøng doùng
ƒ P1 : maët phaúng hình chieáu ñöùng
ƒ P2 : maët phaúng hình chieáu baèng
ƒ AA1 = A2Ax : ñoä xa cuûa A
ƒ AA2 = A1Ax : ñoä cao cuûa A
Quay (P2) quanh x moät goùc 90o
theo chieàu nhö hình veõ, ta coù P2 ≡ P1. Khi ñoù
A1A2 ⊥ Ax. A1A2 coøn goïi laø ñoà thöùc cuûa A treân hai maët phaúng.
A
A1
AX
A2
O
x
P2
P1 P1
P2
A1
AX
A2
x
A2
AX
A1
x

Trang 26
2. Hình chieáu cuûa ñieåm treân ba maët phaúng
Trong khoâng gian cho ñieåm A vaø 3 maët phaúng P1, P2, P3 vuoâng goùc nhau theo
giao tuyeán Ox, Oy, Oz
ƒ A3 : hình chieáu caïnh
ƒ AA3 = AzAy : ñoä xa hình chieáu caïnh
Quay maët phaúng P3 vaø P2 truøng vôùi maët phaúng P1, ta coù ñoà thöùc cuûa ñieåm treân ba
maët phaúng.
II. HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑOAÏN THAÚNG
Ñoaïn thaúng ñöôïc xaùc ñònh bôûi hai ñieåm baát kyø.
1. Ñoà thöùc cuûa ñoaïn thaúng
2. Ñoà thöùc cuûa ñoaïn thaúng ôû vò trí ñaëc bieät
Ñöôøng thaúng song song vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa ñöôøng thaúng treân maët
phaúng ñoù laø chính noù.
A
A1
AX
A2
O
x
P2
P1 P1
P2
A1
AX
A2
x
A3
AZ
Ay
z
y
O
Ay
AZ A3
z
y
AX
A2 y Ay
O
A3
AZ
z
A1
x
P3
P3
A
A1
AX
A2
O
x
P2
P1
A3
AZ
Ay
z
y
AX
A2
Ay
O
A3
AZ
A1
x
P3
BX
B1
B B3
By
B2
BZ
B1
By
B2
B3
BZ
z
y
BX

Trang 27
2.1. Ñöôøng thaúng song song vôùi MPHC
2.1.1. Ñöôøng maët : Ñöôøng thaúng song song vôùi MPHCÑ
2.1.2. Ñöôøng baèng : ñöôøng thaúng song song vôùi MPHCB
Nhaän xeùt : Hình chieáu ñöùng song song vôùi truïc x
2.1.3. Ñöôøng caïnh : ñöôøng thaúng song song vôùi MPHCC
P1 z
x
P2 y
P3
O
x
z
y
y
A
B
B1
A1
A2 B2
B3
A3
B1
A1
A2 B2
B3
A3
P1 z
x
P2 y
P3
O x
z
y
y
A
B
B1
A1
A2
B2
B3
A3
B1
A1
A2
B2
B3 A3
P1
z
x
P2 y
P3
O x
z
y
y
A
B
B1
A1
A2
B2
B3
A3
B1
A1
A2
B2
B3
A3

Trang 28
2.2. Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi MPHC
Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa noù treân maët phaúng ñoù
laø moät ñieåm.
2.2.1. Ñöôøng thaúng tia chieáu ñöùng : AB ⊥ MPHCÑ
2.2.2. Ñöôøng thaúng tia chieáu baèng : AB ⊥ MPHC
2.2.3. Ñöôøng thaúng tia chieáu caïnh : AB ⊥ MPHCC
P1
z
P3
y
P2
x
O
z
x
y
B
A A3
B3
A2
B2
A1 ≡ B1
A1 ≡ B1
A2
B2
A3 B3
O
z
x
P1
A2 ≡ B2
B1
B
A1
A
P3
O
A3
B3
A3
A2 ≡ B2
B1
x
A1
O
z
y
y
P2 y
B3
P1
x
P2
y
P3
O
y
x
y
z
O
A1 B1
A B
A2 B2
A
3
≡
B
3
A1 B1
A2 B2
A3 ≡ B3

Trang 29
III. HÌNH CHIEÁU CUÛA MAËT PHAÚNG
1. Caùch xaùc ñònh maët phaúng trong khoâng gian
Qua 3 ñieåm khoâng
thaúng haøng
Moät ñieåm naèm
ngoaøi maët phaúng
Hai ñöôøng thaúng
caét nhau
Hai ñöôøng thaúng
song song
2. Ñoà thöùc cuûa maët phaúng
Trong khoâng gian cho 3 ñieåm phaân bieät A, B, C vaø ba maët phaúng P1, P2, P3
vuoâng goùc nhau theo giao tuyeán Ox, Oy, Oz.
A1
BZ
A1
AX
x
O
A2
P2
B2
BX
A
B
AZ
y
By
Ay
B3
A3
P3
A2
B2
AX
x
BX
P1
B1
z z
B1
AZ
A3
By
Ay
O y
BZ B3
C1
C3
C
C1
C2
C2
C3
CZ
Cy
3. Ñoà thöùc cuûa maët phaúng ôû nhöõng vò trí ñaëc bieät
3.1. Maët phaúng vuoâng goùc vôùi MPHC
Maët phaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu thì hình chieáu cuûa noù suy bieán
thaønh moät ñoaïn thaúng.

Trang 30
3.1.1.Maët phaúng chieáu ñöùng
- A, B, C thuoäc maët phaúng (Q).
- (Q) ⊥ (P1).
- Chieáu A, B, C leân (P1), (P2), (P3).
3.1.2. Maët phaúng chieáu baèng
3.1.3. Maët phaúng chieáu caïnh
P1
x
P2
y
P3
O
x
y
z
O
A1
B1
A2
B2
A2
B2
C2
A
B
C
C2
A3
B3
C1
C3
Q

Trang 31
3.2. Maët phaúng song song vôùi MPHC
Maët phaúng song song vôùi MPHC naøo thì hình chieáu cuûa noù treân maët phaúng
ñoù laø chính noù.
3.2.1. Maët phaúng baèng : maët phaúng song song vôùi MPHCB
3.2.2. Maët phaúng ñöùng (Maët phaúng maët) : maët phaúng song song vôùi MPHCÑ
3.2.3. Maët phaúng caïnh : Maët phaúng song song vôùi MPHCC

Trang 32
BAØI 3 HÌNH CHIEÁU CUÛA CAÙC KHOÁI HÌNH HOÏC
I. KHOÁI ÑA DIEÄN
Khoái ña dieän laø khoái hình hoïc ñöôïc giôùi haïn baèng caùc ña giaùc phaúng. Caùc ña giaùc
phaúng ñöôïc goïi laø caùc maët cuûa khoái ña dieän, caùc ñænh vaø caùc caïnh ñöôïc goïi laø ñænh
vaø caïnh cuûa khoái ña dieän.
Caùc ña dieän thöôøng gaëp : khoái laêng truï, khoái thaùp, khoái thaùp cuït.
3. Khoái laêng truï : laø khoái ña dieän coù caùc caïnh beân song song
ƒ Khoái laêng truï ñöùng : caïnh beân
vuoâng goùc vôùi MPHC.
ƒ Khoái laêng truï xieân : caïnh beân
khoâng vuoâng goùc vôùi MPHC
4. Khoái thaùp : laø khoái ña dieän coù caùc caïnh beân ñoàng qui.
ƒ Khoái thaùp ñöùng : caùc caïnh
beân baèng nhau
ƒ Khoái thaùp xieân : caùc caïnh
beân khoâng baèng nhau.
II. KHOÁI TROØN
Laø khoái hình hoïc giôùi haïn bôûi maët troøn xoay : khoái caàu, khoái xuyeán hay giôùi haïn
bôûi moät phaàn maët troøn xoay vaø maët phaúng (maët truï, maët noøn, nöûa caàu, …). Maët troøn
xoay taïo bôûi moät ñöôøng thaúng baát kyø quay quanh moät truïc coá ñònh. Ñöôøng baát kyø ñoù
goïi laø ñöôøng sinh cuûa maët troøn xoay. Truïc coá ñònh goïi laø truïc quay cuûa maët troøn
xoay.
KHOÁI LAÊNG TRUÏ XIEÂN
KHOÁI LAÊNG TRUÏ ÑÖÙNG
KHOÁI LAÊNG TRUÏ XIEÂN
KHOÁI LAÊNG TRUÏ ÑÖÙNG
S
O
B
A
D C
S
A B
C
D
O

Trang 33
ƒ Maët truï troøn xoay : ñöôøng sinh song song vôùi truïc quay.
ƒ Maët noùn troøn xoay : ñöôøng sinh caét truïc quay
ƒ Neáu ñöôøng sinh laø nöûa ñöôøng troøn (hoaëc ñöôøng troøn) quay quanh truïc Δ vôùi
ñieàu kieän Δ ∈ maët phaúng chöùa ñöôøng troøn vaø truïc Δ ñi qua taâm cuûa ñöôøng troøn seõ
taïo maët caàu.
ƒ Neáu truïc quay Δ thuoäc maët phaúng chöùa ñöôøng troøn nhöng khoâng ñi qua taâm
cuûa ñöôøng troøn taïo thaønh maët xuyeán.

Trang 34
III. BIEÅU DIEÃN HÌNH CHIEÁU CUÛA CAÙC KHOÁI HÌNH HOÏC CÔ BAÛN
Khi döïng ñoà thöùc caùc khoái hình hoïc cô baûn theo caùc vò trí sau ñeå
ƒ Ñaët caùc khoái ôû goùc 1/8 thöù nhaát.
ƒ Neáu khoái hình hoïc coù truïc ñoái xöùng hay truïc quay thì neân ñaët truïc thaúng goùc
hay song song vôùi moät MPHC.
1. Khoái hình hoäp
2. Khoái laêng truï ñaùy tam giaùc
3. Khoái laêng truï ñaùy luïc giaùc ñeàu
4. Hình chieáu cuûa hình choùp ñöùng
4.1. Hình choùp ñöùng ñaùy vuoâng

Trang 35
4.2. Hình chieáu cuûa choùp xieân
5. Hình truï
6. Hình noùn

Trang 36
7. Hình caàu
BAØI 4 GIAO TREÂN BEÀ MAËT VÔÙI CAÙC KHOÁI HÌNH HOÏC
I. GIAO TUYEÁN CUÛA MAËT PHAÚNG VÔÙI KHOÁI ÑA DIEÄN
1. Giao tuyeán cuûa maët phaúng vôùi khoái ña dieän
Giao tuyeán cuûa maët phaúng vôùi khoái ña dieän laø moät hình ña giaùc.
2. Giao tuyeán cuûa maët
phaúng vôùi hình truï
1.1. Maët phaúng vuoâng goùc vôùi hình truï : giao tuyeán laø moät ñöôøng troøn
1.2. Maët phaúng nghieâng vôùi truïc cuûa hình truï : Giao tuyeán laø moät hình eâlíp

Trang 37
1.3. Maët phaúng song song vôùi truïc cuûa
hình truï : Giao
tuyeán laø hình chöõ
nhaät.
II. GIAO TUYEÁN CUÛA CAÙC KHOÁI HÌNH HOÏC
3. Giao tuyeán cuûa caùc khoái ña dieän
Khoái ña dieän ñöôïc giôùi haïn bôûi caùc ña giaùc
neân giao tuyeán cuûa hai khoái ña dieän laø ñöôøng
gaõy khuùc kheùp kín.
4. Giao tuyeán cuûa hai khoái truï
Giao tuyeán cuûa hai khoái troøn laø moät
ñöôøng cong khoâng gian kheùp kín. Muoán veõ giao
tuyeán cuûa khoái troøn, ta tìm moät soá ñieåm cuûa
giao tuyeán roài noái laïi.
2.1. Giao tuyeán cuûa hai hình truï coù truïc vuoâng goùc
Hai khoái truï coù ñöôøng kính khaùc nhau Hai khoái truï coù ñöôøng kính baèng nhau

Trang 38
5. Giao tuyeán cuûa hình truï vôùi hình caàu vaø hình noùn vôùi hình caàu
III. GIAO TUYEÁN CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN VÔÙI KHOÁI TROØN
Giao tuyeán cuûa khoái ña dieän vôùi khoái troøn laø giao tuyeán cuûa caùc maët ña dieän vôùi
caùc maët cuûa khoái troøn.

Trang 39
BAØI 5 BIEÅU DIEÃN VAÄT THEÅ
Moät vaät theå ñôn giaûn hay phöùc taïp ñeàu ñöôïc caáu taïo töø nhöõng khoái hình hoïc cô
baûn. Hình chieáu cuûa vaät theå laø toång hôïp hình chieáu cuûa caùc khoái hình hoïc cô baûn.
Caùc khoái hình hoïc taïo thaønh vaät theå coù nhöõng vò trí töông ñoái khaùc nhau. Tuyø
theo vò trí töông ñoái ta coù nhöõng giao tuyeán daïng khaùc nhau.
Muoán veõ hình chieáu cuûa vaät theå ta phaûi phaân tích vaät theå thaønh nhöõng khoái hình
hoïc cô baûn, xaùc ñònh vò trí töông ñoái cuûa chuùng roài veõ hình chieáu cuûa töøng phaàn vaø
veõ giao tuyeán giöõa caùc beà maët cuûa caùc khoái.
1. Caùch phaân tích vaät theå thaønh caùc khoái hình hoïc cô baûn.
Cho hình chieáu truïc ño cuûa vaät theå. Xaùc
ñònh hình chieáu cuûa vaät theå.
Phaân tích khoái vaät theå :
ƒ Ñeá : laø khoái laêng truï coù ñaùy laø hình chöõ
nhaät, bò caét ôû hai goùc phía tröôùc hình laêng
truï ñaùy laø tam giaùc.
ƒ Thaân : thaân laø moät khoái laêng truï, ñaùy laø
hình chöõ nhaät, bò seû raõnh hình truï. Vò trí cuûa thaân : naèm ôû chính giöõa phía sau cuûa ñeá.
2.. Caùch veõ hình chieáu thöù ba töø hai hình chieáu ñaõ cho
Trong baûn veõ kyõ thuaät qui ñònh khoâng veõ caùc truïc chieáu OX, OY, OZ. Vì theá khi veõ
hình chieáu thöù ba neân choïn moät ñöôøng laøm chuaån ñeå töø ñoù xaùc ñònh caùc ñöôøng neùt
khaùc.

Trang 40
ƒ Neáu hình chieáu thöù ba ñoái xöùng : choïn truïc ñoái xöùng laøm truïc.
ƒ Hình chieáu thöù ba khoâng ñoái xöùng : choïn ñöôøng bao ôû bieân laøm chuaån.
ƒ Caùc kích thöôùc ño ñöôïc töø hình chieáu baèng ñöa ra hình chieáu caïnh.
(Coù theå duøng ñöôøng thaúng nghieâng 45o
laøm ñöôøng phuï trôï ñeå veõ hình chieáu thöù ba).
CHÖÔNG IV HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
BAØI 1. KHAÙI NIEÄM VEÀ HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
1. Khaùi nieäm
Hình chieáu truïc ño : Laø hình bieåu dieãn
cuûa vaät theå ñöôïc döïng töø moät heä truïc ño.
Heä truïc ño : Laø hình chieáu cuûa moät heä
goàm 3 truïc vuoâng goùc xaùc ñònh 3 chieàu kích
thöôùc, thöïc hieän bôûi pheùp chieáu song song vaø
ñöôïc goïi laø pheùp chieáu truïc ño.
Hình chieáu truïc ño ñöôïc xaùc ñònh theo
phöông chieáu vaø heä soá bieán daïng cuûa caùc truïc.
2. Phaân loaïi hình chieáu truïc ño.
a. Phaân loaïi hình chieáu truïc ño theo phöông chieáu :
ƒ Hình chieáu truïc ño xieân : Phöông chieáu ôû vò trí baát kyø ñoái vôùi maët phaúng
hình chieáu.
ƒ Hình chieáu truïc ño vuoâng goùc : Phöông chieáu vuoâng goùc vôùi maët phaúng
hình chieáu.
Po
X'
Y'
Z'
Z
X
Y
O
O'
A
A
B
C
A'
B'
C'

Trang 41
b. Phaân loaïi hình chieáu truïc ño theo heä soá bieán daïng :
ƒ Hình chieáu truïc ño ñeàu : Heä soá bieán daïng theo ba truïc baèng nhau.
ƒ Hình chieáu truïc ño caân : Heä soá bieán daïng theo 2 trong 3 truïc baèng nhau.
ƒ Hình chieàu truïc ño leäch : Heä soá bieán daïng theo 3 truïc khoâng baèng nhau.

Trang 42
BAØI 2 CAÙC LOAÏI HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
Coù hai loaïi hình chieáu truïc ño tieâu chuaån vaø thöôøng duøng :
¾ Hình chieáu truïc ño vuoâng goùc ñeàu.
¾ Hình chieáu truïc ño xieân ñöùng caân.
1. Hình chieáu truïc ño vuoâng goùc ñeàu
a. Khaùi nieäm :
Hình chieáu truïc ño vuoâng goùc ñeàu : Laø loaïi hình chieáu truïc ño coù phöông
chieáu vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu.
b. Quy öôùc :
Tieâu chuaån nhaø nöôùc quy ñònh vò trí vaø heä soá bieán daïng cuûa heä truïc ño vuoâng
goùc ñeàu nhö sau :
™ Truïc ñöùng : (Oz)
™ Hai truïc nghieâng (Ox, Oy) moät goùc 30o
ñoái vôùi ñöôøng baèng.
™ Heä soá bieán daïng : Kx = p = 1 ; Ky = q = 1 ; Kz = r = 1
Chuù yù : Hình phaúng naèm trong hoaëc song song vôùi caùc maët phaúng truïc toaï ñoä
ñeàu veõ bieán daïng treân hình chieáu truïc ño vuoâng goùc ñeàu.

Trang 43
Caùch veõ hình oâ van nhö hình veõ :
Bieát :
ƒ Truïc lôùn cuûa hình oâ van : 1,22d
ƒ Truïc nhoû cuûa hình oâvan : 0.7d
2. Hình chieáu truïc ño xieân ñöùng caân
Hình chieáu truïc ño xieân ñöùng caân : Laø loaïi hình chieáu truïc ño coù phöông chieáu
khoâng vuoâng goùc vôùi maët phaúng hình chieáu (P).
Tieâu chuaån nhaø nöôùc quy ñònh : Vò trí vaø heä soá bieán daïng cuûa heä truïc ño xieân
ñöùng caân nhö sau :
ƒ Truïc ñöùng (Oz).
ƒ Truïc ngang (Ox)
ƒ Truïc nghieâng (Oy) vôùi goùc 45o
ñoái vôùi ñöôøng baèng.
ƒ Kx = p = 1 ; Ky = q = 0.5 ; Kz = r = 1
Hình phaúng naèm trong hoaëc song song vôùi maët phaúng (Ox, Oz) seõ khoâng bò
bieán daïng treân hình chieáu truïc ño xieân ñöùng caân.

Trang 44
BAØI 3 CAÙCH DÖÏNG HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
1. Phöông phaùp toaï ñoä
Phöông phaùp toaï ñoä : laø phöông phaùp cô baûn ñeå döïng hình chieáu truïc ño cuûa
vaät theå.
Tuy nhieân, muoán döïng hình chieáu truïc ño cuûa vaät theå ta phaûi döïng ñöôïc hình
chieáu truïc ño cuûa moät ñieåm.
Caùch döïng hình chieáu truïc ño cuûa moät ñieåm nhö sau :
™ Tröôùc heát veõ vò trí caùc truïc ño cuûa heä truïc ño vaø xaùc ñònh toaï ñoä vuoâng goùc cuûa
ñieåm A (XA, YA, ZA), sau ñoù caên cöù vaøo heä soá bieán daïng cuûa caùc truïc ño maø xaùc ñònh
toaï ñoä truïc ño cuûa ñieåm ñoù vôùi :
X’A = p3 XA ; Y’A = q3 YA ; Z’ = r3 ZA
™ Laàn löôït ñaët caùc toaï ñoä truïc ño leân caùc heä truïc ño ta seõ xaùc ñònh ñöôïc ñieåm
A’ laø hình chieáu truïc ño cuûa ñieåm A.
2. Ñaëc ñieåm veà caùch döïng
a. Vaät theå coù daïng hình hoäp : Ta veõ hình hoäp ngoaïi tieáp cho vaät theå vaø choïn 3
maët cuûa hình hoäp laøm 3 maët phaúng toaï ñoä.
b. Vaät theå coù maët ñoái xöùng : Ta neân choïn maët phaúng ñoái xöùng laøm maët phaúng
toaï ñoä.

Trang 45
Chi tieát daïng hình hoäp
Chi tieát coù truïc ñoái xöùng
Hình 2 H nh 3
Hình 1

Trang 46
CHÖÔNG V
HÌNH BIEÅU DIEÃN CUÛA VAÄT THEÅ
BAØI 1 HÌNH CHIEÁU
1. Khaùi nieäm
Hình chieáu : laø hình bieåu dieãn caùc phaàn
thaáy cuûa vaät theå ñoái vôùi ngöôøi quan saùt .
Cho pheùp theå hieän caùc phaàn khuaát cuûa vaät
theå baèng neùt ñöùt ñeå giaûm soá löôïng veà hình
bieåu dieãn.
2. Phöông phaùp bieåu dieãn
Ñeå cuï theå hoaù caùch bieåu dieãn, nhaø nöôùc quy ñònh duøng 6 maët cuûa hoäp laäp
phöông laøm 6 maët phaúng chieáu cô baûn. Hoäp laäp phöông naøy goïi laø hoäp hình
chieáu. Caùc maët (2), (3), (4) , (5), (6) coù theå môû vaø traûi phaúng ra truøng vôùi maët (1) nhö
hình veõ :

Trang 47
3. Phaân loaïi
a. Hình chieáu cô baûn
Hình chieáu cô baûn laø hình chieáu cuûa caùc vaät theå treân caùc maët phaúng hình chieáu
cô baûn cuûa hoäp hình chieáu.
Hình chieáu cô baûn coù teân goïi laø :
™ Hình chieáu töø tröôùc (HÌnh chieáu ñöùng hay hình chieáu chính).
™ Hình chieáu töø treân (Hình chieáu baèng).
™ Hình chieáu töø traùi (Hình chieáu caïnh).
™ Hình chieáu töø phaûi.
™ Hình chieáu töø döôùi.
™ Hình chieáu töø sau.
Hình chieáu töø tröôùc coøn goïi laø hình chieáu
chính, hình chieáu naøy ñöôïc choïn sao cho phaûn
aùnh ñaëc tröng hình daïng cuûa vaät theå. Caùc hình
chieáu khaùc phaûi ôû ñuùng vò trí ñoái vôùi hình chieáu töø
tröôùc nhöng neáu caùc hình chieáu naøy khoâng ñuùng
vò trí hoaëc bò phaân caùch bôûi moät hình bieåu dieãn
khaùc thì phaûi ñöôïc chæ danh baèng chöõ hoa vaø chæ
höôùng baèng muõi teân nhö hình veõ treân.
b. Hình chieáu rieâng phaàn
- Hình chieáu rieâng phaàn : Laø hình
chieáu moät phaàn cuûa vaät theå treân maët
phaúng hình chieáu song song vôùi maët
phaúng hình chieáu cô baûn.
- Hình chieáu rieâng phaàn phaûi ñöôïc
chæ danh vaø chæ höôùng neáu khoâng veõ
A
A

Trang 48
ñuùng vò trí chieáu .
c. Hình chieáu phuï
- Hình chieáu phuï laø hình chieáu moät
phaàn cuûa vaät theå treân maët phaúng hình
chieáu khoâng song song vôùi maët phaúng hình
chieáu cô baûn.
- Hình chieáu phuï neân ñaët ñuùng vò trí chieáu.
Neáu khoâng thì phaûi chæ danh vaø chæ höôùng.
- Ñeå thuaän tieän cho vieäc boá trí treân baûn
veõ, tieâu chuaån nhaø nöôùc cho pheùp veõ xoay
hình veà vò trí thích hôïp. Trong tröôøng hôïp
naøy hình bieåu dieãn phaûi ñöôïc kí hieäu baèng muõi teân cong.
BAØI 2 HÌNH CAÉT
Ñoái vôùi nhöõng vaät theå coù caáu taïo beân trong phöùc taïp, neáu chæ duøng hình
chieáu ñeå bieåu dieãn thì hình veõ coù nhieàu ñöôøng khuaát, nhö theá baûn veõ seõ khoâng
roõ raøng. Ñeå khaéc phuïc baûn veõ kyõ thuaät duøng hình caét vaø maët caét ñeå bieåu dieãn
caáu taïo beân trong cuûa vaät theå
1. Khaùi nieäm
Hình caét : Laø hình bieåu dieãn phaàn coøn laïi cuûa vaät theå sau khi ñaõ töôûng töôïng caét
ñi phaàn vaät theå ôû giöõa maët phaúng caét vaø ngöôøi quan saùt.
Vaät theå ñöôïc caét bôûi moät hay nhieàu maët phaúng goïi laø maët phaúng caét. Chieáu phaàn
vaät theå naèm giöõa maët phaúng caét vaø maët phaúng hình chieáu ta seõ coù hình caét. Do vaäy
hình caét ñöôïc xem laø hình chieáu cuûa moät phaàn vaät theå (ôû giöõa maët phaúng caét vaø maët
phaúng hình chieáu) treân maët phaúng hình chieáu.

Trang 49
Chuù yù :
™ Vaät theå ñöôïc töôûng töôïng bò caét ñeå veõ hình caét nhöng thöïc teá khoâng bò caét
neân caùc hình chieáu khaùc phaûi ñöôïc giöõ nguyeân.
™ Ñeå phaân bieät hình caét vôùi caùc hình chieáu thì hình caét phaûi ñöôïc chæ danh baèng
chöõ hoa vaø ñöôïc kí hieäu vaät lieäu treân dieän tích bò caét, ñoàng thôøi phaûi xaùc ñònh veát maët
phaúng caét baèng neùt caét coù chæ danh vaø chæ höôùng baèng chöõ hoa treân hình chieáu.
™ Ñöôøng gaïch gaïch (ñöôøng tuyeán aûnh) : Laø nhöõng ñöôøng neùt lieàn maûnh duøng
ñeå kí hieäu vaät lieäu maët caét cuûa vaät theå, coù khoaûng caùch töø 3 – 5mm vôùi ñoä nghieâng
45o
ñoái vôùi ñöôøng baèng, ñöôøng bao hay ñöôøng truïc chính cuûa hình veõ. Neáu caàn coù
theå choïn ñoä nghieâng 30o
hoaëc 60o
1 2
3
P
A
A
A - A

Trang 50
ƒ Ñöôøng gaïch gaïch phaûi thoáng nhaát ñoä nghieâng vaø khoaûng caùch treân cuøng
dieän tích caét cuûa vaät theå.
ƒ Ñöôøng gaïch gaïch phaûi khaùc ñoä nghieâng vaø khoaûng caùch treân vuøng dieän tích
caét cuûa hai vaät theå.
ƒ Ñöôøng gaïch gaïch coù theå ñöôïc giaûn löôïc theo chu vi ñöôøng bao neáu dieän
tích caét quaù roäng.
ƒ Ñöôøng gaïch gaïch ñöôïc thay baèng boâi ñen neáu dieän tích caét quaù heïp.
3. Phaân loaïi hình caét
a. Phaân loaïi hình caét theo vò trí maët phaúng
™ Hình caét ñöùng : Maët phaúng caét song song vôùi MPHCÑ
™ Hình caét baèng : Maët phaúng caét song song vôùi MPHCB

Trang 51
™ Hình caét caïnh : Maët phaúng caét song song vôùi maët MPHCC.
™ Hình caét nghieâng : Maët phaúng chieáu ôû vò trí baát kyø. Ñeå tieän boá trí hình
treân baûn veõ, ta coù theå veõ xoay hình caét nghieâng ôû vò trí thích hôïp vaø ñöôïc kyù hieäu
baèng muõi teân cong treân hình veõ
Hình caét ñöùng, baèng, caïnh, nhieâng : Laø nhöõng hình bieåu dieãn ñöôïc veõ ñuùng vò
trí thay cho hình chieáu töø tröôùc, hình chieáu töø treân (hoaëc hình chieáu töø döôùi), hình
chieáu töø traùi ( hoaëc hình chieáu töø phaûi ), hình chieáu phuï.
4. Phaân loaïi hình caét theo soá löôïng maët phaúng caét
™ Hình caét ñôn giaûn : Laø hình caét chæ coù moät maët phaúng chieáu. Hình caét ñôn
giaûn coù daïng laø hình caét doïc hoaëc hình caét ngang.
™ Hình caét phöùc taïp :
Laø do hai hay nhieàu maët phaúng chieáu. Hình caét phöùc taïp coù daïng laø hình caét
baäc ( do keát hôïp bôûi 2 hay nhieàu maët phaúng chieáu ñoàng qui ),
a. Hình caét baäc : Caùc MPC song song nhau (daïng baäc thang)
b. Hình caét xoay : Caùc MPC giao nhau hôïp thaønh goùc tuø.

Trang 52
A
A
A
A - A
A
A
A - A
5. Caùc hình caét ñaëc bieät
¾ Hình caét rieâng phaàn : Hình caét rieâng phaàn laø
hình caét moät phaàn nhoû cuûa vaät theå. Hình caét naøy ñaët taïi
ngay ôû vò trí töông öùng treân hình chieáu cô baûn . ñöôøng gaïch
gaïch ñöôïc giôùi haïn baèng neùt löôïn soùng. Khoâng caàn chæ
danh vaø chæ höôùng treân hình caét.
¾ Hình chieáu keát hôïp hình caét : duøng ñeå dieãn taû hình daïng beân trong laãn beân
ngoaøi cuûa vaät treân moät hình bieåu dieãn. (Muïc ñích laø giaûm bôùt soá löôïng hình bieåu dieãn)
ƒ Neáu hình chieáu vaø hình caét coù chung truïc ñoái xöùng thì gheùp chung vôùi nhau,
laáy taâm laøm ñöôøng phaân caùch.
ƒ Neùt ñöùt (ñöôøng bao khuaát) ôû phaàn hình chieáu ñoái xöùng vôùi neùt ñaäm (ñöôøng bao
thaáy) ôû phaàn hình caét thì boâi ñi.
ƒ Neáu neùt ñaäm truøng vôùi ñöôøng taâm thì duøng neùt löôïn soùng laøm ñöôøng phaân
caùch (theå hieän neùt ñaäm).

Trang 53
ƒ Neáu hình chieáu vaø hình caét khoâng coù truïc ñoái xöùng thì duøng neùt löôïn soùng laøm
ñöôøng phaân caùch.
6. Nhöõng phaàn khoâng veõ kyù hieäu vaät lieäu treân maët caét
a. Caùc chi tieát nhö : vít, buloâng, ñinh taùn, then, truïc ñaëc, … qui öôùc khoâng bò caét
theo beà doïc. Caùc vieân bi cuõng qui öôùc khoâng bò caét.
b. Moät soá phaàn töû cuûa chi tieát maùy nhö : nan hoa cuûa voâ laêng, gaân ñôõ löïc, raêng
cuûa baùnh raêng, … qui öôùc khoâng kyù hieäu vaät lieäu treân maët caét cuûa chuùng khi caét theo
beà doïc.
Baøi 3 MAËT CAÉT
Maët caét duøng ñeå theå hieän hình daïng vaø caáu taïo
phaàn töû bò caét maø treân caùc hình chieáu khoù theå hieän
ñöôïc.

Trang 54
1. Khaùi nieäm
Maët caét laø hình bieåu dieãn nhaän ñöôïc treân MPC khi ta töôûng töôïng duøng maët caét
naøy caét vaät theå.
Hình caét Maët caét
B
B
B - B
B
B
B - B
2. Phaân loaïi
2.1. Maët caét rôøi : duøng ñeå theå hieän nhöõng phaàn töû coù ñöôøng bao MC phöùc taïp.
Maët caét rôøi ñaët ngoaøi hình bieåu dieãn töông öùng (coù theå ñaët ôû giöõa hình phaàn caét
lìa cuûa moät hình bieåu dieãn naøo ñoù). Ñöôøng bao cuûa MC rôøi veõ baèng neùt lieàn ñaäm.
Maët caét rôøi ñöôïc ñaët doïc theo ñöôøng keùo daøi cuûa neùt caét vaø ñaët gaàn hình bieåu
dieãn töông öùng ( cho pheùp ñaët tuyø yù)..
2.2. Maët caét chaäp
Maët caét chaäp ñaët ngay treân hình bieåu dieãn
töông öùng. Ñöôøng bao cuûa maët caét chaäp veõ
baèng neùt lieàn maûnh. Caùc ñöôøng bao taïi choã
ñaët maët caét chaäp vaãn giöõ nguyeân.

Trang 55
3. Kyù hieäu vaø qui ñònh veà maët caét
a. Treân maët caét cuõng ghi kyù hieäu gioáng hình caét (veát caét, chæ höôùng baèng muõi teân
vaø chæ danh baèng chöõ hoa).
b. Neáu maët phaúng caét laø hình ñoái xöùng maø truïc ñoái xöùng truøng vôùi veát maët caét
hay truøng vôùi ñöôøng keùo daøi cuûa maët caét thì khoâng caàn ghi chuù.
c. Neáu maët caét chaäp, maët caét rôøi khoâng phaûi laø hình ñoái xöùng thì chæ veõ neùt caét vaø
muõi teân maø khoâng caàn chæ danh. (Nhôø muõi teân, ta môùi bieát phaàn töû naøo ôû phía tröôùc).
Neáu maët caét qua caùc loã hoaëc phaàn loõm daïng troøn xoay
thì ñöôøng bao cuûa loã hay loõm ñoù ñöôïc veõ ñaày ñuû treân maët
caét. Qui öôùc naøy giuùp ngöôøi ñoïc baûn veõ phaân bieät ñöôïc
caùc loã, choã loõm troøn xoay, raõnh khoâng troøn xoay.
d. Neáu caùc maët caét gioáng nhau ñoàng thôøi deã xaùc
ñònh vò trí caùc maët caét ñoù ôû hình bieåu dieãn thì cho pheùp
chæ veõ neùt caét cuûa moät maët caét, ñoàng thôøi ghi roõ soá
löôïng cuûa caùc maët caét ñoù.
B
B
B - B
C
C
C - C
B
B
B
B

Trang 56
e. Cho pheùp veõ xoay maët caét ñeå tieän boá trí treân baûn veõ. Trong tröôøng hôïp naøy
hình veõ phaûi ñöôïc kyù hieäu baèng muõi teân cong.
BAØI 4 HÌNH TRÍCH
1. Khaùi nieäm
Hình trích : Laø loaïi hình bieåu dieãn thöôøng ñöôïc phoùng to trích töø hình bieåu dieãn
chính nhaèm theã hieän roõ keát caáu quaù nhoû cuûa vaät theå
Ñeå chæ daãn phaàn ñöôïc trích töø hình bieåu dieãn chính, tieâu chuaån nhaø nöôùc qui ñònh
duøng neùt lieàn maûnh khoanh vuøng ñöôïc trích ( baèng voøng troøn hoaëc elip) keøm theo soá
thöù töï La maõ töông öùng vaø tæ leä phoùng to.
3. Qui ñònh veà hình trích
a. Neân ñaët hình trích gaàn vò trí khoanh vuøng trích.
b. Hình trích bao goàm caû nhöõng vaán ñeà chöa theå hieän treân hình bieåu dieãn chính
vaø cuõng coù theå laø loaïi hình bieåu dieãn khaùc vôùi hình bieåu dieãn chính.
R
I
TL 2:1
R
TL 2:1
II
I II

Trang 57
MUÏC LUÏC
CHÖÔNG 1 CAÙC TIEÂU CHUAÅN TRÌNH BAØY BAÛN VEÕ
BAØI 1 PHÖÔNG TIEÄN TRÌNH BAØY BAÛN VEÕ
I. Vaät lieäu veõ vaø duïng cuï veõ .............................................................................. 1
II. Caùch söû duïng caùc duïng cuï veõ ...................................................................... 1
BAØI 2 TIEÂU CHUAÅN TRÌNH BAØY BAÛN VEÕ
I. Ñöôøng neùt .................................................................................................... 2
II. Chöõ vaø soá ..................................................................................................... 3
III. Khoå giaáy ....................................................................................................... 4
IV. Khung baûn veõ vaø khung teân ......................................................................... 5
V. Tyû leä ............................................................................................................ 5
BAØI 3 CHI KÍCH THÖÔÙC
I. Quy ñònh chung ............................................................................................ 6
II. Caùc thaønh phaàn cuûa kích thöôùc ................................................................... 6
III. Moät soá quy ñònh khi ghi kích thöôùc ............................................................... 7
IV. Trình töï thöïc hieän baûn veõ ............................................................................. 8
CHÖÔNG 2 VEÕ HÌNH HOÏC
BAØI 1 DÖÏNG HÌNH HOÏC
I. Döïng caùc ñöôøng thaúng ................................................................................. 9
II. Veõ caùc goùc .................................................................................................. 10
III. Ñoä doác ......................................................................................................... 11
IV. Ñoä coân ......................................................................................................... 11
V. Chia ñöôøng troøn thaønh caùc phaàn baèng nhau ............................................... 11
BAØI 2 VEÕ NOÁI TIEÁP
I. Veõ tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn ....................................................................... 13
II. Tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn .......................................................... 13
III. Noái hai ñöôøng thaúng baèng moät cung troøn .................................................... 14
IV. Noái ñöôøng thaúng vôùi cung troøn baèng moät cung troøn .................................... 14
V. Noái hai cung troøn baèng moät cung troøn khaùc ................................................ 15
BAØI 3 DÖÏNG MOÄT SOÁ ÑÖÔØNG CONG THOÂNG DUÏNG
I. Hình ovan ..................................................................................................... 17
II. Hình elip ....................................................................................................... 17
III. Ñöôøng xoaén oác archimet .............................................................................. 18
IV. Ñöôøng thaân khai cuûa ñöôøng troøn ................................................................. 18
CHÖÔNG 3 HÌNH CHIEÁU VUOÂNG GOÙC
BAØI 1 KHAÙI NIEÄM VEÀ PHEÙP CHIEÁU
I. Khaùi nieäm veà pheùp chieáu ............................................................................. 19
II. Phaân loaïi pheùp chieáu ................................................................................... 19
III. Phöông phaùp veà caùc hình chieáu vuoâng goùc ................................................. 20
BAØI 2 HÌNH CHIEÁU CUÛA ÑIEÅM – ÑOAÏN THAÚNG – HÌNH PHAÚNG
I. Hình chieáu cuûa ñieåm .................................................................................... 22

Trang 58
II. Hình chieáu cuûa ñoaïn thaúng .......................................................................... 23
III. Hình chieáu cuûa maët phaúng ........................................................................... 26
BAØI 3 HÌNH CHIEÁU CUÛA CAÙC KHOÁI HÌNH HOÏC
I. Khoái ña dieän ................................................................................................. 29
II. Khoái troøn ...................................................................................................... 29
III. Bieåu dieãn hình chieáu caùc khoái hình hoïc cô baûn ............................................ 31
BAØI 4 GIAO TUYEÁN TREÂN BEÀ MAËT VÔÙI CAÙC KHOÁI HÌNH HOÏC
I. Giao tuyeán cuûa maët phaúng vôùi khoái ña dieän ................................................ 33
II. Giao tuyeán cuûa caùc khoái hình hoïc ............................................................... 34
III. Giao tuyeán cuûa khoái ña dieän vôùi khoái troøn ................................................... 35
BAØI 5 BIEÅU DIEÃN VAÄT THEÅ
1. Caùch phaân tích vaät theå thaønh caùc khoái hình hoïc cô baûn ............................. 35
2.. Caùch veõ hình chieáu thöù ba töø hai hình chieáu ñaõ cho .................................. 36
CHÖÔNG IV HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
BAØI 1 KHAÙI NIEÄM VEÀ HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
1. Khaùi nieäm ................................................................................................... 37
2.. Phaân loaïi hình chieáu truïc ño ...................................................................... 37
BAØI 2 CAÙC LOAÏI HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
1. Hình chieáu truïc ño vuoâng goùc ñeàu .............................................................. 38
2.. Hình chieáu truïc ño xieân ñöùng caân ............................................................... 39
BAØI 3 CAÙCH DÖÏNG HÌNH CHIEÁU TRUÏC ÑO
1. Phöông phaùp toïa ñoä .................................................................................... 40
2. Ñaëc ñieåm veà caùch döïng .............................................................................. 40
CHÖÔNG V HÌNH BIEÅU DIEÃN CUÛA VAÄT THEÅ
BAØI 1 HÌNH CHIEÁU
1. Khaùi nieäm .................................................................................................... 42
2.. Phöông phaùp bieåu dieãn ............................................................................... 42
3. Phaân loaïi ..................................................................................................... 43
BAØI 2 HÌNH CAÉT
1. Khaùi nieäm .................................................................................................... 44
2.. Phöông phaùp bieåu dieãn .............................................................................. 44
3. Phaân loaïi hình caét ...................................................................................... 46
BAØI 3 MAËT CAÉT
1. Khaùi nieäm ................................................................................................... 50
2.. Phaân loaïi .................................................................................................... 50
3. Kyù hieäu vaø quy ñònh veà maët caét .................................................................. 50
BAØI 4 HÌNH TRÍCH
1. Khaùi nieäm ................................................................................................... 52
2. Phöông phaùp bieåu dieãn .............................................................................. 52
3. Qui ñònh veà hình trích ................................................................................ 52

Bai giang ve_ky_thuat

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Bai giang ve_ky_thuat

Similar to Bai giang ve_ky_thuat (20)

Bai giang ve_ky_thuat