about mathematical modelling

1. MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL
MMOODDEELLLLIINNGG

2.  Mathematical modeling iiss aann aatttteemmpptt ttoo ssttuuddyy ssoommee
ppaarrtt ooff ssoommee rreeaall lliiffee pprroobblleemmss iinn mmaatthheemmaattiiccaall
tteerrmmss.. iiee;; tthhee ccoonnvveerrssiioonn ooff aa pphhyyssiiccaall ssiittuuaattiioonn iinnttoo
mmaatthheemmaattiiccss uussiinngg ssuuiittaabbllee ccoonnddiittiioonnss
 MMaatthheemmaattiiccaall mmooddeelliinngg iiss aann aaccttiivviittyy iinn wwhhiicchh wwee
mmaakkee mmooddeell ttoo ddeessccrriibbee tthhee bbeehhaavviioorr ooff vvaarriioouuss
pphheennoommeennaall aaccttiivviittiieess ooff oouurr iinntteerreesstt iinn mmaannyy wwaayyss
uussiinngg wwoorrddss,, ddrraawwiinnggss oorr sskkeettcchheess,, ccoommppuutteerr
pprrooggrraammss,, mmaatthheemmaattiiccaall ffoorrmmuullaaee eettcc……

3. Students are aawwaarree ooff tthhee ssoolluuttiioonn ooff wwoorrdd pprroobblleemmss iinn
aarriitthhmmeettiicc,, aallggeebbrraa,, ttrriiggoonnoommeettrryy aanndd lliinneeaarr
pprrooggrraammmmiinngg eettcc……SSoommeettiimmeess wwee ssoollvvee tthhee pprroobblleemmss
wwiitthhoouutt ggooiinngg iinnttoo tthhee pphhyyssiiccaall iinnssiigghhtt ooff tthhee
ssiittuuaattiioonnaall pprroobblleemmss..
SSiittuuaattiioonnaall pprroobblleemmss nneeeedd pphhyyssiiccaall iinnssiigghhtt tthhaatt iiss
‘‘iinnttrroodduuccttiioonn’’ ooff pphhyyssiiccaall llaawwss aanndd ssoommee ssyymmbboollss ttoo
ccoommppaarree tthhee mmaatthheemmaattiiccaall rreessuullttss oobbttaaiinneedd wwiitthh
pprraaccttiiccaall vvaalluueess.. TToo ssoollvvee mmaannyy pprroobblleemmss ffaacceedd bbyy uuss,,
wwee nneeeedd aa tteecchhnniiqquuee aanndd tthhiiss iiss wwhhaatt iiss kknnoowwnn aass
‘‘MMaatthheemmaattiiccaall MMooddeelliinngg’’..

4. Let us ccoonnssiiddeerr tthhee ffoolllloowwiinngg pprroobblleemmss ::
• TToo ffiinndd tthhee wwiiddtthh ooff aa rriivveerr
• TToo ffiinndd tthhee ooppttiimmaall aannggllee iinn ccaassee ooff sshhoott ppuutt
• TToo ffiinndd tthhee hheeiigghhtt ooff aa ttoowweerr
• TToo ffiinndd tthhee tteemmppeerraattuurree aatt tthhee ssuurrffaaccee ooff tthhee ssuunn
• WWhhyy hheeaarrtt ppaattiieennttss aarree nnoott aalllloowweedd ttoo uussee tthhee lliifftt??
• TToo ffiinndd tthhee mmaassss ooff tthhee eeaarrtthh
• EEssttiimmaattee tthhee yyiieelldd ooff ppuullsseess iinn IInnddiiaa ffrroomm tthhee ssttaannddiinngg ccrrooppss
• TToo ffiinndd tthhee vvoolluummee ooff bblloooodd iinnssiiddee tthhee bbooddyy ooff aa ppeerrssoonn
• EEssttiimmaattee tthhee ppooppuullaattiioonn ooff IInnddiiaa iinn 22002200
AAllll ooff tthheessee pprroobblleemmss ccaann bbee ssoollvveedd aanndd iinnffaacctt hhaavvee
bbeeeenn ssoollvveedd wwiitthh tthhee hheellpp ooff MMaatthheemmaattiiccss uussiinngg MMaatthheemmaattiiccaall
MMooddeelliinngg..

5. O PRINCIPLES OFF MMAATTHHEEMMAATTIICCSS MMOODDEELLLLIINNGG
• IIddeennttiiffyy tthhee nneeeedd ffoorr tthhee mmooddeell
• LLiisstt tthhee ppaarraammeetteerrss // vvaarriiaabblleess wwhhiicchh aarree rreeqquuiirreedd ffoorr tthhee
mmooddeell
• IIddeennttiiffyy tthhee aavvaaiillaabbllee rreelleevvaanntt ddaattaa
• IIddeennttiiffyy tthhee cciirrccuummssttaanncceess tthhaatt ccaann bbee aapppplliieedd
• IIddeennttiiffyy tthhee ggoovveerrnniinngg pphhyyssiiccaall pprriinncciipplleess IIddeennttiiffyy
((aa)) tthhee eeqquuaattiioonn tthhaatt wwiillll bbee uusseedd
((bb)) tthhee ccaallccuullaattiioonnss tthhaatt wwiillll bbee mmaaddee
((cc)) tthhee ssoolluuttiioonn wwhhiicchh wwiillll ffoollllooww
• IIddeennttiiffyy tteessttss tthhaatt ccaann cchheecckk tthhee
((aa)) ccoonnssiisstteennccyy ooff tthhee mmooddeell
((bb)) uuttiilliittyy ooff tthhee mmooddeell
• IIddeennttiiffyy tthhee ppaarraammeetteerr vvaalluueess tthhaatt ccaann iimmpprroovvee tthhee mmooddeell

6. STEPS FFOORR MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL MMOODDEELLLLIINNGG
 SStteepp 11:: IIddeennttiiffyy tthhee pphhyyssiiccaall ssiittuuaattiioonn
 SStteepp 22:: CCoonnvveerrtt tthhee pphhyyssiiccaall ssiittuuaattiioonn iinnttoo aa
mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeell bbyy iinnttrroodduucciinngg ppaarraammeetteerrss //
vvaarriiaabblleess aanndd uussiinngg vvaarriioouuss kknnoowwnn pphhyyssiiccaall llaawwss aanndd
ssyymmbboollss
 SStteepp 33:: FFiinndd tthhee ssoolluuttiioonn ooff tthhee mmaatthheemmaattiiccaall pprroobblleemm
 SStteepp 44:: IInntteerrpprreett tthhee rreessuulltt iinn tteerrmmss ooff tthhee oorriiggiinnaall aanndd
ccoommppaarree tthhee rreessuulltt wwiitthh oobbsseerrvvaattiioonnss oorr eexxppeerriimmeennttss
 SStteepp 55:: IIff tthhee rreessuulltt iiss iinn ggoooodd aaggrreeeemmeenntt,, tthheenn aacccceepptt tthhee
mmooddeell.. OOtthheerrwwiissee mmooddiiffyy tthhee hhyyppootthheessiiss // aassssuummppttiioonnss
aaccccoorrddiinngg ttoo tthhee pphhyyssiiccaall ssiittuuaattiioonn aanndd ggoo ttoo sstteepp 22

7. FLOW CHART OOFF MMAAHHTTEEMMAATTIICCAALL
MMOODDEELLLLIINNGG
Physical
situation
Mathematical
modeling
Mathematical
solution
Solution of
Original problem
Accept the
model
Modify
hypothesis
Introduce
Physical
Laws
&symbols
Solve Interpret
In good agreement
Not in good agreement
Compare with
Observation

8. EExxaammpplleess
((ii)) FFiinndd tthhee hheeiigghhtt ooff aa ggiivveenn ttoowweerr uussiinngg mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeelliinngg
SStteepp11 :: GGiivveenn pphhyyssiiccaall ssiittuuaattiioonn iiss ““ttoo ffiinndd tthhee hheeiigghhtt ooff aa ggiivveenn
ttoowweerr””
SStteepp22 :: LLeett AABB bbee tthhee ggiivveenn ttoowweerr.. LLeett PPQQ bbee aann oobbsseerrvveerr
mmeeaassuurriinngg tthhee hheeiigghhtt ooff tthhee ttoowweerr wwiitthh hhiiss eeyyee aatt PP.. LLeett PPQQ==hh
aanndd lleett hheeiigghhtt ooff ttoowweerr bbee HH.. LLeett xx bbee tthhee aannggllee ooff eelleevvaattiioonn
ffrroomm tthhee eeyyee ooff tthhee oobbsseerrvveerr ttoo tthhee ttoopp ooff tthhee ttoowweerr..

9. LLeett ll==PPCC==QQBB
NNooww ttaann xx == AACC // PPCC
== HH –– hh // ll
HH == hh ++ ll ttaann xx …………………… ((11))
SStteepp3 :: NNoottee tthhaatt tthhee vvaalluueess ooff tthhee ppaarraammeetteerrss hh,, ll,, aanndd xx ((uussiinngg
sseeccaanntt)) aarree kknnoowwnn ttoo bbee tthhee oobbsseerrvveerr aanndd ssoo ((11)) ggiivveess tthhee
ssoolluuttiioonn ooff tthhee pprroobblleemm..

10. SStteepp44 :: IInn ccaassee,, iiff tthhee ffoooott ooff tthhee ttoowweerr iiss nnoott aacccceessssiibbllee.. ((ii..ee))
wwhheenn ll iiss nnoott kknnoowwnn ttoo tthhee oobbsseerrvveerr,, lleett yy bbee tthhee aannggllee ooff
ddeepprreessssiioonn ffrroomm PP ttoo tthhee ffoooott BB ooff tthhee ttoowweerr.. SSoo ffrroomm ttrriiaannggllee
PPQQBB,, wwee hhaavvee,,
ttaann yy == PPQQ // QQBB
== hh // ll
oorr ll == hh ccoott yy
SStteepp55 :: iiss nnoott rreeqquuiirreedd iinn tthhiiss ssiittuuaattiioonn aass eexxaacctt vvaalluueess ooff tthhee
ppaarraammeetteerrss hh,, ll,, xx,, yy aarree kknnoowwnn..

11. (ii) Let a tank contains 1000 lliitteerrss ooff bbrriinnee wwhhiicchh ccoonnttaaiinnss 225500gg
ooff ssaalltt ppeerr lliitteerr.. BBrriinnee ccoonnttaaiinniinngg 220000gg ooff ssaalltt ppeerr lliitteerr fflloowwss
iinnttoo tthhee ttaannkk aatt tthhee rraattee ooff 2255 lliitteerrss ppeerr mmiinnuuttee aanndd tthhee mmiixxttuurree
fflloowwss oouutt aatt tthhee ssaammee rraattee.. AAssssuummee tthhaatt tthhee mmiixxttuurree iiss kkeepptt
uunniiffoorrmm aallll tthhee ttiimmee bbyy ssttiirrrriinngg wwhhaatt wwoouulldd bbee tthhee aammoouunntt ooff
ssaalltt iinn tthhee ttaannkk aatt aannyy ttiimmee tt ??
SStteepp11 :: TThhee ssiittuuaattiioonn iiss eeaassiillyy iiddeennttiiffiiaabbllee..
SStteepp22 :: LLeett yy == yy ((tt)) ddeennoottee tthhee aammoouunntt ooff ssaalltt ((iinn kkgg)) iinn tthhee ttaannkk
aatt ttiimmee tt ((iinn mmiinnuutteess)) aafftteerr tthhee iinnffllooww,, oouuttffllooww ssttaarrttss.. FFuurrtthheerr
aassssuummee tthhaatt yy iiss aa ddiiffffeerreennttiiaabbllee ffuunnccttiioonn..
wwhheenn tt == 00,, iiee; bbeeffoorree tthhee iinnffllooww-- oouuttffllooww ooff tthhee bbrriinnee ssttaarrttss,,
yy == 225500gg ** 11000000 == 225500kkgg

12. Note that the change in y occurs dduuee ttoo tthhee iinnffllooww--oouuttffllooww ooff tthhee
mmiixxttuurree..
NNooww tthhee iinnffllooww ooff tthhee bbrriinnee bbrriinnggss ssaalltt iinnttoo tthhee ttaannkk aatt tthhee rraattee ooff
55kkgg ppeerr mmiinnuuttee ((aass 2255 ** 220000gg == 55kkgg)) aanndd tthhee oouuttffllooww ooff bbrriinnee
ttaakkeess ssaalltt oouutt ooff tthhee ttaannkk aatt tthhee rraattee ooff 2255((yy //11000000)) == yy//4400 kkgg
ppeerr mmiinnuuttee ((aass aatt ttiimmee tt,, tthhee ssaalltt iinn tthhee ttaannkk iiss yy//11000000 kkgg))
TThhuuss tthhee rraattee ooff cchhaannggee ooff ssaalltt wwiitthh rreessppeecctt ttoo tt iiss ggiivveenn bbyy
ddyy//ddtt == 55 –– yy//4400
oorr
ddyy//ddtt ++ yy//4400 ==55 ………………((11))
TThhiiss ggiivveess aa mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeell ffoorr tthhee ggiivveenn pprroobblleemm

13. Step3 : Equation 1 is aa lliinneeaarr eeqquuaattiioonn aanndd ccaann bbee eeaassiillyy ssoollvveedd..
TThhee ssoolluuttiioonn ooff ((11)) iiss ggiivveenn bbyy
yy ee^^ ((tt//4400)) == 220000ee^^((tt//4400)) ++ cc
oorr yy((tt)) == 220000 ++ ccee^^((--tt//4400)) …………....((22))
WWhheerree cc iiss tthhee ccoonnssttaanntt ooff iinntteeggrraattiioonn
NNoottee tthhaatt wwhheenn tt == 00,, yy == 225500..
TThheerreeffoorree;; 225500 == 220000 ++ cc oorr cc == 5500
tthheenn ((22)) rreedduucceess ttoo
yy == 220000 ++ 5500 ee^^((--tt//4400)) ………………....((33))
OOrr ((yy –– 220000)) // 5500 == ee^^((--tt//4400))
OOrr ee^^tt//4400 == 550000//((yy--220000))
TThheerreeffoorree;; tt == 4400 llooggee 5500//((yy –– 220000)) …………………………..((44))

14. Step4 : Since e^(-t/4400)) iiss aallwwaayyss ppoossiittiivvee,, ffrroomm ((33)),, wwee
ccoonncclluuddee tthhaatt yy >> 220000 aatt aallll ttiimmeess..
TThhuuss,, tthhee mmiinniimmuumm aammoouunntt ooff ssaalltt ccoonntteenntt iinn tthhee ttaannkk iiss
220000kkgg..
AAllssoo ffrroomm ((44)),, wwee ccoonncclluuddee tthhaatt tt >>00 iiff aanndd oonnllyy iiff 00<<yy--
220000<<5500..
IIee;; iiff aanndd oonnllyy iiff 220000<<yy<<225500
IIee;; tthhee aammoouunntt ooff ssaalltt ccoonntteenntt iinn tthhee ttaannkk aafftteerr tthhee ssttaarrtt ooff
iinnffllooww aanndd oouuttffllooww ooff tthhee bbrriinnee iiss bbeettwweeeenn 220000kkgg aanndd
225500kkgg..

15. LLIIMMIITTAATTIIOONNSS OOFF
MMAATTHHEEMMAATTIICCAALL MMOODDEELLLLIINNGG
TTiillll ttooddaayy mmaannyy mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeelliinngg hhaavvee bbeeeenn
ddeevveellooppeedd aanndd aapppplliieedd ssuucccceessssffuullllyy ttoo
uunnddeerrssttaanndd aanndd ggeett aann iinnssiigghhtt iinnttoo tthhoouussaannddss
ooff ssiittuuaattiioonnss.. SSoommee ooff tthhee ssuubbjjeeccttss lliikkee
mmaatthheemmaattiiccaall pphhyyssiiccss,, mmaatthheemmaattiiccaall eeccoonnoommiiccss,,
ooppeerraattiioonn rreesseeaarrcchh,, bbiioo--mmaatthheemmaattiiccss eettcc……aarree
aallmmoosstt ssyynnoonnyymmss wwiitthh mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeelliinngg..

16. But there are still a llaarrggee nnuummbbeerr ooff ssiittuuaattiioonnss wwhhiicchh
aarree yyeett ttoo bbee mmooddeelleedd.. TThhee rreeaassoonn bbeehhiinndd tthhiiss iiss tthhaatt
eeiitthheerr tthhee ssiittuuaattiioonn aarree ffoouunndd ttoo bbee vveerryy ccoommpplleexx oorr
tthhee mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeellss ffoorrmmeedd aarree mmaatthheemmaattiiccaallllyy
iinnttrraaccttaabbllee..
TThhee ddeevveellooppmmeenntt ooff tthhee ppoowweerrffuull ccoommppuutteerrss aanndd ssuuppeerr
ccoommppuutteerrss hhaass eennaabblleedd uuss ttoo mmaatthheemmaattiiccaallllyy mmooddeell aa
llaarrggee nnuummbbeerr ooff ssiittuuaattiioonnss ((eevveenn ccoommpplleexx ssiittuuaattiioonn))..
DDuuee ttoo tthheessee ffaasstt aanndd aaddvvaanncceedd ccoommppuutteerrss,, iitt hhaass
bbeeeenn ppoossssiibbllee ttoo pprreeppaarree mmoorree rreeaalliissttiicc mmooddeellss wwhhiicchh
ccaann oobbttaaiinn bbeetttteerr aaggrreeeemmeennttss wwiitthh oobbsseerrvvaattiioonnss..

17. However, we do not have ggoooodd gguuiiddeelliinneess ffoorr cchhoooossiinngg
vvaarriioouuss ppaarraammeetteerrss / vvaarriiaabblleess aanndd aallssoo ffoorr eessttiimmaattiinngg
tthhee vvaalluueess ooff tthheessee ppaarraammeetteerrss / vvaarriiaabblleess uusseedd iinn aa
mmaatthheemmaattiiccaall mmooddeell.. IInnffaacctt,, wwee ccaann pprreeppaarree
rreeaassoonnaabbllyy aaccccuurraattee mmooddeellss ttoo ffiitt aannyy ddaattaa bbyy
cchhoooossiinngg ffiivvee oorr ssiixx ppaarraammeetteerrss / vvaarriiaabblleess.. WWee rreeqquuiirree
aa mmiinniimmaall nnuummbbeerr ooff ppaarraammeetteerrss / vvaarriiaabblleess ttoo bbee aabbllee
ttoo eessttiimmaattee tthheemm aaccccuurraatteellyy..

18. Mathematical modeling of large aanndd ccoommpplleexx ssiittuuaattiioonnss
hhaass iittss oowwnn ssppeecciiaall pprroobblleemmss.. TThheessee ttyyppee ooff ssiittuuaattiioonnss
uussuuaallllyy ooccccuurr iinn tthhee ssttuuddyy ooff wwoorrlldd mmooddeellss ooff
eennvviirroonnmmeenntt,, oocceeaannooggrraapphhyy,, ppoolllluuttiioonn ccoonnttrrooll eettcc……
MMaatthheemmaattiiccaall mmooddeelleerrss ffrroomm aallll ddiisscciipplliinneess--
mmaatthheemmaattiiccss,, ccoommppuutteerr sscciieennccee,, pphhyyssiiccss,, eennggiinneeeerriinngg,,
ssoocciiaall sscciieenncceess eettcc……aarree iinnvvoollvveedd iinn mmeeeettiinngg tthheessee
cchhaalllleennggeess wwiitthh ccoouurraaggee..

19. NNaannddiinnii..NN..LL
Presented By
MMaatthheemmaattiiccss ooppttiioonnaall
RReegg..nnoo::1133997711001100
KKUUCCTTEE KKuummaarraappuurraamm
TThhiirruuvvaannaanntthhaappuurraamm

20. TThhee EENNDD