For Addmaths!

1. JANJANG
D I B U AT O L E H : I C K Y

2. MENGANDUNGI:
1. Janjang Aritmetik (JA)
i. Ciri – ciri JA
ii. Sebutan ke − 𝑛 𝑇𝑛
iii. Hasil tambah 𝑛 sebutan pertama (𝑆𝑛)
2. Janjang Geometri (JG)
i. Ciri – ciri JG
ii. Sebutan ke − 𝑛 𝑇𝑛
iii. Hasil tambah 𝑛 sebutan pertama (𝑆𝑛)
iv. Hasil tambah takterhingga

3. JANJANG
ARITMETIK

4. CIRI – CIRI
JANJANG
ARITMETIK

5. Berikut adalah contoh – contoh JA:
Jujukan – jujukan di atas digelar sebagai JA kerana perbezaan antara dua
sebutan berterusan adalah sama. Jadual dibawah menunjukkan cara untuk
mencari perbezaan antara semua sebutan.
• 𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟒, 𝟏𝟖, …
• 𝟏𝟓, 𝟏𝟐, 𝟗, 𝟔, 𝟑, …
Memandangkan semua nilai 𝑑 sama, maka kita boleh menyatakan jujukan
tersebut ialah JA.
𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟒, 𝟏𝟖, … 𝟏𝟓, 𝟏𝟐, 𝟗, 𝟔, 𝟑, …
𝒅𝟏 = 𝟔 − 𝟐 = 𝟒
𝒅𝟐 = 𝟏𝟎 − 𝟔 = 𝟒
𝒅𝟑 = 𝟏𝟒 − 𝟏𝟎 = 𝟒
𝒅𝟒 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟒 = 𝟒
𝒅𝟏 = 𝟏𝟐 − 𝟏𝟓 = −𝟑
𝒅𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟐 = −𝟑
𝒅𝟑 = 𝟏𝟒 − 𝟏
𝒅𝟒 = 𝟏𝟖 − 𝟏𝟒 = 𝟒

6. 5, 11, 17, 23, …
Kita boleh mengenalpasti nombor – nombor di dalam JA di atas sebagai
sebutan – sebutan. Nombor 5 digelar sebagai sebutan pertama (𝑇1),
nombor 11 digelar sebagai sebutan kedua (𝑇2), nombor 17 digelar
sebagai sebutan ketiga 𝑇3 dan seterusnya. Berikut adalah info yang
diperlukan dalam JA:
𝒂 = Sebutan Pertama
𝒂 = 𝑻𝟏
𝒂 = 𝑺𝟏
𝒅 = Beza Sepunya
𝒅 = 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏
𝒅 = 𝑻𝟑 − 𝑻𝟐
𝒅 = 𝑻𝟒 − 𝑻𝟑

7. TENTUKAN SAMA ADA JUJUKAN BERIKUT
IALAH JA ATAU TIDAK
Tentukan sama ada jujukan berikut ialah JA atau tidak.
a) 3.0, 3.2, 3.4, 3.6, …
b) 1, 3, 6, 10, …
a)
𝒅𝟏 = 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝟑. 𝟐 − 𝟑. 𝟎 = 𝟎. 𝟐
𝒅𝟐 = 𝑻𝟑 − 𝑻𝟐 = 𝟑. 𝟒 − 𝟑. 𝟐 = 𝟎. 𝟐
𝒅𝟑 = 𝑻𝟒 − 𝑻𝟑 = 𝟑. 𝟔 − 𝟑. 𝟒 = 𝟎. 𝟐
*Memandangkan semua nilai 𝒅
sama, maka ia adalah JA.
b)
𝒅𝟏 = 𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 = 𝟑 − 𝟏 = 𝟐
𝒅𝟐 = 𝑻𝟑 − 𝑻𝟐 = 𝟔 − 𝟑 = 𝟑
𝒅𝟑 = 𝑻𝟒 − 𝑻𝟑 = 𝟏𝟎 − 𝟔 = 𝟒
*Memandangkan semua nilai 𝒅
tidak sama, maka ia bukan JA.

8. CARI NILAI PEMBOLEH UBAH BAGI JA
Jika 2𝑚 − 1, 4𝑚 dan 13 ialah tiga sebutan berterusan dalam JA, cari nilai 𝑚.
𝑑1 = 𝑑2
𝑇2 − 𝑇1 = 𝑇3 − 𝑇2
4𝑚 − 2𝑚 − 1 = 13 − 4𝑚
4𝑚 − 2𝑚 + 1 = 13 − 4𝑚
4𝑚 − 2𝑚 + 4𝑚 = 13 − 1
6𝑚 = 12
𝑚 =
12
6
𝑚 = 2

9. CARI NILAI PEMBOLEH UBAH BAGI JA
Jika 𝑥 + 1, 2𝑥 + 3 dan 6 ialah tiga sebutan berterusan dalam JA, cari nilai 𝑥.
𝑑1 = 𝑑2
𝑇2 − 𝑇1 = 𝑇3 − 𝑇2
2𝑥 + 3 − 𝑥 + 1 = 6 − 2𝑥 + 3
2𝑥 + 3 − 𝑥 − 1 = 6 − 2𝑥 − 3
2𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 = 6 − 3 − 3 + 1
3𝑥 = 1
𝑥 =
1
3

10. SEBUTAN KE-N
(𝑇𝑛 )

11. SEBUTAN KE-N (𝑇𝑛)
Untuk mencari sebutan ke – 𝑛, gunakan rumus berikut:
𝑇𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑
𝑎 = Sebutan pertama
𝑑 = Beza sepunya
𝑛 = Bilangan sebutan

12. CARI 𝑇𝑛
Diberi tiga sebutan pertama bagi sebuah JA 10, 1, −8, … . Cari
a) 𝑇𝑛
b) 𝑇10
𝑎 = 10
𝑑 = 1 − 10 = −9
a)
𝑻𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
𝑻𝒏 = 𝟏𝟎 + 𝒏 − 𝟏 −𝟗
= 𝟏𝟎 − 𝟗𝒏 + 𝟗
= 𝟏𝟗 − 𝟗𝒏
b)
𝑻𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒅
𝑻𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 − 𝟏 −𝟗
= −𝟕𝟏

13. CARI BILANGAN SEBUTAN
1) Cari bilangan sebutan bagi JA
50, 47, 44, … , −37.
𝑎 = 50
𝑑 = 47 − 50 = −3
𝑇𝑛 = −37
50 + 𝑛 − 1 −3 = −37
𝑛 − 1 −3 = −87
𝑛 − 1 = 29
𝑛 = 30
2) Cari bilangan sebutan bagi JA
10, 4, −2, … , −38.
𝑎 = 10
𝑑 = 4 − 10 = −6
𝑇𝑛 = −38
10 + 𝑛 − 1 −6 = −38
𝑛 − 1 −6 = −48
𝑛 − 1 = 8
𝑛 = 9

14. CARI SEBUTAN PERTAMA (𝑎) DAN BEZA
SEPUNYA (𝑑)
Dalam sebuah JA, sebutan ke – 4 ialah 12 dan sebutan ke – 10 ialah 30. Cari sebutan
pertama dan beza sepunya.
𝑎 + 9𝑑 = 30
− 𝑎 + 3𝑑 = 12
6𝑑 = 18
𝑑 = 3
𝑎 + 3 3 = 12
𝑎 + 9 = 12
𝑎 = 3
𝑻𝟒 = 𝟏𝟐
𝒂 + 𝟒 − 𝟏 𝒅 = 𝟏𝟐
𝒂 + 𝟑𝒅 = 𝟏𝟐
𝑻𝟏𝟎 = 𝟑𝟎
𝒂 + 𝟏𝟎 − 𝟏 𝒅 = 𝟑𝟎
𝒂 + 𝟗𝒅 = 𝟑𝟎

15. HASIL TAMBAH N
SEBUTAN PERTAMA
(𝑆𝑛 )

16. Untuk mencari hasil tambah 𝑛 sebutan pertama (𝑆𝑛) , berikut
adalah:
i) konsep
𝑆𝑛 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯ + 𝑇𝑛
ii) Rumus
𝑆𝑛 =
𝑛
2
2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑
𝑎 = Sebutan pertama
𝑑 = Beza sepunya
𝑛 = Bilangan sebutan

17. CARI 𝑆𝑛
Diberi tiga sebutan pertama bagi sebuah JA ialah 5, −2, −9, …, cari
a) 𝑆𝑛
b) 𝑆6
𝑎 = 5
𝑑 = −2 − 5 = −7
a)
𝑺𝒏 =
𝒏
𝟐
𝟐 𝟓 + 𝒏 − 𝟏 −𝟕
=
𝒏
𝟐
𝟏𝟎 − 𝟕𝒏 + 𝟕
=
𝒏
𝟐
𝟏𝟕 − 𝟕𝒏
=
𝟏𝟕𝒏 − 𝟕𝒏𝟐
𝟐
b)
𝑺𝟔 =
𝟔
𝟐
𝟐 𝟓 + 𝟔 − 𝟏 −𝟕
= 𝟑 𝟏𝟎 − 𝟑𝟓
= −𝟕𝟓

18. CARI HASIL TAMBAH SEMUA SEBUTAN
Diberi sebuah JA dengan sebutan −13, −10, −7, … , 131, cari hasil tambah semua sebutan.
𝑎 = −13
𝑑 = −10 − −13 = 3
𝑻𝒏 = 𝟏𝟑𝟏
−𝟏𝟑 + 𝒏 − 𝟏 𝟑 = 𝟏𝟑𝟏
𝒏 − 𝟏 𝟑 = 𝟏𝟒𝟒
𝒏 − 𝟏 = 𝟒𝟖
𝒏 = 𝟒𝟗
𝑺𝟒𝟗 =
𝟒𝟗
𝟐
𝟐 −𝟏𝟑 + 𝟒𝟗 − 𝟏 𝟑
=
𝟒𝟗
𝟐
−𝟐𝟔 + 𝟏𝟒𝟒
= 𝟐𝟖𝟗𝟏

19. CARI NILAI SEBUTAN PERTAMA DAN BEZA
SEPUNYA
Hasil tambah 12 sebutan pertama bagi sebuah JA ialah 222 dan sebutan ke – 6 ialah 17.
Cari sebutan pertama dan beza sepunya.
𝑺𝟏𝟐 = 𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟐
𝟐𝒂 + 𝟏𝟐 − 𝟏 𝒅 = 𝟏𝟐
𝟔 𝟐𝒂 + 𝟏𝟏𝒅 = 𝟏𝟐
𝟐𝒂 + 𝟏𝟏𝒅 = 𝟐
𝟐 𝟏𝟕 − 𝟓𝒅 + 𝟏𝟏𝒅 = 𝟐
𝟑𝟒 − 𝟏𝟎𝒅 + 𝟏𝟏𝒅 = 𝟐
𝒅 = −𝟑𝟐
𝑻𝟔 = 𝟏𝟕
𝒂 + 𝟔 − 𝟏 𝒅 = 𝟏𝟕
𝒂 + 𝟓𝒅 = 𝟏𝟕
𝒂 = 𝟏𝟕 − 𝟓𝒅
𝒂 = 𝟏𝟕 − 𝟓 −𝟑𝟐
𝒂 = 𝟏𝟕𝟕

20. JANJANG
GEOMETIK

21. CIRI – CIRI
JANJANG
GEOMETIK

22. Berikut adalah contoh – contoh JG:
Jujukan – jujukan di atas digelar sebagai JG kerana nisbah antara dua sebutan
berterusan adalah sama. Jadual dibawah menunjukkan cara untuk mencari
nisbah antara semua sebutan.
• 𝟐, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟒, 𝟏𝟖, …
• 𝟏𝟓, 𝟏𝟐, 𝟗, 𝟔, 𝟑, …
Memandangkan semua nilai 𝑟 sama, maka kita boleh menyatakan jujukan
tersebut ialah JG.
𝟏, 𝟔, 𝟑𝟔, 𝟐𝟏𝟔, … 𝟏𝟎𝟎, 𝟓𝟎, 𝟐𝟓,
𝟐𝟓
𝟐
, …
𝒓𝟏 =
𝟔
𝟏
= 𝟔
𝒓𝟐 =
𝟑𝟔
𝟔
= 𝟔
𝒓𝟑 =
𝟐𝟏𝟔
𝟔
= 𝟔
𝒓𝟏 =
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
=
𝟏
𝟐
𝒓𝟐 =
𝟐𝟓
𝟓𝟎
=
𝟏
𝟐
𝒓𝟑 =
𝟐𝟓
𝟐
𝟐𝟓
=
𝟏
𝟐

23. 2, 3,
9
2
,
27
4
, …
Kita boleh mengenalpasti nombor – nombor di dalam JG di atas sebagai
sebutan – sebutan. Nombor 2 digelar sebagai sebutan pertama (𝑇1),
nombor 3 digelar sebagai sebutan kedua (𝑇2), nombor
9
2
digelar sebagai
sebutan ketiga 𝑇3 dan seterusnya. Berikut adalah info yang diperlukan
dalam JG:
𝒂 = Sebutan Pertama
𝒂 = 𝑻𝟏
𝒂 = 𝑺𝟏
𝒓 = Nisbah Sepunya
𝒓 =
𝑻𝟐
𝑻𝟏
𝒓 =
𝑻𝟑
𝑻𝟐
𝒓 =
𝑻𝟒
𝑻𝟑

24. TENTUKAN SAMA ADA JUJUKAN BERIKUT
IALAH JG ATAU TIDAK
Tentukan sama ada jujukan berikut ialah JG atau tidak.
a) 3, −6, −12, …
b) 27, 9, 3, …
a)
𝒓𝟏 =
𝑻𝟐
𝑻𝟏
=
−𝟔
𝟑
= −𝟐
𝒓𝟏 =
𝑻𝟑
𝑻𝟐
=
−𝟏𝟐
−𝟔
= 𝟐
*Memandangkan semua nilai 𝒓
tidak sama, maka ia bukan JG.
b)
𝒓𝟏 =
𝑻𝟐
𝑻𝟏
=
𝟗
𝟐𝟕
=
𝟏
𝟑
𝒓𝟏 =
𝑻𝟑
𝑻𝟐
=
𝟑
𝟗
=
𝟏
𝟑
*Memandangkan semua nilai 𝒓
sama, maka ia ialah JG.

25. CARI NILAI PEMBOLEH UBAH BAGI JG
Jika 𝑦 − 10, 𝑦 dan 𝑦 + 8 ialah tiga sebutan berterusan dalam JG, cari nilai y.
𝑟1 = 𝑟2
𝑇2
𝑇1
=
𝑇3
𝑇2
𝑦
𝑦 − 10
=
𝑦 + 8
𝑦
𝑦 𝑦 = (𝑦 + 8)(𝑦 − 10)
𝑦2 = 𝑦2 − 10𝑦 + 8𝑦 − 80
𝑦2 − 𝑦2 + 10𝑦 − 8𝑦 = −80
2𝑦 = −80
𝑦 = −40

26. CARI NILAI PEMBOLEH UBAH BAGI JG
Jika 3, 𝑚, 75 ialah tiga sebutan berterusan dalam JG, cari nilai-nilai 𝑚.
𝑟1 = 𝑟2
𝑇2
𝑇1
=
𝑇3
𝑇2
𝑚
3
=
75
𝑚
𝑚 𝑚 = (75)(3)
𝑚2
= 225
𝑚 = ± 225
𝑚 = ±15

27. SEBUTAN KE-N
(𝑇𝑛 )

28. SEBUTAN KE-N (𝑇𝑛)
Untuk mencari sebutan ke – 𝑛, gunakan rumus berikut:
𝑇𝑛 = 𝑎 𝑟 𝑛−1
𝑎 = Sebutan pertama
𝑟 = Nisbah sepunya
𝑛 = Bilangan sebutan

29. CARI 𝑇𝑛
Diberi tiga sebutan pertama bagi sebuah JG 1,
1
3
,
1
9
, … . Cari
a) 𝑇𝑛
b) 𝑇5
𝑎 = 1 𝑟 =
1
3
1
=
1
3
a)
𝑻𝒏 = 𝒂 𝒓 𝒏−𝟏
𝑻𝒏 =
𝟏
𝟑
𝒏−𝟏
=
𝟏
𝟑
𝒏
𝟏
𝟑
= 𝟑
𝟏
𝟑
𝒏
b)
𝑻𝒏 = 𝒂 𝒓 𝒏−𝟏
𝑻𝟓 =
𝟏
𝟑
𝟓−𝟏
=
𝟏
𝟖𝟏

30. CARI BILANGAN SEBUTAN
1) Cari bilangan sebutan bagi JG
256, 64, 16, … ,
1
1024
.
𝑎 = 256 𝑟 =
64
256
=
1
4
𝑇𝑛 =
1
1024
256
1
4
𝑛−1
=
1
1024
1
4
𝑛−1
=
1
262144
1
4
𝑛−1
=
1
4
9
𝑛 − 1 = 9
𝑛 = 10
2) Cari bilangan sebutan bagi JG
𝑥2
32
,
𝑥2
16
,
𝑥2
8
, … , 512𝑥2.
𝑎 =
𝑥2
32
𝑟 =
𝑥2
16
𝑥2
32
= 2
𝑇𝑛 = 512𝑥2
𝑥2
32
2 𝑛−1 = 512𝑥2
2 𝑛−1
= 16384
2 𝑛−1
= 2 14
𝑛 − 1 = 14
𝑛 = 15

31. CARI SEBUTAN PERTAMA (𝑎) DAN
NISBAH SEPUNYA (𝑟)
Sebutan ke – 2 dan sebutan ke – 6 bagi suatu janjang geometri positif masing-masing
ialah 48 dan 3. Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya.
𝑎𝑟5
𝑎𝑟
=
3
48
𝑟4 =
1
16
𝑟4
=
1
4
4
𝑟 =
1
4
𝑻𝟐 = 𝟒𝟖
𝒂𝒓𝟐−𝟏 = 𝟒𝟖
𝒂𝒓 = 𝟒𝟖
𝑻𝟔 = 𝟑
𝒂𝒓𝟔−𝟏 = 𝟑
𝒂𝒓𝟓 = 𝟑
Masukkan nilai 𝑟 =
1
4
ke dalam 𝑎𝑟 = 48:
𝑎
1
4
= 48
𝑎 = 192

32. HASIL TAMBAH N
SEBUTAN PERTAMA
(𝑆𝑛 )

33. Untuk mencari hasil tambah 𝑛 sebutan pertama (𝑆𝑛) , berikut
adalah:
i) konsep
𝑆𝑛 = 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯ + 𝑇𝑛
ii) Rumus
𝑺𝒏 =
𝒂 𝟏 − 𝒓𝒏
𝟏 − 𝒓
, 𝒓 < 𝟏 𝑺𝒏 =
𝒂 𝒓𝒏
− 𝟏
𝒓 − 𝟏
, 𝒓 > 𝟏

34. CARI 𝑆𝑛
Diberi tiga sebutan pertama bagi sebuah JG ialah 2, 6, 18, …, cari 𝑆5.
𝑎 = 2 𝑟 =
6
2
= 3
𝑆𝑛 =
𝑎 𝑟𝑛
− 1
𝑟 − 1
𝑆5 =
2 35
− 1
3 − 1
= 242
Memandangkan 𝑟 > 1,
gunakan rumus 𝑆𝑛 =
𝑎 𝑟𝑛−1
𝑟−1

35. CARI 𝑆𝑛
Diberi tiga sebutan pertama bagi sebuah JG ialah 16, 4, 1, …, cari 𝑆7.
𝑎 = 16 𝑟 =
4
16
=
1
4
𝑆𝑛 =
𝑎 1 − 𝑟𝑛
1 − 𝑟
𝑆7 =
16 1 −
1
4
7
1 −
1
4
= 21
85
256
Memandangkan 𝑟 < 1,
gunakan rumus 𝑆𝑛 =
𝑎 1−𝑟𝑛
1−𝑟

36. CARI HASIL TAMBAH SEMUA SEBUTAN
Diberi sebuah JG dengan sebutan
1
4
, 2 , 16, … , 1024 , cari hasil tambah semua
sebutan.
𝑎 =
1
4
𝑟 =
2
1
4
= 8
𝑻𝒏 = 𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟏
𝟒
𝟖 𝒏−𝟏 = 𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟖 𝒏−𝟏 = 𝟒𝟎𝟗𝟔
𝟖 𝒏−𝟏 = 𝟖𝟒
𝒏 − 𝟏 = 𝟒
𝒏 = 𝟓
𝑺𝟓 =
𝟏
𝟒
𝟖𝟓 − 𝟏
𝟖 − 𝟏
= 𝟏𝟏𝟕𝟎
𝟏
𝟒

37. CARI NILAI SEBUTAN PERTAMA DAN
NISBAH SEPUNYA
Dalam sebuah JG, hasil tambah dua sebutan pertama ialah 5 dan sebutan ke – 3 ialah 16.
Cari nilai-nilai yang mungkin untuk sebutan pertama dan nilai-nilai sepadan dengan
nisbah sepunya. 𝑺𝟐 = 𝟓
𝑻𝟏 + 𝑻𝟐 = 𝟓
𝒂 + 𝒂𝒓𝟐−𝟏 = 𝟓
𝒂 + 𝒂𝒓 = 𝟓
𝑻𝟑 = 𝟏𝟔
𝒂𝒓𝟑−𝟏
= 𝟏𝟔
𝒂𝒓𝟐 = 𝟏𝟔
𝒂𝒓𝟐
𝒂 + 𝒂𝒓
=
𝟏𝟔
𝟓
𝒂𝒓𝟐
𝒂 𝟏 + 𝒓
=
𝟏𝟔
𝟓
𝒓𝟐
𝟏 + 𝒓
=
𝟏𝟔
𝟓
𝟓𝒓𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔𝒓
𝟓𝒓𝟐
− 𝟏𝟔𝒓 − 𝟏𝟔 = 𝟎
𝟓𝒓 + 𝟒 𝒓 − 𝟒 = 𝟎
𝒓 = −
𝟒
𝟓
𝒓 = 𝟒
𝒂 −
𝟒
𝟓
𝟐
= 𝟏𝟔
𝒂
𝟏𝟔
𝟐𝟓
= 𝟏𝟔
𝒂 = 𝟐𝟓
𝒂 𝟒 𝟐
= 𝟏𝟔
𝒂 𝟏𝟔 = 𝟏𝟔
𝒂 = 𝟏
𝒓 = −
𝟒
𝟓
𝒓 = 𝟒