Curs 9 algoritmul dijkstra

Calin Jebelean Algoritmul lui Dijkstra 1
Algoritmul lui Dijkstra
Este un algoritm care calculeaza drumurile
minime de la un nod al unui graf la toate
celelalte noduri din graf
Grafurile pe care poate lucra algoritmul lui
Dijkstra sunt, in general, ponderate si
orientate – arcele sunt orientate de la un nod
la alt nod (nu se poate merge si invers) si au
un anumit cost de care se va tine seama in
aflarea drumului minim

Daca graful este neponderat (arcele nu au costuri asociate) atunci
drum minim intre doua noduri se considera drumul alcatuit din numar
minim de arce
Pentru a gasi drumul minim de la un nod X la un nod Y se poate aplica
o cautare prin cuprindere pornind de la nodul X – prima aparitie a lui Y
in coada algoritmului de cautare prin cuprindere presupune existenta
unui drum cu numar minim de arce de la X la Y, care poate fi
reconstituit
Pe un astfel de graf se poate aplica si algoritmul lui Dijkstra, daca
transformam in prealabil graful intr-unul ponderat, asociind fiecarui arc
acelasi cost (de exemplu, costul 1)
Drumul de cost minim intre doua noduri obtinut in urma aplicarii
algoritmului lui Dijkstra va avea si numar minim de arce din moment ce
toate arcele au acelasi cost

Algoritmul lui Dijkstra functioneaza atat pe grafuri conexe cat si
pe grafuri neconexe
Un graf este conex daca din orice nod al sau se poate ajunge in
orice alt nod
In cazul grafurilor orientate, pentru ca intre doua noduri sa
existe un drum in graf, nu este suficient sa existe o succesiune
de arce intre cele doua noduri, ci arcele trebuie sa fie si
orientate in sensul corespunzator
Un drum intr-un graf orientat trebuie sa parcurga numai arce
orientate identic, de la nodul sursa pana la nodul destinatie
Daca nu exista nici un drum de la nodul de start la un alt nod al
grafului atunci algoritmul lui Dijkstra va raporta existenta unui
drum de lungime infinita intre ele – acest rezultat indica, de
fapt, lipsa oricarui drum intre cele doua noduri

Intrare:
 Algoritmul porneste de la un graf orientat si ponderat cu N noduri
 De asemenea, e nevoie de un nod de start apartinand grafului –
acesta este nodul de la care se doreste aflarea drumurilor minime
pana la celelalte noduri din graf
Iesire:
 Rezultatul algoritmului se prezinta sub forma unui tablou D cu N
intrari, continand distantele minime de la nodul de start la toate
celelalte noduri din graf
 De asemenea, tot ca rezultat se poate obtine si arborele drumurilor
minime (in cazul in care ne intereseaza nu numai lungimile minime
ale drumurilor, ci si drumurile propriu-zise) – acesta este un arbore
generalizat care se va obtine sub forma unui tablou T cu N intrari
(implementarea cu indicatori spre parinte)

Fie X nodul de start – acesta se marcheaza ca vizitat
Ideea gasirii drumului minim de la X la un un alt nod este cautarea
treptata: se presupune ca drumul minim este alcatuit dintr-un singur
arc (arcul direct intre X si nodul tinta, care poate sa nu existe, costul
sau fiind infinit in acest caz), apoi se cauta drumuri mai scurte alcatuite
din 2 arce, apoi din 3, etc. – un drum minim nu poate avea mai
mult de N-1 arce, deci algoritmul are N-1 pasi (al N-lea este banal)
Dupa pasul k (1 ≤ k ≤ N-1), tabloul D va contine lungimile drumurilor
minime de la nodul X la celelalte noduri, toate aceste drumuri fiind
alcatuite din maxim k arce
Astfel, D[Y] = L dupa pasul k inseamna ca de la X la Y exista un
drum minim de lungime L alcatuit din maxim k arce
Deci, dupa pasul k, au fost gasite numai drumurile minime alcatuite din
maxim k arce – abia la finalul algoritmului (dupa pasul N-1) drumurile
minime obtinute sunt definitive, ele fiind drumuri minime alcatuite din
maxim N-1 arce

La inceputul fiecarui pas k avem un set de k-1 noduri marcate (in cadrul pasilor
precedenti) – nodurile marcate sunt cele pentru care se cunoaste drumul minim
(initial, doar nodul de start este marcat deoarece doar pentru el se cunoaste
drumul minim)
In cadrul pasului k trebuie executate 3 operatiuni:
 Se gaseste acel nod Y nemarcat care are D[Y] minim (acesta este
singurul dintre nodurile nemarcate pentru care se poate spune sigur ca
drumul minim are lungimea D[Y]) – pentru celelalte noduri nemarcate
valoarea corespunzatoare din tabloul D s-ar putea sa nu reprezinte
lungimea drumului minim ci un drum minim intermediar (alcatuit din maxim
k-1 arce) care poate fi imbunatatit in cadrul pasilor viitori ai algoritmului
 Nodul Y se marcheaza ca vizitat
 Pentru fiecare nod Z ramas nemarcat se executa urmatorul algoritm:
if D[Z] > D[Y] + Arc(Y , Z) then begin
D[Z] := D[Y] + Arc(Y , Z);
T[Z] := Y
end

Logica este urmatoarea:
D[Y] contine lungimea drumului minim de la nodul de start la
nodul Y care trece numai prin noduri marcate (Y fiind, la
inceputul pasului k, nodul nemarcat care avea D[Y] minim) – acest
drum este alcatuit din maxim k-1 arce – D[Y] fiind minim, il marcam pe
Y deoarece nu poate exista un drum mai scurt de la X la Y
D[Z] contine lungimea celui mai scurt drum de la nodul de start la
nodul Z alcatuit din maxim k-1 arce – acest drum trece doar prin
noduri marcate, fara sa tina cont ca, intre timp, si Y a fost marcat
S-ar putea sa existe un drum mai scurt decat D[Z] de la nodul de start
la Z alcatuit din maxim k arce care trece numai prin noduri
marcate, inclusiv nodul Y – unicul drum cu aceasta proprietate care
poate fi mai scurt decat D[Z] este cel care include drumul minim pana
la Y si arcul direct intre Y si Z, deci lungimea sa este D[Y] + Arc(Y , Z)

Fie graful din figura
Vrem sa aflam drumurile minime de la nodul A la toate celelalte
noduri din graf
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5

Algoritmul trebuie sa returneze urmatorul rezultat:
D =
T =
Tabloul D are cate o intrare pentru fiecare nod al grafului,
corespunzand lungimii drumului minim de la nodul A pana la
respectivul nod
Astfel, drumul minim de la A la A nu intereseaza (-), drumul
minim de la A la F are lungimea 4, drumul minim de la A la H nu
exista (∞), etc.
- 7 1 3 3 4 5 ∞
A E A A C E F -
A B C D E F G H

A este nodul de start – il marcam ca vizitat
Fiind primul pas, initializam tablourile D si T astfel:
 D[x] este lungimea arcului direct de la A la nodul x pentru fiecare nod x
 T[x] este nodul de start (sau indicele nodului de start in T – daca se doreste un
tablou de indicatori spre parinte clasic)
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 9 1 3 ∞ ∞ 9 ∞
A B C D E F G H
Nodurile marcate
astfel sunt noduri
vizitate in graf de
algoritmul lui Dijkstra
A A A A A A A A
D:
T:

Cu alte cuvinte, presupunem ca drumurile
minime de la nodul A la celelalte noduri din
graf sunt alcatuite dintr-un singur arc, adica
arcul direct de la A la fiecare din nodurile
respective (simbolul ∞ semnifica lipsa arcului)
Astfel, drumurile minime gasite dupa primul
pas sunt cele ingrosate pe figura anterioara

Se alege nodul C si se marcheaza, deoarece nodul C este nodul
nemarcat care are intrarea in tabloul D minima – drumul minim
de la A la C are lungimea 1 (nu vom gasi altul mai scurt pana la
final)
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 9 1 3 ∞ ∞ 9 ∞
A B C D E F G H
D:

Tabloul D este:
Pentru toate nodurile nemarcate trebuie sa verificam daca nu
exista un drum mai scurt care trece prin nodul C
Exemplu pentru nodul B:
 D[B] = 9 este drumul cel mai scurt de la A la B pe care-l aveam
 D[C] + Arc(C , B) = 1 + ∞ = ∞ este drumul alternativ care trece
prin nodul C (nodul ales)
 Acest al doilea drum este mai lung decat drumul pe care-l aveam
deci D[B] nu se modifica la acest pas
- 9 1 3 ∞ ∞ 9 ∞
A B C D E F G H

Exemplu pentru nodul E:
 D[E] = ∞ este drumul cel mai scurt de la A la E pe care-l aveam
 D[C] + Arc(C , E) = 1 + 2 = 3 este drumul alternativ care trece
prin nodul C (nodul ales)
 Deoarece noul drum este mai scurt decat drumul pe care-l aveam
rezulta ca D[E] se modifica din ∞ in 3 si T[E] se modifica in C
(nodul ales)
 Se observa ca drumul alternativ trece prin nodul C (nodul ales)
 Drumul de la A la C de lungime D[C] fiind minim, daca adaugam
arcul C->E obtinem obligatoriu drumul minim de la A la E care
trece prin C

Procedand la fel pentru toate nodurile
nemarcate, obtinem urmatorul rezultat:
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 9 1 3 3 6 9 ∞
A B C D E F G H
A A A A C C A A
D:
T:
Din nodul C au fost
descoperite aceste 2
drumuri noi (mai
scurte) catre E si F

Se alege nodul D si se marcheaza, deoarece nodul D are
intrarea in tabloul D minima (chiar daca egala cu intrarea
nodului E, alegerea este arbitrara) – drumul minim de la A la D
are lungimea 3 (nu vom gasi altul mai scurt pana la final)
- 9 1 3 3 6 9 ∞
A B C D E F G H
D:
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5

Tabloul D este:
exista un drum mai scurt care trece prin nodul D
Exemplu pentru nodul F:
 D[F] = 6 este drumul cel mai scurt de la A la F pe care-l aveam
 D[D] + Arc(D , F) = 3 + ∞ = ∞ este drumul alternativ care trece
prin nodul D (nodul ales)
deci D[F] nu se modifica la acest pas
- 9 1 3 3 6 9 ∞
A B C D E F G H

Exemplu pentru nodul G:
 D[G] = 9 este drumul cel mai scurt de la A la G pe care-l aveam
 D[D] + Arc(D , G) = 3 + 5 = 8 este drumul alternativ care trece
prin nodul D (nodul ales)
rezulta ca D[G] se modifica din 9 in 8 si T[G] se modifica in D
(nodul ales)
 Se observa ca drumul alternativ trece prin nodul D (nodul ales)
 Drumul de la A la D de lungime D[D] fiind minim, daca adaugam
arcul D->G obtinem obligatoriu drumul minim de la A la G care
trece prin D

9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 9 1 3 3 6 8 ∞
A B C D E F G H
A A A A C C D A
D:
T:
Din nodul D a fost
descoperit acest drum
nou (mai scurt) catre
G

Se alege nodul E si se marcheaza, deoarece nodul E are intrarea
in tabloul D minima – drumul minim de la A la E are lungimea 3
(nu vom gasi altul mai scurt pana la final)
- 9 1 3 3 6 8 ∞
A B C D E F G H
D:
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5

Tabloul D este:
exista un drum mai scurt care trece prin nodul E
 D[E] + Arc(E , G) = 3 + ∞ = ∞ este drumul alternativ care trece
prin nodul E (nodul ales)
deci D[G] nu se modifica la acest pas
- 9 1 3 3 6 8 ∞
A B C D E F G H

 D[E] + Arc(E , B) = 3 + 4 = 7 este drumul alternativ care trece
prin nodul E (nodul ales)
rezulta ca D[B] se modifica din 9 in 7 si T[B] se modifica in E
(nodul ales)
 Se observa ca drumul alternativ trece prin nodul E (nodul ales)
 Drumul de la A la E de lungime D[E] fiind minim, daca adaugam
arcul E->B obtinem obligatoriu drumul minim de la A la B care
trece prin E

9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 7 1 3 3 4 8 ∞
A B C D E F G H
A E A A C E D A
D:
T:
Din nodul E au fost
descoperite aceste 2
drumuri noi (mai
scurte) catre B si F

Se alege nodul F si se marcheaza, deoarece nodul F are intrarea
in tabloul D minima – drumul minim de la A la F are lungimea 4
- 7 1 3 3 4 8 ∞
A B C D E F G H
D:
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5

Tabloul D este:
exista un drum mai scurt care trece prin nodul F
 D[F] + Arc(F , B) = 4 + ∞ = ∞ este drumul alternativ care trece
prin nodul F (nodul ales)
deci D[B] nu se modifica la acest pas
- 7 1 3 3 4 8 ∞
A B C D E F G H

 D[F] + Arc(F , G) = 4 + 1 = 5 este drumul alternativ care trece
prin nodul F (nodul ales)
rezulta ca D[G] se modifica din 8 in 5 si T[G] se modifica in F
(nodul ales)
 Se observa ca drumul alternativ trece prin nodul F (nodul ales)
 Drumul de la A la F de lungime D[F] fiind minim, daca adaugam
arcul F->G obtinem obligatoriu drumul minim de la A la G care
trece prin F

9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 7 1 3 3 4 5 ∞
A B C D E F G H
A E A A C E F A
D:
T:
Din nodul F a fost
descoperit acest drum
nou (mai scurt) catre
G

Se alege nodul G si se marcheaza, deoarece nodul G are
intrarea in tabloul D minima – drumul minim de la A la G are
lungimea 5 (nu vom gasi altul mai scurt pana la final)
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 7 1 3 3 4 5 ∞
A B C D E F G H
D:
Nu exista drumuri mai
scurte spre B sau H
trecand prin G, deci
tablourile D si T raman
nemodificate

Se alege nodul B si se marcheaza, deoarece nodul B are intrarea
in tabloul D minima – drumul minim de la A la B are lungimea 7
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 7 1 3 3 4 5 ∞
A B C D E F G H
D:
Nu exista drum mai
scurt spre H trecand
prin B, deci tablourile
D si T raman
nemodificate

Se alege nodul H si se marcheaza, deoarece nodul H are
intrarea in tabloul D minima – drumul minim de la A la H are
lungimea ∞ (adica nu exista), caz in care punem T[H] = ‘–’
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5
- 7 1 3 3 4 5 ∞
A B C D E F G H
D:
Nu mai exista noduri
nemarcate care sa fie
actualizate, deci
tablourile D si T raman
nemodificate

Algoritmul se incheie deoarece nu mai sunt noduri
nemarcate
Rezultatul este:
Lungimile drumurilor minime de la A la celelalte
noduri din graf sunt disponibile in tabloul D
Tabloul T serveste la reconstituirea drumurilor
- 7 1 3 3 4 5 ∞
A B C D E F G H
A E A A C E F -
D:
T:

Putem reconstitui drumurile in doua moduri:
 intuitiv, urmarind arcele ingrosate de pe graf (de exemplu, drumul
minim de la A la G este A -> C -> E -> F -> G)
 formal, utilizand tabloul T rezultat in urma aplicarii algoritmului
9
1
4
9
3
1
2
5
1
4
1 2
A
B
C
D
E
F
G
H
5

Tabloul T este:
Daca consideram ca acest tablou reprezinta un arbore
generalizat in implementarea cu indicatori spre parinte, atunci
drumul minim de la A la G poate fi reconstituit pornind de la G:
 T[G] = F
 T[F] = E
 T[E] = C
 T[C] = A
Mergand invers, obtinem: A -> C -> E -> F -> G
Arborele generalizat obtinut in tabloul T contine toate drumurile
minime cu originea in A
A E A A C E F -
A B C D E F G H

Algoritmul gaseste doar drumuri minime cu originea
intr-un anumit nod al grafului
Daca se doresc drumuri minime cu originea in alt
nod, trebuie repornit algoritmul cu respectivul nod pe
post de nod de start
Drumurile minime obtinute pot fi reprezentate ca un
arbore generalizat, deoarece ele se suprapun in mare
parte
Astfel, daca drumul minim de la X la Y trece prin Z, el
trebuie obligatoriu sa cuprinda si drumul minim de la
X la Z

Curs 9 algoritmul dijkstra

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Curs 9 algoritmul dijkstra