Project Management

1. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________29
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
2. POGLAVLJE: Sadašnja vrijednost i neto sadašnja
vrijednost
Sadržaj poglavlja:
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost 30
2.1. Sadašnja vrijednost 30
2.2. Zadaci – sadašnja vrijednost 38
2.3. Neto sadašnja vrijednost 39
2.4. Zadaci – neto sadašnja vrijednost 40

2. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________30
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
2.1. Sadašnja vrijednost
Buduća vrijednost
Buduća vrijednost (future value) FV je iznos novca do kojeg će investicija narasti kroz
odreñeno vrijeme uz odreñenu kamatnu stopu.
t
r
NJ
FV )
1
(
1 +
×
=
⇒ Jedan period
Ako investirate jedan period po kamatnoj stopi r, investicija će narasti na (1+r) po
investiranoj novčanoj jedinici (NJ).
Primjer 1.
r=10%
Jedan period je godina
Dakle, (1+0.10)=1.1 na jednu NJ
odnosno, na 100 NJ -> 100*1.10=110 NJ
Dakle, 110 NJ je buduća vrijednost 100 NJ investiranih na 1 godinu uz 10%.
Jedan period ne mora biti jedna godina.
Primjer 2.
100 NJ
Jedan period je kvartal
R=2%
100*1.02=102 na kraju kvartala.
Dakle, danas imam 100 kn, koliko će mi to vrijediti sutra.

3. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________31
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
⇒ više perioda
Što bi se dogodilo sa 100 NJ nakon 2 godine?
110 * 0.10 = 11
110 + 11 = 121 NJ
121 NJ je buduća vrijednost 100 NJ u 2 godine uz 10% kamata.
Ovdje postoje 4 komponente:
100 NJ – glavnica
10 NJ – nakon 1. godine (100*0.1)=10
10 NJ – nakon 2. godine (100*0.1)= 10
1 NJ – 10% na kamatu (10*0.1)=1
_______________________________
Ukupno 121 NJ
Primjer 3.
Zadano je sljedeće:
325 NJ
r=14%
2 godine
Na kraju prve godine -> 325 * 1,14 = 370,5
Na kraju druge godine -> 370,5 * 1,14 = 422,37
Kada bi bile jednostavne kamate:
325 * 1,14 = 370,5
370,5 – 325 = 45,5
45,5 + 45,5 = 91
Ako su složene kamate:
325 * 1,14 = 370,5
370,5 * 1,14 = 422,37
422,37 – 325 = 97,37

4. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________32
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
Primjer 4.
Odlučili ste investirati 400 NJ po kamatnoj stopi od 12%.
Koliko ćete imati nakon 3 godine?
Koliko ćete imati nakon 7 godina?
Nakon 7 godina, koliko ste kamata zaradili? Koliko je od toga složeni efekt?
Nakon 3 godine:
97
,
561
)
12
,
0
1
(
400 3
=
+
×
=
FV
Nakon 7 godina:
27
,
884
)
12
,
0
1
(
400 7
=
+
×
=
FV
Kamata je 884,27 – 400 = 484,27
400 x 0,12 = 48 je jednostavna kamata po godini.
Dakle, nakon 7 godina 336.
Složeni efekt je 484,27 – 336 = 148,27.
Sadašnja vrijednost
Sadašnja vrijednosti i diskontiranje: Recimo da trebate imati 10 000 NJ za 10 godina i
da možete zaraditi 6,5% na svom novcu. Koliko trebate uložiti danas da biste postigli
cilj?
Dakle, ovdje znamo koliko iznosi buduća vrijednost, ali ne znamo koliko iznosi
sadašnja vrijednost. Postavlja se pitanje koliko moramo uložiti danas da bismo dobili
1 NJ za jednu godinu ako kamatna stopa iznosi 10%.
Sadašnja vrijednost * 1,1 = 1 NJ

5. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________33
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
Iz toga proizlazi:
NJ
PV 909
,
0
1
,
1
1
=
=
Dakle, ovdje umjesto 'compounding' na buduće vrijeme imamo diskontiranje na
sadašnje vrijeme.
Općenito:
t
r
NJ
PV
)
1
(
1
1
+
×
=
⇒ Jedan period
Primjer 5.
Trebate 400 NJ da biste iduće godine mogli kupiti knjigu. Možete zaraditi 7% na
novcu. Koliko trebate uložiti danas? Dakle, ovdje treba izračunati koliko iznosi
sadašnja vrijednost od 400 NJ za godinu dana uz 7%.
NJ
PV 83
,
373
07
,
1
400
=
=
⇒ Više perioda
Primjer 6.
Trebate imati 1000 NJ za dvije godine uz 7%. Koliko trebate investirati danas da biste
dobili taj iznos?
NJ
PV 44
,
873
)
07
,
0
1
(
1000 2
=
+
×
= −

6. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________34
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
Veza izmeñu sadašnje vrijednosti i buduće vrijednosti
t
t
t
t
r
FV
PV
FV
r
PV
)
1
(
)
1
(
+
=
=
+
×
Primjer 7.
Poduzeće razmišlja da kupi imovinu za 335 NJ. Investicija je vrlo sigurna. Poduzeće
će prodati imovinu za 3 godine po cijeni od 400 NJ. Znate da možete uložiti 325 NJ
negdje dalje po 10% takoñer uz mali rizik. Što mislite o predloženoj investiciji?
Ako uložimo 325 NJ po 10%, pitamo se koliko to iznosi za 3 godine?
NJ
FV 89
,
445
)
1
,
0
1
(
335 3
=
+
×
=
Dakle, bolje da uložimo negdje dalje po 10% nego u spomenutu investiciju.
Drugi način je da vidimo koliko iznosi PV od 400 NJ.
NJ
PV 53
,
300
)
1
,
0
1
(
400 3
=
+
×
= −
Dakle, bolje je da uložimo 300,53NJ pa da imamo 400 NJ za 3 godine nego da za
istih 400 NJ sada moramo platiti 335 NJ.

7. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________35
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
Izračunavanje diskontne stope
⇒ jedan period
Ako uložite 1250 NJ i za jednu godinu dobijete 1350 NJ, koliko iznosi stopa?
⇒ više perioda
Ako uložite 100 NJ i za 8 godina dobijete 200 NJ, koliko iznosi stopa?
%
9
09
,
1
1
2
)
1
(
100
200
)
1
(
)
1
(
200
100
)
1
(
8
8
8
=
=
+
=
+
=
+
+
=
+
=
r
r
r
r
r
r
FV
PV t
Primjer 8.
Zainteresirani smo za kupovinu imovine od 50000 NJ. Trenutno imamo 25000 NJ.
Ako možemo zaraditi 12%, koliko dugo moramo čekati da bi se dostigao iznos od
50000 NJ?
%
8
08
,
1
)
1
(
1
08
,
1
1250
1350
)
1
(
)
1
(
1350
1250
)
1
(
=
=
+
=
=
=
+
+
=
+
=
r
r
t
r
r
r
FV
PV
t
t
t

8. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________36
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
11626
,
6
12
,
1
log
2
log
2
log
12
,
1
log
2
12
,
1
12
,
1
50000
25000
)
1
(
=
=
=
=
=
+
=
t
t
r
FV
PV
t
t
t
Sadašnja vrijednost s višestrukim cash flow
Primjer 9.
Trebamo 1000 NJ za 1 godinu i 2000 NJ za 2 godine. Možete zaraditi 9%. Koliko
trebamo staviti danas? Drugim riječima, kolika je PV od obe uplate po stopi 9%?
36
,
1683
09
,
1
2000
43
,
917
09
,
1
1000
2
1
=
×
=
=
×
=
−
−
PV
PV
Dakle, ukupan iznos je 2600,79.
Vrednovanje cash flowa: anutiti i ponavljanja
Postoje situacije u kojima imamo višestruke iznose gotovine, a koji su svi istog
iznosa, dakle, raspolažemo serijom jednih plaćanja, kao primjerice kod kredita.
Primjer 10.
Ispitujemo imovinu za koju se vjeruje da će dati 500 NJ krajem svake godine,
slijedeće 3 godine. Ako želimo zaraditi 10% na našem novcu, koliko ćemo ponuditi za
taj anuitet.
Dakle, imamo nešto što će nam krajem svake godine u naredne 3 godine donijeti
iznose od po 500 NJ. Pitamo se koliko to vrijedi sada.

9. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________37
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
NJ
PV
PV
PV
42
,
1243
66
,
376
22
,
413
54
,
454
1
,
1
500
1
,
1
500
1
,
1
500 3
2
1
=
+
+
=
×
+
×
+
×
= −
−
−
U slučaju kada imamo puno uplata, kada imamo višestruke cash iznose, korisno je
imati formulu:
( )





 +
−
×
=
−
r
r
C
PV
t
1
1
gdje je C iznos novca.
Primjer 11.
Izračunali ste da možete plaćati 632 NJ mjesečno kroz 48 mjeseci uz r=1%.
Koliko možete pozajmiti?
Drugim riječima, ako možete plaćati 632 NJ, 48 mjeseci, koliko si anuitet možete
priuštiti, odnosno, kolika je sadašnja vrijednost budućih 48 uplata po 632 NJ.
( )
( ) NJ
PV
r
r
C
PV
t
23999
01
,
0
01
,
0
1
1
632
1
1
48
=





 +
−
×
=





 +
−
×
=
−
−
U situacijama kada imamo višestuke kontinuirane cash uplate (perpetuities), koristi
se slijedeći izraz:
r
C
PV =

10. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________38
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
Primjer 12.
Investicija nudi kontinuirani cash flow od 500 NJ svake godine. Povrat koji tražite je
8%. Kolika je vrijednost investicije?
NJ
PV 6250
08
,
0
500
=
=
2.2. Zadaci – sadašnja vrijednost
Zadatak 1.
Imate 5 NJ koje ćete uložiti po stopi od 6% na 200 godina. Koliko ćete imati nakon
200 godina? Koliko iznosi 'compound'?
Zadatak 2.
Automobil košta 68500 kn. Koliko morate uložiti danas da biste kroz 2 godine kupili
automobil? Kamatna stopa iznosi 9%.
Zadatak 3.
Za školovanje djece će vam trebati 80000 kn za 8 godina. Sada imate 35000 kn. Ako
možete zaraditi 20% na godinu, hoćete li uspjeti doći do tog iznosa? Kolika stopa bi
trebala biti za taj iznos?
Zadatak 4.
Morate posuditi 100 000 NJ. Taj iznos želite vratiti u 5 rata. Kamatna stopa je 18%.
Koliki je iznos anuiteta?
Zadatak 5.
Na kreditnu karticu ste stavili iznos od 1000 NJ. Možete plaćati 20 NJ mjesečno.
Kamatna stopa je 1,5% mjesečno. Izračunajte koliko dugo ćete morati otplaćivati
1000 NJ.

11. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________39
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
2.3. Neto sadašnja vrijednost
Investicija se isplati ako kreira vrijednost za svog vlasnika, a vrijednost se kreira
pronalaženjem one investicije koja na tržištu vrijedi više od troškova kupovine.
Primjerice, kupite kuću za 25000 NJ, potrošite dodatnih 25000NJ za ureñenje. Nakon
toga je na tržištu prodate za 60000 NJ. Dakle, tržišna vrijednost premašuje uloženo
za 10000 NJ.
Kod donošenja odluke o takvom pothvatu, prvi je izazov unaprijed otkriti je li
investicija od 50000 NJ dobra ideja odnosno hoće li zarada koju će donijeti vrijediti
više od uloženog.
Razlika izmeñu tržišne vrijednosti investicije i njenih troškova zove se neto sadašnja
vrijednost NPV i odgovora na pitanja koliko je vrijednosti kreirano danas
poduzimanjem investicijskih aktivnosti.
Kako procijeniti NPV?
Primjer 1.
Razmišljamo o tome da pokrenemo poduzeće i počnemo proizvoditi i prodavati novi
proizvod – organski fertilizator. Možemo procijeniti start-up troškove zato što znamo
što nam sve treba da bismo pokrenuli poduzeće. Pitamo se je li to dobra investicija?
Odgovor ovisi o tome je li vrijednost novog biznisa veća od troškova koje je potrebno
poduzeti da bi se on pokrenuo. Odnosno, postavlja se pitanje, hoće li neto sadašnja
vrijednost biti pozitivna.
Inicijalni troškovi pokretanja projekta iznose 30 tisuća EUR. Procjenjuje se da će
priljev gotovine iznositi 20 tisuća EUR godišnje, a odljev 14 tisuća EUR godišnje.
Govorimo o periodu od 8 godina. Na kraju 8. godine, oprema će vrijediti 2 tisuće
EUR. Kamatna stopa je 15%.
Je li to dobra investicija? Treba li ulaziti u takvu investiciju?

12. Predavanja za kolegij 'Kreditna analiza' Šarlija, 2008.
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________40
2. Sadašnja vrijednost i neto sadašnja vrijednost
Da bismo došli do odgovora, napravit ćemo DCF – discounted cash flow valuation
metodu koja se sastoji u tome da se procijeni budući cash flow te da se diskontira na
sadašnju vrijednost.
Sadašnja vrijednost:
EUR
PV
PV
73
,
27577
21
,
2615
52
,
24962
15
,
1
8000
15
,
0
15
,
1
1
6000 8
7
=
+
=
×
+





 −
×
= −
−
Ukupni troškovi ulaganja:
30 000 EUR
Neto sadašnja vrijednost:
Sadašnja vrijednost – ukupni troškovi ulaganja = 27577,73 – 30000 = -2425,57 EUR
Troškovi su veći od sadašnje vrijednosti što pokazuje da se investicija ne isplati.
2.4. Zadaci – neto sadašnja vrijednost
Zadatak 1.
Troškovi investicije iznose 10 000 NJ. Cash flow kroz idućih 5 godina iznosi: prve
dvije godine po 2000 NJ, druge dvije godine po 4000 NJ, a zadnje godine 5000 NJ.
Diskontna stopa je 10%.
Izračunajte treba li ići u investiranje ili ne.