This document contains examples and exercises related to logic, algebraic expressions, and systems of equations. For logic, it provides truth tables to evaluate different logical statements and identify tautologies. For algebraic expressions, it gives multi-step equations to solve for variables. And for systems of equations, it uses substitution, elimination and other methods to solve 2x2 and 3x3 systems algebraically and verify the solutions.
UCE Ecuador faculty explores logic, expressions and systems of equations
1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Nombre: Karla Flores
Lizbeth Panchi
Curso: Primero B
Tema: Tautología, expresión algébrica, sistema de ecuación
Objetivo: Elaborar ejercicios prácticos sobre trabajo, potencia y energía a partir de las
explicaciones brindadas por el docente.
Equivalencia lógica
1)(p∧¬q) ↔ ¬ (¬p∨q)
p q ¬p ¬q (p∧¬q) ↔ (¬p∨q) ¬ (¬p∨q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
Cumple tautología
2) (p→q) ` (¬p∨q)
p q (p→q) ` (¬p ∨ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
CUMPLE TAUTOLOGIA
3) p ¬(¬p)
p ¬ (¬p)
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
CUMPLE TAUTOLOGIA
4) ¬(p→q) p∧¬q
p q ¬ (p→q) p ∧ ¬q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
2. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Cumple tautologia
Implicación lógica
1)(p ∧ q) (p ∨ q)
p q (p ∧ q) (p ∨ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
Cumple tautología
2) (p ∧ q) (p↔ q)
p q (p ∧ q) (p↔ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
Cumple tautología
3) [(p q) ∧(q r) ] (p r)
p q r (p q) ∧ (q r) (p r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
Cumple tautología
4) ¬p →(¬p∨q)
p q ¬p → ¬p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
Cumple tautología
Contradicción
3. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
1) [¬p∧`(p∨q)] ∧(p q)
p q ¬p ∧ (p∨q) ∧ (p q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
Contradicción
3. [(𝒑 → 𝒒)^(𝒒 → 𝒓)]^~(𝒑 → 𝒓)
p q r 𝒑 → 𝒒 ^ 𝒒 → 𝒓 ^ ~(𝒑
→ 𝒓)
𝒑 → 𝒓
V V V V V V F F V
V V F V F F F V F
V F V F F V F F V
V F F F F V F V F
F V V V V V F F V
F V F V F F F F V
F F V V V V F F V
F F F V V V F F V
Contradicción
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1)3X – 2X -1 = 3X – 5X – X +24
3x -2x -3x +5x +x = 1 +24
4x = 25
𝑋 =
25
4
2)14X –(3X-2) – (5X+2-(X-1)) =0
14X – 3X – 5X +X =-2+2 +1
7X= 1
𝑋 =
1
7
3)
1
3X − 3
+
1
4X + 4
=
1
12X − 12
1
3X − 3
+
1
4(X + 1)
=
1
4(3X − 3)
4. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
4 (𝑋 + 1) + 3𝑋 − 3 − (𝑋 + 1)
4(X + 1)(3X − 3)
= 0
4𝑋 + 4 + 3𝑋 − 3 − 𝑋 − 1
4(X + 1)3(𝑋 − 3)
= 0
6𝑋
4(X+1)3(X−1)
=0
𝑋
2(X + 1)(𝑋 − 1)
= 0
X=0
4)
3
2X + 1
−
2
2X − 1
=
𝑋 + 3
4𝑥2 − 1
3
2X + 1
+
2
2𝑋 − 1
−
𝑋 + 3
(2X − 1)(2𝑋 + 1)
3 (2𝑋 − 1) − 2(2𝑋 + 1) − (𝑋 + 3)
(2X − 1)(2X + 1)
= 0
𝑋 − 8
(2𝑋 − 1)(2𝑋 + 1)
= 0
X= 8
5)Se desea repartir 180.000 dólares entre Ay B de modo que la parte de A sea la
mitad de la de B y un tercio de C
A+B+C= 180000
X+2X+3X=180000
6X=180000
X=60000 2X= 60000 3X=90000
A=60000 B= 60000 C=90000
6)
2
X − 1
+
3
X − 5
=
5
x + 2
2(𝑋 − 5) + 3(𝑋 − 1)
(X − 1)(X − 5)
=
5
x + 2
5X -13(X+2) = (X2-5X-1X+5)5
5X2-13X+10X-26 = 5X2-25X-5X+25
3X-26 = -30X +25
5. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
27X = 51
𝑋 =
17
9
SISTEMA DE ECUACIONES
Ejercicio 1
10x +9y=8
8x-15y=-1
Método sustitución
8x -15y = -1 10 * (
15𝑦−1
8
)+9y=8
8x=15y-1
150𝑦−10
8
+ 9𝑦 = 8
𝑋 =
15𝑦−1
8
222y=74
10x + 3=8 𝑦 =
1
3
10x= 5
X=
1
2
Método de igualación
10x+9y=8 8x – 15y =-1
𝑋 =
8−9𝑦
10
𝑋 =
15𝑦−1
8
8−9𝑦
10
=
15𝑦−1
8
8(8-9y) = 10(15y -1) 10x + 9(
1
3
)=8
64-72y = 150y -10 10x +3=8
222y = 74 10x=5
𝑦 =
1
3
X=
1
2
Método de reducción
−80x − 72y = −64
80𝑥 − 150𝑦 = −10
−222𝑦 = −74
12. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Método de reducción
1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6
−2 (
2
𝑥
+
1
𝑦
) = −2 (
1
3
)
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
x+4y-z=6 ecuacion 1
2x+5y-7z= -9 ecuacion 2
3x-2y+z=2 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(-1)(2x+5y-7z=-9) (2)(x+4y-z=6)
2x+8y-2z=12
-2x-5y+7z=9
3y+5z=21 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
(3)(x+4y-z=6) (-1)(3x-2y+z=2)
3x+12y-3z=18
-3x+2y-z=-2
14y-4z=16 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6
−
4
𝑥
−
2
𝑦
= −
2
3
−
3
𝑥
=
1
2
−
3
𝑥
=
1
2
−3
1
2
= 𝑥
𝑥 = −6
1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6
−
1
6
+
2
𝑦
=
7
6
−𝑦 + 12
6𝑦
=
7
6
6(−𝑦 + 12) = 7(6𝑦)
−6𝑦 + 72 = 42𝑦
72 = 42𝑦 + 6𝑦
72 = 48𝑦
𝑦 =
72
48
𝑦 =
3
2
13. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
(4)(3y+5z=21) (5)(14y-4z=16)
12y+20z=84
70y-20z=80
82y =164
y= 2
reemplazar y en la ecuación 4
3(2)+5z=21
6+5z=21
5z=21-6
5z=15
z=3
reemplazar y, x en la ecuación 1
x+4(2)-3=6
x+5=6
x=6-5
x= 1
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
x+4y-z=6
1+4(2)-3=6
9-3=6
6=6
Ecuación 2
2x+5y-7z=-9
2(1)+5(2)-7(3)=-9
12-21=-9
-9=-9
Ecuación 3
3x-2y+z=2
3(1)-2(2)+3=2
14. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
6-4=2
2=2
Ejercicio 2
x+y+z=6 ecuacion 1
x-y+2z= 5 ecuacion 2
x- y+3z=10 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(3)(x+y+z=6)
3x+3y+3z=18
x-y-3z=10
4x-2y=28 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
(2)(x+y+z=6) (-1)(x-y+2z=5)
2x+2y-2z=12
-x+y-2z=-5
X+3y=17 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
(3)(4x-2y=28) (2)(x+3y=17)
12x+6y=84
2x-6y=14
14x =98
x= 7
reemplazar y en la ecuación 4
4(7)-2y=28
28+2y=28
2y=28-28
2y=0
y=0
reemplazar y, x en la ecuación 1
15. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
7+0+z=6
z=6-7
z= -1
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
x+y+z=6
7+0-1=6
7-1=6
6=6
Ecuación 2
x-y+2z=5
7+0+2(-1)=5
7-2=5
5=5
Ecuación 3
x-y-3z=10
7-0-3(-1)=10
7+3=10
10=10
Ejercicio 3
2x+y-3z=-1 ecuacion 1
x-3y-2z= -12 ecuacion 2
3x-2y-z=-5 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(-1)(2x+y-3z=-1) (2)(x-3y-2z=-12)
-2x-y+3z=+1
2x-6y-4z=-24
-7y-z=-23 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
16. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
(3)(2x+y-3z=-1) (-2)(3x-2y-z=-5)
6x+3y-9z=-3
-6x+4y+2z=+10
7y-7z=7 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
(7)(-7y-z=-23) (-1)(7y-7z=7)
-49y-7z=-161
-7y+7z=-7
-56y =-168
y= 3
reemplazar y en la ecuación 4
-7(3)-z=-23
-21-z=-23
z=-21+23
z=2
reemplazar y, x en la ecuación 1
2x+3-3(2)=-1
2x-3=-1
2x=-1+3
x= 1
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
2x+y-3z=-1
2(1)+3-3(2)=-1
5-6=-1
-1=-1
Ecuación 2
x-3y-2z= -12
1-3(3)-2(2)=-12
1-13=-12
17. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
-12=-12
Ecuación 3
3x-2y-z=-5
3(1)-2(3)-2=5
3-8=-5
-5=-5
Ejercicio 4
5x-2y+z=24 ecuacion 1
2x+5y-2z= -14 ecuacion 2
x-4y+3z=26 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(-2)(5x-2y+z=24) (5)(2x+5y-2z=-14)
-10x+4y-2z=-48
10x+25y-10z=-70
29y-12z=-118 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
(-1)(5x-2y+z=24) (5)(x-4y+3z=26)
-5x+2y-z=-24
5x-20y+15z=+130
-18y+14z=106 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
(7)(29y-12z=-118) (6)(-18y+14z=106)
203y-84z=-826
-108y+84z=636
95y =-190
y= -2
reemplazar y en la ecuación 4
29(-2)-12z=-118
-58-12z=-118
18. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
12z=-118+58
12z=60
z=5
reemplazar y, x en la ecuación 1
5x-2(-2)+5=24
5x+9=24
5x=24-9
x= 3
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
5x-2y+z=24
5(3)-2(-2)+5=24
24=24
Ecuación 2
2x+5y-2z= -14
2(3)+5(-2)-2(5)=-14
6-20=-14
-14=-14
Ecuación 3
x-4y+3z=26
3-4(-2)+3(5)=26
26=26
Ecuaciones con radicales de 1er grado
Ejercicio 1
√𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏 − 𝟐√𝒙 + 𝟐 = 𝟎
√𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏 = 𝟐√𝒙 + 𝟐
(√𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏)
𝟐
= (𝟐√𝒙 + 𝟐)
𝟐
(√𝒙 + 𝟕)
𝟐
+ 𝟐(√𝒙 + 𝟕)(√𝒙 − 𝟏) + (√𝒙 − 𝟏)
𝟐
= 𝟒(𝒙 + 𝟐)
𝒙 + 𝟕 + 𝟐√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 + 𝒙 − 𝟏 = 𝟒𝒙 + 𝟖