Σύντομη παρουσίαση πολυκριτήριας μεθόδου UTASTAR

1. Παράρτημα μεταπτυχιακής διατριβής Ε. Κρασαδάκη-Πολυτεχνείο Κρήτης
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ
ΜΜΙΙΑΑ ΠΠΟΟΛΛΥΥΚΚΡΡΙΙΤΤΗΗΡΡΙΙΑΑ ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΣΣ
ΑΑΞΞΙΙΟΟΛΛΟΟΓΓΗΗΣΣΗΗΣΣ ΓΓΕΕΝΝΙΙΚΚΩΩΝΝ ΔΔΕΕΞΞΙΙΟΟΤΤΗΗΤΤΩΩΝΝ..
ΗΗ ΜΜΕΕΘΘΟΟΔΔΟΟΣΣ UUTTAA**
Στο συγκεκριμένο παράρτημα παρουσιάζεται μια σύντομη αναφορά στην μέθοδο UTA* (J. Siskos and D. Yannacopoulos, 1985, Jacquet Lagrèze and Siskos, 2001) και η χρήση της στην εκτίμηση της αξίας και του βάρους των πηγών απόκτησης των γενικών δεξιοτήτων «Χρήση εργαλείων Λογισμικού & Εξοπλισμού» και «Χρήση Υπηρεσιών Internet”.
Η μέθοδος UTA* λειτουργεί ως εξής: Εστω Α το σύνολο των εναλλακτικών ενεργειών ενός πολυκριτήριου προβλήματος και g=(g1, g2, …,gn) μια συνεπής οικογένεια κριτηρίων εκτίμησης των εναλλακτικών. Για την ανάπτυξη ενός μοντέλου το οποίο εκφράζει τις προτιμήσεις του αποφασίζοντα, γίνεται η σύνθεση των κριτηρίων σε μια προσθετική συνάρτηση χρησιμότητας της μορφής:
Σ= = niiigugU1)()( ( Γ.1)
όπου οι συναρτήσεις χρησιμότητας , ονομάζονται συναρτήσεις μερικής αξίας (μερικής χρησιμότητας) και αναπαριστούν τη σημασία του κάθε κριτηρίου. )(iigu
Για το κάθε κριτήριο εκτίμησης ορίζονται η περισσότερο και η λιγότερο προτιμητέα τιμή και αντίστοιχα, για τις εναλλακτικές ενέργειες του συνόλου Α. Το κάθε διάστημα [,] χωρίζεται σε a* ig*ig*ig* igi-1 ίσα διαστήματα [], όπου ο αριθμός a1,+jijiggi των υπο- διαστημάτων δίνεται από τον αποφασίζοντα ο οποίος καθορίζει έτσι τον αριθμό των σημείων για τα οποία θα εκτιμηθεί η κάθε συνάρτηση μερικής αξίας (χρησιμότητας). Το κάθε σημείο υπολογίζεται από την σχέση: jig)( 11* * *iiiijiggajgg− − − += (Γ.2 )
- 237 -

2. Παράρτημα μεταπτυχιακής διατριβής Ε. Κρασαδάκη-Πολυτεχνείο Κρήτης
Η μερική χρησιμότητα μιας εναλλακτικής ενέργειας α προσεγγίζεται επίσης με γραμμική παρεμβολή, ως εξής: )]()([ )( )()]([11jiijiijijijiijiiiigugugggagguagu− − − +=+ + (Γ.3)
Μια βασική υπόθεση της μεθόδου είναι το γεγονός ότι οι προτιμήσεις του αποφασίζοντα πάνω στα κριτήρια εκτίμησης είναι μονότονες συναρτήσεις των τιμών των κριτηρίων (αύξουσες ή φθίνουσες). Για την ικανοποίηση της υπόθεσης αυτής τίθεται ο ακόλουθος περιορισμός: ijiijiisgugu≥−+)()(1
όπου si≥0 είναι ένα όριο που καθορίζεται για το κάθε κριτήριο gi. Αυτοί οι περιορισμοί μονοτονίας, μπορούν να απλουστευθούν μετατρέποντάς τους σε περιορισμούς μη αρνητικότητας χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:
0)()(1≥−=+jiijiiijguguw ∀ i, j
0)(*=iigu
Σ− = = 11)( jkikjiiwgu
Σύμφωνα με τους παραπάνω μετασχηματισμούς τα βάρη των κριτηρίων μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:
Σ− = = 11*)( iakikiiwgu
Συνεπώς η σχέση (Γ.3) γράφεται ως εξής: ΣΣ− == − = +− − − += 111111][ )( )]([ jkjkjkikikjijijiiikiiwwgggagwagu Σ
O αποφασίζων ορίζοντας μια αρχική προδιάταξη των εναλλακτικών από τις καλύτερες προς τις χειρότερες, σύμφωνα με τις προτιμήσεις του, στόχος της μεθόδου UTA* είναι η ανάπτυξη ενός μοντέλου προσθετικής συνάρτησης χρησιμότητας το οποίο να αναπαριστά όσο το δυνατόν πιο πιστά την πολιτική και τις προτιμήσεις του αποφασίζοντα.
Οι πιθανές ασυμφωνίες μεταξύ του μοντέλου και των προτιμήσεων του αποφασίζοντα, είναι δύο ειδών:
- 238 -

3. Παράρτημα μεταπτυχιακής διατριβής Ε. Κρασαδάκη-Πολυτεχνείο Κρήτης
το σφάλμα υπερεκτίμησης και το σφάλμα υποεκτίμησης . Το σφάλμα υπερεκτίμησης αφορά περιπτώσεις όπου ο αποφασίζων έχει κατατάξει μια εναλλακτική σε υψηλότερη θέση στην προδιάταξη σε σχέση με τη θέση που κατατάσσεται η εναλλακτική με βάση την ολική της χρησιμότητα. Ανάλογα το σφάλμα υποεκτίμησης αφορά περιπτώσεις όπου ο αποφασίζων έχει κατατάξει μια εναλλακτική σε χαμηλότερη θέση στην προδιάταξη σε σχέση με τη θέση που κατατάσσεται η εναλλακτική με βάση την ολική της χρησιμότητα. )(ασ+)(ασ−
Ανάλογα με την προδιάταξη που καθορίστηκε από τον αποφασίζοντα, για δύο εναλλακτικές δραστηριότητες α και β, θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω βασικοί περιορισμοί:
U(a) – U(b)≥δ ⇔ α P b
U(a) – U(b)=δ ⇔ α Ι b
όπου τα P και Ι συμβολίζουν αντίστοιχα τις σχέσεις προτίμησης και αδιαφορίας μεταξύ των δύο εναλλακτικών δραστηριοτήτων. Το δ είναι ένας μικρός πραγματικός θετικός αριθμός. Οι παραπάνω περιορισμοί, βάση του ορισμού της αθροιστικής συνάρτησης χρησιμότητας, λαμβάνοντας υπόψη τα σφάλματα υπερεκτίμησης και υποεκτίμησης, γράφονται ως εξής:
δσσασασ≥+−−+−−+−+)()()()()]([)]([bbbguagu εάν α Ρ b
0)()()()()]([)]([=+−−+−−+−+bbbguaguσσασασ εάν α I b
Η επίλυση του προβλήματος που περιγράφηκε παραπάνω, γίνεται μέσω του ακόλουθου γραμμικού προβλήματος:
Min F= Σ∈ −++ Aa)}()({ασασ
Υπό τους περιορισμούς
δσσασασ≥+−−+−−+−+)()()()()]([)]([bbbguagu εάν α Ρ b
0)()()()()]([)]([=+−−+−−+−+bbbguaguσσασασ εάν α I b
(Γ.4)
ΣΣ= ijijw1
wij ≥0, , ,0)(≥+ασ0)(≥−aσΣ− = = 11*)( iakikiiwgu,Aa∈∀ ∀ i, j
δ: μικρός θετικός αριθμός - 239 -

4. Παράρτημα μεταπτυχιακής διατριβής Ε. Κρασαδάκη-Πολυτεχνείο Κρήτης
Στη συνέχεια μέσω ανάλυσης ευστάθειας ανιχνεύεται η ύπαρξη πολλαπλών βέλτιστων ή σχεδόν βέλτιστων λύσεων, οι οποίες αντιστοιχούν σε τιμές μεταξύ του F* και F* + e. Λαμβάνοντας υπόψη το νέο αυτό περιορισμό (Σ∈ −++≤+ AaeFaa*)}()({σσ) επιλύεται μια σειρά νέων γραμμικών προβλημάτων έχοντας ως αντικειμενικές συναρτήσεις τη μεγιστοποίηση των τιμών των βαρών του κάθε κριτηρίου. Για την εύρεση μιας τελικής λύσης λαμβάνεται υπόψη ο μέσος όρος των λύσεων των προηγούμενων γραμμικών προβλημάτων.
Ειδικότερα, στο συγκεκριμένο πρόβλημα της εκτίμησης των συναρτήσεων αξιών και των βαρών των κριτηρίων-πηγών απόκτησης των γενικών δεξιοτήτων, η μέθοδος UTA* εφαρμόστηκε δύο φορές, για κάθε γενική δεξιότητα. Για κάθε περίπτωση δημιουργήθηκε ένα Σύνολο Αναφοράς δέκα υποθετικών υποψηφίων. Η εκτίμηση των υποψηφίων πάνω στην τετραβάθμια κλίμακα των κριτηρίων-πηγών και η προδιάταξη τους από τον καλύτερο προς τον χειρότερο παρουσιάζεται στους Πίνακες Γ.1 και Γ.2. Η αρχική προδιάταξη πραγματοποιήθηκε από εμάς ως αποφασίζοντες που μέσω αυτής εξωτερικεύθηκαν οι προτιμήσεις μας. Ενδεχομένως, ένας άλλος αποφασίζων θα μπορούσε να προδιατάξει τους υποψηφίους διαφορετικά και εφαρμόζοντας την μέθοδο UTA* να καταλήξει σε ένα σύνολο συναρτήσεων αξιών και βαρών που να εκφράζουν τις προτιμήσεις του.
Πίνακας Γ.1 Σύνολο Αναφοράς Γενικής Δεξιότητας «Χρήση Εργαλείων Λογισμικού & Εξοπλισμού»
Επαγγελματική Εμπειρία
Επαγγελματική Κατάρτιση
Σπουδές
Προσωπική Ενασχόληση
Προδιάταξη
Εναλλακτικές
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Υποψήφιος 1
x
x
x
x
1
Υποψήφιος 2
x
x
x
x
2
Υποψήφιος 3
x
x
x
x
3
Υποψήφιος 4
x
x
x
x
4
Υποψήφιος 5
x
x
x
x
5
Υποψήφιος 6
x
x
x
x
6
Υποψήφιος 7
x
x
x
x
7
Υποψήφιος 8
x
x
x
x
8
Υποψήφιος 9
x
x
x
x
9
Υποψήφιος 10
x
x
x
x
10
- 240 -

5. Παράρτημα μεταπτυχιακής διατριβής Ε. Κρασαδάκη-Πολυτεχνείο Κρήτης
Πίνακας Γ.2 Σύνολο Αναφοράς Γενικής Δεξιότητας «Χρήση Υπηρεσιών Internet»
Επαγγελματική Εμπειρία
Επαγγελματική Κατάρτιση
Σπουδές
Προσωπική Ενασχόληση
Προδιάταξη
Εναλλακτικές
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Μεγ
Μετρ
Μικρ
Καμ
Υποψήφιος 1
x
x
x
x
1
Υποψήφιος 2
x
x
x
x
2
Υποψήφιος 3
x
x
x
x
3
Υποψήφιος 4
x
x
x
x
4
Υποψήφιος 5
x
x
x
x
5
Υποψήφιος 6
x
x
x
x
6
Υποψήφιος 7
x
x
x
x
7
Υποψήφιος 8
x
x
x
x
8
Υποψήφιος 9
x
x
x
x
9
Υποψήφιος 10
x
x
x
x
10
Η μέθοδος UTA*, δεχόμενη την αρχική προδιάταξη των δέκα υποψηφίων του Συνόλου Αναφοράς και τις πολυκριτήριες εκτιμήσεις τους ανά περίπτωση, αναζητά μια συμβιβαστή με την προδιάταξη προσθετική συνάρτηση αξιών προκειμένου να κατατάξει τους υποψηφίους από τον καλύτερο προς τον χειρότερο σε κάθε γενική δεξιότητα.
Για κάθε γενική δεξιότητα, συγκρίνοντας τους υποψηφίους ανά δύο και εισαγάγοντας λάθη υπερεκτίμησης και υποεκτίμησης επιλύθηκε το αντίστοιχο κάθε φορά γραμμικό πρόβλημα της μορφής Γ.4 που ελαχιστοποιεί τα σφάλματα και υπό τους περιορισμούς ότι οι διαφορές των μερικών συναρτήσεων αξιών δύο διαδοχικών υποψηφίων πρέπει να υπερβαίνουν ή να είναι ίσες ενός δ, για δ=0,05 και τα βάρη των κριτηρίων να είναι ίσα με την μονάδα. Τα σφάλματα υπερεκτίμησης και υποεκτίμησης και στις δύο περιπτώσεις εφαρμογής της UTA* ήταν μηδενικά και η κατάταξη των υποψηφίων που πρότεινε το μοντέλο ταίριαζε απόλυτα με την αρχική προδιάταξη. Ετσι, για λόγους ευστάθειας των λύσεων που προτάθηκαν από το μοντέλο για κάθε γενική δεξιότητα επιλύθηκαν 4x2 γραμμικά προβλήματα, τα οποία μεγιστοποιούν τις τιμές των βαρών για κάθε κριτήριο-πηγή. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης ευστάθειας παρουσιάζονται στους Πίνακες Γ.3 και Γ.4. +σ−σ
- 241 -

6. Παράρτημα μεταπτυχιακής διατριβής Ε. Κρασαδάκη-Πολυτεχνείο Κρήτης
Πίνακας Γ.3 Τελική λύση μεταβλητών της μεθόδου UTA* στην πρώτη Γενική Δεξιότητα
(Χρήση Εργαλείων S/W & H/W)
w11
w12
w13
w21
w22
w23
w31
w32
w33
w41
w42
w43
Max b1
0,15
0,20
0,30
0,05
0,05
0
0
0
0,05
0
0
0,2
Max b2
0
0,15
0
0,05
0
0,3
0
0
0,05
0,4
0
0,05
Max b3
0,15
0
0,05
0,05
0,05
0
0,65
0
0,05
0
0
0
Max b4
0,15
0
0
0,05
0
0,05
0
0
0,05
0
0,65
0,05
Μέση Τιμή
0,11
0,09
0,09
0,05
0,02
0,09
0,16
0
0,05
0,10
0,16
0,07
Πίνακας Γ.4 Τελική λύση μεταβλητών της μεθόδου UTA* στην δεύτερη Γενική Δεξιότητα
(Χρήση Υπηρεσιών Internet)
w11
w12
w13
w21
w22
w23
w31
w32
w33
w41
w42
w43
Max b1
0,2
0
0,15
0,25
0
0
0,05
0,05
0,3
0
0
0
Max b2
0,2
0
0,15
0
0,25
0
0,05
0
0,3
0,05
0
0
Max b3
0
0,2
0,15
0,25
0
0
0,05
0,05
0,3
0
0
0
Max b4
0
0,2
0,15
0
0,25
0
0,05
0
0,3
0,05
0
0
Μέση Τιμή
0,10
0,10
0,15
0,13
0,12
0
0,05
0,03
0,30
0,03
0
0
Σύμφωνα με τον Πίνακα Γ.3, που αφορά την πρώτη γενική δεξιότητα:
Βάρος Επαγ. Εμπειρίας: w11 + w12 +w13=0,11+0,09+0,09=0,29
Βάρος Επαγ. Κατάρτισης: w21 + w22 + w23=0,05+0,02+0,09=0,16
Βάρος Σπουδών: w31 + w32 + w33=0,16+0+0,05=0,21
Βάρος Προσωπικής Ενασχόλ.: w41 + w42 + w43=0,10+0,16+0,07=0,34
και οι μερικές χρησιμότητες μπορούν να κανονικοποιηθούν διαιρώντας κάθε μία μερική χρησιμότητα με το , δηλαδή στην 1)(* iiguη Γενική Δεξιότητα:
=0,11+0,09+0,09=0,29: )(* iigu
Επαγγελματική Εμπειρία – Μικρός βαθμός ενασχόλησης: 0,11/0,29=0,39
Επαγγελματική Εμπειρία – Μέτριος βαθμός ενασχόλησης: (0,11+0,09)/0,29=0,70
κ.ο.κ.
- 242 -