sistemas de ecuaciones lineales

1. UNIDAD 2
TAREA 2 - SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS
LAURA XIMENA MONTES ESTRADA - COD: 1088020290
ALEJANDRO MAGNO GUERRERO HUILA
FABIO ALEXANDER MUNOZ - COD: 76029453
HERNAN DARIO URUEÑA -
TUTOR
ALVARO ALBERTO HUERTAS CABRERA
ALGEBRA LINEAL
208046A_614
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
DOSQUEBRADAS/NOVIEMBRE

2. INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones lineales son usadas desde las aplicaciones más básicas de la
vida cotidiana, hasta las aplicaciones más elaboradas de procesos
tecnológicos permitiendo realizar cálculos acertados y precisos a la hora de
requerir los datos necesarios para cualquier operación. Complementando las
ecuaciones lineales con las rectas resultantes y aprendiendo a asociarlas en
planos de 2 y 3 dimensiones es posible visualizar las situaciones más
complejas haciendo el uso adecuado de las diferentes herramientas
existentes para poner en práctica los conocimientos adquiridos en el
desarrollo de las competencias relacionadas con estos temas.
Los conceptos básicos trabajados en esta unidad desarrollando a plenitud los
ejercicios, permite comprender los diferentes métodos para la solución de los
sistemas de ecuaciones y permite al estudiante apropiarse del conocimiento
por medio de la aplicación de este en situaciones de la vida diaria,
permitiendo que se encuentre sentido al estudio de las diferentes ramas de
las ciencias matemáticas no solo como requisito para aprobar los créditos
necesarios, sino como herramientas para la solución de situaciones que se
presentan a diario en el desarrollo de nuestras labores como ingenieros.
Los ejercicios desarrollados en esta unidad permiten al estudiante hacer una
recopilación de conocimientos necesarios en otras materias propias de la
carrera y con aplicación a la vida cotidiana, por lo que es importante dedicar
el tiempo necesario que permita la solución y el discernimiento completo de
cada desarrollo que se hace en los ejercicios y presentarlos de una forma
clara y por medio de las normas, facilita el entendimiento para cualquier
persona que desee acceder a ellos.

3. OBJETIVOS
 Comprender los fundamentos teóricos de sistemas de ecuaciones
lineales, rectas y planos, espacio vectorial a través de procesos de
pensamiento que faciliten la solución de los ejercicios propuestos.
 Interactuar con los demás integrantes de grupo para lograr un
excelente trabajo y dar solución a los problemas plateados y en la guía
de actividades.
 Comprender y analizar cada uno de los ejercicios planteados, aplicando
los métodos más adecuados para su solución.

4. DESARROLLO DE LA UNIDAD 2
Ejercicio 1
Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.
FABIO ALEXANDER MUNOZ
a.

5. ALEJANFRO MAGNO GUERRERO
b.

6. LAURA XIMENA MONTES ESTRADA
c.

7. HERNAN DARIO URUEÑA
d.

8. Ejercicio No. 2
Sistemas de ecuaciones lineales
2.1 Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la
solución de problemas básicos.
FABIO ALEXANDER MUNOZ
a. 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟏𝟕
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟑𝟓
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟏𝟒
2 1 −4
1 −2 6
2 3 −5
|
−17
35
−14
Se reduce la matriz a la forma escalonada
Se cancela el primer coeficiente en la fila R2 realizando 𝑅2 ← 𝑅2 − 1/2 ∗
𝑅1
[
2 1 −4
0 −5/2 8
2 3 −5
|
−17
87/2
−14
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R3 realizando 𝑅3 ← 𝑅3 − 1 ∗ 𝑅1
[
2 1 −4
0 −5/2 8
0 2 −1
|
−17
87/2
3
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila 𝑅3 ← 𝑅3 + 4/5 ∗ 𝑅2
[
2 1 −4
0 −5/2 8
0 0 27/5
|
−17
87/2
189/5
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑅3 ← 5/27 ∗ 𝑅3
[
2 1 −4
0 −5/2 8
0 0 1
|
−17
87/2
7
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R2 realizando 𝑅2 ← 𝑅2 − 8 ∗ 𝑅3
[
2 1 −4
0 −5/2 0
0 0 1
|
−17
25/2
7
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R1 realizando 𝑅1 ← 𝑅1 + 4 ∗ 𝑅3

9. [
2 1 0
0 −5/2 0
0 0 1
|
11
25/2
7
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑅2 ← −2/5 ∗ 𝑅2
[
2 1 0
0 1 0
0 0 1
|
11
5
7
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R1 realizando 𝑅1 ← 𝑅1 − 1 ∗ 𝑅2
[
2 0 0
0 1 0
0 0 1
|
6
5
7
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑅1 ← 1/2 ∗ 𝑅1
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
3
5
7
]
Comprobación en GeoGebra

10. ALEJANFRO MAGNO GUERRERO
b. 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟗
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟑𝟒
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟐𝟗
2 1 −4
1 −2 6
2 3 −5
|
−9
34
−29
Se reduce la matriz a la forma escalonada
Se cancela el primer coeficiente en la fila R2 realizando 𝑓1 ← 1/2 ∗ 𝑓1
[
1 1/2 −2
1 −2 6
2 3 −5
|
−9/2
34
−29
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R3 realizando 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓1
[
1 1/2 −2
0 −5/2 8
2 3 −1
|
−9/2
77/2
−29
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila 𝑓3⃪ 𝑓3− 2 𝙭 𝒇𝟏
[
1 1/2 −2
0 −5/2 8
0 2 −1
|
−9/2
77/2
−20
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑓2 ← 𝑓2 𝙭− 𝟐/𝟓
[
1 1/2 −2
0 1 16/5
0 2 −1
|
−9/2
77/5
−20
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R2 realizando 𝑓1 ← 𝑓1 −
𝑓2 𝙭 𝟏/𝟐
[
1 0 −2/5
0 1 −16/5
0 2 −1
|
−16/5
−77/5
−20
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R1 realizando 𝑓3 ← 𝑓3 − 𝑓2 𝙭 𝟐

11. [
1 0 2/5
0 1 16/5
0 0 27/5
|
16/5
77/5
54/4
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑓3 ← 𝑓3 𝙭 𝟓/𝟐𝟕
[
1 0 −2/5
0 1 −16/5
0 0 1
|
16/5
77/5
2
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R1 realizando 𝑓2 ← 𝑓2 − 𝑓3 𝙭−
𝟏𝟔/𝟓
[
1 0 −2/5
0 1 0
0 0 1
|
16/5
7
2
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑓1 ← 𝑓1 − 𝑓3 𝙭− 𝟐/𝟓
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
4
7
2
]
𝑥 = 4
𝑦 = 7
𝑧 = 2

12. LAURA XIMENA MONTES
C. 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟏𝟔
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛 = 𝟐𝟏
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟓𝒛 = −𝟐𝟑
Ordenar la Matriz Aumentada
2 1 −4
1 −2 6
2 3 −5
|
−16
21
−23
Celdas: 31 – 21 – 32 – 13 – 23 – 12
1. −1𝑅3 + 𝑅1 = 𝑅3
[
2 1 −4
−2 −3 5
|
−16
−23
] = 𝑅3
[
2 1 −4
1 −2 6
0 −2 1
|
−16
21
39
]
−2𝑅2 + 𝑅1 = 𝑅3
[
2 1 −4
−2 4 −12
|
−16
−42
] = 𝑅2
[
2 1 −4
0 5 −16
0 −2 1
|
−16
−58
39
]
5𝑅3 + 2𝑅2 = 𝑅3
[
0 10 −32
0 −10 5
|
−116
195
] = 𝑅3
[
2 1 −4
0 5 −16
0 0 −27
|
−16
−58
79
]
Para tener un dato más pequeño (Simplificar) dividimos el renglón 3 lo
dividimos en -27
[
2 1 −4
0 5 −16
0 0 1
|
−16
−58
−2.9
]
4𝑅3 + 𝑅1 = 𝑅1
[
2 1 −4
0 0 4
|
−16
−11.6
] = 𝑅1

13. [
2 1 0
0 5 −16
0 0 1
|
−27.6
−58
−2.9
]
16𝑅3 + 𝑅2 = 𝑅2
[
0 5 −16
0 0 16
|
−58
−46.4
] = 𝑅1
[
2 1 0
0 5 0
0 0 1
|
−27.6
−104.4
−2.9
]
−5𝑅1 + 𝑅2 = 𝑅1
[
−10 −5 0
0 5 0
|
135
−104.4
] = 𝑅1
[
−10 0 0
0 5 0
0 0 1
|
30.6
−104.4
−2.9
]
R1/(-10)=R1
[
1 0 0
0 5 0
0 0 1
|
−3.06
−104.4
−2.9
]
R2/(5)=R2
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
30.6
−20.88
−2.9
]
Validación del resultado graficado en Geogebra

15. HERNAN DARIO URUEÑA
d. 2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 19
𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧 = −22
2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 28
Solución de matrices por Gauss Jordán
(
2 1 −4 19
1 −2 6 −22
2 3 −5 28
) 𝐹1:
𝑓1
2
(
1 0.5 −2 9.5
1 −2 6 −22
2 3 −5 28
)
(
1 0.5 −2 9.5
0 −2.5 8 −31.5
0 2 −1 9
) 𝐹2:
𝑓2
−2.5
(
1 0.5 −2 9.5
0 1 −3.2 12.6
0 2 −1 9
)
(
1 0.5 −2 9.5
0 1 −3.2 12.6
0 0 5.4 − 16.2
) 𝐹3:
𝑓3
5.4
(
1 0.5 −2 9.5
0 1 −3.2 12.6
0 0 1 − 3
)
(
1 0.5 −2 9.5
0 1 0 3
0 0 1 − 3
) 𝐹1:𝑓1 − 2𝑓3 (
1 0.5 0 3.5
0 1 0 3
0 0 1 − 3
)
(
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 − 3
) 𝑥 = (
2
3
−3
)

16. Ejercicio No. 2.2
Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la
solución de problemas básicos.
FABIO ALEXANDER MUNOZ
a. Una empresa de tecnología elabora 3 productos diferentes A, B y C, los
cuales se constituyen con los componentes x, y, z. Si el producto A
requiere 2 componentes ‘x’, 5 componentes ‘y’, y 6 componentes ‘z’, B
requiere 3, 4 y 7 respectivamente, y C necesita 6, 3 y 1 respectivamente,
y a su vez, la compañía desea construir 100 productos A, 120 de B y 90
de C, ¿cuál es el sistema de ecuaciones que permitiría encontrar la
cantidad de componentes x, y, z necesarios para lograr esa producción
total?
Desarrollo.
X Y Z
Producto A 2 5 6 100
Producto B 3 4 7 120
Producto C 6 3 1 90
2 5 6
3 4 7
6 3 1
|
100
120
90
De acuerdo con la descripción del ejercicio vemos que se forma una
ecuación lineal en matriz en la que podemos utilizar el método de
reducción escalonada para poder obtener el resultado total para cada uno
de los productos.
ALEJANFRO MAGNO GUERRERO
b. Un supermercado vende 3 paquetes de verduras que se componen de
zanahoria, tomate y cebolla. El primer paquete lleva 125 gr de zanahoria,
200 gr de tomate y 170 gr de cebolla, mientras que el segundo paquete
lleva 120, 180 y 160 gr respectivamente y el tercer paquete lleva 110,
130 y 150 gr respectivamente de zanahoria, tomate y cebolla. Si el
supermercado posee 12 kg de zanahoria, 14 kg de tomate y 13,5 kg de
cebolla, ¿qué sistema de ecuaciones permitiría definir la cantidad de
paquetes que se podrían conformar con estas disponibilidades y
requerimientos? Tenga en cuenta la conversión de unidades.
𝑆𝑒𝑎𝑛

17. 𝑍 → 𝑧𝑎𝑛𝑎ℎ𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠
𝑇 → 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑒𝑠
𝐶 → 𝑐𝑒𝑏𝑜𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑃𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒 1 → 125𝑧 + 200𝑡 + 130𝑐
𝑃𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒 2 → 120𝑧 + 180𝑡 + 160𝑐
𝑃𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒 3 → 110𝑧 + 130𝑡 + 150𝑐
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜
12𝑘𝑔 𝑍 → 12.000𝑔 𝑍
14𝑘𝑔𝑇 → 14.000𝑔 𝑇
13,5𝑘𝑔 𝐶 → 13.500𝑔 𝐶
𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
125𝑧 + 200𝑡 + 130𝑐 = 12.000
120𝑧 + 180𝑡 + 1060𝑐 = 14.00
110𝑧 + 130𝑡 + 150𝑡 = 13.500
LAURA XIMENA MONTES
c. Una empresa tiene 3 proyectos en los cuales invertir. Si en el primer año
invierte en estos, el proyecto 1 le dará un retorno del 40% de lo invertido,
el 2 un 55% y el 3 un 35%. Si invierte en el segundo año, el proyecto 1 le
dará un retorno del 20% de lo invertido, el proyecto 2 un 25% y el 3 un
30%, mientras que si invierte en el tercer año los proyectos le retornarán
un 10%, 15% y 20% respectivamente lo invertido. Si en el primer año se
posee un capital de $5’000.000, en el segundo uno de $7’000.000 y en el
tercer un capital de $3’500.000, ¿cuál sería el sistema de ecuaciones que
permitiría definir cuánto se debe invertir en cada proyecto?
PROYECTOS A INVERTIR
AÑOS
PROYECTO
No. 1
PROYECTO
No. 2
PROYECTO
No. 3
CAPITAL
Primer Año 40% 55% 35% 5´000.000
Segundo
Año
20% 25% 30% 7´000.000

18. Tercer Año 10% 15% 20% 3´500.000
[
40 55 35
20 25 30
10 15 20
|
5´000.000
7´000.000
3´500.000
]
HERNAN DARIO URUEÑA
d. Una constructora desarrolla 3 tipos de obras. El requerimiento de
hormigón en el primer tipo de ellas es de 70 ton, en el tipo 2 es de 50 ton
y en el 3 de 40 ton. Por otro lado, en el primer tipo de obra se requieren
290 varillas de acero, en el 2 se requieren 350 y en el 3, 400 varillas.
Mientras que las obras 1 requieren 24 máquinas de carga pesada, las 2
requieren de 18 y las últimas de 15. Si la constructora cuenta con 700 ton
de hormigón, 10.000 varillas de acero y 300 máquinas de carga pesada,
¿cuál será el sistema de ecuaciones que describe la capacidad actual de
obras de cada tipo de la constructora?
Definición de cantidades:
𝐻𝑜𝑟𝑚𝑖𝑔𝑜𝑛 = 700 𝑡𝑜𝑛
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 = 10000𝑢𝑛𝑑
𝑀𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 = 300𝑢𝑛𝑑
Definición de variables:
Obra 1 a
Obra 2 b
Obra 3 c
Planteamiento del sistema de ecuaciones:
70𝑎 + 50𝑏 + 40𝑐 = 700
290𝑎 + 350𝑏 + 400𝑐 = 10000
24𝑎 + 18𝑏 + 15𝑐 = 300
Ejercicio No.3
Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas
básicos.
FABIO ALEXANDER MUNOZ
a. De la recta que pasa por los puntos P=(2,7,8) y Q=(3,4,7).
Se utiliza la formula
𝒓
⃗ = 𝒑
⃗
⃗ + 𝒕𝒗
⃗
⃗

19. 𝑃
⃗ = (2,7,8)
𝑣 = (3,4,7)
𝒓
⃗ = (𝟐, 𝟕,𝟖) + (𝟑,𝟒, 𝟕) Ecuación vectorial de la recta
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,7,8) t(3,4,7)
Se multiplica el vector t
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2,7,8) + (3t, 4t, 7t)
Se realiza la suma de vectores
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 + 3t, 7 + 4t, 8 + 7t)
Una igualdad entre vectores se cumple solamente si los componentes
correspondientes son iguales.
𝑥 = 2 + 3𝑡
𝑦 = 7 + 4𝑡
𝑧 = 8 + 7𝑡
} 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂
Se despeja t de la primera ecuación
𝑥 − 2 = 3𝑡
𝑥 − 2
3
= 𝑡
𝑡 =
𝑥 − 2
3
Se despeja t de la segunda ecuación
𝑡 =
𝑦−7
4
Se despeja t de la tercera ecuación
𝑡 =
𝑧 − 8
7
Se iguala y se obtienen las ecuaciones simétricas de la recta
𝒙−𝟐
𝟑
=
𝒚−𝟕
𝟒
=
𝒛−𝟖
𝟕
Comprobación en GeoGebra

20. ALEJANFRO MAGNO GUERRERO
b. De la recta que pasa por el punto R=(-5,-7,6) y que es paralela a la recta
que pasa por los puntos A=(2,11,8) y B=(1,5,-9)
𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐴 𝑦 𝐵 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙.
r = ( u,v, w )
( 2 − 1 )𝑖 + ( 11− 5 )𝑗+ ( 8 − (−9))𝑘
1𝑖 + 6𝑗 + 17𝑘 = 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎.
𝑢 = 1
𝑣 = 6
𝑤 = 17
Entonces dado que
𝑅 = ( −5 ,−7 ,6 ) = ( 𝑥 ,𝑦 ,𝑧 ) = 𝑖 + 6𝑗 + 17𝑘
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎.
𝑥 = −5 + 𝑖
𝑦 = −7 + 6𝑗

21. 𝑧 = 6 + 17𝑘
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑆𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
𝑥 = −5 + 𝑖
𝑦 = −7 + 6𝑘
𝑧 = 6 + 17𝑘
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜
𝑖 = 𝑥 + 5
𝑗 =
𝑦 + 7
6
𝑘 =
𝑧 − 6
17
𝑥 + 5 =
𝑦 + 7
6
=
𝑧 − 6
17
LAURA XIMENA MONTES
c. De la recta que pasa por el punto S=(10,5,2) y cuyo vector director es
V=(-4,11,-7).
𝒓
⃗ = 𝑷
⃗⃗ + 𝒕 𝒗
⃗
⃗
𝑺
⃗
⃗ = (𝟏𝟎,𝟓,𝟐)
𝑽 = (−𝟒, 𝟏𝟏,−𝟕)

22. 𝒓
⃗ = (10,5,2)+ 𝒕(−4,11,−7)
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (10,5,2) + 𝒕(−4𝑡,11𝑡, −7𝑡)
Realizar una suma de vectores
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (10,5,2) + 𝒕(−4𝑡,11𝑡, −7𝑡)
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (10 ± 4𝑡, 5 + 11𝑡, 2 ± 7𝑡)
𝑿 = 𝟏𝟎 ± 𝟒𝒕
𝒚 = 𝟓 + 𝟏𝟏𝒕 Ecuaciones paramétricas de la recta
𝒛 = 𝟐 ± 𝟕𝒕
Despejar las tres ecuaciones paramétricas de la recta.
𝑿 = 𝟏𝟎 ± 𝟒𝒕
𝑿 − 10 = 4𝑡
𝑿 − 10/4 = 𝑡
𝑥 − 10
−4
= 𝑡
𝑡 =
𝑥 − 10
−4
𝒚 = 𝟓 + 𝟏𝟏𝒕
𝑡 =
𝑦 − 5
11
𝒛 = 𝟐 ± 𝟕𝒕
𝑡 =
𝑥 − 2
−7
Igualamos fracciones
𝑡 =
𝑥 − 10
−4
=
𝑦 − 5
11
=
𝑥 − 2
−7
= 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂

23. HERNAN DARIO URUEÑA
d. De la recta que pasa por el punto S= (7,2,3) y que es paralela a la
recta que pasa por los puntos C= (1,-3,4) y D= (7,-12,-5).
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto S y es
paralela a la recta que pasa por los puntos C y D es necesario saber en
primera medida cual es la recta que pasa por esos puntos, por ello que
se plantearan las ecuaciones necesarias para conocer el vector
dirección de dicha recta.
 Ecuaciones y parámetros que describen la recta CD:
 Vector dirección:
𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 − 𝐶 = (7,−12, −5) − (1,−3,4) = (6i − 9j − 9k)
 Hallado el vector dirección que será el mismo por ser paralelas las
dos rectas es posible calcular la ecuación vectorial:
𝐸𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + 𝑍𝑘 = 𝑂𝑆 + 𝑡𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐸𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗ = 7𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 + 𝑡(6𝑖 − 9𝑗 − 9𝑘)

24.  Se procede a construir en base a la ecuación vectorial, las ecuaciones
paramétricas.
𝑥 = 7 + 6𝑡
𝑦 = 2 − 9𝑡
𝑧 = 3 − 9𝑡
 Por ultimo se despeja la variable t de cada una de las ecuaciones
paramétricas y se iguala para construir la ecuación simétrica.
𝑡 =
𝑥 − 7
6
𝑡 =
𝑦 − 2
−9
𝑡 =
𝑧 − 3
−9
𝑥 − 7
6
=
𝑦 − 2
−9
=
𝑧 − 3
−9

25. Ejercicio No.4
Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos.
FABIO ALEXANDER MUNOZ
a. ¿Son paralelos los siguientes planos 1:2x-4y+10z=5 y 2:6x-
12y+30z=15? Justifique su respuesta empleando un producto cruz.
Grafique ambos planos.
1:2𝑥 − 4𝑦 + 10𝑧 = 5
1:6𝑥 − 12𝑦 + 30𝑧 = 15
Esta ecuación no tiene una solución única, formamos una ecuación
reducida a la línea recta en el plano teniendo en cuenta que tiene
infinidad de soluciones.
Se transforma una matriz de la forma escalonada reducida por filas
|
2
6
−4
−12
10
30
|
5
15
|
𝑅1 ↔ 𝑅2
Intercambiamos filas de la matriz
= |
6
2
−12
−4
30
10
15
5
|
Se cancela el primer coeficiente de la fila 𝑅2
𝑅1 ↔ 𝑅2 − 1/3 ∗ 𝑅1
= |
6
0
−12
0
30
0
15
0
|
Se reduce la matriz a la forma escalonada reducida por renglones, Se
multiplica la fila de la matriz por la constante 𝑅1 ← 1/6 ∗ 𝑅1
= |
1
0
−2
0
5
0
5/2
0
|
Rango
= |
2
6
−4
−12
10
30
5
15
| = 1
= |
2
6
−4
−12
10
30
5
15
|
Se reduce la matriz a la forma escalonada por renglones
= |
6
0
−12
0
30
0
15
0
|

26. = |
1
0
−2
0
5
0
5/2
0
|
Se encuentra la matriz utilizando la eliminación de gauss y verificando
cuantas filas son ceros después de a eliminación = 1
= |
2
6
−4
−12
10
30
5
15
| 𝑇
= |
2 6
−4 12
10 30
5 15
| Se obtiene la transpuesta de la matriz
transformando las filas en columnas.
Grafica GeoGebra
ALEJANFRO MAGNO GUERRERO
b. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(4,-9,7), B(3,6,9)
y C(-3,-3,5)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a
dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
𝐴 ( 4 ,−9 ,7 ) 𝐵 ( 3 ,6 , 9 ) 𝐶 ( −3 ,−3 , 5 )
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3 − 4 )𝑖 + ( 6 − (−9))𝑗 + ( 9− 7 )𝑘
= −1𝑖 + 15𝑗 + 2𝑘
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( −3 − 4 )𝑖 + ( −3 − (−9))𝑗 + ( 5 − 7 )𝑘
= −7𝑖 + 6𝑗 − 2𝑘
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = [
𝑖 𝑗 𝑘
−1 15 2
−7 6 −2
]
= 𝑖 |15 2
6 −2
| − 𝑗|
−1 2
−7 −2
| + 𝑘 |−1 15
−7 6
|
= 𝑖( (15 𝑥 (−2)− ( 6 𝑥 2) )− 𝑗( ( −1 𝑥 (−2)− (−7 𝑥 2 )) + 𝑘( (−1 𝑥 6 )− (−7 𝑥 15 ))
= 𝑖(−30 − 12) − 𝑗( 2+ 14) + 𝑘(−6 + 105)
= −42𝑖 − 16𝑗 + 99𝑘
𝐸𝑠𝑐𝑜𝑗𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 3 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐶.
−42 (𝑥 − (−3)) − 16(𝑦 − (−3)) + 99(𝑧 − 5)

27. = −42𝑥 − 126 − 16𝑦 − 48 + 99𝑧 − 495
= −42𝑥 − 16𝑦 + 99𝑧 = 125 + 48 + 495
= −42𝑥 − 16𝑦 + 99𝑧 = 669
LAURA XIMENA MONTES
c. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos P(5,-7,8),
R(5,11,5) y S(4,7,-5)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario
para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.
𝑷 = (𝟓,−𝟕,𝟖)
𝑹 = (𝟓,𝟏𝟏,𝟓)
𝑺 = (𝟒,𝟕, −𝟓)
Determinar vector PR
𝑃𝑅 = 𝑅(5,11,5) − 𝑃(5,−7,8)
𝑃𝑅 = (0,18, −3)
Determinar vector PS
𝑃𝑆 = 𝑆(4,7, −5) − 𝑃(5,−7,8)
𝑃𝑆 = (−1,14,−13)
Producto cruz o producto vectorial PR x PS
𝑃𝑅 ∗ 𝑃𝑆 =
𝑖 𝑗 𝑘
0 18 −3
−1 −14 −13
|

28. 𝑃𝑅 ∗ 𝑃𝑆 =
18 −3
−14 −13
|𝑖 −|
0 −3
−1 −13
|𝑗 +|
0 18
−1 −14
|K
𝑃𝑅 ∗ 𝑃𝑆 = (−234 − 42)𝑖 − (0 − 3)𝑗(0− −18)𝑘
𝑃𝑅 ∗ 𝑃𝑆 = −276𝑖 + 3𝑗 + 18𝑘 = 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒂𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 (𝑵)
Determinar nuevo punto T
𝑃𝑇 = 𝑇(𝑥,𝑦, 𝑧) − 𝑃(5, −7,8)
𝑃𝑇 = (𝑥 − 5, 𝑦 + 7, 𝑧 − 8)
𝑷𝑻 ∗ 𝑵 = 𝟎
(𝑥 − 5, 𝑦 + 7, 𝑧 − 8) ∗ (−276 + 3 + 18) = 0
(𝑥 − 5) ∗ −276 + (𝑦 + 7) ∗ 3(𝑧 − 8) ∗ 18 = 0
−276𝑋 + 1380 + 3𝑋 + 14 + 18𝑋 − 144 = 0
−276𝑋 + 3𝑋 + 18𝑋 − 1250 = 0
−276𝑋 + 3𝑋 + 18𝑋 = −1250
Dividido por 3
−92𝑋 + 𝑋 + 6𝑋 = −416.6
HERNAN DARIO URUEÑA
d. ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos D (6,-6,7),
E(12,-9,-3) y F(3,2,10)? Desarrolle claramente el paso a paso
necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano
correspondiente.
Vectores directores:
𝐷𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ = (12,−9, −3) − (6, −6,7) = (6, −3,−10)
𝐷𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3,2,10) − (6,−6,7) = (−3,8,3)
𝐷𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋𝐷𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
6 −3 −10
−3 8 3
| = |
−3 −10
8 3
| 𝑖 − |
6 −10
−3 3
| 𝑗 + |
6 −3
−3 8
|𝑘
𝐷𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋𝐷𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−9 + 80)𝑖 − (18 − 30)𝑗 + (48 − 9)𝑘 = 71𝑖 − 12𝑗 + 39𝑘
𝑃𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑋, 𝑌, 𝑍) − (6,−6,7) = (𝑥 − 6, 𝑦 + 6,𝑧 − 7)

29. PRODUCTO PUNTO:
(𝑥 − 6, 𝑦 + 6, 𝑧 − 7) ∙ (71𝑖 − 12𝑗 + 39𝑘 ) = 0
71𝑥 − 12𝑦 + 39𝑧 = 771
Ejercicio 5.
Sustentación individual de la actividad en video.
Link:
a. https://www.youtube.com/watch?v=9Ehoqiinwuc&feature=youtu.be
b. https://youtu.be/in8jTqyZIAg
c. https://www.youtube.com/watch?v=6ya4YjIa4nM&t=43s
d.
Ejercicio 6.
Aplicación de la teoría de rectas, planos y reducción de sistemas
lineales, en un caso teórico práctico. Ejercicio grupal.
Opción No. 1
1:5x-7y+3z=15

30. 2:9x+2y+3z=5
𝑆𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 1 2
1=5𝑥 − 7𝑦 + 3𝑧 = 15
2=9𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5
1 // 2 ↔
𝑁1
→ //
𝑁2
→
𝑁1
→ //
𝑁2
→ ↔
𝑁1
→ ˄
𝑁2
→ = 0
𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
1→
𝑁1
→ = (5 − 7 + 3)
2→
𝑁2
→ = (9 + 2 + 3)
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑁1
→ ˄
𝑁2
→
𝑁1
→ //
𝑁2
→ ↔
𝑁1
→ 𝑥
𝑁2
→ = 0
𝑁1
→ 𝑥
𝑁2
→ = [
𝑖 𝑗 𝑘
5 −7 3
9 2 3
]
=|
−7 3
2 3
| 𝑖 − |
5 3
9 3
| 𝑗 + |
5 −7
9 2
| 𝑘
=[(−21 − 6)𝑖]− [(15− 27)𝑗]+[(10+ 63)𝑘]
𝑁1
→ 𝑥
𝑁2
→ = −27𝑖 + 12𝑗 + 73𝑘
𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 1 // 2 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙.
𝐿𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛:
5𝑥 − 7 + 3𝑧 = 15
9𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
35𝑥 − 14𝑦 + 6𝑧 = 30
63𝑥 + 14𝑦 + 21𝑧 = 35
98𝑥 + 0 + 27𝑧 = 65

31. 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑒𝑙 (3)
98𝑥 = −27𝑧 + 65
𝑥 =
−27𝑧 + 65
98
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 (1) 𝑙𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 − 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
−5𝑥 + 7𝑦 − 3𝑧 = −15
9𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 5
4𝑥 + 9𝑦 + 0 = −10
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑒 (4)
𝑥 =
−9𝑦 − 10
4
𝐷𝑒 𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑛:
𝑥 =
−9𝑦−10
4
=
−27𝑧+65
98
𝐷𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠,𝑑𝑒𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠.
𝑥 = 𝑡
−9−10
4
=𝑡
4𝑡 = −9𝑦 − 10
−9𝑦 = 4𝑡 − 10
𝑦 =
4𝑡 − 10
−9
=
−27 + 65
98
= 𝑡
98𝑡 = −27𝑡 + 65
−27𝑧 = −98𝑡 + 65
𝑧 =
−98𝑡 + 65
−27
Comprobación en GeoGebra

32. Opción No. 2
A continuación, se presentan las ecuaciones de 2 planos. Debe emplearse un
producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos, y en caso de no
serlo, deben establecerse las ecuaciones paramétricas que describan la recta
que se forma en la intersección de éstos.
1:5x-7y+3z=15
2:9x+2y+3z=5
Se hace el producto cruz
|
𝑖 𝑗 𝑘
5 −7 3
9 2 3
| = |
−7 3
2 3
| 𝑖 − |
5 3
9 3
|𝑗 + |
5 −7
9 2
| 𝑘
= (−21 − 6)𝑖 − (15 − 27)𝑗 + (10 − (−63)𝑘
= −27𝑖 − 12𝑗 + 73𝑘
Una vez hecho esto, debemos determinar un punto (x, y, z) que pertenezca
a ambos planos, lo podemos hacer dándole valores a z, como z = 0, en dicho
caso queda
5𝑥 − 7𝑦 = 15
9𝑥 + 2𝑦 = 5
Si se utiliza el método de Gauss, quedaría de la siguiente manera

33. {
5 −7 15
9 2 5
}
{
1 −1.4 3
9 2 5
}𝑓1 ÷ 5
{
1 −1.4 3
0 14.6 −22
}𝑓2 + 𝑓1 ∙ 9
{
1 −1.4 3
0 1 −
110
73
} 𝑓2÷ 14.6
{
1 0
65
73
0 1 −
110
73
}𝑓1 + 𝑓2 ∙ 1.4
Por lo tanto, quedarían así
x= 65/73
y= -110/73
z= 0
el punto en la recta quedaría de la siguiente manera
𝑃 = (
65
73
, −
110
73
, 0)
Lo que sería igual a P = (0.89, -1.51,0) como lo muestra la gráfica.

34. CONCLUSIONES
- Realizar la revisión completa del material en el entorno de
conocimiento, garantiza la adquisición de las bases necesarias para la
solución de los ejercicios propuestos para cada estudiante.
- Los aportes y retroalimentación por parte de los compañeros y el tutor
hacen parte del proceso de conocimientos y de la experiencia de
aprendizaje que permiten la interacción con personas que comparten
las mismas dudas y dificultades.
- Realizar los productos a entregar como una forma de aprendizaje y no
como una obligación, ayuda a adquirir los conocimientos de una
manera práctica y no como algo impuesto.
- Los sistemas de ecuaciones ayudan a resolver situaciones básicas y
complejas de la vida diaria.
- Graficar los ejercicios es una manera práctica de aplicar y entender los
ejercicios y de dar claridad a dudas que desde el desarrollo del
ejercicio pueden quedar confusas.

35. BIBLIOGRAFÍA
 Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México: Larousse - Grupo
Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca virtual de la UNAD.
Páginas 1 a la 30. Disponible en el Entorno de Conocimiento.
 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra
lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual
de la UNAD. Páginas 68 a 79. Disponible en el Entorno de
Conocimiento
 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a
182 y 208 a 230. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7081
 Ramón, A, Ramon,J, (1996) Eliminación Gaussiana para sistema de
ecuaciones lineales, Educación Matemática, recuperado de revista-
educacion-matematica.org.mx/descargas/Vol10/1/08Almeida.pdf.
 http://www.revista-educacion-
matematica.org.mx/descargas/Vol10/1/08Almeida.pdf
 http://www.revista-educacion-matematica.org.mx
 Método de Gauss-Jordan, Blog Matemático recuperado de
https://www.aiu.edu/cursos/matematica/pdf%20leccion%203/lecci%C
3%B3n%203.4.pdf
 https://www.aiu.edu/cursos/matematica/pdf%20leccion%203/lecci%C
3%B3n%203.4.pdf
 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 163 a
203. Disponible en Entorno de Conocimiento.
 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra
lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.Disponible en la Biblioteca Virtual de
la UNAD. Páginas 54 a 80. Disponible en Entorno de Conocimiento.
 Rodriguez J., (N-D). Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y
rectas. Disponible en Entorno de Conocimiento.