1. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΚΛΟΣ
Αν το σκυλάκι τρέχει με τεντωμένο το λουράκι του γύρω από τον πάσαλο, τι πορεία διαγράφει η
κίνηση του;
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.1 : α) (ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ)
Τι λέγεται κύκλος;
Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος……………………..................................................
…………………………………………………………………………………………..
β)Σχεδιάστε κύκλος C με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ.Τι πρέπει να ισχύει ώστε ένα
σημείο Μ(x,y) να ανήκει στον C;Kυκλος1.ggb.Μετακινείστε το σημείο Μ
Ποια είναι η εξίσωση του κύκλου;
γ) Τι παριστάνει η εξίσωση
2 2
1x y  ; Πώς ονομάζεται;
………………………………………………………………………………………….
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.2: Να σχεδιάσετε στο geogebra στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τους
κύκλους: C1:
2 2
1x y  ,C2:
2 2
4x y  , C3:
2 2
25x y  Kυκλος1.ggb
Πώς ονομάζονται οι κύκλοι αυτοί;……………………………………………………
Ο(0,0)
Μ (x,y)
x
y
ρ

2. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.3: Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή Ο των
αξόνων σε κάθε μια από τις περιπτώσεις :
α) όταν διέρχεται από το Α(2,1)
β) όταν εφάπτεται της ευθείας ε: χ+2=0
γ) όταν εφάπτεται της ευθείας ψ=-χ+1
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2.1: κυκλος2.ggb Να σχεδιάσετε στο geogebra ίδιο σύστημα συντεταγμένων
τον κύκλο C1: :
2 2
1x y  και τους κύκλους : C2 με
κέντρο (3,0) και ακτίνα 1
C3 με κέντρο (0,4) και ακτίνα 1
C4 με κέντρο (-2,0) και ακτίνα 1
C5 με κέντρο (0,-4) και ακτίνα 1
Πώς προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των C2,C3,C4,C5 από αυτή του C1 ;
……………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
Μπορείτε να βρείτε τις εξισώσεις των παραπάνω κύκλων;
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2.2: : κυκλος2.ggbΝα σχεδιάσετε στο geogebra ίδιο σύστημα συντεταγμένων
τον κύκλο C:
2 2
4x y  και τον C6 κύκλο με κέντρο Ζ(3,4) και ακτίνα 2.
α) Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση του C6 από αυτή του C ;
……………………………………………………………………………
β)Θεωρούμε σημείο Μ(x,y) να ανήκει στον C6. Μπορείτε να ορίσετε την απόσταση
(ΖΜ); (ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Με τον τύπο της απόστασης είτε με το Πυθαγόρειο
Θεώρημα)…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
γ) Μετακινείστε το κέντρο του κύκλου. Τι παρατηρείτε;
………………………………………………………………………………………….. δ) Μπορείτε να
βρείτε την εξίσωση του;

3. …………………………………………………………………………………………
ε)Ποια είναι η γενική μορφή εξίσωσης του κύκλου με κέντρο Κ(x0,y0) ακτίνα ρ;
Απόδειξη
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2.3: Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα
συντεταγμένων τους κύκλους C1:
2 2
( 1) ( 2) 1x y    , C2:
2 2
( 2) ( 2) 4x y    ,C3:
2 2
( 2) ( 1) 1x y    .
Γιατί ο C3, εφάπτεται στον x´x , ο C1 στον y´y και ο C2 και στους δύο άξονες;
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………..
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2.4: Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω
περιπτώσεις:
α) έχει κέντρο το σημείο (3, - 1) και ακτίνα 5
………………………………………………………………………………….
β) έχει κέντρο το σημείο (- 2, 1) και διέρχεται από το σημείο (- 2, 3)
……………………………………………………………………………………..
γ)έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α (1, 3) και Β (- 3, 5)
………………………………………………………………………………………
δ)διέρχεται από τα σημεία (3, 1), (- 1, 3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία y = 3x – 2
-10 10
10
Μ(χ,ψ)
ρ
χ-χο
ψ-ψο
Κ(χο,ψο)

4. …………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
ε) έχει κέντρο το σημείο (8, - 6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων
……………………………………………………………………………………
ζ) έχει κέντρο το σημείο (- 3, 1) και εφάπτεται στην ευθεία 4x - 3y + 5 = 0
…………………………………………………………………………………..
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3.1: κυκλος3.ggb Να μελετήσετε τη σχετική θέση δύο κύκλων.
α) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τους κύκλους C1:
2 2
( 5) ( 1) 16x y    , C2:
2 2
( 5) ( 2) 1x y    ,C3:
2 2
( 1) 1x y  
C4:
2 2
( 4) ( 3) 4x y    . C5:
2 2
( 3) 1x y  
β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα:
Θέση των κύκλων σχέση
C1,C2
C1,C3
C1,C4
C1,C5
C3,C2