dijkstra法

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目次
・最短経路を求める
・Dijkstra法とは
・Dijkstra法の流れ
・Dijkstra法を用いる問題
おまけ
・Bellman-Ford法

最短経路を求める
S G
7
5
1
2
6
3
1
5
1

S G
7
5
1
2
6
3
1
5
1
5+6=11

S G
7
5
1
2
6
3
1
5
1
2+1+1+3=7

・全経路を探索すれば最短経路を求められる

・頂点数が増えると経路の総数は急激に増加する
引用:https://www.miraikan.jst.go.jp/sp/medialab/11.html
メディアラボ第１１期展示「フカシギの数え方」© National Museum of Emerging Science and Innovation
・効率よく計算できる様にしたい
→Dijkstra法を使う

Dijkstra法とは
・1959年にエドガー・ダイクストラにより考案
・グラフ上のある一点を始点とする最短経路を求めるアルゴリズム
計算量はヒープなしでO(V2),ヒープありでO(|E|log|V|)
・辺のコストが全て０以上の時にしか使えない
・負の辺がある時はBellman-Ford法を用いる

Dijkstra法の流れ
1. 始点を決め、始点の距離を０にする
2. 始点と繋がっている全ての頂点においてその辺のコストを暫定の
最短距離とする.
3. まだ通っていない頂点のなかで距離が最小の頂点に移動する.
4. 今いる頂点と繋がっている,まだ通っていない頂点の最短距離を更
新する
5. 3と4を繰り返し行う
6. 更新がされなくなったら終了

S G
2
7
5
7
5
1
2
6
3
1
5
1

S G
2
7
3
7
5
1
2
6
3
1
7
5
1

S G(9)
2
4
3
7
5
1
2
6
3
1
7
5
1

S G(7)
2
4
3
7
5
1
2
6
3
1
7
5
1

Dijkstraの流れ
C++で書くとこんな感じになる

Dijkstraを用いる問題
引用:https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/beta/room.html#ACPC2018Day2/problems/D

最短経路の総数
・現時点での最短コストと等しい経路の総数
を保存しておくことと、二種類の操作を
追加するだけでいい
操作
1.dist[v]が更新されたらcnt[v]も更新
2.dist[v]と同じだったらcnt[v]に追加

Dijkstraを用いる問題
(x,y)から(x’,y’)に移動する
dist[x][y]+1<dist[x’][y’]
→cnt[x’][y’]=cnt[x][y]
dist[x][y]+1==dist[x’][y’]
→cnt[x’][y’]+=cnt[x][y]
https://onlinejudge.u-aizu.ac.jp/beta/room.html#ACPC2018Day2/problems/D

経路復元
頂点
S
(0,linf)
頂点
G
(7,1)
頂点
1
(4,2)
7
5
1
2
6
3
1
5
1
頂点
2
(3,3)
頂点
3
(2,0)
頂点
4
(7,3)
・最短経路の道のりを知りたい
→直前の頂点を覚えてるだけでいい
(コスト,前頂点)
経路
G→1→2→3→S

経路復元
実装

拡張ダイクストラ法
・拡張ダイクストラ法とは
→ 普通のDjkstra法とは異なり(頂点,状態)のように複数の状態を
1つの頂点として考える.

拡張ダイクストラ法を使う問題
引用:https://atcoder.jp/contests/abc164/tasks/abc164_e
Atcoder

拡張ダイクストラ
・１つの頂点を(駅,銀貨の枚数)とする
→制約より銀貨は最大で2500枚あればいいので頂点数は50*2500
となる
・各頂点に対して辺を張る
・金貨を銀貨に変える辺を張る
現在の頂点を(i,C)として駅vで金貨を銀貨ci枚にできるとすると
(i,C+ci),(i,C+2ci)...
と遷移できるが実際には(i,C+ci)だけで十分
・他の頂点への移動はいつも通り行う
あとは普通のDijkstraをするだけで解ける

おまけ
Bellman-Ford法
・グラフ上の二点間の最短経路を求めるアルゴリズム
・計算量はO(VE)
→辺が全て正ならDijkstraを使う方がいい
・負の辺があっても使える
・負閉路を検出できる

おまけ
Bellman-Ford法の流れ
1. 始点を決め、始点の距離を０にする
2. 全ての辺において最短経路の更新ができるか確認し、更新できる
な
ら更新する
5. 2を更新されなくなるまで繰り返す
6. V回繰り返しても更新されるのであれば閉路がある

おまけ
S
0
G
∞
∞
∞
∞
7
5
1
2
6
3
1
∞
2
1
-4

おまけ
S
0
G
∞
2
7
5
7
5
1
2
6
3
1
∞
2
1
-4

おまけ
S
0
G
10
2
6
5
7
5
1
2
6
3
1
4
2
1
-4

おまけ
S
0
G
5
2
6
0
7
5
1
2
6
3
1
4
2
1
-4

おまけ
S
0
G
5
1
6
0
7
5
1
2
6
3
1
4
2
1
-4

おまけ
C++で書くとこんな感じになる

dijkstra法

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