1. PHƯƠNG PHÁP NEWTON
Trong toán học có một số vấn đề mà không thể giải quyết được bằng
cách biến đổi đại số đơn giản.
Ví dụ ,để tìm số gần đúng của căn bậc hai, mà không dùng đến trong
máy tính. Chúng ta không thể giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp
đại số thông thường đã học.
Sau đây là một giải pháp tìm nghiệm gần đúng của phương
trình:phương pháp newton
Cho hàm f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Bây giờ là phương pháp newton đi tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x)=0
Gọi nghiệm cần tìm là x=r.Khi đó có thể lấy một x1 bất kỳ gần với r.Kẻ
tiếp tuyến của đồ thị tại f(x1).Như hình vẽ tiếp tuyến giao với Ox tại x2.
Ta thấy x2 dần đến r.
Ta có thể cm dể dàng :

2. SAU ĐÂY LÀ CÁC BƯỚC CỤ THỂ CỦA PHƯƠNG PHÁP
NEWTON
Vấn đề:Cho một hàm f(x)=0
B1:Thực hiện một dự đoán ban đầu x0 (x0 gần với nghiệm cần tìm).
B2:Viết phương trình tiếp tuyến của nó tại f(x0)
B3: Tiêp tuyến này cắt OX tại x1
Ta có:
B4:Lặp lại các bước đối với x2 ta cũng được
Qúa trình này được tiếp tục từ x2 rồi đến x3,….,sau n bước,ta được
xn,sau đó bước tiếp theo
giá trị này tốt hơn giá trị ban đầu ta dư đoán là Điều này sẽ sản xuất các
giải pháp gần đúng với bất kỳ mức độ chính xác.
VÍ DỤ 1:Bây giờ ta sẽ giải quyết bài toán tìm số gần đúng của x = √ 2
Giải pháp : f(x)=x2 - 2
Đạo hàm của f(x) là 2x
Xây dựng công thức lặp lại :
Xây dựng một bảng dự đoán:

3. Ta dự đoán ban đầu : xo=1,5
Sử dụng phương pháp newton ta có:
f(x)= x2 – 2 xo=1,5
n xn F(xn)
0 1.5 0.25
1 1.41666 0.00694
2 1.41421 0.000060
3 1.41421356 0.0000
4 1.41421356 0.0000
Như vậy số gần đúng cần tìm là 1.41421356
 VÍ DỤ 2:Giải phương trình x=cosx
Nhìn lại đồ thị
y=x
g=cosx

4.  Ta sẽ giải qua hàm f(x)=x – cosx =0
Ta sử dụng phương pháp newton, ta có thể dự đoán nghiệm nằm giữa 0 và
Đạo hàm của f(x) là 1 + sinx
Chọn x1=1 và qua công thức:
Ta có : x1=1
X2=0.750363876
X3=0.7391128909
X4=0.739085133
X5=0.739085133
VÍ DỤ 3: Giải phương trình
f(x)=x3 – x +1
Chúng ta không sử dụng phương pháp thông thường mà chúng ta phải
sử dụng đến phương pháp newton.
Ta nhận thấy rằng f(-2)=-5 và f(-1)=1.Điều này cũng cho ta dự
đoán rằng nghiệm nằm trong từ -2 đến -1.
Chúng ta chọn x0= -1 cho ta dự đoán ban đầu
Đạo hàm của f(x) là 3x2 -1 và
Với dự đoán ban đầu x0= -1
X1= -1.5000
X2= -1.347826
X3= -1.325200

5. X4= -1.324718
X5= -1.324717
X6= -1.324717
X7= -1.324717
Các giá trị cho xn trở nên gần đến cùng một giá trị.Điều này có nghĩa rằng ta
đã tìm thấy nghiệm gần đúng
MỘT SỐ KHÓ KHĂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG PHÁP NÀY
 Phương pháp newton đòi hỏi đạo hàm được tính trực tiép
 Nếu giá trị ban đầu ta dự đoán quá xa nghiệm thì phương pháp
newton có thể không hội tụ
 Phương pháp newton làm việc tốt cho các phương trình có ít
đường cong
 Phương pháp newton sẽ không thành công trong trường hợp ta
dự đoán nhưng ma đạo hàm của nó là bằng 0, bởi đường tiếp
tuyến khi do la gần như nằm ngang
Ghi chú: thưa thầy nhóm đã ,cố gắng làm hết sức nhưng chỉ được
có như thế, có gì thì mong thầy giúp đỡ và bổ sung thêm cho
nhóm.cảm ơn thầy!

6. X4= -1.324718
X5= -1.324717
X6= -1.324717
X7= -1.324717
Các giá trị cho xn trở nên gần đến cùng một giá trị.Điều này có nghĩa rằng ta
đã tìm thấy nghiệm gần đúng
MỘT SỐ KHÓ KHĂN ĐỐI VỚI PHƯƠNG PHÁP NÀY
 Phương pháp newton đòi hỏi đạo hàm được tính trực tiép
 Nếu giá trị ban đầu ta dự đoán quá xa nghiệm thì phương pháp
newton có thể không hội tụ
 Phương pháp newton làm việc tốt cho các phương trình có ít
đường cong
 Phương pháp newton sẽ không thành công trong trường hợp ta
dự đoán nhưng ma đạo hàm của nó là bằng 0, bởi đường tiếp
tuyến khi do la gần như nằm ngang
Ghi chú: thưa thầy nhóm đã ,cố gắng làm hết sức nhưng chỉ được
có như thế, có gì thì mong thầy giúp đỡ và bổ sung thêm cho
nhóm.cảm ơn thầy!