競技プログラミング練習会2014 Normalで使ったスライドです。素集合データ構造であるUnion-Find木について説明しています。

1. 素集合データ構造
(Union-Find木)

2. Union-Find木
●互いに交わらない集合(素集合)の族を扱うデー
タ構造
●各集合に「代表」と呼ばれる要素を決めておく
●代表が違う⇔集合が違う
●Union-Find木は2つの操作ができる
●集合の要素からその集合の代表を求める(Find)
●2つの集合を合併する(Union)

3. Find
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

4. Find
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

5. Find
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

6. Find
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

7. Find
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

8. Find
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表
4の属する集合と8の属する集合は違う！

9. Union
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

10. Union
4
59
10
1
7 11
63
12 2
8
13
代表

11. Union
4
59
10
1
7
11
6
3
12
2
8
13
代表

12. Union-Find木の実装
●それぞれの集合を根付き木で表す
●代表を根にする
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8

13. Find
●親を辿って根を見る
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8

14. Find
●親を辿って根を見る
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8

15. Find
●親を辿って根を見る
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8

16. Find
●親を辿って根を見る
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8

17. Union
●一方をもう一方の代表の子にする
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8

18. Union
●一方をもう一方の代表の子にする
1
5 2
6 3
7
9
10
11
12
134 8

19. Union-Find木の計算量
●このままだと最悪計算量は
●Find
●Union
●Findに時間がかかりすぎる
●2種類の高速化法がある
…
O(n)
O(1)

20. 高速化その１：rank
●それぞれの木に と呼ばれる数値をつける
●要素1個の時
● 同士の木を合併したら になる
● が違う木同士を合併するときは、 の高
い方に低い方を合併し、 は の高い方の
にする
● の木の高さは高々 k
rank
rank 0
rank k rank k+1
rank rank
rank k
rank rank
rank

21. 高速化その１：rank
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8
rank 2
rank 2
rank 1
rank 1

22. 高速化その１：rank
1
5 2
6 3
79
10
11
12
134 8
rank 2
rank 2
rank 1
rank 1

23. 高速化その１：rank
1
5 2
6 3
7
9
10
11
12
134 8
rank 2
rank 2
rank 1

24. 高速化その１：rank
● の木を作るには少なくとも 個の要素が
必要⇒ の木を作るには最低でも 個
の要素が必要（数学的帰納法）
●要素 個のUnion-Find木は高々
●要素 個のUnion-Find木の高さは高々
●最悪計算量は
●Find
●Union
rank k 2k
rank k+1 2k+1
n rank⌊log2(n)⌋
n ⌊log2(n)⌋
O(log(n))
O(1)

25. 高速化その２：経路圧縮
●Findするときに、根を親にしてしまう
●ついでに根にたどり着くまでの先祖の親も根にして
しまう
●重要なのは根の情報だけだからこれで問題ない

26. 高速化その２：経路圧縮
1
5 2
6 3
7
9
10
11
12
13
4 8

27. 高速化その２：経路圧縮
1
5 2
6 3
7
9
10
11
12
13
4 8

28. 高速化その２：経路圧縮
1
5
2
6 3
79
10
11
12
13
4
8

29. 高速化その２：経路圧縮
●最悪計算量（ならし）
●Find
●Union
●高速化その１と組み合わせることもできる
●経路圧縮しても は再計算しない
●Find
●Union
● はアッカーマン関数の逆関数、実質定数
O(log(n))
O(1)
O(α(n))
O(1)
rank
α(n)