Programación Lineal: Método de Solución Gráfica explicado y ejercicios con Geogebra

1. Tutor: Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Solución gráfica de
problemas de P.L.

2. Dr. Jorge Pablo Rivas
.
Solucióngrafica
2
Resolución de problemas
Obtener solución gráfica
Realizar análisis de sensibilidad
Obtener Región de soluciones factibles

3. Dr. Jorge Pablo Rivas
Antecedentes
La recta
El plano cartesiano
El polígono
3

4. Dr. Jorge Pablo Rivas
Definición: Recta
• Es un objeto geométrico
• Distancia más corta entre dos puntos en el plano
(Euclides)
• Representación algebraica a través de una
ecuación lineal de dos variables (Descartes)
• Linea recta esta formada por todos los puntos
del plano cartesiano (𝑥, 𝑦) tal que la relación 𝑚
permanece constante (Geometría analítica)
4

5. Dr. Jorge Pablo Rivas 5
ECUACIÓN DE
La recta
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑚 =
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

6. Dr. Jorge Pablo Rivas
Definición: El plano cartesiano
• Eje y) ordenadas
6
• Eje x) abscisas
(+, +)
(+, −)
(−, +)
(−, −)

7. Dr. Jorge Pablo Rivas 7
Plano Cartesiano

8. Dr. Jorge Pablo Rivas
Definición: Regiones en el plano
8

9. Dr. Jorge Pablo Rivas
Método de
solución grafica
9

10. Dr. Jorge Pablo Rivas
Problemas de Programación Lineal
10
Graficar las restricciones
Hallar la Región de Soluciones Factibles
(Polígono de solución)
Graficar la función objetivo
Desplazar la función hasta encontrar la
solución optima.
Pasos a seguir
Método gráfico

11. Dr. Jorge Pablo Rivas 11
𝑥 + 𝑦 = 0
Recta
Gráfica de
desigualdades
• Una desigualdad de una o dos variables, tiene por
solución una región en el plano cartesiano
𝑥 + 𝑦 > 0
Desigualdad
𝑥 𝑦 0
3 -3 0
2 -2 0
1 -1 0
0 0 0
-1 1 0
-2 2 0
-3 3 0
𝑥 + 𝑦 ≥ 0
No sobrepone
Se sobrepone

12. Dr. Jorge Pablo Rivas 12
Gráfica de
desigualdades
• Traza de la recta
Desigualdad
5𝑥 + 3𝑦 ≤ 10
Despejar en 0 𝑥, 𝑦
5𝑥 + 3𝑦 = 10 5𝑥 + 3𝑦 = 10
3𝑦 = 10 -5𝑥
Si 𝑥 = 0
3𝑦 = 10
𝑦 =
10
3
= 3.33
(0 , 3.33)
5𝑥 = 10 − 3𝑦
Si 𝑦 = 0
5𝑥 = 10
𝑥 =
10
5
= 2
(2,0)
(2,0)
(0 , 3.33)

13. Dr. Jorge Pablo Rivas 13
Gráfica de
desigualdades
5𝑥 + 3𝑦 ≤ 10
(5,10)
(2,0)
(0 , 3.33)
• Selección de región
• Se toma un numero aleatorio de cualquiera de las dos regiones
generadas luego de la traza y se corrobora en la función original
para verificar si se cumple la desigualdad, en caso de no
cumplirse se toma la región que no posee el punto seleccionado
Desigualdad
Selecciona Punto de prueba
aleatorio
5(5) + 3(10) ≤ 10
25 + 30 ≤ 10
55 ≤ 10
𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎
(5,10)
se toma la región que no posee el punto seleccionado
Se verifica la desigualdad

14. Dr. Jorge Pablo Rivas 14
Tipos de
soluciones
Solución optima

15. Dr. Jorge Pablo Rivas
Método analítico Método gráfico
15
Solución de
sistemas
Fuente:
https://www.edu.xunta.gal/centros/iesasmarinas/aulavirtual2/mod/url/view.php?id=1228

16. Dr. Jorge Pablo Rivas
Solución Gráfica
Geogebra
16

17. Dr. Jorge Pablo Rivas 17
Geogebra
GeoGebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles
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18. Dr. Jorge Pablo Rivas 18
Geogebra https://www.geogebra.org/download

19. Dr. Jorge Pablo Rivas 19
Geogebra Geogebra clásico 6

20. Dr. Jorge Pablo Rivas 20
Geogebra Geogebra clásico 6
Capturar las restricciones
Hallar la región de Soluciones Factibles
(Polígono de solución)
Graficar la función objetivo
Desplazar la función hasta encontrar la
solución optima.

21. Dr. Jorge Pablo Rivas 21
Geogebra
Z𝑀𝑎𝑥 3000𝑥 + 5000𝑦
Función Objetivo
Restricciones 𝑥 ≤4
2𝑦 ≤ 12
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18
Capturar las restricciones
𝑥, 𝑦 ≥0
Zona de Solución
Factible:
Encierra todas las
posibles respuestas al
problema

22. Dr. Jorge Pablo Rivas 22
Geogebra
Restricciones 𝑥 ≤4
2𝑦 ≤ 12
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 18
Capturar las restricciones
Hallar Vértices de la Región de Soluciones Factibles
(Polígono de solución)
Función Intersección
Soluciones
optimas :
Vértices y sus
coordenadas
Seleccionar rectas
secuenciadas

23. Dr. Jorge Pablo Rivas 23
Geogebra
𝑀𝑎𝑥 3000𝑥 + 5000𝑦
Función Objetivo
Graficar la función objetivo
Igualado a valor 0 o aleatorio

24. Dr. Jorge Pablo Rivas 24
Geogebra
𝑀𝑎𝑥 3000𝑥 + 5000𝑦
Función Objetivo
Encontrar la
solución optima :
Vértice del polígono
que maximiza el
rendimiento del
sistema
Desplazar la función hasta encontrar la solución
optima.
1. Seleccionar F.O.
2. Configuración
3. Objeto Fijo
4. Evaluar cada una de las soluciones

25. Dr. Jorge Pablo Rivas 25
Geogebra
𝑀𝑎𝑥 3000𝑥 + 5000𝑦
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Igualado a valor 0 o aleatorio
Ejercicio de clase:
https://www.geogebra.org/classic/wfx2uwhd
3000 2 + 5000 6 = ?
6000 + 30000 = 36000
Max (36000) en x=2,7=6
Descargar o Guardar Ejercicio

26. Dr. Jorge Pablo Rivas
Otros ejercicios
26

27. Dr. Jorge Pablo Rivas 27
Geogebra
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Ejercicio:
https://www.geogebra.org/m/Aqvr9pUP
Ejercicio a)

28. Dr. Jorge Pablo Rivas 28
Geogebra
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Ejercicio b)
Ejercicio:
https://www.geogebra.org/m/yVBQTezY

29. Dr. Jorge Pablo Rivas 29
Geogebra
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Ejercicio c)
Ejercicio:
https://www.geogebra.org/m/mAw8W8DJ

30. Dr. Jorge Pablo Rivas 30
Geogebra
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Ejercicio d)
Ejercicio:
https://www.geogebra.org/m/UPMkfuuz

31. Dr. Jorge Pablo Rivas 31
Geogebra
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Ejercicio e)
Ejercicio:
https://www.geogebra.org/m/tPUBY7BP

32. Dr. Jorge Pablo Rivas 32
Geogebra
Función Objetivo
Verificar niveles óptimos que maximizan
sistema
Lectura recomendada
Fuente:
https://www.researchgate.net/publication/327120389_Aprendiendo_con_GeoGebra_programacion_lineal_a_traves_del_meto
do_grafico

33. Gracias
Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
-
jorge.rivasdi@anahuac.mx
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