Investigación de Operaciones 021 Programación Lineal

Tutor: Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Programación Lineal

Dr. Jorge Pablo Rivas
El modelo de programación lineal es de los más
importantes en IO
Costos de
producción
Ganancias Costos de
transporte
2
Consiste de una función lineal, la cual se desea optimizar (minimizar o maximizar)
sujeta a un conjunto de restricciones.
Sector Privado
Sector Público
Distribución
Presupuestal
Políticas y
Programas Públicos
Aplicaciones Generales

.
Construcción
delModelo
3
Datos y variables de decisión
Restricciones y Función Objetivo
Definición conjunta del Modelo
Problema

EL PROBLEMA DE LA
EMPRESA
4

Dr. Jorge Pablo Rivas 5
PREGUNTAS ESTRATÉGICAS
• ¿Que cuantificar (objetivo - meta)?
• Ganancias, Costos, etc.
• ¿De que depende el logro de la meta ?
• Precios, Cantidades ventas, Tecnología,
Demanda, Costos de venta, etc.
• ¿Se pueden optimizar los factores que
afectan el logro de la meta?
• Si o No
• ¿Si conocemos el numero optimo se logra
la meta?
• Si o No
02/11/2021
EMPRESA

.
Formulación del
Modelo
El Problema a Resolver
7
La empresa XXX se dedica a la fabricación de 3 productos (A,B,C).
Se busca determinar la cantidad a producir de cada producto (A,B,C) para
maximizar sus ganancias
Producto Costo Demanda mínima Tiempo de fabricación
(minutos)
Ganancia
Unitaria
A 1000 100 30 800
B 1500 80 40 700
C 2400 50 60 1000
Tipo de
Producto
Tipo de Dato

.
Formulación del
Modelo
Restricciones
8
Capital disponible para producir el lote de productos (A,B,C):
$ 595,000
Mano de obra disponible para producir el lote de productos (A,B,C):
265 horas
de fuerza de trabajo
Mercado: Departamento de ventas informa que todos los productos por
debajo o igual a la demanda asegurada en el mercado se venden sin ningún
problema:
Demandas seguras

.
Formulación del
Modelo
Objetivo del Sistema / Modelo
9
Maximizar las Ganancias
Función General 𝐺 𝑥 = 𝑝(𝑥) − 𝐶(𝑥)
𝐺
𝑝
𝑥
𝐶(𝑥)
Ganancia
Cantidad producida y vendida
Precio de venta
Función de costos evaluada en x
Función
Ganancia Total
𝐺 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 800𝐴 + 700𝐵 + 1000𝐶
Suma de Ganancias
Unitarias
Función Objetivo 𝑍𝑀𝑎𝑥 = 800𝐴 + 700𝐵 + 1000𝐶

.
Formulación del
Modelo
Restricciones del Sistema
10
Capital
Tiempo de
Trabajo
Costos totales menores a restricción
presupuestal
Mercado
1000𝐴 + 1500𝐵 + 2400𝐶 ≤ 595000
Tiempos de fabricación menor o igual al
total del tiempo laboral
30𝐴 + 40𝐵 + 60𝐶 ≤ 15900
265 ℎ𝑟𝑠
60𝑚𝑖𝑛
1ℎ𝑟
= 15900 min
Donde:
Cantidad de productos elaborados
menor o igual a la demanda asegurada
en el mercado
𝐴 ≤ 100
𝐵 ≤80
𝐶 ≤50
Lógicas
No negatividad
𝐴 ≥ 0
𝐵 ≥0
𝐶 ≥ 0

Planteamiento del Problema
Justificación
Problema Relevancia
empírica
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Relevancia teórica
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11
Función Objetivo 𝑍𝑀𝑎𝑥 = 800𝐴 + 700𝐵 + 1000𝐶
Restricciones
Sujeto a:
1000𝐴 + 1500𝐵 + 2400𝐶 ≤ 595000
30𝐴 + 40𝐵 + 60𝐶 ≤ 15900
𝐴 ≤ 100
𝐵 ≤80
𝐶 ≤50
𝐴 ≥ 0
𝐵 ≥0
𝐶 ≥ 0

Casos
12

Justificación
Problema
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Relevancia
empírica
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Relevancia teórica
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13
Función ingresos 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
Transformación
Restricciones
𝑎11𝑥1
𝑎21𝑥1
+𝑎12𝑥2 +
+𝑎22𝑥2 +
…
…
+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, ⋯, 𝑥𝑛 ≥0
• Una empresa produce 𝑛 productos (donde 𝑛 puede ser cualquier entero)
• Por medio de un proceso productivo que consta de 𝑚 etapas (cada producto)
• El producto 1 pasa por la etapa 1 y consume 𝑎11 unidades de insumo 1, pasa
por la etapa 2 y consume 𝑎12 hasta la etapa 𝑚 donde consume 𝑎1𝑚
• Partimos del supuesto que hay una demanda ilimitada (se vende todo lo que
se produce)
• Disponibilidades máximas de los insumos
• Y que cada producto contribuye a los ingresos totales
• ¿Cuánto se debe fabricar de cada producto para maximizar ingresos?
𝑥𝑛
𝑍
𝑎𝑖𝑗
𝑐𝑛
𝑏𝑚
Condiciones de
No Negatividad
Maximización de Ganancias

Justificación
Problema
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Relevancia
empírica
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Relevancia teórica
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14
Función costos 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
Transformación
Restricciones
𝑎11𝑥1
𝑎21𝑥1
+𝑎12𝑥2 +
+𝑎22𝑥2 +
…
…
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, ⋯, 𝑥𝑛 ≥0
• Una empresa produce 𝑛 productos (donde 𝑛 puede ser cualquier entero)
• Por medio de un proceso productivo que consta de 𝑚 etapas (cada producto)
• El producto 1 pasa por la etapa 1 y consume 𝑎11 unidades de insumo 1, pasa
por la etapa 2 y consume 𝑎12 hasta la etapa 𝑚 donde consume 𝑎1𝑚
• Partimos del supuesto que hay una demanda ilimitada (se vende todo lo que
se produce)
• Disponibilidades máximas de los insumos
• cada producto involucra costos parciales
• ¿Cuánto se debe fabricar de cada producto para minimizar costos?
𝑥𝑛
𝑍
𝑎𝑖𝑗
𝑐𝑛
𝑏𝑚
Condiciones de
No Negatividad
Minimización de costos

Casos
15

Mezcla
• Se desea obtener cierto producto a partir de la mezcla de n
ingredientes
• Busca el contenido más alto de ingredientes a un menor
costo
La empresa XXX busca obtener una mezcla a partir de 3 aleaciones que cumpla con
el requerimiento técnico de estaño (30%)y cobre (70%) y que minimice el costo de
producción
Aleación 1 2 3
Porcentaje de
estaño
10 50 80
Porcentaje de
cobre
90 50 20
Precio por kilo $ 5 $ 10 $ 7
Tipo de Producto
Tipo de Dato

Mezcla
ingredientes
costo
Minimizar costos
C 𝑥 = σ 𝑐(𝑥)x 𝑋
c(𝑥)
Costos Totales
Cantidad de kg de aleación x
Función de costos evaluada en x
c 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 = 5𝑥1 + 10𝑥2 + 7𝑥3
Suma de Costos
Unitarios
Función Objetivo 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 5𝑥1 + 10𝑥2 + 7𝑥3
C 𝑥

Mezcla
ingredientes
costo
Condiciones
Estaño
Cobre
Simplificando
términos :
Lógicas No negatividad
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥0
𝑥3 ≥ 0
• La mezcla a partes iguales de las tres aleaciones:
• Cantidad de estaño en la mezcla
• Cantidad de cobre en la mezcla
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
0.90𝑥1 + 0.50𝑥2 + 0.20𝑥3
0.10𝑥1 +0.50𝑥2 + 0.80𝑥3
0.90𝑥1+0.50𝑥2+0.70𝑥3
𝑥1+𝑥2+𝑥3
= 0.70
0.10𝑥1+0.50𝑥2+0.80𝑥3
𝑥1+𝑥2+𝑥3
= 0.30 −0.20𝑥1 +0.20𝑥2 + 0.50𝑥3
0.20𝑥1 −0.20𝑥2 − 0.50𝑥3

Función Objetivo
Restricciones
Sujeto a:
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 5𝑥1 + 10𝑥2 + 7𝑥3
−0.20𝑥1 +0.20𝑥2 + 0.50𝑥3
0.20𝑥1 −0.20𝑥2 − 0.50𝑥3
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥0
𝑥3 ≥ 0

Casos
20

Planeación de
la Producción
• Se desea lograr el máximo aprovechamiento de los recursos, con
mano de obra, capacidad instalada y materia prima limitadas
• Busca máximo nivel de producción (combinación de productos y
volumen de producción) que garantice ganancias máximas
La empresa XXX produce dos bienes (Chocolate Dulce “X”, Chocolate Amargo “Y”)
• Para producir una tonelada de amargo requiere 700 horas de trabajo y para
dulce 500 horas
• Solo se puede disponer de 60000 horas de trabajo al mes
• Se sabe que se necesita producir cuando menos 8 toneladas mensuales
(independientemente si son Dulce “X” o Amargo “Y”)
• La demanda de chocolate Dulce “X” es el doble de la demanda de Amargo “Y”
• La tonelada de chocolate amargo deja ganancias por $1000 y la de dulce $1500
¿Cuántas toneladas de cada chocolate debe producir para maximizar sus
ganancias?

Maximizar Ganancias
Z 𝑥, 𝑦 = 1000𝑥 + 1500𝑦
Suma de Ganancias
Unitarias
Función Objetivo 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 1000𝑥 + 1500𝑦
Planeación de
la Producción
• Se desea lograr el máximo aprovechamiento de los recursos, con
mano de obra, capacidad instalada y materia prima limitadas
• Busca máximo nivel de producción (combinación de productos y
volumen de producción) que garantice ganancias máximas
𝑥, 𝑦 = 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠
Capacidad
instalada
Especificación
de la demanda
Lógicas
No negatividad
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥0
𝑥 + 𝑦 ≥ 8
𝑥 − 2𝑦 = 0
Numero de
horas
disponible
700𝑥 + 500𝑦 ≤ 60000

Justificación
Problema
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Relevancia teórica
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23
Función Objetivo
Restricciones
Sujeto a:
Planeación de
la Producción
Zmax 𝑥, 𝑦 = 1000𝑥 + 1500𝑦
700𝑥 + 500𝑦 ≤ 60000
𝑥 + 𝑦 ≥ 8
𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥0

Casos
24

Dr. Jorge Pablo Rivas Díaz
Problema de
alimentación
• Se busca encontrar una mezcla de alimentos que al
combinarlos se cumplan ciertos requisitos nutricionales a
un costo mínimo
En un hospital militar se busca lograr la mezcla nutricional mas económica que
satisfaga las necesidades básicas para mantener la salud de los soldados
Grasa Vitaminas Carbohidratos Precio
Alimento Gramos por Kg
Carne roja 30 25 10 12
Carne blanca 10 20 15 8
Verduras 8 25 30 3
Leguminosas 12 22 32 6
Cereales 5 10 15 3
Selección
de
Tipo de
Alimento
Tipo de Dato
Variables de decisión y Datos

Minimizar costos
c 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 = 12𝑥1 + 8𝑥2 + 3𝑥3 + 6𝑥4 + 3𝑥5
Suma de Costos
Unitarios
Función Objetivo 𝑍𝑚𝑖𝑛 = 12𝑥1 + 8𝑥2 + 3𝑥3 + 6𝑥4 + 3𝑥5
Problema de
alimentación
• Se busca encontrar una mezcla de alimentos que
al combinarlos se cumplan ciertos requisitos
nutricionales a un costo mínimo
Alimento Precio Variable de Decisión
Carne roja 12 𝑥1
Carne blanca 8 𝑥2
Verduras 3 𝑥3
Leguminosas 6 𝑥4
Cereales 3 𝑥5

Condiciones
Grasa
Lógicas 𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥0
𝑥3 ≥ 0
𝑥4 ≥0
𝑥5 ≥ 0
Restricciones del Sistema/ Requerimientos máximos y mínimos
• Se busca encontrar una mezcla de alimentos que
al combinarlos se cumplan ciertos requisitos
nutricionales a un costo mínimo
Problema de
alimentación
Los requerimientos nutrimentales máximos y mínimos semanales son:
50 a 20 g de grasa, 40 a 15 de vitaminas y 60 a 30 de carbohidratos
Vitaminas
Carbohidratos
30𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 + 12𝑥4 + 5𝑥5 ≥ 20
30𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 + 12𝑥4 + 5𝑥5 ≤ 50
25𝑥1 + 20𝑥2 + 25𝑥3 + 22𝑥4 + 10𝑥5 ≤ 40
25𝑥1 + 20𝑥2 + 25𝑥3 + 22𝑥4 + 10𝑥5 ≥ 15
10𝑥1 + 15𝑥2 + 30𝑥3 + 32𝑥4 + 15𝑥5 ≤ 60
10𝑥1 + 15𝑥2 + 30𝑥3 + 32𝑥4 + 15𝑥5 ≥ 30
𝑥𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1,2, … , 5

Función Objetivo
Restricciones
Sujeto a:
30𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 + 12𝑥4 + 5𝑥5 ≥ 20
30𝑥1 + 10𝑥2 + 8𝑥3 + 12𝑥4 + 5𝑥5 ≤ 50
25𝑥1 + 20𝑥2 + 25𝑥3 + 22𝑥4 + 10𝑥5 ≤ 40
25𝑥1 + 20𝑥2 + 25𝑥3 + 22𝑥4 + 10𝑥5 ≥ 15
10𝑥1 + 15𝑥2 + 30𝑥3 + 32𝑥4 + 15𝑥5 ≤ 60
10𝑥1 + 15𝑥2 + 30𝑥3 + 32𝑥4 + 15𝑥5 ≥ 30
𝑥𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1,2, … , 5
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 12𝑥1 + 8𝑥2 + 3𝑥3 + 6𝑥4 + 3𝑥5
Problema de
alimentación

Casos
29

Problema de
asignación
• Se busca asignar recursos para maximizar la ganancia
Una compañía produce 2 tipos de pintura (interiores y exteriores) y para ello
requiere tres ingredientes básicos (P), los cuales se asocian a un costo (kg)
y cantidad (Kg de ingrediente por litro)
Se busca maximizar la ganancia total de la empresas, dado que la ganancia por litro
de la de interiores es de 25 mientras que para la de exteriores es de 30
Se cuenta inicialmente con 15 000 para comprar los ingredientes necesarios
¿Qué cantidad de litros de pintura producir para interior 𝑥1y exterior 𝑥2?
P1
(Kg por litro)
P2
(Kg por litro)
P3
(Kg por litro)
Interiores 5 7 2
Exteriores 2 8 3
Costo (kg) $150 $250 $100
Tipo de
Pintura
Tipo de Dato

Maximizar ganancia
c 𝑥1, 𝑥2 = 25𝑥1 + 30𝑥2
Ganancias
Unitarias
Función Objetivo 𝑍𝑀𝑎𝑥 = 25𝑥1 + 30𝑥2
Problema de
asignación
• Se busca asignar recursos para maximizar la ganancia

Condiciones
P1
Lógicas
Restricciones del Sistema/
La demanda de insumos para la producción esta dada por las siguientes relaciones
Para P1 se demandan 5 kg para producir 𝑥1 y 2 kg para 𝑥2
P2
5𝑥1 + 2𝑥2 = 𝑦1
𝑥𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1, 2, 3
Problema de
asignación
P3
7𝑥1 + 8𝑥2 = 𝑦2
2𝑥1 + 3𝑥2 = 𝑦3
Demandas de insumos
P1
P2
(150)5𝑥1 + (150)2𝑥2 = 𝑦1
P3
(250)7𝑥1 + (250)8𝑥2 = 𝑦2
(100)2𝑥1 + (100)3𝑥2 = 𝑦3
Restricción financiera ajustada por la demanda
de insumos
Restricción financiera básica
150𝑦1 + 250𝑦2 + 100𝑦3 ≤ 15000
(expresada en términos de x y simplificada por términos semejantes )
2700𝑥1 + 2600𝑥2 =≤ 15000

Función Objetivo
Restricciones
Sujeto a:
Problema de
asignación
𝑍𝑀𝑎𝑥 = 25𝑥1 + 30𝑥2
2700𝑥1 + 2600𝑥2 =≤ 15000
𝑥𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1, 2, 3

Casos
34

Elección de
inversiones
• Se busca elegir la canasta de productos que genera mayores
ganancias sujeta a costos y demandas de mercado
Empresa vende equipo de computo y quiere decidir si invertir en PCs, Impresoras o Escáner
Cuenta con los siguientes presupuestos y utilidades promedio
Solo se dispone de 200 000 pesos para inversión
La demanda de impresoras es el doble que de las computadoras y la de escáner equivale a la
mitad de las demanda de computadoras
¿Cuál combinación de compras le generaría ganancias máximas ?
PC (x) Impresora (y) Escáner (z)
Costo 10000 1500 2000
Guanacias 2000 600 800
Opciones de
inversión
Tipo de Dato

Maximizar ganancia
g 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2000𝑥 + 600𝑦 + 800𝑧
Ganancias
Unitarias
Función Objetivo 𝑍𝑀𝑎𝑥 = 2000𝑥 + 600𝑦 + 800𝑧
Elección de
inversiones

Condiciones
Lógicas
𝑦 = 2𝑥
𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0
Problema de
asignación
2𝑧 = 𝑥
Demanda de mercado
Restricción presupuestal
10000𝑥 + 1500𝑦 + 2000𝑧 ≤ 200 000
Elección de
inversiones

Función Objetivo
Restricciones
Sujeto a:
Elección de
inversiones
𝑍𝑀𝑎𝑥 = 2000𝑥 + 600𝑦 + 800𝑧
𝑦 = 2𝑥
𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0
2𝑧 = 𝑥
10000𝑥 + 1500𝑦 + 2000𝑧 ≤ 200 000

Casos
39

Demanda de
trabajo
• Minimizar planta laboral
Una empresa de comida rápida quiere contratar al menor numero de personas posible
conociendo que la política de la empresa es que cada persona debe trabajar 5 días por 2 días
de descanso
La demanda de trabajo es variable y se conoce que depende del día de la semana, en donde
se demanda más comida los fines de semana
Dato
Variables de decisión y Datos Día de la semana Numero mínimo de
trabajadores
Lunes 11
Martes 13
Miércoles 15
Jueves 12
Viernes 20
Sábado 25
Domingo 24

Minimizar
Función Objetivo
Demanda de
trabajo
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7

Condiciones
Lógicas
𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 ≥ 0
Problema de
asignación
Demanda de
trabajo
• Numero mínimo de trabajadores por día
𝑥1 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥11
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥13
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥15
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥7 ≥12
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 ≥20
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 ≥25
𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥24

Función Objetivo
Restricciones
Sujeto a:
Demanda de
trabajo
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7
𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 ≥ 0
𝑥1 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥11
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥13
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥15
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥7 ≥12
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 ≥20
𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 ≥25
𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 + 𝑥6 + 𝑥7 ≥24

Gracias
-
jorge.rivasdi@anahuac.mx
www.economiadigital.org

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