Universidad de la Costa Statistics Course Descriptive Statistics Guide

CORPORACIÓN UNIVERSIDAD DE LA COSTA
ESTADISTICA I
MODALIDAD VIRTUAL
UNIDAD 1: MANEJO DE
DATOS Y GRAFICAS

Unidad I:
MANEJO DE DATOS Y GRAFICAS
Contenido
1. Conceptos básicos y presentación de datos
2. Tablas y graficas estadística
3. Medidas de tendencia central y Medidas de posición
relativa.
4. Medidas de variabilidad, colocación
5. Análisis Exploratorio de datos
Dr. Freddy Marín González, 2017.

Unidad I:
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
Descripción Unidad 1
La estadística descriptiva es un conjunto de métodos cuyo objetivo es resumir la
información disponible, ordenar todas y cada una de la observaciones y obtener de estas
las medidas cuantitativas que describen sus características.
Las Ciencias Exactas, Las Ciencias Económicas y Las Ingenierías tienden a interesarse por
las variables y campos en cada una de ellas como lo son la microeconomía,
macroeconomía, la economía financiera, de consumo, de producción, de procesos, de
calidad entre otros. Partiendo de esto podemos conceptualizar la estadística descriptiva
como la herramienta que se ocupa de los métodos para recoger, organizar, resumir y
analizar cada uno de los datos obtenidos.

Propósito general de la unidad temática
En esta unidad se explicara detalladamente las técnicas con las cuales el estudiante ira
familiarizándose con los Conceptos básicos, Variables, Tablas de datos agrupados y no
agrupados, medidas de variabilidad entre otras debido a que ya sea en cualquiera de los
campos en los que se explique, la estadística descriptiva pretende ayudar a plantear y
resolver los problemas a través del análisis de información.

Temas
IDENTIFICACIÓN DE LAS UNIDADES DE FORMACIÓN
No Indicadores de Desempeño Temáticas
1
Presentar mediante representaciones gráficas
datos estadísticos univariable e interpretar
dichas representaciones, para la toma de
decisiones, específicamente:
Describir y analizar información contenida en
un conjunto de datos.
Elaborar representaciones graficas para un
conjunto de datos.
Utilizar herramientas ofimáticas en la solución
de situaciones problemas.
Describir y analizar correctamente la
información contenida en una muestra de una
población específica
• Conceptos básicos y Presentación
de datos
• Tablas y graficas estadística
• Medidas de tendencia central y
Medidas de posición relativa.
• Medidas de variabilidad, colocación
• Análisis Exploratorio de datos

¿Qué es la estadística?
1. Estadística, en su acepción más común, no es más que una colección
de datos numéricos ordenados y clasificados según un determinado
criterio. Nos referimos a este significado cuando hablamos de
estadísticas de producción, estadísticas de cotizaciones bursátiles,
estadísticas demográficas, etc.

2. Estadística, en una segunda acepción, es la ciencia que, utilizando
como instrumento a las matemáticas y al cálculo de probabilidades,
estudia las leyes de comportamiento de aquellos fenómenos que, no
estando sometidos a las leyes físicas y basándose en ellas predice e infiere
resultados. El término estadística matemática viene a ser el nombre
propio de esta acepción.

3. Estadística, significa en su última acepción, la técnica o método científico
usado para recolectar, organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar,
generalizar y contrastar los resultados de las observaciones de los
fenómenos reales.

¿Por qué es importante aprender
estadística?
1. Presentar y describir la información en forma
adecuada.
2. Inferir conclusiones sobre poblaciones grandes
basándose solamente en la información obtenida de
subconjuntos de ellas.
3. Utilizar modelos para obtener pronósticos
confiables.

Estadística descriptiva
Que es la
estadística
descriptiva?
Parte de la estadística que únicamente trata de
describir y analizar un grupo dado, sin sacar
ninguna conclusión ni hacer inferencia alguna
acerca de un grupo más grande, se le conoce
como estadística descriptiva o deductiva.
En pocas palabras la estadística descriptiva
es aquella que comprende aquellos
métodos que
incluyen técnicas para recolectar, presentar,
analizar e interpretar datos.

Conceptos Básicos y ejemplos en
Estadística Descriptiva
https://www.youtube.com/watch?v=zvEZfw81
7Pc
https://www.youtube.com/watch?v=2q2z-
nnKaHg
Parte 1 Parte 2

Debemos tener en cuenta que…
• En general, la estadística descriptiva tiene como función el manejo de los datos recopilados
en cuanto se refiere a su ordenación y presentación, para poner en evidencia ciertas
características en la forma que sea más objetiva y útil. En este sentido, investiga los
métodos y procedimientos y establece reglas para que el manejo de los datos sea más
eficiente y para que la información entregada resulte confiable, y exprese correctamente
ciertos contenidos en un lenguaje que permita que cualquier persona los comprenda y
pueda establecer comparaciones.
• A un empresario le interesa determinar el promedio semanal total de
sus gastos en algunos productos durante un tiempo determinado.
• Una entidad quiere calcular la proporción de colombianos
encuestados que están a favor de determinado producto o iniciativa.
SITUACIONES
QUE
SE
PRESENTAN

Organización de datos mediante tablas
En esta forma de organización de datos es importante el concepto de
frecuencia de un dato, las cuales pueden ser absolutas o relativas.
La frecuencia absolutas de un dato es simbolizada por lo general con las letras 𝑓𝑎 si nos
referimos a las individuales (otros la representan con 𝑛𝑖 ) y con 𝐹𝑎 (𝑁𝑖) si hacemos
referencia a la frecuencia acumulada. En ambos casos la frecuencia representa el número
de veces que aparece ese dato en una colección o conjunto de datos ya sea de manera
individual o de manera acumulada.
Ejemplo En el conjunto de datos 4 5 5 3 2 6 7 7 7 2, donde el cuatro sólo aparece una vez
por lo tanto, tiene frecuencia 𝑓𝑎 = 1, el cinco aparece dos veces o sea, 𝑓𝑎 = 2), etc.
La frecuencia relativa de un dato es simbolizada por lo general con las letras 𝑓𝑟 si nos
referimos a las individuales (otros la representan con 𝑓𝑖 ) y con 𝐹𝑟 (𝐹𝑖) si hacemos referencia
a la frecuencia acumulada. En ambos casos la frecuencia relativa es el cociente entre la
frecuencia absoluta individual o absoluta acumulada entre el total de datos. ( ൗ
𝑓𝑎
𝑁 ∗ 100)

Ahora hablaremos de las tablas de datos no
agrupados y agrupados
Tabla de frecuencias con datos no
agrupados.
• Son aquellas en donde cada dato tiene
la frecuencia correspondiente. Los
datos que organizados en tablas de
frecuencias no agrupadas se
denominan usualmente datos no
agrupados.
• EJEMPLO: La tabla de frecuencias (no
agrupada) para el conjunto de datos 3 5
7 6 4 3 7 6 6 7 5 7 es:
Dato 3 4 5 6 7
Frecuencia individual (𝑓𝑎) 2 1 2 3 4
https://www.youtube.com/watch?v=Agd4Am950Fc

En de las tablas de datos agrupados
Tabla de frecuencias de datos
agrupados.
• Otra posibilidad de organizar datos es agruparlos
en intervalos (llamados intervalos de clase o,
simplemente, clases) y determinar la llamada
frecuencia de clase de cada clase, es decir, el total
de datos que hay en cada clase. Posteriormente,
las clases y las frecuencias de clase se ubican en
una tabla que llamaremos tabla de frecuencias
agrupadas . Los datos que organizados en tablas
de frecuencias agrupadas se denominan
generalmente datos agrupados.
• Este es un ejemplo de una tabla de frecuencias
agrupada y 10-14 y 15-19 son ejemplos de clases.
En ella se presentan las distribuciones de
frecuencia para los datos de tiempo de auditorias
de fin de año.
TIEMPO DE AUDITORIA EN
DIAS
FRECUENCIA
10 - 14 4
15 - 19 8
20 - 24 5
25 - 29 2
30 - 34 1

Las clases de frecuencias agrupadas poseen límites de clase.
En nuestro ejemplo anterior, en la clase 10-14, a 10 se le llama límite
inferior de clase y a 14, límite superior de clase. La distancia entre
cualquiera de dos límites superiores consecutivos o entre cualquiera de
dos límites inferiores consecutivos es llamada amplitud de clase. La
amplitud de cada clase en la tabla anterior es 5. Una posible forma de
construir la tabla de datos agrupados seria la siguiente: (A continuación
veremos como se elabora)

¿Alguna sugerencia
para realizar tablas de
frecuencias
agrupadas?
Si claro
mencionemos
algunas
• En la realidad, se acostumbra siempre a agrupar los datos en clases
en donde los extremos de la clase son las respectivas fronteras, en
vez de los limites de clase. De ahora en adelante, nosotros lo
haremos siempre así.
• Para mayor comodidad en el proceso de construcción de las
clases, acordaremos que la primera clase debe contener por
lo menos el dato menor (en la realidad, esto no siempre es
así).
• Las clases deben ser mutuamente excluyentes, es decir, cada
dato debe quedar exactamente en una sola clase, no en dos al
mismo tiempo.
• Para mayor comodidad en el proceso de construcción de las
clases, acordaremos que todas las clases deben tener la misma
amplitud (en la realidad, esto no siempre es así).
PASOS Y/0 SUGERENCIAS PARA CONSTRUIR UNA TABLA DE
DATOS AGRUPADOS
• Usar la Regla de Sturges.
La regla de Sturges establece como número de clases necesario,
aproximadamente 𝒄 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑𝟐𝟐𝒍𝒐𝒈 𝒏 , donde n es el número de medidas y
log n es el logaritmo de n en base 10. El valor de c es común redondearlo al entero
más cercano.
Otra regla razonable para el número de clases es 𝑐 = 𝑛

Ejemplo
Los datos anotados representan los totales, en miles de pesos, gastados en
fotocopias por una muestra de 25 estudiantes durante un semestre.
Construya una tabla de frecuencias agrupadas usando la regla de Sturges.
29 91 77 72 39 47 64 84 88 57 28 63 38
42 36 72 69 68 41 52 39 84 45 52 72
Solución
Rango: R = Dato mayor – Dato menor = 91 – 28 = 63
Clases: 𝑐 = 1 + 3,322 log 𝑛 = 1 + 3,322 log 25 = 5,61 ≈ 6
Amplitud: A =
𝑅
𝑐
=
63
6
= 10,5
1. Determinar el rango R, que es la diferencia entre las medidas mayor y menor. (En
nuestro ejemplo son el 91 y el 28)
2. Aplicar la regla de Sturges para determinar el numero de filas de la tabla de
frecuencias o del numero de clases. (Siempre se aproxima a su entero mas cercano)
3. Posteriormente determinamos la amplitud de clase A se encuentra como se muestra
en el siguiente recuadro.
La amplitud se aproxima
inicialmente al numero de dígitos
que tengan los limites (En este
ejemplo los limites tendrán
decimas por eso la A = 10,2)

Construcción de la tabla de frecuencia
• Nuestra primera clase tendrá como límite inferior el dato menor y
luego los demás límites inferiores le sumaremos la amplitud.
Límites Reales
Inferior Superior
27,5 38,0
37,7 48,5
48,9 59,0
59,1 69,5
69,3 80,0
79,3 90,5
• El primer límite inferior lo obtenemos de la siguiente manera: Dato menor
– (Unidad de medida /2). Para determinar el limite superior le sumamos la
amplitud al limite inferior, y repetimos el proceso tantas veces sea posible
hasta completar el numero de filas que calculamos ( C ).
La Unidad de medida dependerá de la
cantidad de dígitos después de coma o cifras
significativas que tengan el conjunto de
datos, es decir si los datos son todos Enteros
la unidad será 1, si por lo menos uno de ellos
tiene un digito después de coma es decir,
Decimas la unidad será 0,1, si por lo menos
uno de ellos tiene dos dígitos después de
coma, (Centésimas) la unidad será 0,01 y así
sucesivamente.
Al completar la tabla con los 6
(filas “C”) limites tanto
superiores como inferiores, se
observa que el ultimo limite
superior es MENOR que el Valor
máximo del conjunto de datos
(91), por lo cual obliga a
aproximar la AMPLITUD pasando
de 10,5 a 11 y repetir el proceso.
(Esto se debe aplicar solo en el
caso de que suceda este tipo de
eventos)

• Nuestra primera clase tendrá como límite inferior el dato menor y
luego los demás límites inferiores le sumaremos la amplitud.
Límites
reales
Frecuencia
absoluta (fi)
27,5-38,5 4
38,5-49,5 6
49,5-60,5 3
60,5-71,5 4
71,5-82,5 4
82,5-93,5 4
• El primer límite inferior lo obtenemos de la siguiente manera: Dato
menor – (Unidad de medida /2). Para determinar el limite superior le
sumamos la amplitud al limite inferior, y repetimos el proceso tantas
veces sea posible.
Una vez logrado que el ultimo limite superior sea igual a superior
al valor máximo del conjunto de datos, entramos a contar cuando
valores pertenecientes al conjunto de datos están en cada uno de
los limites, por ejemplo: En el primer intervalo (De 27,5 a 38,5) se
encuentran los valores 28, 29, 36 y 38 para un total de 4 lo que
representa la frecuencia absoluta individual. Repetimos el proceso
para los demás intervalos.
La suma de las frecuencias individuales debe ser igual al total de
datos, en este caso a 25

• La marca de clase (Xi) es el punto medio de cada intervalo de clase
𝑋𝑖 =
Limite inferior de clase + Limite superior de clase
2
• La frecuencia relativa (fri) de un dato o de una clase se encuentra dividiendo la
frecuencia de dicho dato (o de la clase) entre el total de datos.
𝑓𝑟𝑖 =
𝑓𝑖
𝑛
• La frecuencia acumulada (Fi) de cualquier dato o clase, es la suma de la
frecuencia de ese mismo dato o clase con las frecuencias de todos los demás
datos o clases anteriores
𝐹𝑖 = 𝐹𝑖−1 + 𝑓𝑖
• La frecuencia relativa acumulada (Fri) de un dato o de una clase se obtiene
dividiendo la frecuencia acumulada del dato o de la clase por el número total
de datos.
𝐹𝑟𝑖 =
𝐹𝑖
𝑛
Otros valores a
calcular para
completar nuestra
tabla de frecuencias
son:

Límites
reales Xi fi fr Fi Fr
27,5-38,5
(27,5+38,5)/2
= 33 4
4/25=0,12=
16% 4 16%
38,5-49,5 44 6 24% 3+6=9 16%+24%=40%
49,5-60,5 55 3 12% 10+3=13 40%+12%=52%
60,5-71,5 66 4 16% 13+4=17 52%+16%=68%
71,5-82,5 77 4 16% 17+4=21 68%+16%=84%
82,5-93,5 88 4 16% 21+4=25 84%+16%=100%
https://www.youtube.com/watch?v=CuKr7GzohbI
Obteniendo los
siguientes
resultados:

Ejemplo:
Debido a un grave accidente, el gerente de una compañía consultora perdió información de un
estudio de mercado que realizó a una importante compañía a nivel nacional de gaseosas. Solo se
conoce algunos datos parciales sobre una entrevista que se elaboró a 200 personas.
Limites fi Fi fri Fri
0,1 - 2,1 24
2,1 - 4,1 0,20
4,1 - 6,1 0,545
6,1 - 8,1 125
8,1 - 10,1 36
10,1 - 12,1 0,11
12,1 - 14,1 1
A. Reconstruya la tabla de frecuencia.
B. ¿Cuantas personas toman menos de 4 gaseosas por semana?
C. ¿Cuantas personas toman al menos 3 gaseosas por semana?

0,1 - 2,1 24 24 0,12 0,12
2,1 - 4,1 0,20
4,1 - 6,1 0,545
6,1 - 8,1 125
8,1 - 10,1 36
10,1 - 12,1 0,11
12,1 - 14,1 200 1
Ejemplo:

0,1 - 2,1 24 24 0,12 0,12
2,1 - 4,1 40 64 0,20 0,32
4,1 - 6,1 0,545
6,1 - 8,1 125
8,1 - 10,1 36
10,1 - 12,1 0,11
12,1 - 14,1 200 1
Ejemplo:

0,1 - 2,1 24 24 0,12 0,12
2,1 - 4,1 40 64 0,20 0,32
4,1 - 6,1 45 109 0,225 0,545
6,1 - 8,1 125
8,1 - 10,1 36
10,1 - 12,1 0,11
12,1 - 14,1 200 1
Ejemplo:

0,1 - 2,1 24 24 0,12 0,12
2,1 - 4,1 40 64 0,20 0,32
4,1 - 6,1 45 109 0,225 0,545
6,1 - 8,1 16 125 0,08 0,625
8,1 - 10,1 36
10,1 - 12,1 0,11
12,1 - 14,1 200 1
Ejemplo:

0,1 - 2,1 24 24 0,12 0,12
2,1 - 4,1 40 64 0,20 0,32
4,1 - 6,1 45 109 0,225 0,545
6,1 - 8,1 16 125 0,08 0,625
8,1 - 10,1 36 161 0,18 0,805
10,1 - 12,1 0,11
12,1 - 14,1 200 1
Ejemplo:

0,1 - 2,1 24 24 0,12 0,12
2,1 - 4,1 40 64 0,20 0,32
4,1 - 6,1 45 109 0,225 0,545
6,1 - 8,1 16 125 0,08 0,625
8,1 - 10,1 36 161 0,18 0,805
10,1 - 12,1 22 183 0,11 0,915
12,1 - 14,1 17 200 0,085 1
Ejemplo:

A. Reconstruya la tabla de frecuencia.
B. ¿Cuántas personas toman menos de 4 gaseosas por semana? R/ 64 (Frecuencias acumulada
“Limites de 0,1-2,1 y 2,1-4,1)
C. ¿Cuántas personas toman al menos 3 gaseosas por semana? R/ 176 (200- 24 “Limite 0,1-
2,1”) o sumar todas las frecuencias donde mínimo se consuman 3 gaseosas (Desde el
segundo al ultimo intervalo).
0,1 - 2,1 24 24 12% 12%
2,1 - 4,1 40 64 20% 32%
4,1 - 6,1 45 109 22,5% 54,5%
6,1 - 8,1 16 125 8% 62,5%
8,1 - 10,1 36 161 18% 80,5%
10,1 - 12,1 22 183 11% 91,5%
12,1 - 14,1 17 200 8,5% 100%
Ejemplo:

Representaciones graficas de la
información
• Las representaciones gráficas
de los datos ofrecen una
idea más intuitiva y más fácil
de interpretar de un
conjunto de datos sometidos
a investigación. Por ello las
representaciones gráficas se
convierten en un medio muy
eficaz para el análisis ya que
las regularidades se
recuerdan con más facilidad
cuando se observan
gráficamente.
Se divide en dos:
• Representaciones gráficas para datos sin
agrupar
• Representaciones gráficas para datos
agrupados
Unidad 1

Diagrama de barras:
• Representa frecuencias sin acumular. Estos gráficos son
válidos para datos cuantitativos (de tipo discreto) y
cualitativos. En el eje ‘y’ se pueden representar tanto las
frecuencias absolutas como relativas.
Representaciones gráficas para datos sin
agrupar
Diagrama de escalera:
• Representa frecuencias acumuladas de un conjunto de
datos. Este gráfico puede representar tanto las
frecuencias absolutas como relativas.

Polígono de frecuencias :
Representaciones gráficas para datos
agrupados
• Representa frecuencias. Su
construcción se realiza
levantando sobre las marcas de
clase (eje X), puntos de altura
igual a la frecuencia observada
(eje Y). La unión de estos puntos
da lugar a una línea poligonal
denominada polígono de
frecuencias. Tanto los histogramas como los polígonos de frecuencia se
pueden realizar con frecuencias absolutas o relativas

Gráficos de sectores:
Representaciones gráficas para datos
agrupados
• Estos gráficos se basan en un círculo o bien
en un semicírculo y consiste en dividir el
círculo o semicírculo en sectores cuyas
áreas sean proporcionales a cada uno de los
términos de la serie. Generalmente se
utilizan para representar series de atributos
o series cuantitativas presentadas en pocos
intervalos.
Unidad 1
Diagrama de Gannt:
• Estos diagramas nos permiten conocer la evolución de una
variable en estudio desde una situación inicial hasta el
momento actual. Es un gráfico de mucha utilidad para
analizar crecimientos, tendencias, en definitiva, la evolución
de la serie en el tiempo.
Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Valor Acción 10 20 30 40 5 15 25 35 45 35 55 75 85 105 105
Estratos 1 y 2 3 y 4 5 y 6
Personas 10 22 8

Clases Límites reales Xi fi
28 – 38 27,5-38,5 33 4
39 – 49 38,5-49,5 44 6
50 – 60 49,5-60,5 55 3
61- 71 60,5-71,5 66 4
72 – 82 71,5-82,5 77 4
83 – 93 82,5-93,5 88 4
Otros ejemplo
aplicados:

Clases Gastos Xi fi Fi
28 – 38 27,5-38,5 33 4 4
39 – 49 38,5-49,5 44 6 10
50 – 60 49,5-60,5 55 3 13
61- 71 60,5-71,5 66 4 17
72 – 82 71,5-82,5 77 4 21
83 – 93 82,5-93,5 88 4 25

Ejemplo: Los datos adjuntos representan una muestra del aumento de
precios (en pesos) de la gasolina extra en una cierta ciudad a lo largo de
un año en particular.
Mediante cinco clases construya una tabla de frecuencias relativas
acumuladas agrupadas.
123,9 127,9 130,9 121,9 132,9
121,9 126,9 122,8 126,9 137,9
126,9 119,9 118,9 119,8 116,9
120,8 115,9 117,9 131,9 115,9
115,9 121,9 129,9 122,8 119,9
Solución
Rango: R = Dato mayor – Dato menor = 137,9 – 115,9 = 22
Clases: 𝑐 = 5 Definidas en el enunciado.
Amplitud: 𝑤 =
𝑅
𝑐
=
22
5
= 4,4

Límites reales
de clases
Frecuencia Frec. acum
115,9-120,3 9 9
120,3-124,7 7 9+7=16
124,7-129,1 4 16+4=20
129,1-133,5 4 20+4=24
133,5-137,9 1 24+1=25
Rango: R = Dato mayor – Dato menor = 137,9 – 115,9 = 22
Clases: 𝑐 = 1 + 3,3 log 𝑛 = 1 + 3,3 log 25 = 5,61 ≈ 6
Amplitud: 𝑤 =
𝑅
𝑐
=
22
6
= 3,66 ≈ 3,7
Organizamos inicialmente los datos así:
Solución utilizando la regla de Sturges

Clases Limites reales Frecuencia Frec. Acum.
115,9-119,5 115,85-119,55 6 6
119,6-123,2 119,55-123,25 9 15
123,3-126,9 123,25-126,95 4 19
127,0-130,6 126,95-130,65 2 21
130,7-134,3 130,65-134,35 3 24
134,4-138,0 134,35-138,05 1 25
En la Construcción de la tabla de frecuencia
obtendríamos el siguiente resultado.

Actividad 1: Los datos que se muestran a continuación representan el
costo (en miles de pesos) de la energía eléctrica durante un determinado
mes del año 2006 para una muestra aleatoria de 50 apartamentos
en cierta ciudad importante.
128 144 168 109 167 141 149 206 175 123
153 197 127 82 96 171 202 178 147 102
135 191 137 129 158 108 119 183 151 114
111 148 213 130 165 157 185 90 116 172
143 187 166 139 149 95 163 150 154 130
(Enviar la solución de los siguientes puntos a través de la plataforma)
a) Obtenga una tabla de frecuencias con 7 intervalos de clase.
b) Grafique el correspondiente histograma de frecuencias, el polígono de
frecuencias relativas y la ojiva con frecuencias acumuladas relativas.
c) ¿Alrededor de qué cantidad parece concentrarse el costo mensual de
energía eléctrica?
d) Según su opinión, ¿cuál de las gráficas representa mejor la distribución
de los costos de energía eléctrica?

Referencias Bibliográficas
Referencias bibliográficas de apoyo:
1. G.C Canavos. Probabilidad y Estadística – Aplicaciones y Métodos. Mc. Graw Hill. México.
2. J. E. Freund, I Miller & M. Miller. Estadística Matemática Con Aplicaciones. Pearson Prentice
Hall, Mexico
3. Walpole, Myers. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias. Pearson. México.
4. Devore, J.L. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias, Quinta Edición, Thomson
Learning.
5. Mendenhall, W. Estadística para Administradores, Segunda Edición,Grupo Editorial
Iberoamérica.
6. Montgomery, D.C. y Runger G.C. Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería , Primera
Edición, Mc Graw Hill.
7. Sheaffer, R. L. y McClave, J.T. Probabilidad y Estadística para Ingeniería, Primera Edición,
Grupo Editorial Iberoamérica.
8. Spiegel, M.R. Estadística, Primera Edición, Serie Schaum, Mc Graw Hill.
9. Weimer, R.C. Estadística, Segunda Edición, CECSA.

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