TEMA: OPTIMIZACIÓN
EJERCICIO RESUELTO.
En esta presentación encontrarás una explicación acerca de un problema de optimización, explicado paso a paso y cada detalle
2. Demuestra que el rectángulo de área
máxima con perímetro P dado, es un
cuadrado. Sugerencia: Dibuja un rectángulo
de ancho x y largo y. Por geometría se sabe
en un rectángulo su perímetro es igual a la
suma de sus lados y su área es igual al
producto de sus dos dimensiones
Problema
8. IGUALAMOS A 0
Sólo tenemos un punto crítico. Proseguimos para averiguar si
se trata de un máximo o un mínimo, mediante el criterio de la
segunda derivada:
• 𝑨 𝒙 ′′ =
𝒑−𝟒𝒙
𝟐
• 𝑨 𝒙 ′′ =
𝟐 𝒑−𝟒𝒙 ′− 𝒑−𝟒𝒙 (𝟐)′
22
• A x ′′
=
2 −4 − 𝑃−4𝑥 0
4
• 𝐴 𝑥 ′′
=
−8−0
4
• 𝐴 𝑥 ′′ =
−8
4
= −2
9. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
• 𝑨 𝒙 ′′ =
−𝟖
𝟒
= −𝟐
• -2 < 0, ENTONCES TENEMOS UN MAXIMO LOCAL EN X =
𝑷
𝟒
10. • 𝒚 =
𝑷−𝟐(
𝑷
𝟒
)
𝟐
SUSTITUIR VALOR DE X EN Y
• 𝒚 =
𝑷−
𝑷
𝟐
𝟐
=
𝑷
𝟐
𝟐
=
𝒑
𝟒
Observamos que el área es máxima cuando la base y la altura son iguales y ambos
son la cuarta parte del perímetro, es decir:
• x = y =
𝒑
𝟒