ejercicios de algebra lineal desarrollados

1. Ejercicios de algebra lineal
Espacios vectoriales-matriz de cambio

2. Sea 𝑉 = 𝑅2, 𝐹 = 𝑅, con las operaciones definidas por
𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1
𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑟 + 𝑟𝑥 − 1, 𝑟 + 𝑟𝑦 − 1
Analizar si V es un espacio vectorial.
Veamos si se verifican los 08 axiomas
A1. 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1
= 𝑥2 + 𝑥1 + 1, 𝑦2 + 𝑦1 + 1 = 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥1, 𝑦1
A2. 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥3, 𝑦3 = 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥3, 𝑦3
Por un lado
𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥3, 𝑦3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1 + 𝑥3, 𝑦3
= 𝑥1 + 𝑥2 + 1 + 𝑥3 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 1 + 𝑦3 + 1
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 2 (1)

3. Por otro lado
𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥3, 𝑦3 = 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 1, 𝑦2 + 𝑦3 + 1
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 1 + 1, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 1 + 1
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 2, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 2 (2)
Comparando (1) y (2) se prueba la asociatividad.
A3. Existencia del elemento neutro. Sea 𝑎, 𝑏 el elemento neutro, se
debe verificar que
𝑥, 𝑦 + 𝑎, 𝑏 = 𝑥, 𝑦
𝑥 + 𝑎 + 1, 𝑦 + 𝑏 + 1 = 𝑥, 𝑦 ⟹ 𝑎, 𝑏 = (−1, −1)
A4. Existencia del elemento opuesto. Sea 𝑚, 𝑛 el elemento opuesto,
se debe verificar que
𝑥, 𝑦 + 𝑚, 𝑛 = −1, −1
𝑥 + 𝑚 + 1, 𝑦 + 𝑛 + 1 = −1, −1 ⟹ 𝑚, 𝑛 = −𝑥 − 2, −𝑦 − 2

4. A5. 1. 𝑥, 𝑦 = (𝑥, 𝑦)
1. 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥 − 1,1 + 𝑦 − 1 = 𝑥, 𝑦
A6. 𝑟1. 𝑟2. 𝑥, 𝑦 = 𝑟1. 𝑟2 . 𝑥, 𝑦
𝑟1. 𝑟2. 𝑥, 𝑦 = 𝑟1. 𝑟2 + 𝑟2𝑥 − 1, 𝑟2 + 𝑟2𝑦 − 1
= 𝑟1 + 𝑟1 𝑟2 + 𝑟2𝑥 − 1 − 1, 𝑟1 + 𝑟1 𝑟2 + 𝑟2𝑦 − 1 − 1
= 𝑟1 + 𝑟1𝑟2 + 𝑟1𝑟2𝑥 − 𝑟1 − 1, 𝑟1 + 𝑟1𝑟2 + 𝑟1𝑟2𝑦 − 𝑟1 − 1
= 𝑟1𝑟2 + 𝑟1𝑟2𝑥 − 1, 𝑟1𝑟2 + 𝑟1𝑟2𝑦 − 1
= 𝑟1. 𝑟2 . 𝑥, 𝑦

5. A7. 𝑟1 + 𝑟2 . 𝑥, 𝑦 = 𝑟1 𝑥, 𝑦 + 𝑟2 𝑥, 𝑦
Por un lado
𝑟1 + 𝑟2 . 𝑥, 𝑦 = 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑥 − 1, 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑦 − 1 (∗)
Por otro lado
𝑟1 𝑥, 𝑦 + 𝑟2 𝑥, 𝑦 =
= 𝑟1 + 𝑟1𝑥 − 1, 𝑟1 + 𝑟1𝑦 − 1 + 𝑟2 + 𝑟2𝑥 − 1, 𝑟2 + 𝑟2𝑦 − 1
= 𝑟1 + 𝑟1𝑥 − 1 + 𝑟2 + 𝑟2𝑥 − 1 + 1, 𝑟1 + 𝑟1𝑦 − 1 + 𝑟2 + 𝑟2𝑦 − 1 + 1
= 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1𝑥 + 𝑟2𝑥 − 1, 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟1𝑦 + 𝑟2𝑦 − 1 (∗∗)
Comparando (*) y (**) se ve que se cumple A7.

6. A8. 𝑟 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = 𝑟. 𝑥1, 𝑦1 + 𝑟. 𝑥2, 𝑦2
Por un lado
𝑟 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = 𝑟 𝑥1 + 𝑥2 + 1, +𝑦1 + 𝑦2 + 1
= 𝑟 + 𝑟 𝑥1 + 𝑥2 + 1 − 1, 𝑟 + 𝑟 𝑦1 + 𝑦2 + 1 − 1
= 2𝑟 + 𝑟𝑥1 + 𝑟𝑥2 − 1,2𝑟 + 𝑟𝑦1 + 𝑟𝑦2 − 1
Por otro lado
𝑟. 𝑥1, 𝑦1 + 𝑟. 𝑥2, 𝑦2 = 𝑟 + 𝑟𝑥1 − 1, 𝑟 + 𝑟𝑦1 − 1 + 𝑟 + 𝑟𝑥2 − 1, 𝑟 + 𝑟𝑦2 − 1
= 𝑟 + 𝑟𝑥1 − 1 + 𝑟 + 𝑟𝑥2 − 1 + 1, 𝑟 + 𝑟𝑦1 − 1 + 𝑟 + 𝑟𝑦2 − 1 + 1
= 2𝑟 + 𝑟𝑥1 + 𝑟𝑥2 − 1,2𝑟 + 𝑟𝑦1 + 𝑟𝑦2 − 1
Se cumplen los 08 axiomas.

7. Ejemplo 2
Sea 𝑉 = 𝑀2×2, 𝐹 = 𝑅, 𝑊 =
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 ; 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅
a) Analizar si W es un subespacio de V.
b) Calcular la dimensión de W.
Veamos si W es cerrado con respecto a la operación +
Sean
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 ,
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑐
∈ 𝑊
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 +
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑐
=
𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏
−(𝑦 + 𝑏) 𝑧 + 𝑐
∈ 𝑊
Veamos si W es cerrado con respecto a la operación “.”
Sea 𝑟 ∈ 𝑅,
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 ∈ 𝑊 ⟹ 𝑟.
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 =
𝑟𝑥 𝑟𝑦
−𝑟𝑦 𝑟𝑧 ∈ 𝑊
Luego W es un subespacio de 𝑀2×2

8. Hallemos la dimensión de W
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 =
𝑥 0
0 0
+
0 𝑦
−𝑦 0
+
0 0
0 𝑧
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑧 = 𝑥
1 0
0 0
+ 𝑦
0 1
−1 0
+ 𝑧
0 0
0 1
Una base para W es
𝐵 =
1 0
0 0
,
0 1
−1 0
,
0 0
0 1
Luego
dim 𝑊 = 3

9. Que 𝐻1 𝑦 𝐻2 son sub espacios se procede como el ejemplo
anterior
Calculemos 𝐻 = 𝐻1 ∩ 𝐻2
𝐻1:
0 𝑦
𝑧 𝑤
, 𝐻2:
−𝑏 𝑎
𝑎 𝑏
Las matrices de H son de la forma
−0 𝑎
𝑎 0
= 𝑎
0 1
1 0
Una base para H es
𝐵 =
0 1
1 0
La dim 𝐻 = 1

10. Ejercicios
1. ¿Cuál es la dimensión del subespacio de 𝑹𝟑generado por los vectores
a) Los vectores 𝟐, 𝟏, −𝟏 , 𝟑, 𝟐, 𝟏 , 𝟏, 𝟎, −𝟑 ?
b) Los vectores 𝟏, −𝟏, 𝟐 , 𝟎, 𝟐, 𝟏 , −𝟏, 𝟎, 𝟏 ?
2. ¿Cuál es la dimensión del subespacio de 𝑹𝟒generado por los vectores
a) Los vectores 𝟏, 𝟎, 𝟐, −𝟏 , 𝟑, −𝟏, −𝟐, 𝟎 , 𝟏, −𝟏, −𝟔, 𝟐 , 𝟎, 𝟏, 𝟖. −𝟑 ?
b) Los vectores −
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
, 𝟑, −𝟏 ,
𝟏
𝟐
, 𝟎, 𝟏, −
𝟏
𝟐
, 𝟏, 𝟏, 𝟏𝟎, −𝟒 ?
3. Sea W el conjunto de todos los polinomios 𝑷𝒏 cuya segunda derivada es
cero; probar que W es un subespacio de 𝑷𝒏 y encontrar una base para W.
4. Sea W el conjunto de todos los polinomios 𝑷𝒏 tales que 𝒑 𝟏 = 𝒑′ 𝟏 = 𝟎;
probar que W es un subespacio de 𝑷𝒏 y encontrar una base para W.

11. 5. Encontrar la dimensión del sub espacio de 𝑪 −𝝅, 𝝅 generado por los
vectores
𝟏, 𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙, 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
6. Sea 𝑩 = 𝟏, 𝒙.
𝟑
𝟐
𝒙𝟐 −
𝟏
𝟐
,
𝟓
𝟐
𝒙𝟑 −
𝟑
𝟐
𝒙
a) Demostrar que B es una base de 𝑷𝟑
b) Hallar las coordenadas de 𝒙𝟐 y𝒙𝟑.
7. Encontrar una base de 𝑹𝟒 con respecto a la cual el vector −𝟑, 𝟏, 𝟐 − 𝟏
tenga las coordenadas
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
.
8. Suponiendo que los vectores 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜶𝟑 son linealmente independientes en
el espacio vectorial V, demostrar que 𝜶𝟏, +𝜶𝟐, 𝜶𝟏, +𝜶𝟑, 𝜶𝟐 +𝜶𝟑 son
linealmente independientes.