Ezin dudanez prezia igo, beste gauza bag igo dut.

1. 01. Eremu grabitatorioa.Teoria-galderak
*01.1. Keplerren legeak. Enuntziatuak. Orbita zirkularretarako 3. legea deduzitzea grabitazioaren legetik
abiatuta. (Taldea 1)
-Legeak enuntziatzea. Diagrama (marrazki) txiki bat egitea. Adierazi Eguzkiaren posizioa fokuetako batean,
erradio-bektoreak estalitako azalerak, planetaren mugimenduaren abiadura posizioaren arabera…
-Orbita zirkularra izateko beharrezko baldintzak kontuan hartuta, 3. legea frogatzea.
Keplerrenlegeak:
1. Legea:Planetak eguzkiaren inguruan biraka ari dira orbita eliptikoak deskribatuz, Eguzkia
elipsearen foku batean dagoelarik.
2. Legea:Eguzkiarekiko edozein planeten posizio-
bektoreak, denbora berdineko elipseraren azalera
berdinak betetzen ditu.
3. Legea:Planeta bakoitzak orbita osoa betetzeko behar
duen denboraren karratua (eguzkiaren inguruan bira osoa
emateko denbora), Planetatik Eguzkiraino duen batez
besteko distantziaren kuboarekiko zuzenki proportzionala
da.
T: Bi planeten biraketa-periodoak dira
a: orbiten ardatzerdi handiak (konstantea)
r:batez besteko distantzia edo erradioa
Lege honen ondorioz, Planeten orbita handiagoa izanez astiroago higituko dira.
Edozein satelitek, planeten inguruan, orbita zirkularretan deskribatzerakoan, ibilbidearekiko
perpendikularra den indar baten eraginpean egon behar da. Indar honek, planetaren erakarpen
grabitatorioa, azelerazio normal batez satelitearen abiaduraren norabidea eraldatzen du.
M= planetaren masa
m=satelitearen masa
r= masen zentroen arteko distantzia

2. Dinamikaren oinarrizko ekuazioa erabiliz
Gogoratuz Newton-en grabitazio unibertsalaren legea :
Indar grabitatorioak zentripetuarena egiten du, indar zentrala delako. Beraz, bi adierazpen hauek
berdin daitezke:
Abiadura angeluarra ordezka daiteke periodoaren menpean
Ondoren, m masak sinplifikatzen dira eta, azkenik, T askatu eta ikus daiteke zenbatekoa den
proportzionaltasun konstantea Kepler 3. legean:
Beraz,
Satelitearen energia mekanikoa,zinetiko eta potentzialaren batura izango da:
Sateliteak bere orbitan jarraitzen badu,ez du energiarik erreko,orbita ekipotentzial
batetan baitabil.

3. *01.2. Newtonen grabitazio unibertsalaren legea. (Taldea 2)
- Legea enuntziatzea eta dagokion ekuazioa adieraztea (marrazkia). Indar grabitatorioen ezaugarriak
adieraztea: norabidea eta noranzkoa; urrutiko indarrak; akzio- eta erreakzio-indarrak; masetako bat
oso handia izan ezean, baztergarria eta intentsitatea.
- Grabitazio unibertsalaren legea: unibertsoan dauden gorputz guztiek elkarrekikoi erakarpen bat
dute. konstante baten biderkadura bi masen arteko biderkadura zati bi masa horien distantzia
karratuarekiko. Bi masen artean dagoen indarra kalkulatu ahal dugu.
- (formula)
- norabidea; bi masen erdiak lotzen dituen marra da.
- noranzkoa: beste masarantz..
(-F eta F norabide berdina dute, baina kontrako noranzkoa)
Bere adierazpen bektoriala ondorengoa da: , bertan posizio-bektorearen
norabide eta noranzko bera duen bektore unitarioa da.
- Newtonen hirugarren legea dionez moduan, masa batek beste masa bati indarra eragiterakoan,
bigarrenak lehengoari ere indarra eragingo dio → Akzio-erreakzio legea.
가 𝐹가 = 가 𝐹가
G:Grabitatearen konstante unibertsala da.
𝐹 = 6,674 · 10
−11
𝐹 · 𝐹2
· 𝐹𝐹−2
konstante unibertsala da. Honen arabera, unibertsoaren edozein
puntutan balio hau ez da aldatzen, berdin du zein ingurunetan dauden masak. G-ren balioa oso txikia da,
horregatik indar grabitatorioa urrutiko indarren artean ahulena da, baztergarria beraz, masak handiak ez
badira.
● Urrutiko indarrak dira: bi gorputzak ez dira kontaktuan egon behar bestearen eragina sentitzeko.
Bi gorputz oso urrun badaude haien erakarpen indarra beren masaren araberakoa izango da.
Distantzia oso handia izan arren, izugarrizko masa badaukate 2 gorputzak edo gutxienez bat
erakarpena handia izaten jarraituko da, adbz. Eguzkia eta Lurra. Baina 2 gorputzak urrun badaude
eta masa txikia badaukate, haien erakarpena oso txikia da.
● Zer gertatzen da masetako bat oso handia denean: Gorputz bat eragiten duen indarra Newtonen
2.legearen formulan agertzen da. . Indarra bera bi gorputzak jasan arren, norabide
berdinean baina kontrako noranzkoan (Newtonen 3.legea → akzio erreakzioarena) azelerazioa
askoz handiagoa da gorputz txikienean eta azelerazioari ezker ikusi ahal dugu masa handiak
jasaten duen eragina bateragarria dela.

5. 01.3. Indar zentralak eta momentu angeluarra. Keplerren legeen justifikazioa. (Taldea 3)
-Grabitazio-indarraren izaera zentrala. Grabitate-indarraren momentua. Momentu angeluarraren
kontserbazioa.
-Momentu angeluarra eta Keplerren legeak. Hauen demostrazioa momentua angeluarra konstantea onartuz
gero.
01.3.1 Grabitazio-indarrarenizaerazentrala
Gorputz batek jasaten duen indarrari zentral esaten zaio etengabe
puntu bererantz zuzenduta dagoenean eta horren balioa
gorputzetik puntu horretara dagoen distantziaren araberakoa
bakarrik denean. Adibidez planetak bere orbitan bultzatzen dituen
indarra beti Eguzkirantz zuzenduta dagoela frogatu zuen
Newtonek, Eguzkia erakarpen-zentrotzat jokatzen duelako.
Gainera, Grabitazio Unibertsalaren Legearen arabera, indarra
distantziaren menpekoa da bakarrik, G eta masak konstateak
direlako. Beraz, indar grabitatorioak indar-zentralak dira.
01.3.2 Grabitate-indarraren momentua
Azterketa dinamikoan, biraketa higidura duen gorputz batean, oso garrantzitsua da indarraren momentua.
indar bat, 0 puntu batetik abiatuta momentua kalkulatzeko, eta -ren arteko biderkadura bektoriala da,
0 puntutik indarra aplikatutako puntura arte dagoen distantzia izanda.
Planeten higidura berezia da, grabitazio-indarraren momentua anulatzen da indarraren zentroarekiko,
-k 180º-ko angelua osatzen dutelako eta beraz nulua da.
; -> (beti, edozein indar zentralerako)
01.3.3 Momentu angeluarraren kontserbazioa

6. Planeta baten momentu lineala, , etengabe aldatzen da norabidez. Horren ondorioz, beste
magnitude konstante bilatzen dira, garrantzitsu bat momentu angeluarra da.
m masa duen partikula batek O puntu finko batekiko momentu angeluarra edo momentu zinetikoa, puntu
horrekiko duen higidura-kantitatearen momentua da; hau da, eta -ren arteko biderkadura bektoriala:
Momentu angeluarraren moduluak
balio du. da -k edo -
rekin eratzen duen angelua.
Momentu angeluarra eta indar baten momentua erlazionaturik daude, indarraren momentuak sortzen baitu
momentu angeluarraren aldaketa:
Higitzen ari den gorputz bati eragiten dion indarraren momentua nulua bada, gorputzaren momentu
angeluarrak konstante iraungo du.
= 0 bada = = 0 = kte
eta puntu beretik hartzen dira. Hori momentu angeluarraren kontserbazioaren printzipioa da, beti
betetzen da indar zentralak jasatzen dituzten gorputzetan.
Indar zentral baten eraginpean higitzen den gorputz baten momentu angeluarrak balioa, norabidea eta
noranzkoa konstanteak ditu.
01.3.4 Momentuangeluarraeta Keplerren legeak.
Grabitazio-indarraren izaera zentrala dela eta, planeten momentu angeluarra kontserbatu egiten da higitzen
ari diren bitartean. Horregatik:
- Orbitak lauak dira, momentu angeluarrak norabidea konstantea izan dezan. Erakarpen-zentroa
plano orbitalekoa da.
- Orbita zirkularra bada, planetaren abiadura uniformea da, momentu angeluarraren modulua
konstantea baita:
- Orbita eliptikoetarako planetaren abiadura etengabe aldatzen da, azaleren legeak edo Keplerren
bigarren legeak aurreikusten duenez:
-

7. - Perihelioa (Eguzkiaren inguruko orbitaren punturik hurbilena) eta afelioa (Eguzkiaren inguruko
orbitaren punturik urrunena) puntu bereziak dira. Haien kasuan, r eta v-ren arteko angelua zuzena
da, beraz, aurreko berdintza honela geratzen da:

8. *01.4. Eremu-intentsitatea. Definizioa. Masa puntual (edo esferiko) batek eratutako eremua. Adibidea:
Lurreko grabitazio-eremua. (Taldea 4)
-Eremuaren (espazioko zonaldea) eta eremu-intentsitatearen kontzeptuak.
-Masa puntual edo esferiko baten eremu grabitatorioa (eremu-lerroak irudikatzea). Adibidea: Lurra.
Zer da eremu fisiko bat? Eremu fisikoa esaten diogu espazioko eremu bati non bertako puntu bakoitzari
magnitude fisiko bat (bai bektoriala edo eskalarra) ezarri ahal zaion.
Indar-eremuak, urruneko indarrek eragiten duten espazioko eremuak dira eta bertan, espazioko puntu
bakoitzari indar bektorial bat ezartzen zaio. Indar-eremuak sortzeko gorputz baten masa, karga elektrikoa
edo urrunean daukan elkarrekintzaren ondorioz bere inguruko espazioan perturbazio bat sortzeko gauza
izan behar da.
● GRABITAZIO-EREMUAREN INTENTSITATEA:
❖ Gorputz guztiek haien inguruan duten espazioan sortzen duten asaldura da. ,
bertan dagoen masa unitatearen gainean egiten duen grabitazio indarra da.
● Masa puntual baten grabitazio-eremua
Eremu-intentsitatearen modulua edo balioa grabitatea da:
○ Ezaugarri batzuk
❖ Masa puntuala eta bertaraino dagoen r distantziaren araberakoa da
❖ Simetria esferikoa eta norabide erradiala du, gainera zeinu - duenez masa
puntualerantz orientatzen da.
○ Masa puntuala eta eremua
❖ Masa puntualak sortzen duen
grabitazio-eremua ez da finkoa eta norabide erradialetik
ekar dezake eta beti masarantz bideratuko da. Haren
indarra txikitu egingo da gero eta urrunago badago.

9. ● Gainezartze printzipioa
○ Masa puntual batek sortzen duen grabitazio-
eremua, masa bakoitzak puntu horretan
sortzen den eremua guztien arteko batura
bektoriala da.
Esfera batek eratutako grabitazio-eremua
Masa geruza zentrokideetan banatua duen esfera baten kanpoaldeko grabitazio-eremua, antzeko masa
duen material batek esferaren zentroan jarrita sortuko lukeenaren berdina izango da:

10. Lurraren kasuan: Esfera guztiz erregularra ez izan arren, esferikoa da ere, gutxi gora behera. Kanpoko puntu
baten grabitatea lurreko erditik duen r distantziaren araberakoa eta ML bere masa totalaren araberakoa
baino ez da izango. g0 balioa 9,8 izango da gainazalean (𝐹 ≃ 𝐹 𝐹), altuera txikian (𝐹 ≪ 𝐹 𝐹) grabitazio-
eremuaren intentsitatea konstantetzat har daitekeelako.
Hau, batez besteko balioa da, alda baitaiteke altuera eta latitudearen arabera.
Pisu esaten diogu Lurrak, grabitazioaren ondorioz, gorputzetako bakoitzari bere zentrorantz erakartzean
ezartzen dion indarrari. P=mg0

11. *01.5. Indar-eremu kontserbakorrak eta ez-kontserbakorrak. Energia potentzial grabitatorioa. Masa
puntual (edo esferiko) baten potentzial grabitatorioa. Energia mekaniko osoa. Energiaren
kontserbazioaren printzipioa. (Taldea 5)
-Eremu kontserbakorra definitzea (azaltzea). Eremu kontserbakorrean, A eta B bi puntu (edozein) hartuta,
ibilbidea itxia bada, lana nulua da (eskema sinplea egitea A-B ibilbidearekin, eta indar baten lanaren
ekuazioa adieraztea). Energia potentzialaren diferentzia.
-Potentzial grabitatorioa definitzea. Energia mekaniko osoa konstantea da indar-eremu kontserbakor batean.
*01.6. Indar-lerroak eta gainazal ekipotentzialak, masa puntual (edo esferiko) batek eratutako eremu
grabitatorioan. (Taldea 6)
-Eremu grabitatorioa irudikatzea. Eremu-lerroak (masa bakar baten eta masa-bikote baten kasuak
irudikatzea). Haien esanahia adieraztea.
-Gainazal ekipotentzialak (masa puntual baten kasua irudikatzea). Haien esanahia adieraztea, eta eremu-
lerroekin zer lotura duten esatea. Gainazal ekipotentzial bereko bi punturen artean eremu grabitatorioak
egindako lana.
01.7. Energia potentziala eta ihes-abiadura. Orbita zirkularrak: orbitaren abiadura, periodoa, energia
mekanikoa eta ihes-lana. Satelite geoestazionarioa (Taldea 7)
-Energia potentzial grabitatorioaren adierazpen grafikoa. Lurzorutik gertu egoteko hurbilketa. Ihes-abiadura:
definizioa eta kalkulua.
-Indar grabitatorioa eta zentripetua erlazionatzea orbitaren abiadura deduzitzeko. Hortik, periodoa eta
maiztasuna deduzitzea eta energia mekanikoa. Orbitan jartzeko edo aldatzeko energia. Ihes-lana: definizioa
eta kalkulua.
-Satelite geoestazionarioa definitzea eta orbitaren erradioa kalkulatzea.