1. PHÒNG GD&ĐT
VĨNH LINH
ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Năm học 2015-2016
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm) Có 100 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mỗi mảnh bìa được ghi một số
trong các số từ 2 đến 101 sao cho không có hai mảnh nào ghi số giống nhau. Chứng minh
rằng : Không thể ghép tất cả các mảnh bìa này liền nhau để được một số chính phương
Bài 2: (3 điểm) Cho x, y, z là ba số thực khác 0. Biết xy + yz + xz = 0, tính giá trị
biểu thức 2 2 2
yz xz xy
A
x y z
= + +
Bài 3: (2,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( )3 + x 12 + x
P =
x
(Với x > 0)
Bài 4: (2,5 điểm) Cho x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
M =
4 9 16
26
x y z
y z x z x y x y z
+ + ≥
+ − + − + −
Bài 5: (4 điểm) Cho hình thang AB (AB //CD và AB <CD). Gọi E là giao điểm của
AD và BC, gọi F là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng EF
đi qua trung điểm của hai đáy AB và CD của hình thang
Bài 6: (5 điểm) Cho tam giác ABC có góc A bằng 800
,
AB BC
BC AB AC
=
+
. Chứng minh
µ 0
60B=
ĐỀ THAM KHẢO
2. PHÒNG GIAO DỤC & ĐT
VĨNH LINH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Năm học 2015-2016
Bài 1: (3,0 điểm)
Chứng minh tổng các chữ số của số tạo thành từ các mảnh bìa chia 3 dư 2. Mà số chính
phương khi chia cho 3 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Bài 2: (3 điểm)
xy + yz + xz = 0 ⇒
1 1 1
0
x y z
+ + = 3 3 3
1 1 1 3
x y z xyz
⇒ + + =
2 2 2 3 3 3 3 3 3
yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3
A xyz xyz. 3
x y z x y z x y z xyz
= + + = + + = + + = = ÷
Bài 3: (2,5 điểm)
( ) ( ) 2
3 + x 12 + x x + 15x + 36 36
P = x + 15
x x x
= = +
Ta có
36
2.6 12 27x P
x
+ ≥ = ⇒ ≥
Dấu = xảy ra khi
36
6x x
x
= ⇔ = (x > 0)
Vậy GTNN của P là 27
Bài 4: (2,5 điểm)
Đặt y + z – x = a; z + x – y = b; x+ y – z = c. Do x, y, z là ba cạnh của một tam giác nên a,
b, c đều là số dương (BĐT tam giác)
Suy ra ; ;
2 2 2
b c a c a b
x y z
+ + +
= = =
Ta có:
4. 9. 16.
92 2 2 2 8
2
+ + +
= + + = + + + + + ÷ ÷ ÷
b c a c a b
b c a c a b
M
a b c a a b b c c
=
2 2 9 9 8 8 2 9 2 8 9 8
2.3 2.4 2.6
2 2 2 2
+ + + + + = + + + + + ≥ + + ÷ ÷ ÷
b c a c a b b a c a c b
a a b b c c a b a c b c
=26
Bài 5: (4 điểm)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EF với AB và CD
Ta có:
EA AM AB
ED DN CD
= = và
AFAB AM
CD FC NC
= =
M
N
F
CD
E
BA
3. Suy ra
AM AM
DN CN
= ⇒ DN = CN
Ta lại có:
AM MB EM
DN NC EN
= = ÷
Suy ra AM = MB.
Vậy EF đi qua trung điểm của AB và CD
Bài 6: (5,0 điểm)
Kẻ phân giác AD, ta có
BD AB
BC AB AC
=
+
Từ giả thiết
AB BC
BC AB AC
=
+
suy ra
AB BD
BC AB
=
Xét ABDV và ABCV có:
µB chung;
AB BD
BC AB
=
⇒ ( )ABD CBA c g c− −V V∽
⇒ µ µ 0
1 40A C= = ⇒ µ 0 0 0 0
180 80 40 60B= − − =
2
1
D
B
A C
