Prove solvability of n-puzzle

1. N-Puzzle의 Solvability
https://www.youtube.com/watch?v=9bQ7nDAcsM8

2. `
N-Puzzle이란
• 1880년대 초반 유행한 슬라이딩 퍼즐.
• 개수에 따라 8-Puzzle, 15-Puzzle, 24-Puzzle 등이 가능
• 목표
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
특정 상태
2019-01-02 2

3. `
Solvability
N-Puzzle은 (N+1)!개의 상태를 가진다. 모든 상태는 두가지 class
로 나뉜다. 각 상태는 자신과 같은 class에 속한 상태로만 변환이
가능하고, 다른 class의 상태로는 변환 할 수 없다.
2019-01-02 3

4. `
용어
• Counter: 움직일 수 있는 퍼즐 조각. 15-Puzzle엔 15개의 counter 존재
• Square: counter가 존재 할 수 있는 퍼즐 안의 작은 공간. 15-Puzzle엔
16개의 counter 존재
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
2019-01-02 4

5. `
용어
• Vacant Square: 현재 비어 있는 square
• Blank Square: 마지막 열의 맨 오른쪽에 위치한 square
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
2019-01-02 5

6. `
용어
Move: counter를 vacant square로 이동하는 행위
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
2019-01-02 6

7. `
용어
Transfer: blank square에 있는 counter를 vacant square로 이동하는 행위
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
2019-01-02 7

8. `
용어
Interchange: 두 counter를 서로 바꾸는 행위
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 6 8
9 11 10 12
13 14 15 7
2019-01-02 8

9. `
규칙 1
n+1 move -> transfer
= n move->transfer->single interchange
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 7 6 8
9 10 11 12
13 14 15
nth move (n+1)th move transfer
2019-01-02 9

10. `
규칙 1
n+1 move -> transfer
= n move->transfer->single interchange
1 2 3 4
5 6 8
9 10 11 12
13 14 15 7
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1 2 3 4
5 7 6 8
9 10 11 12
13 14 15
nth move transfer interchange
2019-01-02 10

11. `
규칙 2
one move -> transfer = Initial State
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1st move transfer
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
2019-01-02 11

12. `
규칙 3
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1st move 2nd move
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
two moves -> transfer = single interchange (by 규칙1 when n=1)
2019-01-02 12

13. `
규칙 3
two moves -> transfer = single interchange (by 규칙1 when n=1)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
Transfer
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
2019-01-02 13

14. `
규칙 4
n move -> transfer
= (n-1) move -> transfer -> 1 interchange (by 규칙1)
= (n-2) move -> transfer -> 2 interchange (by 규칙1)
= …
= 1 move -> transfer -> n-1 interchange (by 규칙1)
= n-1 interchange (by 규칙2)
2019-01-02 14

15. `
규칙 5
nth move 후에 blank square가 vacant square가 될 때
n move
= (n-1) move -> transfer (nth move는 transfer와 동일)
= (n-2) interchange (by 규칙 4)
2019-01-02 15

16. `
nth move 후에 blank square가 vacant square가 될 때 n은 항상 짝수이다
• 퍼즐의 각 칸에 교대로 검은색과 흰색을 칠했을 경우 검은 칸에서는 흰
칸으로만, 흰 칸에서는 검은 칸으로만 움직일 수 있다
• 처음에 vacant square가 검은 칸이었을 경우, n move 후에 다시 검은 칸
이 되기 위해서는 n이 짝수여야 한다. vacant square가 처음에 흰 칸인
경우도 마찬가지다.
규칙 6
2019-01-02 16

17. `
규칙 5, 규칙 6 예시
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
1 2 3 4
5 7 8 12
9 6 11 15
13 10 14
8 move
14 <-> 15 + 10 <-> 15 + 6 <-> 15
+ 7 <-> 15 + 8 <-> 15 + 12 <-> 15
= 6 interchange
2019-01-02 17

18. `
규칙 5에 의해 정답 상태에서 n move 후 다시 blank square가 vacant square로 되기 위해서는
n개의 interchange가 필요하다. 또한 규칙 6에 따라 n은 짝수여야 한다. 따라서 정답 상태로부
터 홀수개의 interchange를 필요로 하고 blank가 square인 상태로 갈 수 없다. 그리고 그 상태
에서 갈 수 있는 다른 상태들 또한 갈 수 없다. 이렇게 N-Puzzle의 모든 상태는 두가지 class로
나뉜다
증명
2019-01-02 18

19. `
현재 상태가 정답 상태로 변환할 수 있는지 어떻게 알 수 있을까?
1. 현재 상태 => blank square가 vacant square인 상태로 변환
2. interchange 개수 새기
의문
2019-01-02 19

20. `
1. 변환
홀수일때
짝수일때
2019-01-02 20

21. `
2. Interchange 수 세기
• Permutation 생성
1 2 3
4 5 6
7 8
8 3 1
5 4 6
7 2
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
𝜎 =
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
2019-01-02 21

22. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1
2019-01-02 22

23. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8
2019-01-02 23

24. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2
2019-01-02 24

25. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3
2019-01-02 25

26. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1)
2019-01-02 26

27. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4
2019-01-02 27

28. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4
2019-01-02 28

29. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5)
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4
2019-01-02 29

30. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5)(6)
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5)
2019-01-02 30

31. `
set = {1, 2, … , n}
while set exist {
pop s from set
create cycle and add s
x = value under row1 at s
while s != x {
add x to cycle
x = val under row1 at x}
close cycle}
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5)(6)(7)
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5)(6)
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 1 5 4 6 7 2
1 8 2 3 1) 4 5)
2019-01-02 31

32. `
2. Interchange 수 세기
• Cycle로 분할
1 2 3 8
8 2 3 1
8 1 3 2
8 3 1 2
4 5
5 4
6
6
7
7
1 <-> 8
1 <-> 2
1 <-> 3 4 <-> 5
no interchange no interchange
Total 4 cycles, 4 interchanges
2019-01-02 32

33. `
• 길이가 n인 permutation을 m 개의 사이클 c1, c2, … , cm 으로 분할
• 사이클 ck 의 길이를 lk라 할 때 각 사이클은 lk − 1 interchange 가능
• 전체 interchange 수 = 각 cycle interchang수 = lk − 1 = 𝑛 − 𝑚
• n – m 이 짝수일때 변환 가능!
2. Interchange 수 세기
2019-01-02 33

34. `
더 쉬운 방법
• 모든 move는 vacant square의 taxicab distance와 permutation의 cycle 수를
1씩 바꾼다
• 따라서 taxicab distance와 cycle 수의 합의 parity는 불변
2019-01-02 34

35. `
더 쉬운 방법
1 2 3
4 5 6
7 8
1st move 2nd move
1 2 3
4 5 6
7 8
taxicab : 0
cycle : 9
parity(total) : 1
taxicab : 1
cycle : 8
parity(total) : 1
1 2 3
4 6
7 5 8
1 2 3
4 6
7 5 8
3rd move
taxicab : 2
cycle : 7
parity(total) : 1
taxicab : 3
cycle : 6
parity(total) : 1
2019-01-02 35

36. `
• 현대대수학
• Archer, Aaron F. (1999), ＂A modern treatment of the 15 puzzle
＂, The American Mathematical Monthly
• Wilson, Richard M. (1974), "Graph puzzles, homotopy, and the
alternating group", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 16:
86–96
후속 공부
2019-01-02 36

37. `
• Johnson, Wm. Woolsey; Story, William E. (1879), "Notes on the "15" Puzzle", American
Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 2 (4): 397–404
• https://en.wikipedia.org/wiki/15_puzzle
• https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
• https://en.wikipedia.org/wiki/Parity_of_a_permutation
참조
2019-01-02 37