Estimación por intervalos de

Estimación por Intervalos de
Confianza
Profesor: Eduardo Villa Morocho

Introducción
Ya hemos introducido métodos de estimación de
parámetros, pero generalmente a dicha
estimación se le debe acompañar de alguna
medida de error. Es decir, acompañaremos la
estimación de un intervalo de la forma:
[𝜽(𝑿𝟏, … . . , 𝑿𝒏), 𝜽(𝑿𝟏, … . . , 𝑿𝒏)] ,
junto con una medida de confianza acerca de
que realmente el parámetro esté en el intervalo.

Definición 1: Intervalo de Confianza:
IC
Dado un intervalo de confianza
[𝜽(𝑿𝟏, … . . , 𝑿𝒏), 𝜽(𝑿𝟏, … . . , 𝑿𝒏)]
tal que
Pr[[𝜽 𝑿𝟏, … . . , 𝑿𝒏 ≤ 𝜽 ≤ 𝜽(𝑿𝟏, … . . , 𝑿𝒏)] =
𝟏 − 𝜶,
Llamamos;
• coeficiente de confianza a 𝟏 − 𝜶 ,
• nivel de confianza a 100 (𝟏 − 𝜶)%.

Definición 2: Precisión de la
estimación
1. Llamamos intervalos unilaterales a los que tienen la forma
𝜃 𝑋1, … . . , 𝑋𝑛 , +∞
−∞, 𝜃(𝑋1, … . . , 𝑋2)
2. La PRECISIÓN de la estimación por intervalos la da el
coeficiente de confianza 𝟏 − 𝜶 y la amplitud del intervalo. Se
tiene las siguientes relaciones:
• Para un coeficiente de confianza fijo, cuanto más pequeña
es la longitud del intervalo, mayor es la precisión.
• Para una longitud del intervalo fija, cuanto mayor el
coeficiente de confianza, mayor la precisión.

Intervalos de confianza en
poblaciones normales
1. IC para la 𝝁 de una 𝑵 𝝁, 𝝈𝟐
con 𝝈𝟐
conocida:
𝐼𝐶𝜇 = 𝑋 − 𝑧𝛼 2
𝜎
𝑛
, 𝑋 + 𝑧𝛼 2
𝜎
𝑛
2. IC para la 𝝁 de una 𝑵 𝝁, 𝝈𝟐
con 𝝈𝟐
desconocida:
𝐼𝐶𝜇 = 𝑋 − 𝑡𝑛−1,𝛼 2
𝑆
𝑛
, 𝑋 + 𝑡𝑛−1,𝛼 2
𝑆
𝑛
3. IC para la 𝝈𝟐 de una 𝑵 𝝁, 𝝈𝟐 con 𝝁 desconocida:
𝐼𝐶𝜎2 =
𝑛 − 1 𝑆2
𝜒𝑛−1,1−𝛼 2
2 ,
𝑛 − 1 𝑆2
𝜒𝑛−1,𝛼 2
2

4. IC para la 𝝈𝟐
de una 𝑵 𝝁, 𝝈𝟐
con 𝝁
conocida:
𝐼𝐶𝜎2 =
𝑋𝑖 − 𝜇 2
𝜒𝑛,1−𝛼 2
2 ,
𝑋𝑖 − 𝜇 2
𝜒𝑛,𝛼 2
2

5. IC para la diferencia de medias: muestras
independientes. Medias desconocidas y
desviaciones típicas diferentes pero conocidas:
𝐼𝐶𝜇𝑋−𝜇𝑌
= 𝑋 − 𝑌 ± 𝑧𝛼 2
𝜎𝑋
2
𝑛𝑋
+
𝜎𝑌
2
𝑛𝑌

independientes. Medias desconocidas y
desviaciones típicas iguales y conocidas:
= 𝑋 − 𝑌 ± 𝑧𝛼 2 𝜎
1
𝑛𝑋
+
1
𝑛𝑌

7. IC para la diferencia de medias: muestras independientes. Medias
desconocidas y desviaciones típicas iguales y desconocidas:
= 𝑋 − 𝑌 ± 𝑡𝑢,𝛼 2 𝑆𝑝
2
1
𝑛𝑋
+
1
𝑛𝑌
donde:
𝑢 = 𝑛𝑋 + 𝑛𝑌 − 2
𝑆𝑝
2
=
𝑛𝑋 − 1 𝑆𝑋
2
+ 𝑛𝑌 − 1 𝑆𝑌
2
𝑛𝑋 + 𝑛𝑌 − 2

8. IC para la diferencia de medias: muestras independientes. Medias
desconocidas y desviaciones típicas distintas y desconocidas:
= 𝑋 − 𝑌 ± 𝑡𝑣,𝛼 2
𝑆𝑋
2
𝑛𝑋
+
𝑆𝑌
2
𝑛𝑌
donde:
𝑣 =
𝑆𝑋
2
𝑛𝑋
+
𝑆𝑌
2
𝑛𝑌
2
𝑆𝑋
2
𝑛𝑋
2
𝑛𝑋 − 1
+
𝑆𝑌
2
𝑛𝑌
2
𝑛𝑌 − 1

apareadas (relacionadas):
𝐼𝐶𝜇𝐷
= 𝐷 − 𝑡𝑛−1,𝛼 2
𝑆𝑑
𝑛
, 𝐷 + 𝑡𝑛−1,𝛼 2
𝑆𝑑
𝑛

10. IC para el cociente de varianzas: Varianzas
desconocidas y medias desconocidas:
𝐼𝐶𝜎𝑋
2
𝜎𝑌
2 =
𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2
1
𝐹𝑛𝑋−1,𝑛𝑌−1,1−𝛼 2
,
𝑆𝑋
2
𝑆𝑌
2
1
𝐹𝑛𝑋−1,𝑛𝑌−1,𝛼 2

11. IC para el cociente de varianzas: Varianzas
desconocidas y medias conocidas:
𝐼𝐶𝜎𝑋
2
𝜎𝑌
2 =
𝑆𝑋
∗2
𝑆𝑌
∗2
1
𝐹𝑛𝑋,𝑛𝑌,1−𝛼 2
,
𝑆𝑋
∗2
𝑆𝑌
∗2
1
𝐹𝑛𝑋,𝑛𝑌,𝛼 2

12. IC de una proporción para muestras
grandes:
𝐼𝐶𝑝 = 𝑝 − 𝑧𝛼 2
𝑝𝑞
𝑛
, 𝑝 + 𝑧𝛼 2
𝑝𝑞
𝑛

IC para la diferencia de proporciones:
𝐼𝐶𝑝𝑋−𝑝𝑌
= 𝑝𝑋 − 𝑝𝑌 ± 𝑧𝛼 2
𝑝𝑋𝑞𝑋
𝑛𝑋
+
𝑝𝑌𝑞𝑌
𝑛𝑌

Estimación del tamaño muestral
Casos:
1. Tamaño de muestra para estimar la media μ
de una población normal con 𝜎 conocida
2. Tamaño de muestra para estimar la media μ
de una población normal con 𝜎2
desconocida
3. Tamaño de muestra para estimar la
proporción p de una población

1. Tamaño de muestra para estimar la media μ de una
población normal con 𝝈 conocida

2. Tamaño de muestra para estimar la media μ de una
población normal con 𝝈𝟐 desconocida

3. Tamaño de muestra para estimar la proporción p de
una población

Estimación por intervalos de

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Estimación por intervalos de

Similar to Estimación por intervalos de (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Estimación por intervalos de