1. Tipovi grešaka
Cilj svakog eksperimenta je formiranje što boljeg opisa pojave koju promatramo. Kako bi u tome uspjeli
važno je da naša opažanja, tj. mjerenja budu što preciznija pa kod mjerenja fizikalnih veličina
pokušavamo dobiti pravu vrijednost neke veličine. Npr. kod puštanja kolica s kosine očekivalo bi se da
ako kolica svaki put puštamo na istoj kosini i s istog mjesta na kosini da će ona svaki put doći na istu
udaljenost od kosine. No kod ponovnih pokušaja vidjeli bi da svaki put dođu na drugačiju udaljenost, tj.
ne možemo biti sigurni koja od tih udaljenosti je prava.
Očekivanu vrijednost ne dobijamo svaki put zbog grešaka koje se događaju:
● Slučajne pogreške - javljaju se u svim mjerenjima i obično su posljedica ponašanja mjernog
instrumenta ili našeg očitavanja s njega. Također mogu biti uzrokovanje malim promjenama u
okolini.
Primjeri: metar na razvlačenje ima ograničenu preciznost ili zbog ograničenja našeg vida ne
očitamo dovoljno precizno
● Sistematske pogreške - uzrok je obično krivi pristup mjerenju ili krivo postavljen mjerni
instrument.
Primjer: metar se postavi na krivo mjesto pa čak i precizna očitanja stalno odstupaju.
● Grube pogreške - uzroci su slični kao kod slučajnih, ali ovdje se radi o vrlo velikim odstupanjima
od očekivanog rezultata.
Primjer: 5 puta kolica dođu na otprilike 2,5 metra, zatim 6. put dođu na 3 m.
Ono čega morate biti svjesni kod svakog mjerenja je da se greške uvijek događaju i nemoguće ih je
posve izbjeći. Ovo je osobito važno kod izvođenja zaključaka iz mjerenja pošto će se uvijek činiti kako
se idealizirani fizikalni modeli ne poklapaju sa mjernim podacima - zbog greške mjerenja zapravo je
nemoguće dobiti savršeno poklapanje “teorije” s mjernim podacima.
Ono što se može napraviti je općenito smanjiti utjecaj grešaka i biti svjestni veličine grešaka kada
krenemo s izvođenjem zaključaka iz mjerenja. Ovisno o tome koji tip greške je u pitanju postupci
variraju:
● Grube greške su očito krive vrijednosti i zato ih se u analizi rezultata odbacuje, a ako ih se uoči
za vrijeme mjerenja idealno je ponoviti to mjerenje ponovno, ali pažljivije.
● Sistemske greške se mogu riješiti samo sa drugačijim načinom mjerenja pošto je teško vidjeti
da su prisutne. Ovo zahtijeva ponavljanje istog eksperimenta, ali sa drugačijim mjernim
postavom. Npr. mjerenje pozicije napravimo ultrazvučnim senzorom i video analizom u Trackeru
i na takav način provjerimo ima li odstupanja. Ovo je dosta vremenski zahtjevno pa se ne
očekuje kod izvođenja istraživačkih zadataka na vježbama u školi. No pošto vrlo često različite
grupe koriste razne metode moguće je napraviti usporedbu rezultata među grupama.
● Slučajne pogreške nije moguće izbjeći, ali se možemo približiti pravom rezultatu pomoću
računa pogreške. Pošto se takve greške događaju slučajno pretpostavlja se da se one
raspoređuju oko prave vrijednosti. Račun pogreške služi tome da se (a) iz raspodjele mjernih
rezultata vidi koja je najvjerojatnija prava vrijednost i (b) procijeni koliko su mjerni rezultati
razbacani oko te najvjerojatnije vrijednosti.
Uz pretpostavku da su grube greške dovoljno očite da ih možete zaobići pažljivim mjerenjem, a da za
tretiranje sistemskih grešaka nema dovoljno vremena (ili nam nedostaje opreme), ostaje nam to da
procijenite slučajne pogreške u mjerenju što se uvijek mora napraviti pošto su neizbježne.
2. Račun pogreške
Račun pogreške nam pomaže u procjeni odstupanja mjernih rezultata od najvjerojatnije prave
vrijednosti. Radi se o skupu statističkih rješenja, tako da se procjena može raditi na različite načine.
Račun pogreške se može raditi za direktno mjerene veličine, ali i za izvedene veličine koje pokušavate
koristiti na bazi vaših mjerenja.
Da bi se račun pogreške uopće mogao koristiti nužno je imati više rezultata istog mjerenja. Npr.
ako mjerite udaljenost koju prijeđu kolica nakon što ih pustite s kosine onda je potrebno više puta
ponoviti to mjerenje. Što više puta ponovite isto mjerenje to će račun greške bolje procijeniti pravu
vrijednost.
No zbog vremenskih ograničenja često nije moguće ponavljati isto mjerenje puno puta, a ponekad je
moguće mjerenje napraviti samo jednom. Npr. očitavanje mase s digitalne vage možete ponoviti 100
puta i digitalna vaga će vam svaki put dati istu vrijednost. Očito je jedno mjerenje dobro kao njih 100. Ili
ako je mjerenje vrlo dugačko zbog ograničenja u trajanju nastave nećete moći ponavljati isto mjerenje.
No u oba ova primjera slučajna greška svejedno postoji i moguće ju je procijeniti.
Račun greške za direktno mjerene veličine
Kao što je ranije napomenuto statističkih procjena greške ima više. U ovim uputama objašnjen je
najjednostavniji način određivanja greške. Radi se o procjeni maksimalne apsolutne pogreške
pomoću računa s aritmetičkom sredinom.
Ova metoda pretpostavlja da su rezultati mjerenja jednoliko rasipani oko prave vrijednosti i dobro
funkcionira za 3-5 ponavljanja mjerenja. Aritmetičkom sredinom se procijeni prosjek svih mjerenja, a
maksimalna apsolutna greška nam govori koliko su mjerenja rasipana oko tog prosjeka.
Napravimo N mjerenja neke fizikalne veličine koju označavamo sa x:
x1, x2, x3, …. , xN
Aritmetička sredina 𝑥 se računa kao:
𝑥 =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +.. . +𝑥 𝑁
𝑁
Kako bi došli do informacije o tome koliko mjerenja odstupaju od srednje vrijednosti potrebno je odrediti
krajnje granice gdje očekujemo moguće pojavljivanje prave vrijednosti. Maksimalna apsolutna greška
izražava upravo to, a kako bi saznali kolika je prvo moramo vidjeti koliko svako od pojedinih mjerenja
odstupa od srednje vrijednosti:
|𝑥 − 𝑥1| = �x1
|𝑥 − 𝑥2|= �x2
…..
|𝑥 − 𝑥 𝑥|= �xN
Jednom kada imamo sva pojedina odstupanja potrebno je naći ono najveće - to je maksimalna
apsolutna greška ili �xMAX.
Rezultat se piše u obliku:
𝑥 = 𝑥 ± 𝛥𝑥 𝑀𝐴𝑋
Npr. ako izmjerimo duljinu opruge i dobijemo 20,5±0,1 cm to znači da je opruga najvjerojatnije dugačka
20,5 cm, no može biti do 0,1 cm dulja ili kraća s obzirom na naša mjerenja. No koliko je to velika greška
3. zapravo? Ako mjerimo duljinu stola koji je dugačak otprilike 1 metar greška od 0,1 cm je prilično malena,
ali ako mjerimo npr. promjenu elongacije opruge koja titra amplitudom od 1 cm onda tih 0,1 cm postaje
puno značajnije. Na ovo pitanje nam odgovara relativna pogreška. Relativna pogreška je omjer između
maksimalne apsolutne greške i aritmetičke sredine i obično se izražava kao postotak:
𝑟 =
𝛥𝑥 𝑀𝐴𝑋
𝑥
⋅ 100%
Za raniji primjer duljine opruge 20,5±0,1 cm dobije se ralativna greška od 0.49% što znači da je
maksimalna greška velika kao 0.49% srednje vrijednosti, što je prilično precizno mjerenje. Ovisno o
tome što mjerimo varira i dopustiva razina greške - ako mjerite sitnije promjene onda i relativna greška
mora biti manja.
Procjena maksimalne apsolutne greške
Što ako smo mjerenje ponavljali samo jednom? U tom slučaju nije moguće napraviti račun greške koji je
prethodno opisan, no to svejedno ne znači da greška ne postoji. Ako maksimalnu apsolutnu grešku nije
moguće izračunati onda ju je potrebno procijeniti na bazi mjernih uređaja koje koristimo. Naime i dalje
radimo pod pretpostavkom da se greške ravnomjerno raspoređuju oko najvjerojatnije vrijednosti.
Najveće moguće odstupanje ovisi o preciznosti uređaja, tj. koliko fino možemo razabrati razlike
na njemu.
Npr. krojački metar na sebi ima oznake koje sežu do 1 mm. Dakle možemo pouzdano očitati duljine koje
se razlikuju barem 1 mm, a ako preciznije gledamo vjerojatno i do 0,5 mm. No zbog ograničenja samog
krojačkog metra manje duljine od toga nije moguće pouzdano izmjeriti, dakle ako i pokušamo
najvjerojatnije ćemo pogriješiti. Iz toga možemo zaključiti da će što god radili odstupanje biti veliko
barem 0,5 mm pa procjenjujemo da će maksimalna apsolutna greška biti 0,5 mm.
Većina digitalnih mjernih uređaja dolazi sa priručnikom u kojem piše koliku grešku radi ili na samom
uređaju (na kućištu) piše ista stvar. Ako ništa od ovoga ne možete naći maksimalna apsolutna greška je
velika kao i vrijednost zadnje znamenke na ekranu. Npr. digitalna pomična mjerka nema upute i ništa ne
piše na kućištu, no vidite da na ekranu imate dvije znamenke iza decimalnog zareza, a mjeri u
centimetrima. Maksimalna apsolutna greška je 0,1 mm.
Napomena: vrlo česta greška koju učenici rade je da zaborave na činjenicu da nisu ponovili više istih
mjerenja pa umjesto procjene maksimalne apsolutne greške u račun uguraju različita mjerenja. Npr.
pokušavate otkriti kako nagib kosine utječe na gibanje kolica koja se puštaju niz tu kosinu. Kako bi to
utvrdili promatrate gibanje kolica za 5 različitih nagiba i svaki put izmjerite kut pod kojim je kosina
postavljena. Recimo da zaključite kako nema smisla kut mjeriti više puta kod svake promjene nagiba,
pošto je jedno pažljivo mjerenje sasvim dobro i ne želite trošiti vrijeme. Kasnije vidite da imate 5
mjerenja kuta i da bi to mogli ubaciti u račun greške (dobiti srednju vrijednost itd.), no to uopće nema
smisla. Naime, tih 5 različitih kuteva je tu zato što ste namjerno promijenili nagib, a ne zbog slučajne
greške u mjerenju. Dobit ćete srednju vrijednost svih tih kuteva, ali ne i grešku mjerenja. Ono što treba
napraviti je procijeniti grešku prilikom mjerenja.
Račun greške za izvedene mjerne veličine
U praktički svim mjerenjima teško je direktno mjeriti sve fizikalne veličine, tj. rezultati direktnih mjerenja
će nam poslužiti kako bi nešto izračunali s njima. Jednom kada ste ili izračunali ili procjenili maksimalnu
apsolutnu grešku direktnih mjerenja te greške će se nekako odraziti na izvedenu veličinu, a način na koji
se te greške kombiniraju ovisi o tome kako izgleda izvedena veličina.
U nastavku je priložena tablica sa formulama koje se koriste za izračun apsolutne i relativne greške za
izvedene veličine. Za izvode ovih veličina pogledajte priručnik Vježbe iz fizike (autori: Vernić i Mikuličić,
izdavač: Školska knjiga).
4. Izvedena veličina Apsolutna greška Relativna greška
y = a + b 𝑥y = 𝑥a + 𝑥b 𝛥 𝑎 + 𝛥𝑏
𝑎 + 𝑏
y = a - b 𝑥y = 𝑥a + 𝑥b 𝛥 𝑎 + 𝛥𝑏
𝑎 − 𝑏
y = n · a (n je faktor) 𝑥y = n · 𝑥a 𝛥 𝑎
𝑎
y = a · b 𝑥y = 𝑥a·b + a·𝑥b 𝛥 𝑎
𝑎
+
𝛥𝑏
𝑏
y = a · b · c 𝑥y = 𝑥a·b·c + a·𝑥b·c + a·b·𝑥c 𝛥 𝑎
𝑎
+
𝛥𝑏
𝑏
+
𝛥𝑐
𝑐
𝑦 =
𝑎
𝑏
𝛥 𝑦 =
𝛥𝛥𝑎· 𝑏 + 𝑎· 𝛥𝛥𝑏
𝑏
2
𝛥 𝑎
𝑎
+
𝛥𝑏
𝑏
𝑦 = 𝑎 𝑛 (ovo radi i za korjene) 𝛥𝑦 = 𝑛 ⋅ 𝑎 𝑛−1 ⋅ 𝛥𝑎
𝑛 ⋅
𝛥𝑎
𝑎
Ako je izvedena veličina temeljena na eksponencijalnoj, logaritamskoj ili nekoj od periodičkih funkcija
(sin, cos …) ovaj račun za greške izvedenih veličina je teško izvediv, te bi se trebao temeljiti na
drugačijoj statistici. S obzirom da takav izračun zahtijeva poznavanje derivacija i integrala ne očekuje se
da izražavate greške za takve izvedene veličine pošto takav račun ne znate provesti sa srednjoškolskim
znanjem matematike.
Ako je pak izvedena veličina temeljena na kombinaciji operacija iz tablice onda se greška određuje
postepenom primjenom. Npr. pokušavate odrediti prijeđeni put kod jednoliko ubrzanog gibanja, što se
računa kao:
𝑠 =
𝑎 ⋅ 𝑡2
2
Mjerili ste akceleraciju i vrijeme, a ova veličina ima kombinaciju umnoška i potenciranja u sebi, pa
trebamo redom kombinirati ta pravila:
Primjenimo pravilo za umnožak: 𝛥 (
𝑎⋅𝑡2
2
) = 1
2
𝛥𝑎𝑡2
+1
2
𝑎𝛥(𝑡2
)
Primjenimo pravilo za potencije: 𝛥 (
𝑎⋅𝑡2
2
) = 1
2
𝛥𝑎𝑡2
+ 1
2
𝑎 ⋅ 2𝑡𝛥𝑡
Konačno: 𝛥 𝑠 = 1
2
𝛥𝑎𝑡2
+ 𝑎𝑡𝛥𝑡
Uočite da kod izvedenih veličina neke od direktno mjerenih veličina puno više doprinose ukupnoj grešci.
U ovom primjeru vidi se da ako su vremena malena onda će član sa 𝑥t biti važniji, no što više vremena
prođe doprinos člana sa 𝑥a će rasti kvadratno i biti važniji.
5. Zaokruživanje brojki s obzirom na grešku
Kod bilo kakvog računanja često se pojave brojke koje imaju velik broj znamenki iza decimalnog zareza.
Pravilo koje se nekako provlači kroz cijelo školovanje je da se zaokružuje na dva decimalna mjesta no to
pravilo je dogovorno i nema uvijek smisla iako je često praktično. No ako razmotrimo kako se greške
odražavaju na rezultate računa onda se može primjenjivati drugo pravilo kod kojeg broj znamenki ovisi o
grešci.
Recimo da mjerite duljinu opruge sa krojačkim metrom pomoću kojeg vidimo razlike od 1 mm. Ponovite
mjerenje tri puta i dobijete redom 20,3 cm, 20,1 cm i 20,3 cm. Ako izračunate aritmetičku sredinu tih
vrijednosti dobit ćete 20,233333333 na kalkulatoru, a maksimalna apsolutna greška je 0,133333333 cm.
Na kojoj znamenci zaokružujemo ovisi o pouzdanim znamenkama u mjerenju. Zamislimo da je prava
duljina opruge 20,228 cm, a vaš mjerni uređaj vam pokazuje 20,3 cm. Mi sa ovim mjernim uređajem ne
možemo prepoznati razlike dalje od prvog decimalnog mjesta, tako da sve znamenke iza toga možemo
samo nagađati. Pouzdane znamenke su one koje možemo direktno razabrati, sve ostalo smatra se
nepouzdanim znamenkama i nema ih smisla pisati. Brojke se zaokružuju na posljednju pouzdanu
znamenku.
To znači da nam maksimalna apsolutna greška definira koja je zadnja pouzdana znamenka. U grešci
0,13333333 prva znamenka nema grešku (pošto je nula), no već prva iza decimale sadrži grešku. Sve
poslije toga je nepouzdano i odbacuje se. Tako da se apsolutna greška zaokružuje na 0,1 cm. Pošto je
greška zaokružena na jedno decimalno mjesto onda znamo da i kod srednje vrijednosti na tom mjestu
očekujemo nepouzdanost. Srednja vrijednost je onda 20,2 cm.
Ako imamo više koraka u kojima se između koraka pojavljuju brojke sa puno decimala onda se brojke ne
zaokružuju u svakom od koraka već na samom kraju. Ako brojke zaokružujete u međuračunu onda
unosite numeričku grešku.
Obrada rezultata mjerenja pomoću računala
Račun greške sam po sebi nije kompliciran, ali može biti dugotrajan i naporan, pogotovo ako ga radite
“na papiru”. Ako uz to želite napraviti i grafove i predati u elektroničkom obliku (što je uvijet za dobivanje
ocjene) ako krenete raditi račun greške na papiru napravit ćete dupli posao pa je zgodno odmah sve
raditi na računalu.
Za tu namjenu možete koristiti bilo koji tablični kalkulator (MS Excel, Libreoffice Calc, Google Sheets) ili
program koji kombinira tablični kalkulator sa drugim matematičkim funkcijama (Geogebra).
Kako bi vam pomogao s time neću raspisati velike upute zato jer iste možete naći bilo gdje na webu, no
možete pogledati jednu tablicu koju sam napravio za ideju. Tablica sadrži osnovni izračun greške,
primjer sa izvedenom veličinom i crtanjem grafa iz koje se izvlači formula (većina tih programa je u
stanju sama napraviti formulu za vas ako znate kako pitati, Geogebra je najbolja u tome).
