Método Gráfico

1. Ejemplo 2
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 2𝑥1 + 5𝑥2
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5 ⟹ 𝑟1
4𝑥1 − 𝑥2 ≥ 4 ⟹ 𝑟2
𝑥2 ≥ 1 ⟹ 𝑟3
2𝑥1 ≥ 3 ⟹ 𝑟4
𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1. .2 ⟹ 𝑟5
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖 ∃ 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼
𝑥2
𝑥1
𝑟1 𝑟2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 5
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
𝑥1 + 𝑥2 = 5
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 5
∴ 𝑃1(5,0)
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 5
∴ 𝑃2(0,5)
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 ≤ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
4𝑥1 − 𝑥2 ≥ 4
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
4𝑥1 − 𝑥2 = 4
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 1
∴ 𝑃3(1,0)
𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥2 = −4
∴ 𝑃4(0, −4)
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 ≥ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎
𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
𝑟3 𝑟4
𝑥2 ≥ 1
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
𝑥2 = 1
∥ 𝐸𝑗𝑒 𝑥1
∴ 𝑃5(0,1)
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 ≥ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
2𝑥1 ≥ 3
𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎
2𝑥1 = 3
⇒ 𝑥1 =
3
2
∥ 𝐸𝑗𝑒 𝑥2
∴ 𝑃6 (
3
2
, 0)
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 ≥ 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒊𝒔𝒐𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒂
𝑍 = 2𝑥1 + 5𝑥2
= 𝑚𝑐𝑚(2,5)
= 10
⇒ 𝟐𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎
𝑥2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 5
∴ 𝑃7(5,0) = 𝑃1
𝑥1 = 0 ⇒ 5𝑥2 = 10
∴ 𝑃8(0,2)
Condición de
no negatividad
punto óptimo
RI
|| a RI
𝑥2
𝑥1
Región
Factible
Acotada
Ac
𝑟1 𝑟2
𝑟3
𝑟4

2. 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟, 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑎 𝑅𝐼
𝑎𝑙𝑒𝑗á𝑛𝑑𝑜𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟1 𝑐𝑜𝑛 𝑟2:
{
𝑥1 + 𝑥2 = 5 (𝟏)
4𝑥1 − 𝑥2 = 4 (𝟐)
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 1 𝑦 2 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
5𝑥1 = 9
𝑥1 =
9
5
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥1 𝑒𝑛 1, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
9
5
+ 𝑥2 = 5
𝑥2 = 5 −
9
5
𝑥2 =
16
5
∴ (𝒙 𝟏
∗
, 𝒙 𝟐
∗ ) = (
𝟗
𝟓
,
𝟏𝟔
𝟓
)
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒐
𝑍∗
= 2𝑥1
∗
+ 5𝑥2
∗
= 2 (
9
5
) + 5 (
16
5
)
=
18
5
+
80
5
⇒ 𝒁∗
=
𝟗𝟖
𝟓
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 ó𝒑𝒕𝒊𝒎𝒂
𝑍∗
=
98
5
𝑥1
∗
=
9
5
𝑥2
∗
=
16
5