5. Capitolul 1
Cinematica
1.1 Cinematica punctului material
1.1.1 Spat¸iu ¸si timp
Cinematica studiaz˘a mi¸scarea corpurilor dintr-un punct de vedere pur descrip-
tiv. Astfel, mi¸scarea este reprezentat˘a ¸si studiat˘a folosind mijloace matematice
adecvate pornind de la legile fizice, care pun ˆın leg˘atur˘a mi¸scarea cu cauzele
(fort¸ele) care o determin˘a.
Fiecare fenomen de mi¸scare are loc ˆıntr-un mediu spat¸io–temporal. Prin
urmare, prima ˆıntrebare care urmeaz˘a a fi discutat˘a este descrierea conceptelor
de spat¸iu ¸si timp. Este cunoscut faptul c˘a acestea sunt not¸iuni primare, adic˘a,
ele nu sunt deduse din alte cantit˘at¸i, dar nu acesta este motivul pentru care nu
este posibil s˘a se obt¸in˘a o reprezentare matematic˘a precis˘a a lor. Presupunem
c˘a spatiul ¸si timpul sunt continue, ˆın sensul c˘a este semnificativ de spus c˘a un
eveniment are locˆıntr-un un anumit punct din spatiu ¸si la un anumit moment de
timp ¸si c˘a exist˘a standarde universale de lungime ¸si timp; cu alte cuvinte, obser-
vatori din locuri diferite la momente diferite de timp pot compara m˘asuratorile
lor.
Presupunem ˆın continuare c˘a exist˘a o scal˘a universal˘a pentru timp, ceea ce
ˆınseamn˘a c˘a doi observatori care ¸si-au sincronizat ceasurile lor, vor fiˆıntotdeauna
de acord cu privire la timpul de producere a oric˘arui eveniment, ˆın plus, noi
presupunem c˘a geometria spatiului este euclidian˘a ¸si faptul c˘a, ˆın principiu, nu
exist˘a nicio limit˘a a preciziei cu care putem masura pozit¸iile ¸si momentele.
Astfel, ˆın acest cadrul al mecanicii clasice, spat¸iu ˆınconjur˘ator este descris
matematic ca un spat¸iu afin euclidian tridimensional (1
). Aceasta ˆınseamna un
spat¸iu metric particular E, ale c˘arui elemente P, Q, . . . sunt numite puncte ¸si
pentru care distant¸a are unele propriet˘at¸i particulare (2
).
1Aceast˘a alegere, care, ˆın contextul actual poate p˘area a fi evident˘a, este de o mare
important¸˘a pentru dezvoltarea teoriei, a¸sa cum este strict legat˘a de pricipiile mecanicii clasice.
De fapt, diferite reprezent˘ari ale conceptului de spat¸iu pot duce la descrieri diferite.
2
1
6. 2 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Asociem E cu spat¸iul vectorial tridimensional V , ale c˘arui elemente u, v, . . .
sunt numite vectori. Fiecare vector u poate poate fi individualizat ca diferenta
a dou˘a puncte ale spat¸iului E, adic˘a
u = P − Q.
Pe V , consider˘am not¸iunile obi¸snuite de produs scalar ¸si produs vectorial,
care vor fi notate · ¸si respectiv × .
ˆIn cadrul mecanicii clasice, not¸iunea de timp este definit˘a ca un concept ab-
solut, adic˘a, derularea sa este independent˘a de obiectele ¸si entit˘at¸ile exterioare.
Acest fapt ne permite s˘a d˘am o reprezentare relativ simpl˘a a acestei not¸iuni.
De fapt, folosind omogenitatea timpului (adic˘a, faptul c˘a momente privilegiate
de timp nu exist˘a), este posibil s˘a-l reprezint˘am prin intermediul unui spat¸iu
afin euclidian unudimensional R, ale c˘arui elemente sunt momente. S˘a not˘am
c˘a aceast˘a abordare a conceptului de timp nu este compatibil˘a cu principiile
mecanicii relativiste, deoarece, ˆın acest caz, durata unui fenomen depinde de
cadrul de referint¸˘a.
ˆIn cele din urm˘a, s˘a introducem o scal˘a pentru a masura distant¸ele ¸si inter-
valele de timp folosind din nou proprietatea de omogenitate a spat¸iului ¸si tim-
pului, sau, chiar mai bine spus, structura lor ca spat¸ii afine euclidiene. De fapt,
este posibil, pe de o parte, s˘a introducem scala pentru m˘asurarea distant¸elor
prin intermediul unui e¸santion considerat a fi o unitate de lungime, ¸si, pe de
alta parte, s˘a folosim fenomene periodice pentru a reproduce unitatea de masur-
are a timpului ¸si, ˆın consecint¸˘a, pentru a defini ceasul. Comunitatea ¸stiintifica
folose¸ste ca etalon de masur˘a pentru lungime, care este, de lungimea un bar
fabricat dintr-un aliaj de platina si iridiu p˘astrat la Bureau International des
Poids et Mesures de S`evres care ar trebui sa corespund˘a la 10−7
din distanta de
la Ecuator la Polul Nord masurat˘a de-a lungul meridianul care trece prin Paris.
Cel de-al doilea etalon a fost ales pentru o unitate de masur˘a a timpului ¸si a
fost init¸ial definit ca 24−1
× 60−2
dintr-o zi solare.
Ar trebui s˘a fie clar c˘a reprezentarea conceptelor de spat¸iu ¸si timp prin
intermediul unor modele matematice este o faz˘a foarte delicat˘a ˆın construct¸ia
Definit¸ie 1.1.1 Un spat¸iu metric E este numit spat¸iu euclidian afin tridimensional dac˘a
metrica sa d : E × E → R+ este astfel ˆıncˆat mult¸imea H a izometriilor, definit˘a astfel
H = {α : E → E , inversabil˘a; d(P, Q) = d[α(P), α(Q)], pentru orice P, Q ∈ E} ,
are urm˘atoarele propriet˘at¸i:
1. H este grup ˆın raport cu legea de compunere;
2. H cont¸ine un subgrup V , numit grupul translat¸iilor, care este abelian ˆın raport cu legea
de compunere;
3. exist˘a operat¸ia deˆınmult¸ire cu scalari λ : R×V → V care face din V un spat¸iu vectorial
tridimensional, cu operat¸ia de adunare (+) ca lege de compozit¸ie;
4. exist˘a produsul scalar pe V, notat prin “punct” (·), astfel ca, pentru orice P, Q ∈ E ¸si
pentru orice u ∈ V astfel ca u(P) =Q, avem
(d(P, Q))2
= u · u.
7. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 3
principiilor mecanicii clasice. De fapt, diferite reprezent˘ari ar putea conduce
fie la complicat¸ii formale ale teoriei sau unele contradict¸ii logice care duc la
dezvoltari complet diferite ale acesteia. De asemenea, ar trebui sa fie clar faptul
c˘a astfel de modele matematice sunt doar reprezent˘ari ideale ale lumii fizice ¸si
acestea ar trebui s˘a fie considerate a fiˆın bun˘a corespondent¸˘a cu realitatea numai
pentru studiul unor fenomene ¸si ˆıntr-o aproximare adecvat˘a. ˆIn particular, ele
sunt adecvate pentru cazul ˆın care vitezele sunt “mici”, fat¸˘a de viteza luminii ¸si
distant¸ele sunt “mari” cu privire la distante atomice.
Pentru a specifica pozit¸iile ¸si momentele, fiecare observator poate alege o
origine pe scala temporal˘a, o origine ˆın spat¸iu ¸si un set de trei axe de coordonate
carteziene. Ne referim la toate acestea impreun˘a spunˆand c˘a s-a ales un cadru
de referint¸˘a.
Pozit¸ia ¸si timpul fiec˘arui eveniment pot fi specificate fat¸˘a de acest sistem
cartezian de coordonate ¸si timp. Deoarece spat¸iul euclidian E este tridimen-
sional, este posibil s˘a fix˘am un punct O ¸si s˘a conider˘am trei direct¸ii mutual
ortogonale x1, x2, x3 pornind din O. Asociem aceste direct¸ii cu trei vectori uni-
tari i1, i2, i3 care formeaz˘a un triplet drept, adic˘a, direct¸iile lor coincid cu cele
ale degetul mare, ar˘at˘atorului ¸si degetului mijlociu de la mˆana dreapta. Acest
triplet centrat ˆın O define¸ste un sistem de referint¸˘a (3
)
Prin urmare, este necesar s˘a introducem pentru ˆınceput conceptul de sistem
material B. De fapt, acesta este definit ca o mult¸ime constituit˘a dintr-un num˘ar
finit (sau infinit) de elementeX1, X2, X3, . . . , numite puncte materiale, ˆınzestrat
cu o familie P de aplicat¸ii injective ¸si netede ˜P : B → E. O aplicat¸ie ˜P este
numit˘a localizare a corpului B ¸si determin˘a configurat¸ia specific˘a lui B ˆın spat¸iul
E.
Definit¸ie 1.1.2 Un sistem material B este numit corp rigid dac˘a, pentru orice
pereche de localiz˘ari ˜P1, ˜P2 ∈ P , avem
d ˜P1 (X1) , ˜P1 (X2) = d ˜P2 (X1) , ˜P2 (X2) for all X1, X2 ∈ B. (1.1)
Punctul ˜P(X) poate fi acum identificat cu vectorul x = ( ˜P(X) − O).
Cu alte cuvinte, un sistem de material este un corp rigid, dac˘a toate posi-
bilele configurat¸ii p˘astreaz˘a distant¸ele dintre punctele de material cu trecerea
timpului. ˆIn mod natural, ˆın cadrul mecanicii clasice, este presupus c˘a astfel
de sisteme rigide material exist˘a. Prin utilizarea acestei ipoteze fundamentale,
este posibil s˘a consider˘am un sistem referint¸˘a cartezian invariant cu trecerea
timpului, ca ¸si cum ar fi fixat ˆıntr-un corp rigid.) ˆın spat¸iu (Figure 1.1). Astfel,
fiecare vector x = P − O poate fi reprezentat ˆın urm˘atoarea form˘a:
x = x1i1 + x2i2 + x3i3,
3Cu scopul de a da definit¸ia corect˘a a “sistemului de referinta”, s˘a ne reamintim faptul c˘a
notiunea de mi¸scare este un concept relativ care implic˘a prezent¸a altor obiecte sau corpuri
capabile a fi observate, astfel ˆıncˆat este posibil s˘a ne referim la ea ca miscare fat¸˘a de aceste
obiecte.
8. 4 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x2
x2
i2
i1
i3
x3
x3
x1
x1
P
O
Figura 1.1:
unde x1, x2, x3 sunt numite coordonate ale lui x ˆın raport cu cele trei axe.
Ele sunt obt¸inute ca proiect¸ii ale lui x pe axele i1, i2, i3, adic˘a, x1 = x · i1,
x2 = x · i2, x3 = x · i3. Un sistem de referint¸˘a exist˘a ˆın afara not¸iunii de timp
¸si, ˆın acest moment, are un sens pur matematic. Cu alte cuvinte, un reper
cartezian ortogonal nu poate p˘astra propriile caracteristici cu trecerea timpului.
Definit¸ie 1.1.3 Numim cadru de referint˘a, un set de trei axe de coordonate
(sistemul de referinta), fixat ˆıntr-un corp rigid ˆımpreun˘a cu un sistem de m˘asurare
a timpului (ceasul).
Este clar c˘a, ˆın scopul de a introduce not¸iunea de cadru de referint¸˘a, este
necesar s˘a presupunem existent¸a unui corp rigid. Mai mult, sistemul de referint¸˘a
fix ˆıntr-un corp rigid va fi uneori confundat cu tripletul ortogonal (O, x1, x2, x3).
1.1.2 Mi¸scarea unui punct
ˆIn prima parte a cinematicii, studiem mi¸scarea unui punct material, aceasta
ˆınseamn˘a, mi¸scarea unui sistem de material format dintr-un unic punct P. Un
astfel de sistem de material reprezint˘a foarte frecvent un bun model pentru
studiul corpurilor ale c˘aror dimensiuni sunt suficient de mici pentru a permite
aceasta reprezentare; de asemenea, poate reprezenta, un anumit punct al sis-
temului material.
Mi¸scarea unui punct P este definit˘a complet de aplicat¸ia
ˆP : I → E, (1.2)
9. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 5
unde I ⊂ R este intervalul de timp ˆın care este definit˘a mi¸scarea, ¸si E este
spat¸iul euclidian care poate fi asociat cu un cadru de referint¸˘a sau cu un triplet
rigid. Mi¸scarea va fi notat˘a cu simbolul
P = ˆP(t),
sau prin funct¸ia vectorial˘a x(t) definit˘a de
x (t) = ˆP(t) − O, (1.3)
sau prin intermediul funct¸iilor componente ale ecuat¸iilor vectoriale (1.3)
x1 = ˆx1 (t) , x2 = ˆx2 (t) , x3 = ˆx3 (t) . (1.4)
Ulterior, funct¸iile care definesc miscarea sunt presupuse a fi cel put¸in de
clas˘a C2
. Imaginea intervalului I ˆın E define¸ste traiectoria punctului P relativ
la mi¸scarea P(t). Putem descrie aceast˘a traiectorie intrinsec, independent de
variabila temporal˘a. Fie un punct fix O1 ¸si o direct¸ie pozitiv˘a pe traiectorie ¸si
s˘a indic˘am prin s abscisa curbilinie a lui P, care reprezint˘a distant¸a cu semn
de la P la O1 m˘asurat˘a de-a lungul traiectoriei (a se vedea Figura 1.2), Atunci,
traiectoria este dat˘a de funct¸ia
P = ˆP(s). (1.5)
Mai mult, ˆın mi¸scare, abscisa curbilinie s este o funct¸ie de timp t, exprimat˘a
printr-o funct¸ie s = ˆs(t), pe care o numim ecuat¸ie orar˘a a mi¸sc˘arii lui P.
Prin urmare, mi¸scarea punctului P poate fi descris˘a de c˘atre sistemul
P = ˆP(s), s = ˆs(t), (1.6)
unde prima funct¸ie define¸ste traiectoria, ˆın timp ce legea temporal˘a asociat˘a
punctului P ofer˘a pozit¸ia instantanee a punctului de-a lungul traiectoriei.
Traiectoria punctului P cu privire la cadrul de referint¸˘a ales poate fi descris
prin funct¸iile de ˆx1(s), ˆx2(s), ˆx3(s) definite ca proiect¸ii ale relat¸iei vectoriale
(1.5), adic˘a
x1 = ˆx1 (s) , x2 = ˆx2 (s) , x3 = ˆx3 (s) . (1.7)
Exercit¸iu 1.1.1 Mi¸scarea unui punct este dat˘a de x1 = R cos
√
t, x2 = R sin
√
t,
x3 = R
√
3t, t ∈ [0, π2
], R > 0. S˘a se determine traiectoria ¸si ecuat¸ia orar˘a a
acestei mi¸sc˘ari.
Solut¸ie. Deoarece ds = |dx| = (dx1)
2
+ (dx2)
2
+ (dx3)
2
, deducem c˘a,
pentru mi¸scarea noastr˘a,
s =
t
0
ds(z) =
t
0
R
√
z
dz = 2R
√
t,
¸si deci ecuat¸ia orar˘a este s = 2R
√
t. Substituind
√
t = s
2R ˆın ecuat¸iile de mi¸scare,
obt¸inem urm˘atoarea expresie a traiectoriei: x1 = R cos s
2R , x2 = R sin s
2R ,
x3 = s
√
3
2 , s ∈ [0, 2πR].
10. 6 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x2
x3
x1
O1
P
s
O
Figura 1.2:
Exercit¸iu 1.1.2 Presupunem c˘a traiectoria unui punct P este cercul de intersect¸ie
dintre sfera x2
1 + x2
2 + x2
3 = R2
, R > 0, cu planul x3 = R cos θ0, θ0 fixat
ˆın (0, π). S˘a se determine mi¸scarea punctului P avˆand ecuat¸ia orar˘a s = t,
t ∈ [0,
√
2πR sin θ0].
Solut¸ie. Traiectoria este descris˘a de
x1 = R sin θ0 cos ϕ, x2 = R sin θ0 sin ϕ, x3 = R cos θ0, ϕ ∈ [0, 2π].
Deoarece s = (R sin θ0) ϕ ¸si ecuat¸ia orar˘a este s = t, rezult˘a c˘a ϕ = t
R sin θ0
,
t ∈ [0,
√
2πR sin θ0]. Dac˘a alegem a = R sin θ0, atunci mi¸scarea este dat˘a de
x1 = a cos
t
a
, x2 = a sin
t
a
, x3 = R cos θ0, t ∈ [0,
√
2πa].
1.1.3 Vitez˘a ¸si accelerat¸ie
Consider˘am un punct material a c˘arui mi¸scare este descris˘a de sistemul (1.6).
Presupunˆand traiectoria P = ˆP(s) fixat˘a, mi¸scarea este definit˘a simplu de
ecuat¸ia orar˘a s = ˆs(t).
Definit¸ie 1.1.4 Numim vitez˘a a punctului P de-a lungul traiectoriei ˆP(s)
derivata lui ˆs ˆın raport cu timpul, ¸si o not˘am cu (4
) prin
v(t)
def
=
dˆs(t)
dt
. (1.8)
4Pentru a evita confuziile, vom nota ˆıntotdeauna derivata ˆın raport cu timpul printr-un
punct plasat deasupra funct¸iei considerate, adic˘a, dˆs/dt = ˙s, ¸si nu vom face distinct¸ie dintre
punctul P ¸si funct¸ia corespunz˘atoare ˆP.
11. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 7
Dac˘a ˙s > 0, atunci mi¸scarea este numit˘a direct˘a, ˆın timp ce pentru ˙s < 0,
mi¸scarea este numit˘a retrograd˘a; momentele la care ˙s = 0 sunt numite momente
de stat¸ionare. ˆIn final, dac˘a ˆs este o funct¸ie liniar˘a ˆın timp, adic˘a,
ˆs(t) = vt + s0, (1.9)
atunci mi¸scarea este numit˘a uniform˘a.
ˆIn general, atunci cˆand vorbim despre viteza unui punct,ˆıntotdeaunaˆınt¸elegem
o cantitate vectorial˘a. ˆIntr-adevar, presupunˆand c˘a am fixat cadrul de referint¸˘a
¸si c˘a mi¸scarea este descris˘a ˆın raport cu acest cadru de ecuat¸ia de mi¸scare
P = ˆP(t), definim vectorul vitez˘a astfel:
Definit¸ie 1.1.5 Vectorul
v(t)
def
=
d ˆP(t)
dt
=
d
dt
ˆP(t) − O (1.10)
este numit viteza punctului P fat¸˘a de cadrul de referint¸˘a considerat, reprezentat
de sistemul de referint¸˘a (O, x1, x2, x3).
Mai mult, dac˘a i1, i2, i3 sunt vectorii unitari ortogonali ai sistemului (O, x1, x2, x3),
atunci, folosind relat¸ia ˆP − O = ˆx1i1 + ˆx2i2 + ˆx3i3 = x, obt¸inem
v(t) = ˙x1(t)i1 + ˙x2(t)i2 + ˙x3(t)i3 =
d
dt
x(t), (1.11)
unde ˙x1(t), ˙x2(t), ˙x3(t) sunt derivatele funt¸iilor ˆx1, ˆx2, ˆx3 ˆın raport cu timpul ¸si
reprezint˘a componentele vectorului v de-a lungul axelor x1, x2, x3.
Din definit¸ia de mai sus, folosind expresiile (1.6) pentru mi¸scarea punctului
P, adic˘a
P = ˆP(ˆs(t)), (1.12)
rezult˘a c˘a
v(t) =
d ˆP
ds
(s)
dˆs
dt
. (1.13)
Acum, consider˘am urm˘atoarea cantitate:
d ˆP
ds
(s) = lim
h→0
ˆP(s + h) − ˆP(s)
h
. (1.14)
Rata de cre¸stere
ˆP (s+h)− ˆP (s)
h define¸ste un vector a c˘arui direct¸ie este de-a lungul
coardei care une¸ste ˆP(s) cu ˆP(s + h) ¸si direct¸ia coincide cu cea de cre¸stere a
arcelor. Cˆand h se apropie de zero, aceast˘a rat¸ie tinde spre un vector a c˘arui
direct¸ie este este paralel˘a tangenta la curb˘a ˆın punctul P(s) (Figura 1.3).
Consider˘am acum m˘arimea dat˘a de expresia (1.14)
d ˆP
ds
(s) = lim
h→0
ˆP(s + h) − ˆP(s)
h
.
12. 8 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x2
x3
x1
O1
P(s)
P(s + h)h
s
O
t
Figura 1.3:
Rat¸ia
| ˆP (s+h)− ˆP (s)|
|h| nu este nimic altceva decˆat raportul dintre lungimea coardei
ce une¸ste punctele ˆP(s) ¸si ˆP(s+h), ¸si arcul corespunz˘ator. Este cunoscut faptul
c˘a acest raport tinde spre unitate atunci cˆand lungimea arcului se apropie de
zero.
Astfel, putem concluziona c˘a
d ˆP
ds
(s) = t(s), (1.15)
unde t este versorul tangentei la traiectoria punctului ˆP(s) ¸si a c˘arui direct¸ie
coincide cu direct¸ia de cre¸stere a arcului. Prin urmare, din (1.13), obt¸inem
v(t) = ˙st. (1.16)
Rezult˘a din argumentele de mai sus c˘a viteza esteˆıntotdeaunaˆındreptat˘a de-
a lungul tangentei la traiectoria punctului considerat. ˆIn particular, observ˘am
c˘a m˘arimea vitezei v, pe care o not˘am cu v sau cu |v|, este definit˘a de
v = | ˙s| = ˙x2
1 + ˙x2
2 + ˙x2
3.
Dac˘a viteza punctului P este constant˘a pentru un interval de timp, mi¸scarea
este numit˘a rectilinie ¸si uniform˘a ˆın acest interval. Dup˘a cum se ¸stie, expresia
(1.10) poate fi scris˘a ˆın forma echivalent˘a
ˆP(t + ∆t) − ˆP(t)
∆t
= v(t) + ε(∆t), (1.17)
unde ε este un vector, astfel ˆıncˆat lim∆t→0 ε(∆t) = 0. ˆIn consecint¸˘a, din (1.17),
obt¸inem
∆P
def
= ˆP(t + ∆t) − ˆP(t) = v(t)∆t + ε(∆t)∆t.
13. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 9
Vectorul ∆P reprezint˘a deplasarea punctului P ˆın intervalul de timp ∆t. Dac˘a
∆t este “suficient de mic”, v∆t d˘a o bun˘a aproximare a deplas˘arii, adic˘a
∆P v∆t.
Luˆand ˆın considerare aceast˘a observat¸ie, introducem vectorul dP
def
= vdt pe
care ˆıl numim deplasare elementar˘a. ˆIn general, acesta nu corespunde cu de-
plasarea real˘a, dar el reprezint˘a o bun˘a aproximare pentru ea, sub presupunerea
c˘a valorile lui dt sunt “mici”.
Definit¸ie 1.1.6 Numim vectorul
a(t)
def
=
dv
dt
(t) (1.18)
accelerat¸ie a punctului P fat¸˘a de cadru de referint¸˘a ales.
Folosind formula vitezei, este posibil s˘a ar˘at˘am c˘a
a(t) =
d2 ˆP
dt2
(t),
sau
a(t) = ¨x1(t)i1 + ¨x2(t)i2 + ¨x3(t)i3 =
d2
x
dt2
(t),
unde ¨x1 = d2
ˆx1
dt2 , ¨x2 = d2
ˆx2
dt2 , ¨x3 = d2
ˆx3
dt2 pot fi considerate ca fiind accelerat¸iile
proiect¸iilor punctului P de-a lungul axelor x1, x2, x3.
Folosind formula (1.16) a vitezei, obt¸inem urm˘atoarea expresie important˘a
pentru accelerat¸ia unui punct:
a =
d
dt
( ˙st) = ¨st + ˙s
dt(s(t))
dt
= ¨st + ˙s2 dt
ds
. (1.19)
Este necesar acum s˘a consider˘am limita
dt
ds
= lim
h→0
t(s + h) − t(s)
h
. (1.20)
Consider˘am planul π definit de triunghiul (P(s), A, B) (a se vedea Figura
1.4). Dac˘a curba este ˆıntr-un plan, atunci planul π va coincide cu planul care
cont¸ine curba. Dac˘a curba nu este ˆıntr-un plan, atunci, cˆand h se apropie de
zero, π tinde spre un plan care trece prin P(s) ¸si cont¸ine vectorul t(s). Numim
acest plan plan osculator. Deoarece rat¸ia t(s+h)−t(s)
h are aceea¸si direct¸ie cu
B − A, limita acestei rat¸ii, adic˘a dt/ds, trebuie s˘a apart¸in˘a planului osculator.
Mai mult, deoarece m˘arimea vectorului t(s) este constant˘a, concluzion˘am c˘a
dt/ds trebuie s˘a fie ortogonal pe t, ¸si, ˆın consecint¸˘a, ortogonal curbei (5
); ˆın
final, el trebuie s˘a fie orientat spre centrul curbei. Mai mult,
dt
ds
= lim
h→0
|t(s + h) − t(s)|
|h|
= lim
h→0
|t(s + h) − t(s)|
∆α
∆α
|h|
, (1.21)
5Reamintim faptul c˘a, dac˘a t· t = 1, atunci 2 dt
ds
· t = 0, deci dt
ds
este ortogonal pe t.
14. 10 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
P(s)
t(s)
P(s + h)
t(s + h)
t(s + h)
A
B
∆α
∆α
Figura 1.4:
unde ∆α este unghiul dintre vectorii t(s) ¸si t(s+h), m˘asurat ˆın radiani. Alegem
lim
h→0
∆α
|h|
=
1
ρ
,
unde 1
ρ este numit˘a curbura, iar ρ este numit˘a raza de curbur˘a. ˆIn plus,
lim
h→0
|t(s + h) − t(s)|
∆α
= 1,
deoarece consider˘am limita dintre lungimea arcului ¸si coarda de sprijin a aces-
tuia. Cercul de raz˘a ρ, situat ˆın planul osculator, tangent la traiectoria lui P(s)
¸si ales din dou˘a cercuri posibile tangente la traiectoria lui P(s) ca cel situat pe
partea concav˘a a traiectoriei, este numit de obicei cerc osculator. Mai mult,
prin n(s) not˘am vectorul unitar normal principal al traiectoriei lui P(s), adic˘a,
vectorul unitar care este ortogonal la curb˘a, se afla ˆın planul osculator ¸si este
ˆındreptat spre centru curbei. Atunci, din relat¸iile (1.20) ¸si (1.21), obt¸inem (6
)
dt
ds
=
1
ρ
n. (1.22)
Acum, putem oferi o reprezentare important˘a pentru vectorul accelerat¸ie. Ast-
fel, din relat¸iile (1.19) ¸si (1.22), obt¸inem
a = ¨st +
˙s2
ρ
n. (1.23)
Este convenabil s˘a consider˘am de asemenea –ˆımpreuna cu cei doi vectori unitari
t ¸si n – vectorul unitar b, numit binormal˘a, care este ortogonal pe t ¸si n astfel
6Aceasta ecuat¸ie este numit˘a prima formul˘a a lui Fr`enet. Pentru detalii, a se vedea
sect¸iunea A.8 din Appendix A.
15. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 11
ˆıncˆat t, n, ¸si b formeaz˘a un reper drept. Acest sistem de vectori este numit
triplet intrisec de vectori pentru traiectoria punctului P.
Folosind expresia (1.23), se poate observa c˘a, spre deosebire de viteza, ˆın
afara de componenta at = ¨st orientat˘a de-a lungul tangentei ¸si numit˘a accelerat¸ie
tangent¸ial˘a, accelerat¸ia are ¸si alt˘a component˘a an = ˙s2
ρ n orientat˘a de-a lungul
normalei, numit˘a accelerat¸ie normal˘a sau centripet˘a. Dac˘a accelerat¸ia tangent¸ial˘a
se anuleaz˘a, atunci este necesar ca
¨s = 0,
deci ˙s = constant, ¸si mi¸scarea este uniform˘a. Dac˘a accelerat¸ia centripet˘a se
anuleaz˘a ˆın intervaul de timp, adic˘a ˙s2
ρ n = 0, ¸si ˙s(t) = 0, atunci curbura 1
ρ = 0,
¸si deci mi¸scarea este rectilinie. ˆIn sfˆar¸sit, dac˘a a = at + an = 0 pentru un
interval de timp, atunci mi¸scarea este rectilinie ¸si uniform˘a.
Definit¸ie 1.1.7 Mi¸scarea unui punct este numit˘a accelerat˘a la un moment dat
dac˘a m˘arimea vitezei la acel moment este o funct¸ie de t cresc˘atoare; mi¸scarea
este numit˘a ˆıncetinit˘a dac˘a m˘arimea vitezei la acel moment este o funct¸ie de t
descresc˘atoare;.
Deoarece
d
dt
˙s2
= 2¨s ˙s, (1.24)
rezult˘a c˘a mi¸scarea poate fi accelerat˘a sau ˆıncetinit˘a ˆın funct¸ie de cum ˙s ¸si ¨s,
ambele diferite de zero, au sau nu au acela¸si semn. ˆIn primul caz, avem d
dt
˙s2
> 0, ¸si deci ˙s2
este o funct¸ie cresc˘atoare ˆın timp, ˆın timp ce, ˆın cel de-al
doilea caz, d
dt ˙s2
< 0 ¸si atunci ˙s2
este o funct¸ie de t descresc˘atoare.
Exercit¸iu 1.1.3 Punctul P se mi¸sc˘a pe curba x1 = 2e2t
, x2 = 3 sin 2t, x3 =
2 cos 2t, t ∈ R. S˘a se determine vectorul vitez˘a ¸si vectorul accelerat¸ie la momen-
tul t. Calculat¸i m˘arimile vitezei ¸si accelerat¸iei la momentul t = 0.
Solut¸ie. Vectorul deplasare este x = 2e2t
i1 + 3 sin 2ti2 + 2 cos 2ti3 ¸si deci
deducem c˘a v(t) = ˙x(t) = 4e2t
i1 + 6 cos 2ti2 − 4 sin 2ti3 ¸si a(t) = ¨x(t) = 8e2t
i1 −
12 sin 2ti2 − 8 cos 2ti3. Pentru t = 0, avem v(0) = 4i1 + 6i2 ¸si a(0) = 8i1 − 8i3
¸si prin urmare v =
√
16 + 36 = 2
√
13 ¸si a =
√
64 + 64 = 8
√
2.
Exercit¸iu 1.1.4 Un punct P porne¸ste din pozit¸ia P0(−3, 2, 1) la timpul t = 0
cu viteza init¸ial˘av0 = −i1 + 2i2 + 3i3 ¸si se deplaseaz˘a cu accelerat¸ia a = e−t
i1 +
4 cos 2ti2 + 8 sin 2ti3. S˘a se g˘aseasc˘a vectorul vitez˘a a punctului ¸si ecuat¸iile de
mi¸scare.
Solut¸ie. Din relat¸ia ˙v(t) = a(t), prin integrare ˆın raport cu timpul t,
deducem c˘a v(t) = −e−t
i1 + 2 sin 2ti2 − 4 cos 2ti3 + c1, unde c1 este un vector
constant arbitrar. Deoarece v(0) = v0, obt¸inem −i1−4i3+c1 = −i1+2i2+3i3 ¸si
deci avem c1=2i2 +7i3 ¸si viteza este v(t) = −e−t
i1 +2(sin 2t+1)i2 +(−4 cos 2t+
7)i3.
16. 12 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Din relat¸ia ˙x(t) = v(t), obt¸inem x(t) = e−t
i1 +(− cos 2t+2t)i2 +(−2 sin 2t+
7t)i3 + c, unde c este o constant˘a oarecare. Deoarece x(0) = −3i1 + 2i2 + i3,
rezult˘a c˘a i1 − i2 + c = −3i1 + 2i2 + i3 ¸si deci c = −4i1 + 3i2 + i3. Astfel,
mi¸scarea punctului este descris˘a de x(t) = (e−t
− 4)i1 + (− cos 2t + 2t + 3)i2 +
(−2 sin 2t + 7t + 1)i3.
Exercit¸iu 1.1.5 Mi¸scarea unui punct P este x(t) = ti1 + 1
2 t2
i2 + 1
6 t3
i3. S˘a
se determine accelerat¸ia tangent¸ial˘a ¸si accelerat¸ia normal˘a a punctului la un
moment t.
Solut¸ie. Deoarece ˙x = i1 + ti2 + 1
2 t2
i3 ¸si ¨x = i2 + ti3, rezult˘a c˘a ds = |˙x| dt
¸si deci ˙s = 1
2 (t2
+ 2), ¨s = t. Mai mult, versorul tangentei la curb˘a este t =
1
t2+2 2i1 + 2ti2 + t2
i3 ¸si
dt
ds
=
dt
dt
dt
ds
=
2
(t2 + 2)2
[−2ti1 − (t2
− 2)i2 + 2ti3]
dt
ds
=
=
4
(t2 + 2)3
[−2ti1 − (t2
− 2)i2 + 2ti3] =
1
ρ
n,
¸si deci
n =
1
t2 + 2
[−2ti1 − (t2
− 2)i2 + 2ti3],
1
ρ
=
4
(t2 + 2)2
.
Deci, putem concluziona c˘a accelerat¸ia tangent¸ial˘a este at = tt ¸si accelerat¸ia
centripet˘a este an = n.
1.1.4 Mi¸sc˘ari plane
Consider˘am punctul P care se mi¸sc˘a ˆıntr-un plan. Este posibil s˘a descriem
mi¸scarea lui P prin intermediul unui sistem de ecuat¸ii de urm˘atoarea form˘a:
x1 = ˆx1(t),
x2 = ˆx2(t),
unde x1, x2 sunt coordonatele carteziene ale lui P relativ la un sistem de
referint¸˘a din planul de mi¸scare. Atunci, viteza ¸si accelerat¸ia pot fi determi-
nate aplicˆand formulele din sect¸iunea de mai sus.
Un interesant capitol particularˆın studiul mi¸sc˘arii plane este cel al sistemului
de coordonate polare (ρ, θ), unde ρ = |P − O| ¸si θ = ∠ (OP, Ox1) sunt numite
distant¸˘a polar˘a ¸si respectiv unghi polar. Mi¸scarea punctului P va fi descris˘a ˆın
coordinate polare de sitemul (Figura 1.5)
ρ = ˆρ(t), θ = ˆθ(t).
Eliminˆand variabila t din acest ultim sistem, obt¸inem ecuat¸ia polar˘a ρ = ˆρ(θ)
a traiectoriei punctului P. Deci, dac˘a O este originea sistemului de referint¸˘a ¸si
r = P −O
|P −O| , atunci, prin derivarea identit˘at¸ii
(P − O) = ρr, (1.25)
17. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 13
r
h
P
θ
x2
x1
O
Figura 1.5:
obt¸inem
v =
d(P − O)
dt
= ˙ρr+ρ
dr
dt
. (1.26)
Vectorul unitar r depinde de timp prin variabila θ, adic˘a,
r(t) = r(θ(t)), (1.27)
¸si prin urmare, din (1.26), obt¸inem
v = ˙ρr+ρ ˙θ
dr
dθ
. (1.28)
Dac˘a consider˘am reperul cartezian (O, x1, x2) cu originea ˆın O, ¸si axa x1 coin-
cizˆand cu axa polar˘a, avem
r = cos θi1 + sin θi2. (1.29)
Dac˘a h = − sin θi1 + cos θi2, rezult˘a din (1.29) c˘a
h =
dr
dθ
, (1.30)
¸si, ˆın consecint¸˘a, |h| = 1 ¸si h · r = 0. Prin urmare, h este un vector unitar
ortogonal pe r inclus ˆın planul (x1, x2). Pe de alt˘a parte, este u¸sor de observat
c˘a
dh
dθ
= −r. (1.31)
ˆIntorcˆandu-ne la (1.28), obt¸inem
v = ˙ρr+ρ ˙θh. (1.32)
Observat¸ie 1.1.1 Viteza punctului P, exprimat˘a ˆın coordonate polare, poate
fi reprezentat˘a ca suma a doi termeni: primul termen, vρ = ˙ρr, este numit
vitez˘a radial˘a, iar cel de-al doilea termen, vθ = ρ ˙θh, este numit vectorul vitez˘a
18. 14 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
unghiular˘a (transversal˘a). Deoarece vρ ¸si vθ sunt ortogonali, m˘arimea vitezei
este dat˘a de formula
v = ˙ρ2 + ρ2 ˙θ2.
Prin derivare direct˘a a relat¸iei (1.32), obt¸inem urm˘atoarea expresie a accelerat¸iei
ˆın coordonate polare:
a =
dv
dt
= ¨ρr+ ˙ρ ˙θ
dr
dθ
+ ˙ρ ˙θh + ρ¨θh + ρ ˙θ2 dh
dθ
. (1.33)
Folosind relat¸iile (1.30) ¸si (1.31) ˆın (1.33), deducem c˘a
a = (¨ρ − ρ ˙θ2
)r + (ρ¨θ + 2 ˙ρ ˙θ)h. (1.34)
Observat¸ie 1.1.2 Accelerat¸ia punctului P, exprimat˘a ˆın coordonate polare,
poate fi reprezentat˘a ca suma a doi termeni: primul termen, aρ = (¨ρ−ρ ˙θ2
)r, este
numit accelerat¸ie radial˘a, ¸si cel de-al doilea termen, aθ = (ρ¨θ+2 ˙ρ ˙θ)h, este numit
accelerat¸ie unghiular˘a (sau transversal˘a). Deoarece ρ¨θ + 2 ˙ρ ˙θ = 1
ρ (ρ2 ¨θ + 2ρ ˙ρ ˙θ),
putem de asemenea exprima aθ ca aθ = 1
ρ
d
dt (ρ2 ˙θ)h.
Exercit¸iu 1.1.6 Mi¸scarea unui punct este descris˘a de x1 = et
cos t, x2 =
et
sin t, t ∈ R. Determinat¸i vectorii accelerat¸ie radial˘a¸si transvesal˘a ai punctului.
Solut¸ie. Trebuie s˘a introducem sistemul de coordonate polare (ρ, θ), astfel
ca x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ. Luˆand ˆın considerare ecuat¸ia de mi¸scare, deducem
c˘a
ρ(t) = x2
1 + x2
2 = et
, θ(t) = arctan
x2
x1
= t.
Mai mult, avem
r = cos ti1 + sin ti2, h = − sin ti1 + cos ti2,
¸si
aρ = (¨ρ − ρ ˙θ2
)r = 0, aθ =
1
ρ
d
dt
ρ2 ˙θ h = 2et
h.
Exercit¸iu 1.1.7 Determinat¸i traiectoria punctului P care se mi¸sc˘a ˆıntr-un
plan cu m˘arimea vitezei constante, ¸si astfel ˆıncˆat m˘arimea vitezei radiale fat¸˘a
de punctul O este de asemenea constant˘a.
Solut¸ie. Introducem coordonatele polare (ρ, θ)ˆın planul considerat. Atunci,
viteza este dat˘a de formula v = ˙ρr + ρ ˙θh. Luˆand ˆın considerare ipotezele
problemei, obt¸inem
˙ρ2
+ ρ2 ˙θ2
= c1, ˙ρ = c2,
unde constantele c1 ¸sic2 ˆındeplinesc ˆın mod evident c1 > c2
2. Astfel, avem
ρ = c2t + ρ0, unde ρ0 = ρ(0) ¸si prin urmare, rezult˘a din ˙ρ2
+ ρ2 ˙θ2
= c1 c˘a
19. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 15
x2
x1P0
P
O
θ
Figura 1.6:
ρ ˙θ = k, unde k = ± c1 − c2
2 este constant. Atunci, avem ˙θ = k
c2t+ρ0
¸si ˆın
consecint¸˘a, dac˘a θ(0) = 0, deducem c˘a
θ =
k
c2
log(c2τ + ρ0)|t
0 =
k
c2
log
ρ
ρ0
.
Rezult˘a din ultima expresie c˘a
ρ = ρ0 exp(
c2
k
θ),
¸si traiectoria este spirala logaritmic˘a (Figura 1.6).
Exercit¸iu 1.1.8 Traiectoria unei mi¸sc˘ari este parabola ρ cos2 θ
2 = p
2 , p > 0.
Un punct P se mi¸sc˘a pe aceast˘a parabol˘a asfel ˆıncˆat v = kρ, unde k este o
constant˘a pozitiv˘a. La momentul t = 0 punctul este ˆın vˆarful parabolei ¸si se
mi¸sc˘a ˆın sensul ˆın care θ cre¸ste. Determinat¸i ecuat¸iile de mi¸scare ¸si vectorii
accelerat¸ie radial˘a ¸si transversal˘a.
Solut¸ie. Avem urm˘atoarele condit¸ii init¸iale:
ρ(0) =
p
2
, θ(0) = 0,
¸si, ˆın plus, ˙θ(t) > 0. Din relat¸ia v = kρ, deducem c˘a ˙ρ2
+ ρ2 ˙θ2
= k2
ρ2
. ˆIn
continuare vom determina ˙ρ ¸si ˙θ. Pentru aceasta, deriv˘am ecuat¸ia parabolei
pentru a obt¸ine ˙ρ cos θ
2 −ρ ˙θ sin θ
2 = 0. Astfel, din aceste dou˘a relat¸ii de mai sus,
deducem c˘a
˙ρ = ±kρ sin
θ
2
, ˙θ = ±k cos
θ
2
,
20. 16 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
din care, luˆand ˆın considerare pozitivitatea lui k ¸si a lui ˙θ(t), obt¸inem
˙ρ = kρ sin
θ
2
, ˙θ = k cos
θ
2
.
Prin integrare, din ecuat¸ia diferent¸ial˘a ˙θ = k cos θ
2 , obt¸inem
ln tan
θ
4
+
π
4
+ c =
k
2
t, c = constant,
¸si deci, din condit¸iile init¸iale θ(0) = 0, obi¸ntem c = 0 ¸si prin urmare
tan
θ
4
=
e
kt
2 − 1
e
kt
2 + 1
=
e
kt
4 − e− kt
4
e
kt
4 + e− kt
4
= tanh
kt
4
.
Deoarece
cos
θ
2
=
1 − tan2 θ
4
1 + tan2 θ
4
, sin
θ
2
=
2 tan θ
4
1 + tan2 θ
4
,
g˘asim
cos
θ
2
=
1
cosh kt
2
, sin
θ
2
= 1 − cos2
θ
2
= tanh
kt
2
.
Dac˘a substituim ˙ρ = kρ sin θ
2 ˆın aceast˘a relat¸ie, obt¸inem
dρ
ρ
= k tanh
kt
2
dt, ρ(0) =
p
2
.
Astfel, obt¸inem urm˘atoarele ecuat¸ii de mi¸scare:
ρ =
p
2
cosh2 kt
2
, θ = 2 arccos
1
cosh kt
2
.
Din aceste relat¸ii obt¸inem
aρ = (¨ρ − ρ ˙θ2
)r =
k2
p
4
[cosh (kt) − 2] r
aθ =
1
ρ
d
dt
ρ2 ˙θ h =
3k2
p
4
sinh
kt
2
h.
Exercit¸iu 1.1.9 Punctul P se afl˘a ˆıntr-o mi¸scare plan˘a ˆın care componenta
radial˘a a vitezei este direct proport¸ional˘a cu timpul t ¸si componenta transversal˘a
este constant˘a. La momentul t = 0 punctul ocup˘a pozit¸ia P0(1, 0) fat¸˘a de un
sistem de referint¸˘a. S˘a se determine traiectoria unui punct ¸si vectorii accelerat¸ie
radial˘a ¸si transversal˘a.
Solut¸ie. Alegem sistemul de coodonate polare (ρ, θ) cu polul ˆın originea
sistemului ¸si axa polar˘a s˘a coincid˘a cu axa x1. Din ipoteze avem c˘a
˙ρ = 2c2
1t, ρ ˙θ = c2,
21. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 17
P(t)
P(t*)
P(t + ∆t)
O
O1
Figura 1.7:
unde c1 ¸si c2 sunt constante pozitive prescrise. Not˘am c˘a avem urm˘atoarele
condit¸ii init¸iale: ρ(0) = 1, θ(0) = 0. Atunci, prin integrare, obt¸inem ρ = c2
1t2
+c,
c = constant, ¸si deci, din condit¸iile init¸iale ρ(0) = 1, avem ρ = c2
1t2
+ 1.
Apoi, avem ˙θ = c2
ρ = c2
c2
1t2+1
¸si deci θ = c2
c1
arctan (c1t) + c∗
, c∗
= constant.
Din condit¸iile init¸iale θ(0) = 0, obt¸inem c∗
= 0 ¸si deci θ(t) = c2
c1
arctan (c1t).
Eliminˆand parametrul t din relat¸iile ρ = c2
1t2
+1, θ(t) = c2
c1
arctan (c1t), deducem
ecuat¸ia traiectoriei ρ = 1 + tan2 c1
c2
θ .
Accelerat¸iile radial˘a ¸si transversal˘a sunt
aρ =
2c4
1t2
+ 2c2
1 − c2
2
c2
1t2 + 1
r, aθ =
2c2
1c2t
c2
1t2 + 1
h.
1.1.5 Viteza areolar˘a
Pentru o mi¸scare plan˘a, introducem not¸iunea de vitez˘a areolar˘a. Dac˘a un punct
O1 este fixat pe traiectorie, not˘am cu A(t) aria m˘aturat˘a de raza vectoare
(P − O), aceasta este aria regiunii delimitate de vectorii (O1 − O), (P(t) − O)
¸si arcul O1P(t) al traiectoriei, unde O este originea sistemului de coordonate
(ρ, θ) (Figura 1.7).
Definit¸ie 1.1.8 Numim vitez˘a areolar˘a ˙A a punctului P fact¸˘a de polul O derivata
funct¸iei A(t) ˆın raport cu timpul.
Rezult˘a din definit¸ia vitezei areolare c˘a
˙A = lim
∆t→0
A(t + ∆t) − A(t)
∆t
= lim
∆t→0
∆A
∆t
. (1.35)
Este u¸sor de demonstrat c˘a aria m˘aturat˘a ˆıntre momentele t ¸si t + ∆t este dat˘a
de formula
∆A =
1
2
ρ2
(t∗
)∆θ, (1.36)
22. 18 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
unde t∗
∈ [t, t+∆t] ¸si ∆θ = θ(t+∆t)−θ(t). Cu alte cuvinte, exist˘a un moment
t∗
astfel ca aria ∆A este egal˘a cu aria sectorului circular cu unghiul la centru
∆θ ¸si raza ρ(t∗
). Astfel, din (1.35) ¸si (1.36), obt¸inem
˙A(t) =
1
2
ρ2
(t) ˙θ(t). (1.37)
ˆIn coordonate carteziene, deoarece x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ, avem
˙x1 = ˙ρ cos θ − ρ ˙θ sin θ, ˙x2 = ˙ρ sin θ + ρ ˙θ cos θ,
x1 ˙x2 − x2 ˙x1 = ρ2 ˙θ cos2
θ + ρ ˙ρ sin θ cos θ − ρ ˙ρ sin θ cos θ + ρ2 ˙θ sin2
θ
= ρ2 ˙θ,
¸si deci ecuat¸ia vitezei areolare poate fi scris˘a ca
˙A =
1
2
(x1 ˙x2 − x2 ˙x1). (1.38)
Exercit¸iu 1.1.10 Mi¸scarea unui punct P pe suprafat¸a plan˘a (O, x1, x2) este
dat˘a de ecuat¸iile carteziane
x1 = C exp(−pt), x2 = C exp(pt), C > 0, p > 0.
S˘a se determine traiectoria, viteza areolar˘a fat¸˘a de O, ¸si componentele radial˘a
¸si transversal˘a a vectorului accelerat¸ie.
Solut¸ie. Eliminˆand timpul t din ecuat¸iile de mi¸scare, obt¸inem
x1 · x2 = C2
.
Prin urmare, traiectoria este o ramur˘a a unei hiperbolei (Figura 1.8) situat˘a ˆın
primul cadran al sistemului de coordonate. Mai mult, viteza areolar˘a este dat˘a
de formula
˙A =
1
2
(x1 ˙x2 − x2 ˙x1)
=
1
2
C2
p exp(−pt) exp(pt) + C2
p exp(−pt) exp(pt) = C2
p.
Deoarece viteza areolar˘a este constant˘a, componenta transversal˘a a accelerat¸iei
este aθ = 0, ˆın timp ce componenta radial˘a d˘a accelerat¸ia total˘a ¸si deci
aρ = a = ¨x2
1 + ¨x2
2 = Cp2
exp(−2pt) + exp(2pt) = p2
ρ,
unde ρ este distant¸a dintre P ¸si O, care este dat˘a de formula
ρ = x2
1 + x2
2 = C exp(−2pt) + exp(2pt).
23. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 19
x2
x1
O
Figura 1.8:
1.1.6 Mi¸sc˘ari centrale
Consider˘am o mi¸scare care este nu este neap˘arat plan˘a.
Definit¸ie 1.1.9 Mi¸scarea unui punct P este numit˘a central˘a dac˘a accelerat¸ia
sa este ˆıntotdeauna direct¸ionat˘a de-a lungul vectorului P − O, unde O este un
punct fixat numit centrul mi¸sc˘arii.
Teorem˘a 1.1.1 Orice mi¸scare central˘a cu centrul O este plan˘a ¸si viteza areo-
lar˘a fat¸˘a de O este constanta, ¸si vice versa.
Demonstrat¸ie. Din definit¸ia mi¸sc˘arii centrale, obt¸inem
a(t) × (P(t) − O) = 0 pentru orice t.
Din ultima egalitate, rezult˘a c˘a
d
dt
[v × (P − O)] − v ×
d(P − O)
dt
=
d
dt
[v × (P − O)] = 0,
¸si deci
v × (P − O) = k, (1.39)
unde k este un vector constant. Presupunem c˘a k = 0, ¸si apoi, din (1.39),
obt¸inem
0 = v × (P − O) · (P − O) = k · (P − O).
Prin urmare, punctul P trebuie c˘a r˘amˆan˘a ˆın planul ortogonal la k ¸si care trece
prin punctul O. Dac˘a k = 0, atunci
v × (P − O) = 0 pentru orice t,
24. 20 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
deci v ¸si a sunt ˆıntotdeauna paralelei, ¸si de asemenea ambii sunt paraleli cu
(P − O). Ultima implic˘a c˘a an = ˙s2
ρ = 0 pentru orice t, ¸si deoarece 1
ρ = 0,
mi¸sarea este rectilinie.
Prin urmare, mi¸scarea centrala este una plan˘a. Astfel, putem s˘a o reprezent˘am
ˆın coordonare polare cu polul O. Mai mult, vectorul accelerat¸ie este radial,
deoarece are aceea¸si direct¸ie cu (P − O), ¸si va implica c˘a aθ = 1
ρ
d
dt ρ2 ˙θ = 0.
Prin urmare,
ρ2 ˙θ = c (1.40)
implic˘a c˘a viteza areolar˘a a mi¸sc˘arii lui P fat¸˘a de O este constant˘a ¸si valoarea
sa este dat˘a de formula
˙A =
c
2
, (1.41)
unde c este numit˘a constanta ariilor.
S˘a demonstr˘am acum c˘a, dac˘a viteza areolar˘a fat¸˘a de polul O pentru o
mi¸scare plan˘a este constant˘a, atunci mi¸scarea este central˘a. ˆIntr-adev˘ar, deoarece
aθ = 0, faptul c˘a viteza areolar˘a este constant˘a implic˘a c˘a accelerat¸ia a = aρ
este mereu ˆındreptat˘a spre O.
Teorem˘a 1.1.2 Pentru o mi¸scare central˘a avˆand constanta ariilor c, accelerat¸ia
a poate fi determinat˘a, cunoscˆand doar traiectoria punctului (ρ = ˆρ (θ)), prin
intermediul formulei lui Binet
a = −
c2
ρ2
d2
dθ2
1
ρ
+
1
ρ
r. (1.42)
Demonstrat¸ie. Fat¸˘a de un sistem de coordonate polare avˆand originea
ˆın O, ecuat¸ia traiectoriei este ρ = ˆρ(θ). Dac˘a mi¸scarea este central˘a, viteza
areolar˘a este constant˘a ¸si prin urmare avem, ρ2 ˙θ = c; unde acceleralt¸ia este
a = aρr = (¨ρ − ρ ˙θ2
)r. (1.43)
Pe de alt˘a parte, avem
˙ρ =
dρ
dθ
˙θ =
c
ρ2
dρ
dθ
= −c
d
dθ
1
ρ
, (1.44)
¸si deci
¨ρ = −c
d2
dθ2
1
ρ
˙θ = −
c2
ρ2
d2
dθ2
1
ρ
. (1.45)
Mai mult, folosind relat¸iile (1.40) ¸si (1.45), din relat¸iile (1.43) deducem formula
lui Binet
aρ = −
c2
ρ2
d2
dθ2
1
ρ
+
1
ρ
,
care ne permite s˘a determin˘am accelerat¸ia folosind ecuat¸ia traiectoriei ρ = ˆρ(θ)
¸si presupunˆand cunoscut˘a constanta ariilor c.
25. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 21
Exercit¸iu 1.1.11 Punctul P descrie o curb˘a plan˘a astfel ˆıncˆat accelerat¸ia sa
trece mereu printr-un punct fix O. Demonstrat¸i c˘a
a = v
dv
dρ
,
unde v = |v| ¸si a este componenta radial˘a a accelerat¸iei.
Solut¸ie. Mi¸scarea unui punct P este central˘a. Folosind sistemul polar de
coordonate cu polul ˆın O, avem ρ2 ˙θ = c, unde c este constanta ariilor. Astfel,
avem aθ = 1
ρ
d
dt ρ2 ˙θ h = 0 ¸si a = aρ = (¨ρ − ρ ˙θ2
)r. Pe de alt˘a parte, avem
v2
= ˙ρ2
+ ρ2 ˙θ2
,
¸si deci, prin derivare direct˘a ˆın raport cu t, obt¸inem
2v
dv
dt
= 2 ˙ρ¨ρ + 2ρ ˙ρ ˙θ2
+ 2ρ2 ˙θ¨θ = 2 ˙ρ ¨ρ − ρ ˙θ2
+ 2ρ ˙θ ρ¨θ + 2 ˙ρ ˙θ .
Astfel, obt¸inem
v
dv
dt
=
dρ
dt
a,
¸si deci relat¸ia cerut˘a.
1.1.7 Mi¸sc˘ari uniform variate ¸si periodice
Numim uniform˘a orice mi¸scare a c˘arui vitez˘a este constanta ˆın timp; o astfel de
definit¸ie nu depinde de traiectoria punctului. Prin urmare, notˆand cu v0 = ˙s(t)
aceast˘a valoare constant˘a, ecuat¸ia orar˘a devine
s(t) = v0t + s0, (1.46)
unde cei doi parametri s0 ¸si v0 reprezint˘a abscisa curbilinie init¸ial˘a ¸si, respectiv,
viteza punctului P.
S˘a consider˘am o mi¸scare care nu este ˆın mod necesar rectilinie.
Definit¸ie 1.1.10 Mi¸scarea unui punct P se nume¸ste uniform variat˘a dac˘a m˘arimea
accelerat¸iei tangent¸iale este constant˘a, adic˘a, exist˘a o constant˘a a0 astfel ca
¨s(t) = a0.
Prin urmare, prin integrarea ultimei relat¸ii de dou˘a ori ˆın raport cu timpul
t, obt¸inem urm˘atoarea ecuat¸ie orar˘a pentru mi¸scarea uniform variat˘a:
s(t) =
1
2
a0t2
+ v0t + s0, (1.47)
unde s0 ¸si v0 reprezint˘a abcisa curbilinie ¸si, respectiv viteza la momentul t = 0.
Este evident din (1.47) c˘a ecuat¸ia orar˘a pentru mi¸scarea uniform variat˘a este
reprezentat˘a grafic ca o parabol˘a care este concav˘a pentru a0 < 0, ¸si convex˘a
26. 22 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
pentru a0 > 0. Astfel, independent de concavitatea sau convexitatea parabolei,
mi¸scarea ˆın direct¸ia de cre¸stere a arcului parabolei este numit˘a direct˘a ¸si cea ˆın
direct¸ia de descre¸stere a arcului parabolei este numit˘a retrograd˘a.
ˆInainte de a considera mi¸scarea circular˘a ¸si uniform˘a, explic˘am ce ˆıntelegem
prin mi¸scare periodic˘a a punctului P care se mi¸sc˘a pe o traiectorie asociat˘a.
Definit¸ie 1.1.11 Spunem c˘a mi¸scarea unui punct t P este periodic˘a cu perioda
T dac˘a ecuat¸ia orar˘a ˆs(t) define¸ste o funct¸ie periodic˘a de t cu perioada T, adic˘a
ˆs(t + T) = ˆs(t). (1.48)
Observat¸ie 1.1.3 Dac˘a mi¸scarea este periodic˘a, atunci viteza ¸si accelerat¸ia
scalar˘a (7
) sunt periodice ˆın t.
1.1.8 Mi¸sc˘ari circulare ¸si uniforme
Mi¸scarea circular˘a este o mi¸scarea plan˘a particular˘a definit˘a astfel:
Definit¸ie 1.1.12 Mi¸scarea unui punct P este numit˘a circular˘a dac˘a traiectoria
sa este un cerc sau un arc de cerc. ˆIn plus, dac˘a viteza este constant˘a, atunci
este numit˘a circular ¸si uniform˘a.
Consider˘am o mi¸scarea circular˘a relativ la un cerc de raz˘a R (Figura 1.9).
Dac˘a not˘am cu s abscisa curbilie astfel ˆıncˆat 0 ≤ s ≤ 2πR, ¸si dac˘a pre-
supunem c˘a s = ˆs(t) este ecuat¸ia orar˘a corespunz˘atoare, atunci vectorii viteza
¸si accelerat¸ie sunt date de formulele (1.16) ¸si (1.23 ), adic˘a
v = ˙st, a = ¨st +
˙s2
R
n, (1.49)
unde R este raza cercului. Deoarece n = − P −O
|P −O| = −P −O
R , ce-a de a doua
ecuat¸ie din (1.49) poate fi rescris˘a ca
a = ¨st −
˙s2
R2
(P − O). (1.50)
Teorem˘a 1.1.3 Mi¸scarea circular˘a uniform˘a reprezint˘a un exemplu important
de mi¸scare periodic˘a. Dac˘a ˙s = v0, atunci perioada unei astfel de mi¸sc˘ari este
T =
2πR
v0
. (1.51)
Mai mult, accelerat¸ia este centripet˘a ¸si este dat˘a de formula a = −ω2
(P − O),
unde ω = v0/R.
7Prin accelerat¸ie scalar˘a, ˆınt¸elegem componenta accelerat¸iei directe de-a lungul tangentei
la curb˘a.
27. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 23
r
n
P
s
x2
x1
O1O
Figura 1.9:
Demonstrat¸ie. Avem s(t) = Rθ(t) + s0 ¸si prin urmare obt¸inem
v = ˙st = R ˙θt. (1.52)
Deoarece ˙s este constant˘a, rezult˘a c˘a ˙θ este constant˘a ¸si astfel, alegˆand ˙θ = ω,
obt¸inem
ˆθ(t) = ωt + θ0, (1.53)
unde θ0 este valoarea unghiului θ la momentul t = 0. Din (1.52) deducem c˘a
v0 = R ˙θ = Rω,
¸si deci ω = v0/R. Urmeaz˘a din (1.53) c˘a funct¸ia ˆθ satisface relat¸ia
ˆθ(t +
2π
ω
) = ˆθ(t) + 2π,
¸si prin urmare mi¸scarea este periodic˘a cu perioada 2π/ω (a se vedea Figura 1.9).
Prin urmare, deoarece ω = v0/R, rezult˘a c˘a perioada mi¸sc˘arii circulare este
T =
2π
ω
=
2πR
v0
. (1.54)
Inversa acestei perioade este numit˘a frecvent¸˘a ν = 1
T = ω
2π .
Deoarece t = 1
R k × (P − O), unde k este vector unitar, ortogonal cercului ¸si
direct¸ionat astfel ca t, k, (P −O) s˘a formeze un triplet drept, din (1.52) obt¸inem
v = ˙θk × (P − O) = ω × (P − O), (1.55)
28. 24 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
unde ω = ˙θk este numit˘a vitez˘a unghiular˘a.
Expresia (1.55) pentru viteza lui P ˆın termenii vectorului ω poate fi de
asemenea scris˘a folosind matricea antisimetric˘a W = (Whk) legat˘a de vectorul
ω = (ω1, ω2, ω3) ¸si definit˘a astfel
W =
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
.
Este u¸sor de verificat (8
) c˘a , dac˘a x = (x1, x2, x3), atunci ω×(P −O) = Wx,
¸si deci
v = Wx.
Mai mult, deoarece
ˆs(t) = Rˆθ(t) = R(ωt + θ0),
rezult˘a c˘a funct¸ia ˆs este de asemenea periodic˘a cu perioada T = 2πR
v0
, ¸si deci
mi¸scarea este periodic˘a cu aceea¸si perioada T.
ˆIn final, deoarece mi¸scarea este uniform˘a (¨s = 0), accelerat¸ia este centripet˘a
a =
v2
0
R
n = −ω2
(P − O). (1.56)
Ecuat¸iile carteziene a mi¸sc˘arii circulare sunt
x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, θ = ˆθ(t).
Dac˘a mi¸scarea este uniform˘a, atunci ˆθ(t) = ωt + θ0, ¸si astfel
x1 = R cos(ωt + θ0), x2 = R sin(ωt + θ0).
Exercit¸iu 1.1.12 Mi¸scarea unui punct P este descris˘a de x(t) = 3 cos ωti1 +
3 sin ωti2, unde ω este o constant˘a prescris˘a. S˘a se demonstreze c˘a mi¸scarea
este central˘a. Calculat¸i x · v ¸si x × v.
Solut¸ie. Avem v = −3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2 and a = −3ω2
cos ωti1 −
3ω2
sin ωti2. Apoi, avem a = −ω2
x ¸si deci mi¸scarea este central˘a. Obt¸inem
x·v = −9ω sin ωt cos ωt+9ω sin ωt cos ωt = 0 ¸si x×v = (3 cos ωti1 +3 sin ωti2)×
(−3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2) = 9ωi3.
Exercit¸iu 1.1.13 Un punct P se mi¸sc˘a pe un cerc a c˘arui raz˘a este R cu
accelerat¸ia tangent¸ial˘a constant˘a at. Punctul P porne¸ste din P0 la momentul
t = 0. Determinat¸i intervalul de timp ˆın care accelerat¸ia centripet˘a an devine
egal˘a cu accelerat¸ia tangent¸ial˘a at.
Solut¸ie. Avem at = ¨s ¸si an = ˙s2
ρ = ˙s2
R . Astfel, deducem c˘a ˙s = att + c ¸si,
din condit¸ia init¸ial˘a ˙s(0) = 0, obt¸inem ˙s = att. Avem an = at unde ˙s2
R = at ¸si
deci (att)2
= Rat. Prin urmare, intervalul cerut este t = R
at
.
8A se vedea Teorema D.2 din Appendix D.
29. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 25
Exercit¸iu 1.1.14 Un punct se mi¸sc˘a pe cercul de raza R dup˘a urm˘atoarea
ecuat¸ie orar˘a s = v0t − c
2 t2
, unde v0 ¸si c sunt constante. S˘a se determine
m˘arimea accelerat¸iei.
Solut¸ie. Avem ˙s = v0 − ct ¸si ¨s = −c, ¸si astfel obt¸inem
a = ¨st +
˙s2
ρ
n = −ct +
(v0 − ct)
2
R
n.
Deci, avem
a = c2 +
(v0 − ct)
4
R2
.
Exercit¸iu 1.1.15 Un punct se mi¸sc˘a pe un cerc de raz˘a R cu accelerat¸ia unghi-
ular˘a constant˘a α. La momentul t = 0, punctul porne¸ste din repaus. S˘a se
demonstreze c˘a la momentul t viteza unghiular˘a este ω = αt ¸si c˘a a parcurs
lungimea de arc s = 1
2 Rαt2
.
Solut¸ie. Deoarece ¨θ = α, rezult˘a c˘a θ = 1
2 αt2
+ θ1t + θ0, unde θ0, θ1 sunt
constante. Luˆand ˆın considerare condit¸iile init¸iale, deducem c˘a θ1 = 0 ¸si deci
θ − θ0 = 1
2 αt2
. Apoi, avem ω = αt ¸si s = R[θ(t) − θ0] = 1
2 Rαt2
.
1.1.9 Mi¸sc˘ari armonice
ˆIncepem cu studiul unei miscari circulare uniforme a unui punct P pe un cerc
de centru O ¸si raz˘a R. Not˘am cu P∗
proiect¸ia lui P pe un diametru fixat
AB. Atunci, ˆın timp ce P descrie cercul, P∗
se mi¸sc˘a pe diametrul AB dup˘a
urm˘atoarea lege (Figura 1.10):
x = R cos( ˙θt + θ0),
unde x este componenta lui P −O de-a lungul diametrului AB, ¸si θ este unghiul
POB. ˆIn final, θ0 este valoarea lui θ la t = 0. Deoarece mi¸scarea este uniform˘a,
˙θ = ω este constant ¸si avem
x = R cos(ωt + θ0), (1.57)
¨x = −Rω2
cos(ωt + θ0). (1.58)
Definit¸ie 1.1.13 O mi¸scare rectilinie este numit˘a oscilat¸ie armonic˘a dac˘a ecuat¸ia
orar˘a este dat˘a de
s(t) = C cos(ωt + γ), (1.59)
unde constantele C, ω ¸si γ sunt numite amplitudine, pulsat¸ie (sau frecvent¸˘a
unghiular˘a) ¸si faz˘a.
Rezult˘a din (1.57) c˘a mi¸scarea lui P∗
de-a lungul diametrului AB este ar-
monic˘a. ˆIn plus, din (1.57) ¸si (1.58), obt¸inem proprietatea important˘a descris˘a
de ecuat¸ia
¨s = −ω2
s, (1.60)
30. 26 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
P
A P* xx
θ
BO
Figura 1.10:
adic˘a,ˆıntr-o mi¸scare armonic˘a, accelerat¸ia scalar˘a ¨s este proport¸ional˘a cu distant¸a
parcurs˘a s, are semn opus ¸si coeficient¸ul s˘au de proport¸ionalitate este egal cu
p˘atratul frecvent¸ei unghiulare ω.
Not˘am c˘a expresia (1.60) nu cont¸ine nici amplitudinea, nici faza init¸ial˘a a
mi¸sc˘arii armonice. ˆIntr-adev˘ar, avem urm˘atorul rezultat:
Teorem˘a 1.1.4 Orice mi¸scare armonic˘a de frecvent¸˘a unghiular˘a ω (cu ampli-
tudine a ¸si faz˘a arbitrar˘a) satisface ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.60), ¸si vice versa.
Demontrat¸ie. Dac˘a A este amplitudinea ¸si γ este faza init¸ial˘a a unei
mi¸sc˘ari armonice date
s(t) = A cos(ωt + γ),
atunci, ˆın baza relat¸iilor (1.57) ¸si (1.58), satisface ecuat¸ia (1.60).
Vice versa, dat˘a ecuat¸ia diferent¸ial˘a (1.60), concluzion˘am c˘a ecuat¸ia carac-
teristic˘a este
λ2
+ ω2
= 0,
a c˘arui solut¸ii sunt λ1 = −iω, λ2 = iω; astfel, solut¸ia general˘a este dat˘a de
formula
s(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt. (1.61)
Alegˆand dou˘a constante A ¸si γ astfel ca
C1 = A cos γ, C2 = −A sin γ,
din (1.61) obt¸inem
s(t) = A cos ωt cos γ − A sin ωt sin γ = A cos(ωt + γ).
Astfel, ecuat¸ia (1.60) este caracteristic˘a mi¸sc˘arilor armonice cu frecvent¸a unghi-
ular˘a ω.
31. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 27
Observat¸ie 1.1.4 O mi¸scare armonic˘a cu frecvent¸a unghiular˘a ω are aceea¸si
perioad˘a cu mi¸scarea circular˘a uniform˘a, adic˘a, T = 2π/ω; ˆın timp ce ampli-
tudinea oscilat¸iei coincide cu rasa cercului, ¸si faza coincide cu valoarea unghiului
θ la t = 0.
Exercit¸iu 1.1.16 Un punct P are o mi¸scare oscilatorie armonic˘a descris˘a de
ecuat¸ia
x = A sin
2π
T
t .
Pentru x = x1 viteza punctului este v1, ˆın timp ce pentru x = x2 viteza este
v2. S˘a se determine amplitudinea A ¸si perioada T a mi¸sc˘arii oscilatorii a
punctului P.
Solut¸ie. Viteza punctului P este v = A2π
T cos 2π
T t . Atunci, din ipotez˘a,
avem
x1 = A sin
2π
T
t1 , v1 = A
2π
T
cos
2π
T
t1 ,
x2 = A sin
2π
T
t2 , v2 = A
2π
T
cos
2π
T
t2 .
Eliminˆand t1 ¸si t2, obt¸inem
x2
1 +
T2
4π2
v2
1 = A2
, x2
2 +
T2
4π2
v2
2 = A2
,
din care deducem
A =
x2
1v2
2 − x2
2v2
1
v2
2 − v2
1
, T = 2π
x2
1 − x2
2
v2
2 − v2
1
.
Exercit¸iu 1.1.17 Legea de mi¸scare a unui lift este x = H
2 (1 − cos ϕ), unde H
este cea mai mare ˆın˘alt¸ime la care ajunge liftul ¸si ϕ = 2k
H t, k = constant. S˘a
se determine viteza ¸si accelerat¸ia liftului. Determinat¸i timpul necesar liftului pe
tru a ajunge la ˆın˘alt¸imea H.
Solut¸ie. Prin deriv˘ari succesive, obt¸inem
v =
kH
2
sin ϕ, a = k cos ϕ.
ˆIn plus, pentru x = H, deducem H
2 (1 − cos ϕ) = H ¸si deci ϕ = π. Astfel,
relat¸ia π = 2k
H t ne ofer˘a timpul t = π H
2k .
32. 28 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x2
x3
x1
P
P
P *
θ
O
Figura 1.11:
33. 1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 29
1.1.10 Mi¸sc˘ari elicoidale
Consider˘am un cilindru circular de raz˘a R. Numim elice circular˘a o form˘a
descris˘a de o curb˘a care intersecteaz˘a mereu generatoarea cilindrului sub un alt
unghi (Figura 1.11).
Definit¸ie 1.1.14 Mi¸scarea unui punct P pe o suprafat¸˘a cilindric˘a este numit˘a
elicoidal˘a dac˘a punctul P se mi¸sc˘a pe cilindru dup˘a o elice.
Alegem un sistem cartezian ortogonal (O, x1, x2, x3) astfel ca axa x3− s˘a
coincid˘a cu axa cilindrului. Apoi, not˘am cu θ unghiul dintre proiect¸ia (P∗
− O)
a lui (P − O) pe planul x1Ox2 ¸si axa x1.
Este posibil s˘a reprezent˘am mi¸scarea punctului folosind urm˘atoarea expresie
a vectorului (P − O) :
P − O = (P − P∗
) + (P∗
− O). (1.62)
Deoarece mi¸scarea punctului P∗
este una circular˘a, alegˆand convenabil sistemul
de referint¸˘a (O, x1, x2, x3), obt¸inem
P − O = R cos θi1 + R sin θi2 + hθi3,
unde h este un parametru ales astfel ca |P − P | = 2πh. Observ˘a c˘a |P − P |
reprezint˘a distant¸a dintre dou˘a puncte consecutive ale elicei, situate pe aceea¸si
generatoare ¸si numit˘a pasul elicei. Din ultima relat¸ie obt¸inem
x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, x3 = hθ.
Acest sistem reprezint˘a (elicea) drumul lui P, ˆın timp ce ecuat¸ia orar˘a este dat˘a
ˆın termenii lui θ, de funct¸ia θ = ˆθ(t).
Dac˘a mi¸scarea este uniform˘a, atunci avem ˙θ = constant, ¸si mi¸scarea va fi
numit˘a elicoidal˘a ¸si uniform˘a.
Folosind formula (1.62), este posibil s˘a obt¸inem urm˘atoarea descompunere
a vitezei:
v =
d(P − O)
dt
=
d(P − P∗
)
dt
+
d(P∗
− O)
dt
.
Deoarece mi¸scarea lui P∗
este circular˘a, avem
v = h ˙θi3 + ˙θi3 × (P∗
− O).
Astfel, din ω(t) = ˙θ(t)i3, obt¸inem
v = hω + ω × (P∗
− O).
Ultima relat¸ie demonstreaz˘a c˘a viteza are dou˘a componente, prima corespunde
unei mi¸sc˘ari rectilinii de-a lungul axei x3− ¸si ce-a de a doua corespunde unei
34. 30 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
mi¸sc˘ari circulare. S˘a definim acum vectorul tangent t ¸si normala principal˘a n.
Deoarece s = (R2
+ h2
)1/2
θ, avem dθ
ds = (R2
+ h2
)−1/2
. Mai mult, obt¸inem
t =
dP
dθ
dθ
ds
=
dθ
ds
(−R sin θi1 + R cos θi2 + hi3),
n = ρ
dt
ds
= ρ
dt
dθ
dθ
ds
= ρ
dθ
ds
2
R(− cos θi1 − sin θi2).
Deoarece n este un vector unitar, deducem din ultima relat¸ie c˘a ρ = dθ
ds
−2 1
R =
R2
+h2
R , ¸si ˆın consecint¸˘a avem n = −P ∗
−O
R . Astfel, normala principal˘a la curb˘a
coincide cu normala la suprafat¸˘a ¸si astfel elicile sunt geodezice (9
) ale cilindrului.
Trebuie punctat faptul c˘a o descriere general˘a a mi¸sc˘arii folosind coordo-
natele curbilinii este prezentat˘a ˆın Appendix A.
Exercit¸iu 1.1.18 Mi¸scarea unui punct este dat˘a de x = a cos e−t
i1+a sin e−t
i2+
be−t
i3, unde a, b sunt constante pozitive. S˘a se determine componentele tangent¸ial˘a
¸si normal˘a ale accelarat¸iei punctului.
Solut¸ie. Avem o mi¸scare elicoidal˘a. Prin derivare direct˘a, avem dx =
−e−t
(−a sin e−t
i1 + a cos e−t
i2 + bi3) dt, ¸si deci ds = e−t
√
a2 + b2dt. Mai mult,
avem
t =
dx
ds
=
1
√
a2 + b2
a sin e−t
i1 − a cos e−t
i2 − bi3 ,
¸si
dt
ds
=
dt
dt
dt
ds
= −
a
a2 + b2
cos e−t
i1 + sin e−t
i2 .
Apoi, deducem c˘a
v = ˙st = e−t
a2 + b2t,
¸si
at = ¨st = −e−t
a2 + b2t, an = ˙s2 dt
ds
= −ae−2t
h,
unde h = cos e−t
i1 + sin e−t
i2.
1.2 Cinematica sistemelor materiale ¸si corpurilor
rigide
1.2.1 Leg˘aturi ¸si sisteme olonome
S˘a consider˘am un sistem material B de N puncte materiale, care sunt notate cu
P1, P2, . . ., PN . Dac˘a punctele sunt libere s˘a ocupe pozit¸ii arbitrare din spat¸iu,
atunci sistemul material este numit liber. Configurat¸ia sistemului material liber
a N puncte dat˘a ˆıntr-un sistem de referint¸˘a (O, x1, x2, x3) este cunoscut˘a atunci
9Reamintim c˘a geodezica la o suprafat¸˘a este acea curb˘a de pe suprafat¸˘a a c˘arui normal˘a
este direct¸ionat˘a de-a lungul normalei la suprafat¸˘a (a se vedea Appendix A, definit¸ia A.13).
35. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE31
cˆand sunt cunoscut¸i vectorii de pozit¸ie ai fiec˘arui punct relativ la un punct fixat
ˆın (O, x1, x2, x3). Astfel, N cantit˘at¸i vectoriale sau, echivalent, 3N cantit˘at¸i
scalare sunt cerute pentru a specifica configurat¸ia sistemului material liber ˆıntr-
un sistem de referint¸˘a fixat.
Dac˘a, spre deosebire, mi¸scarea unui sistem material este afectat˘a de prezent¸a
corpurilor care vin ˆın contact cu cˆateva dintre punctele lui B, leg˘aturi pot fi
impuse asupra pozit¸iilor pe care punctele materiale le pot ocupa sau asupra
maniereiˆın care aceste pozit¸ii se pot schimba. ˆIn acest caz, clasa P, reprezentˆand
toate pozit¸iile posibile ale sistemului material B, nu este destul de larg˘a pen-
tru a permite corpului B s˘a aib˘a o configurat¸i arbitrar˘a ˆın E. Se spune astfel
c˘a sistemul material B este supus la leg˘aturi. Dac˘a, pornind de la cunoa¸sterea
cˆatorva componente ale deplas˘arilor sistemului material, putem afirma ceva de-
spre deplas˘arile r˘amase, putem spune c˘a aceast˘a leg˘atur˘a este activ˘a.
Definit¸ie 1.2.1 Numim leg˘atur˘a orice mecanism care impune restrict¸ii privind
pozit¸ia ¸si viteza ale celor N puncte care formeaz˘a sistemul material. Aceste
restrict¸ii pot fi exprimate analitic prin intermediul unei relat¸ii ˆıntre coordonatele
¸si vitezele punctelor sistemului de material ˆın forma
ψ (x1, x2, . . . , xN , ˙x1, ˙x2, . . . , ˙xN , t) ≥ 0. (1.63)
ˆIn relat¸iile de mai sus, (xi, ˙xi) reprezint˘a pozit¸ia ¸si viteza punctului Pi, i =
1, 2, ..., N. Mai mult, noi vom presupune ulterioe c˘a funct¸ia ψ este suficient de
regulat˘a.
Ca un prim exemplu de sistem material care este supus leg˘aturilor, putem
considera un sistem rigid, care este un sistem material P1, P2, ..., PN pentru
care distant¸ele dintre punctele r˘amˆan invariabile ˆın raport cu timpul, adic˘a
d(Ph(t), Pk(t)) = dhk, h, k = 1, 2, ..., N,
unde d reprezint˘a distant¸a dintre puncte ¸si dhk sunt independente de timp.
Un alt exemplu de sistem constrˆans poate fi g˘asit ˆın studiul mi¸sc˘arii unui
punct P fort¸at s˘a se mi¸ste pe un cerc. De fapt, dac˘a O este centrul cercului de
raz˘a R, avem
(P − O)2
= R2
. (1.64)
Definit¸ie 1.2.2 Spunem c˘a o leg˘atur˘a este bilateral˘a cˆand restrict¸iile sistemu-
lui materil pot fi reprezentate de o relat¸ie de tipul (1.63) dar cu egalitate.
Spunem c˘a avem o leg˘atur˘a unilateral˘a cˆand relat¸ia ce o descrie este o ine-
galitate.
Exemplele de mai sus reprezentˆand un sistem rigid ¸si un punct ce se mi¸sc˘a
pe cerc descriu leg˘aturi bilaterale. Un exemplu de leg˘atur˘a unilaterl˘a este acela
a unui punct fort¸at s˘a r˘amˆan˘a ˆıntr-un plan sau cel a unui punct constrˆans s˘a
r˘amˆan˘a ˆın interiorul unei sfere.
36. 32 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
PR(t)
x2
x1
O
Figura 1.12:
Definit¸ie 1.2.3 Spunem c˘a o leg˘atur˘a este scleronom˘a sau independent˘a de
timp dac˘a relat¸ia care descrie leg˘atur˘a nu cont¸ine timpul ˆın mod explicit. O
leg˘atur˘a este reonom˘a sau dependent˘a de timp dac˘a relat¸ia care descrie leg˘atura
depinde explicit de timp.
Un exemplu de leg˘atur˘a reonom˘a este descris˘a de Figura 1.12 de un punct
constrˆans s˘a r˘amˆan˘a pe un cerc de raz˘a R(t), variabil˘a ˆın timp, adic˘a este
leg˘atura reprezentat˘a de
(P − O)2
= x2
1 + x2
2 = R2
(t).
Definit¸ie 1.2.4 O leg˘atur˘a este numit˘a olonom˘a sau geometric˘a sau de pozit¸ie
dac˘a ea restrict¸ioneaz˘a doar pozit¸iile sistemului ¸si deci aceste leg˘aturi sunt in-
dependente de vitezele punctelor, adic˘a leg˘atur˘aa are urm˘atoarea form˘a
ψ (x1, x2, . . . , xN , t) ≥ 0. (1.65)
ˆIn general, o leg˘atur˘a este numit˘a neolonom˘a sau cinematic˘a sau de mi¸scare
dac˘a relat¸iile care descriu leg˘atura sunt dependente de vitezele punctelor ¸si deci
au forma (1.63).
Exemplele pe care le-am considerat mai sus sunt toate referitoare la leg˘aturi
olonome. Un exemplu de leg˘atur˘a neolonom˘a este reprezentat de leg˘atur˘aa
care determin˘a rostogolirea unei sfere pe un plan far˘a s˘a alunece. Vom discuta
ulterior modul ˆın care aceast˘a leg˘atur˘a poate fi definit˘a de o ecuat¸ie de forma
(1.63).
37. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE33
ˆIn domeniul mecanicii, leg˘aturile neolonome nu sunt foarte frecventˆıntˆalnite.
Aceste leg˘aturi sunt de obicei exprimate prin relat¸ii care sunt liniareˆın raport cu
vitezele punctelor care formeaz˘a sistemul. Pentru cazul unui sistem constituit
dintr-un num˘r finit N de puncte supuse unor leg˘aturi bilaterale, aceste relat¸ii
au urm˘atoarea forma:
N
s=1
as(x1, . . . , xN , t) · ˙xs + α (x1, . . . , xN , t) = 0. (1.66)
De fapt, pentru a fi un sistem neolonom, forma diferent¸ial˘a (1.66) trebuie s˘a nu
fie integrabil˘a. Aceasta ˆınseamna c˘a nu exist˘a nicio funct¸ie ˆF care depinde de
coordonatele punctelor sistemului material, astfel ca
d
dt
ˆF(x1, . . . , xN , t) =
N
s=1
as(x1, . . . , xN , t) · ˙xs + α (x1, . . . , xN , t) = 0. (1.67)
ˆIntr-adev˘ar, dac˘a o astfel de funct¸ie ar exista, din (1.67), putem obt¸ine
ˆF(x1, . . . , xN , t) = constant, (1.68)
care este o relat¸ie de tipul (1.65), ¸si care caracterizeaz˘a o leg˘atur˘a olonom˘a.
Prin urmare, pentru a avea o leg˘atur˘a neolonom˘a, este esent¸ial ca relat¸ia (1.66)
s˘a nu fie o form˘a diferential˘a integrabil˘a . ˆIn caz contrar, leg˘atura olonom˘a s-ar
putea exprima ca relat¸ii reductibile la ecuat¸ia (1.68).
Definit¸ie 1.2.5 Un sistem material este numit olonom dac˘a posibilele sale
leg˘aturi sunt toate olonome ¸si posibilele sale configurat¸ii pot fi identificate ˆın
mod unic de un num˘a r finit n de parametri independent¸i, q1, q2,. . . , qn, numit¸i
coordonate generalizate sau coordonate lagrangiane. Num˘arul n este numit
num˘arul gradelor de libertate al sistemului, sau se spune c˘a sistemul are n
grade de libertate.
Un punct material liber (adic˘a, un punct a c˘arui mi¸scarea nu este supus˘a
la nicio leg˘atur˘a, ¸si ˆın consecint¸˘a la relat¸ii de tipul (1.63)) reprezint˘a un sistem
olonom cu trei grade de libertate. Un punct material fort¸at s˘a se mi¸ste pe o
suprafat¸˘a, adic˘a este supus unei leg˘aturi definite de o relat¸ie de urm˘atorul tip:
ϕ (x, y, z, t) = 0,
c reprezint˘a un sistem olonom cu dou˘a grade de libertate. ˆIntr-adev˘ar, pentru a
determina pozit¸ia unui punct pe o suprafat¸˘a, ne trebuie doi parametri. ˆIn final,
un punct constrˆans s˘a se mi¸ste pe o curb˘a reprezint˘a un sistem olonom cu doar
un grad de libertate, deoarece un parametru este suficient pentru a identifica
pozit¸ia punctului pe o curb˘a dat˘a.
Este posibil s˘a prezent˘am conceptul de grad de libertate ¸si num˘arul lor
pornind cu un sistem constituit dintr-un num˘ar finit N de puncte materiale
38. 34 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
cu constrangeri olonome bilaterale. Dac˘a sistemul este supus la r < 3N leg˘aturi
bilaterale, definite de r ecuat¸ii independente de urm˘atorul tip:
ψh(x1, x2, . . . , xN , t) = 0, h = 1, 2, . . . , r, (1.69)
atunci exist˘a numai n = 3N − r parametri independent¸i, deoarecem folosind
sistemul (1.69), putem, pentru exemplu, exprima r coordonatele ˆın termenii
a celor n = 3N − r r˘amase. Vorbind mai general, putem g˘asi n parametri
independent¸i q1, q2,. . . , qn care determin˘a pozit¸ia oric˘arui punct al sistemul,
adic˘a avem
Ps = Ps(q1, . . . , qn, t), s = 1, 2, . . . , N. (1.70)
Prin urmare, num˘arul n de grade de libertate a sistemului poate fi obt¸inut
sc˘azˆand num˘arul r al ecuat¸iilor leg˘aturilor din 3N, care este num˘arul gradelor
de libertate ale unui sistem constituit din puncte libere.
Pentru un sistem material dat, este posibil s˘a asociem n coordonate la-
grangiane q1, q2, . . . , qn ˆıntr-un num˘ar infinit de moduri. ˆIntr-adev˘ar, orice
transformare χ : Rn
→ Rn
care este injectiv˘a ¸si suficient de regulat˘a poate
determina un nou n–uplu de parametri lagrangiani.
Presupunem c˘a, pe lˆang˘a leg˘aturile bilaterale, un sistem olonom este de
asemenea supus la leg˘aturi unilaterale de urm˘atoarea form˘a
ψ (x1, x2, . . . , xN , t) ≥ 0. (1.71)
Este clar c˘a, dac˘a lu˘am ˆın calcul doar leg˘aturi bilaterale, folosind argumentat¸ii
similare cu cele folosite mai sus, putem defini de asemenea, ˆın acest caz, n co-
ordonate lagrangiane q1, q2, . . . , qn, ¸si ˆın consecint¸˘a obt¸inem ecuat¸iile (1.70).
Deoarece coordonatele punctelor sistemului trebuie s˘a satisfac˘a inegalit˘at¸ile
(1.71), ace¸sti parametri lagrangiani vor satisface de asemenea inegalit˘at¸i de
urm˘atoarea form˘a:
ϕ (q1, q2, . . . , qn, t) ≥ 0. (1.72)
Este posibil s˘a explic˘am de ce aceste inegalit˘at¸i nu pot reduce num˘arul de
grade de libertate ¸si prin ramˆane egal cu cea a sistemului care este supus nu-
mai la leg˘aturi olonome ¸si bilaterale. Spre exemplu, num˘arul de parametri
independent¸i pentru un punct de constrˆans s˘a se mi¸ste ˆıntr-o camera num˘arul
gradelor de libertate r˘amˆane egal cu trei, chiar dac˘a ace¸sti parametri sunt legat¸i
reciproc prin intermediul relatiilor de tipul (1.72), deoarece punctele nu pot
par˘asi sala.
Definit¸ie 1.2.6 Un sistem material este numit neolonom dac˘a este supus la cel
put¸in o leg˘atur˘a neolonom˘a.
De¸si leg˘aturile neolonome impun unele restrict¸ii cu privire la vitezele punctelor
din sistem, nu le interzice s˘a aib˘a orice pozitie decˆat dac˘a este supus˘a unei
leg˘aturi olonome, astfel leg˘aturile neolonome nu reduc num˘arul de parametri
lagrangiani ai sistemului. Prin urmare, ˆın studiul sistemelor neolonome, tre-
buie mai ˆıntˆai s˘a consider˘am sistemul material care este supus doar la leg˘aturi
39. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE35
olonome pentru a determina gradele de libertate ¸si a parametrilor lagrangiani;
apoi, trebuie s˘a introducem noi leg˘aturi neolonome cum ar fi noi ecuat¸ii sau ine-
galit˘at¸i. Dac˘a q1, q2, . . . , qn sunt parametri lagrangiani a unui sistem cu n grade
de libertate, atunci leg˘atura neolonom˘a de tipul (1.66) poate fi reprezentat˘a ca
n
i=1
Ai(q; t) ˙qi + α(q; t) = 0. (1.73)
Exercit¸iu 1.2.1 Pentru oricare din urm˘atoarele cazuri, determinat¸i dac˘a leg˘atur˘a
este olonom˘a sau neolonom˘a: a) un punct material care se mi¸sc˘a pe un cerc;
b) un punct material greu care se mi¸sc˘a pe un plan ˆınclinat; c) o plac˘a rigid˘a
alunecˆand pe un plan fixat x1Ox2; d) un punct material P de coordonate (x1, x2, x3)
este fort¸at s˘a se mi¸ste ˆın a¸sa fel ˆıncˆat componentele vitezei satisfac urm˘atoarea
relat¸ie ˙x1 = f(x2, x3) ( ˙x2 + ˙x3), cu ∂f
∂x2
= ∂f
∂x3
; e) o lama subt¸ire rigid˘a fixat˘a
pe o plac˘a rigid˘a care alunec˘a pe un plan fixat x1Ox2.
Solut¸ie. a) Punctul se mi¸sc˘a pe o curb˘a ¸si deci este o leg˘atur˘a olonom˘a.
b) Punctul se mi¸sc˘a pe o suprafat¸˘a ¸si deci leg˘atura este olonom˘a.
c) Placa rigid˘a se mi¸sc˘a pe un planul ˆınclinat fixat ¸si leg˘atura este olonom˘a.
d) Dac˘a aceast˘a leg˘atur˘a ar fi olonom˘a, atunci poate fi scris˘a ˆın urm˘atoarea
form˘a F(x1, x2, x3) = 0. Din aceast˘a ipotez˘a, deducem c˘a
∂F
∂x1
dx1 +
∂F
∂x2
dx2 +
∂F
∂x3
dx3 = 0,
¸si aceasta coincide cu relat¸ia de leg˘atur˘a
dx1 − f(x2, x3)dx2 − f(x2, x3)dx3 = 0,
dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a λ(x1, x2, x3) astfel ca
∂F
∂x1
= λ,
∂F
∂x2
= −λf,
∂F
∂x3
= −λf.
Dac˘a vom egala derivatele mixte de ordinul doi ale funct¸iei F, obt¸inem
∂λ
∂x2
=
∂λ
∂x3
= −
∂λ
∂x1
f, −
∂λ
∂x3
f − λ
∂f
∂x3
= −
∂λ
∂x2
f − λ
∂f
∂x2
,
¸si deci deducem c˘a
∂f
∂x2
=
∂f
∂x3
,
o relat¸ie care contrazice ipoteza c˘a ∂f
∂x2
= ∂f
∂x3
. Prin urmare, avem o leg˘atur˘a
neolonom˘a.
e) Deoarece avem o mi¸scare de alunecare, f˘ar˘a rotat¸ie ¸si f˘ar˘a pivotare, rezult˘a
c˘a viteza unui punct P al lamei subt¸iri este tangent˘a la lam˘a. Dac˘a vom nota
cu x1 ¸si x2 coordonatele punctului ¸si cu θ unghiul format de lam˘a cu axa Ox1,
40. 36 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
atunci x1, x2 ¸si θ constituie coordonatele generalizate pentru lama subt¸ire ¸si, ˆın
plus, avem
dx2
dx1
= tan θ. (1.74)
Leg˘atura de mai sus este neolonom˘a, deoarece nu este integrabil˘a. De fapt, dac˘a
presupunem c˘a exist˘a o relat¸ie de tipul F(x1, x2, θ) = 0, deducem c˘a
∂F
∂x1
dx1 +
∂F
∂x2
dx2 +
∂F
∂θ
dθ = 0, (1.75)
¸si deci, luˆand ˆın considerare leg˘atura (1.74) ¸si deoarece dθ este arbitrar, obt¸inem
∂F
∂θ
= 0,
∂F
∂x1
+
∂F
∂x2
tan θ = 0. (1.76)
Prima relat¸ie din (1.76) implic˘a c˘a F este independent de θ, ˆın timp ce a doua
relat¸ie din (1.76) conduce la
∂F
∂x1
= 0,
∂F
∂x2
= 0,
deoarece tan θ este arbitrar. Astfel, putem concluziona c˘a F este independent
de x1, x2 ¸si θ ¸si nu poate fi o leg˘atur˘a. Aceasta constradict¸ie provide din faptul
c˘a am presupuns c˘a (1.74) este o leg˘atur˘a olonom˘a. A¸sadar, leg˘atura (1.74) este
neolonom˘a.
Exercit¸iu 1.2.2 Determinat¸i num˘arul gradelor de libertate pentru urm˘atoarele
cazuri: a) un punct care se mi¸sc˘a pe o curb˘a din spat¸iu: b) trei punct care se
mi¸sc˘a liber ˆıntr-un plan: c) patru puncte care se mi¸sc˘a liber ˆın spat¸iu: d) dou˘a
puncte care se mi¸sc˘a ˆın spat¸iu, unite printr-o bar˘a rigid˘a
Solut¸ie. a) Curba din spat¸iu poate fi dat˘a de reprezentarea natural˘a x1 =
x1(s), x2 = x2(s), x3 = x3(s). Prin urmare, pozit¸ia punctului pe curb˘a poate fi
descris˘a de parametrul specificats. Astfel, sistemul are un grad de libertate.
b) Fiecare punct cere dou˘a coordontate pentru a ˆıi specifica pozit¸ia sa ˆın
plan. Astfel, sunt necesare 3 · 2 = 6 coordonate pentru a specifica pozit¸ia
tuturor celor trei puncte ¸si astfel sistemul are 6 grade de libertate.
c) Pentru a specifica pozit¸ia unui punct material din sistemul considerat,
avem nevoie de trei coordonate. Astfel, sistemul necesit˘a 4 · 3 = 12 coordonate
¸si deci are 12 grade de libertate.
d) Coordonatele (x1, x2, x3) ¸si (y1, y2, y3) ale celor dou˘a punct sunt ˆın a¸sa fel
ˆıncˆat distant¸a dintre ele r˘amˆane constant˘a, adic˘a (x1 −y1)2
+(x2 −y2)2
+(x3 −
y3)2
= constant. Prin urmare, una din cele ¸sase coordonate poate fi exprimat˘a
ˆın termenii celorlalte cinci ¸si deci sistemul are cinci grade de libertate.
Exercit¸iu 1.2.3 Cˆate grade de libertate are un corp rigid cˆand: a) se mi¸sc˘a
liber ˆın spat¸iul tridimensional; b) are un punct fix ¸si se mi¸sc˘a ˆın jurul lui; c)
are dou˘a puncte fixe ¸si se mi¸sc˘a ˆın jurul axei ce trece prin aceste dou˘a puncte
distincte; d) se mi¸sc˘a ˆın jurul unei axe fixe; e) se mi¸sc˘a ˆın a¸sa fel ˆıncˆat trei
puncte necoliniare r˘amˆan ˆıntr-un plan fix.
41. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE37
Solut¸ie. Dac˘a trei puncte necoliniare Pi, i = 1, 2, 3, ale rigidului sunt fixate,
atunci ˆıntreg rigidul este fixat. Astfel, mi¸scarea corpului rigid va fi cunoscut˘a
cˆand cunoa¸stem cum se mi¸sc˘a trei puncte necoliniare ae corpului rigid.
a) ˆIntr-un sistem fix de coordonate (O, x1, x2, x3), fie (x1, x2, x3), (y1, y2, y3),
(z1, z2, z3) coordonatele a trei puncte. Deoarece d(P1, P2) = constant, d(P2, P3) =
constant, d(P3, P1) = constant, rezult˘a c˘a
(x1 − y1)2
+ (x2 − y2)2
+ (x3 − y3)2
= constant,
(y1 − z1)2
+ (y2 − z2)2
+ (y3 − z3)2
= constant, (1.77)
(z1 − x1)2
+ (z2 − x2)2
+ (z3 − x3)2
= constant,
¸si deci putem exprima trei coordonateˆın termenii a celorlalte ¸sase. Prin urmare,
avem nevoie de ¸sase coordonate independente pentru a descrie mi¸scarea corpului
rigid ¸si deci aceast˘a mi¸scarea are ¸sase grade libertate.
b) Presupunem punctul fix ca fiind P1 de la punctul anterior a) ¸si deci avem
x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3. (1.78)
Astfel, din sistemul de ecuat¸ii descris de relat¸iile (1.77) ¸si (1.78), putem exprima
¸sase coordonate ˆın termenii a altor trei. Prin urmare, mi¸scarea poate fi descris˘a
prin trei parametri independent¸i ¸si are trei grade de libertate.
c) Presupunem c˘a punctele fixe sunt P1 ¸si P2 de la punctul a), adic˘a
x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3, (1.79)
y1 = b1, y2 = b2, y3 = b3.
Atunci, din sistemul de ecuat¸ii descris de (1.77) ¸si (1.79) putem exprima opt
coordonate ˆın termenii unei singure coordonate. Prin urmare, aceast˘a mi¸scare
poate fi descris˘a doar de un parametru ¸si deci are un grad de libertate.
d) Fie u versorul director al unei drepte fixe (d) ¸si fie P0 x0
1, x0
2, x0
3 un
punct fixat pe (d). Atunci dreapta fix˘a (d) are ecuat¸ia vectorial˘a P − P0 = λu,
λ ∈ R. Lu˘am P1 ¸si P2 pe dreapta (d) ¸si P3 /∈ (d). Atunci, avem P1 − P0 = λ1u,
P2 − P0 = λ2u, cu λ1, λ2 ∈ R ¸si deci
x1 − x0
1 = λ1u1, x2 − x0
2 = λ1u2, x3 − x0
3 = λ1u3,
y1 − x0
1 = λ2u1, y2 − x0
2 = λ2u2, y3 − x0
3 = λ2u3. (1.80)
Prin urmare, din relat¸iile (1.77) ¸si (1.80), puteam exprima nou˘a coordonate ˆın
termenii parametrilor λ1 ¸si λ2. Bazˆandu-ne pe aceasta, putem concluziona c˘a
aceast˘a mi¸scare poate fi descris˘a prin doi parametri independet¸i ¸si deci are dou˘a
grade de libertate.
e) Fie (π) : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 un plan fix. Presupunˆand c˘a Pi ∈ (π),
i = 1, 2, 3, avem
ax1 + bx2 + cx3 + d = 0,
ay1 + by2 + cy3 + d = 0, (1.81)
az1 + bz2 + cz3 + d = 0.
Din relat¸iile (1.77) ¸si (1.81), putem exprima ¸sase coordonate ˆın termenii altor
trei coordonate ¸si deci putem concluziona c˘a mi¸scarea are trei grade de libertate.
42. 38 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x2
y2
x3
y3
x1
y1
P
O
O
Figura 1.13:
1.2.2 Cinematica sistemelor rigide
Multe sisteme materiale sunt constituite de c˘atre un corp rigid sau dintr-un
num˘ar de corpuri rigide conectate ˆıntre ele. Am observat deja c˘a un corp
rigid este un sistem material supus unor leg˘aruti care conserv˘a distant¸ele ˆıntre
punctele corpului, adic˘a, dac˘a P ¸si Q sunt dou˘a puncte arbitrare ale corpului,
avem
(P(t) − Q(t))
2
= constant.
Este important s˘a ret¸inem c˘a un corp rigid este definit ca un model matem-
atic pentru a descrie multe alte corpuri solide ˆıntr-un mod suficient de exact.
Astfel de corpuri nu exist˘a ˆın natura, deoarece ultimele particule componente
ale oric˘arui corp (atomi) sunt ˆıntotdeauna supuse unor mi¸sci relative. Aceast˘a
mi¸scare este microscopic˘a ¸si poate fi neglijat˘a atunci cˆand descriem mi¸scarea
macroscopic˘a a corpului. Pe de alt˘a parte, m˘asur˘atori precise ale acestor corpuri
pot pune ˆın evident¸˘a prezent¸a unor mici deform˘ari. Prin urmare, consider˘am
corpului a fi rigid numai ˆın cazul ˆın care astfel de deform˘ari nu influent¸eaz˘a
mi¸scarea sa.
Consider˘am un corp rigid liber, adic˘a, un rigid supus numai la leg˘aturile
de rigiditate. Pentru a studia mi¸scarea sa, vom introduce un sistem ortogonal
de referint¸˘a drept (O, x1, x2, x3), pe care ˆıl numim fix ˆın spatiu, fat¸˘a de un
observator la care referim mi¸scarea, ¸si un sistem de referint¸˘a (ortogonal drept)
(O , y1, y2, y3) fixat ˆın corp (a se vedea Figura 1.13).
Propozit¸ie 1.2.1 Pozit¸ia fiec˘arui punct al corpului rigid poate fi identificat˘a
dac˘a se cunoa¸ste configurat¸ia tripletului fixat ˆın corp fat¸˘a de cel fixat ˆın spat¸iu.
43. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE39
Demonstrat¸ie. Fie (c1, c2, c3) un sistem de coordonate carteziene cu orig-
inea ˆın punctul O fat¸˘a de un sistem de referint¸˘a fixat ˆın spact¸iu, fie i1, i2, i3 vec-
torii unitari ai axelor x1, x2, x3 ¸si fie j1, j2, j3 vectorii directori ai axelor y1, y2, y3.
Atunci, cosinusurile αhk ale unghiurilor axelor y1, y2, y3 cu axele triedrului fixat
sunt date de matricea
αhk = ih · jk, jk =
3
h=1
αhkih. (1.82)
Astfel, este posibil s˘a deducem formula care definet¸e transformarea ce face
leg˘atura dintre coordonatele punctului P calculate ˆın cele dou˘a sisteme de
referint¸˘a. Astfel, scriem
P − O = (P − O ) + (O − O). (1.83)
Dac˘a (x1, x2, x3) and (y1, y2, y3) sunt coordonatele lui P fat¸˘a de sistemele
de refet¸˘a cu originea ˆın O ¸si respectiv O , atunci putem scrie mai departe (1.83)
astfel
x1i1 + x2i2 + x3i3 = y1j1 + y2j2 + y3j3 + c1i1 + c2i2 + c3i3 (1.84)
sau ˆın forma echivalent˘a
3
h=1
xhih =
3
k=1
ykjk +
3
h=1
chih.
ˆInmult¸ind ultima ecuat¸ie cu il, obt¸inem
xl = cl +
3
k=1
αlkyk. (1.85)
Astfel, din (1.85), rezult˘a c˘a pozit¸ia fiec˘arui punct P a corpului rigid este de-
terminat˘a odat˘a cu coordonatele punctului O ¸si matricei (αhk), ale c˘arui com-
ponente sunt cosinusurile unghiurilor axelor y1, y2, y3,. Folosind notat¸ia
x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1j1 + y2j2 + y3j3,
c = c1i1 + c2i2 + c3i3, A = (αhk) ,
este posibil s˘a exprim˘am ecuat¸iile (1.84), (1.85) ˆın urm˘aoarea form˘a compact˘a
x = c +
3
k=1
ykjk, (1.86)
x = c + Ay. (1.87)
Rezult˘a din definit¸ia lui αhk, din a doua ecuat¸ie a relat¸iilor (1.82), c˘a
3
k=1
αikαjk = δij, unde δij =
1 pentru i = j
0 pentru i = j
. (1.88)
44. 40 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
ˆIn form˘a matriceal˘a, (1.88) poate fi reprezentat˘a astfel
AAT
= 1, unde 1 este matricea unitate.
Prin urmare, matricea A = (αhk) este ortogonal˘a, ¸si astfel reprezint˘a rotat¸ia,
numit˘a rotat¸ia tripletului (O , y1, y2, y3) fat¸˘a de sistemul de referint¸˘a centrat ˆın
O ¸si avˆand axele paralele cu axele reperului x1, x2, x3. Deci, pentru a determina
pozit¸ia unui rigid, este suficient s˘a spunem configurat¸ia tripletului fix din el.
Pentru aceasta, este necesar s˘a definim ˆın mod precis cele trei coordonate ale
punctului O ¸si cele nou˘a cosinusuri αhk, care, totu¸si, sunt legate ˆıntre ele prin
¸sase relat¸ii (1.88).
Observat¸ie 1.2.1 Un rigid are ¸sase grade de libertate. Totu¸si, pentru a deter-
mina configurat¸ia tripletei solidare cu rigidul, avem nevoie de nou˘a parametri
independent¸i. Ace¸sti parametri pot fi coordonatele originii O ¸si trei unghiuri
independente, astfel sunt unghiurile lui Euler, care, dup˘a cum vom demonstra,
pot fi folosit¸i pentru a defini componentele matricei de rotat¸ie.
ˆIn final, mi¸scarea sistemului rigid este cunoscut˘a dac˘a mi¸scarea punctului
O ¸si legea de schimbare a cosinusurilor αhk sunt determinate; adic˘a
xh(t) = ch(t) +
3
k=1
αhk(t)yk, (1.89)
unde yk sunt coordonatele punctului P relativ la sistemul de referint¸˘a (O , y1, y2, y3)
¸si care nu depind de timp. Astfel, mi¸scarea unui rigid poate fi considerat˘a ca
suma a dou˘a mi¸sc˘ari independente, o translat¸ie a unui punct al corpului plus o
rotat¸ie ˆın jurul acestui punct.
Exercit¸iu 1.2.4 O lam˘a dreptunghiular˘a ABCD cu dimensiunile AB = 10 ¸si
BC = 20 se mi¸sc˘a astfel ˆıncˆat r˘amˆane mereu paralel˘a cu un plan fixat x1Ox2.
Mi¸scarea punctului O (c1, c2, c3), de intersect¸ie a diagonalelor lamei, fat¸˘a de un
sistem de referint¸˘a fix (O, x1, x2, x3) este descris˘a de c1(t) = t2
+ 1, c2(t) =
t2
− 1, c3(t) = 2t. Reperul solidar cu rigidul (O , y1, y2, y3) are o mi¸scare
descris˘a de j1 = cos θi1 + sin θi2, j2 = − sin θi1 + cos θi2, j3 = i3, ¸si θ = πt. S˘a
se determine coordonatele x1, x2, x3 ale vˆarfurilor lamei la momentul t = 1.
Solut¸ie. Fat¸˘a de un sistem de referint¸˘a (O , y1, y2, y3), punctele A, B, C, D
pot fi date (de exemplu) de A(−5, −10, 0), B(5, −10, 0), C(5, 10, 0), D(−5, 10, 0).
La momentul t = 1, pozit¸ia sistemului de referint¸˘a (O , y1, y2, y3) este dat˘a de
O − O = 2i1 + 2i3 ¸si j1 = −i1, j2 = −i2, j3 = i3, ¸si astfel avem
x1i1 + x2i2 + x3i3 = 2i1 + 2i3 + y1j1 + y2j2.
Deci, deducem c˘a
x1 = 2 − y1, x2 = −y2, x3 = 2.
Prin urmare, ˆınlocuid y1 = −5, y2 = −10 ˆın relat¸iile de mai sus, deducem
coordonatele punctului A fat¸˘a de un sistem de referint¸˘a (O, x1, x2, x3) ca fiind
Ax(7, 10, 2). Similar, deducem c˘a Bx(−3, 10, 2), Cx(−3, −10, 2) ¸si Dx(7, −10, 2).
45. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE41
1.2.3 Mi¸sc˘ari particulare ale rigidului
ˆInainte de a studia mi¸scarea unui corp rigid ˆın forma sa general˘a, vom consid-
era cˆateva forme particulare ale mi¸sc˘arii. ˆIn plus, atunci cˆand vorbim despre
mi¸scare, ne vom referi ˆıntotdeauna la un interval de timp alocat pe care ˆıl vom
nota cu I ⊂ R.
Mi¸scarea de translat¸ie
Definit¸ie 1.2.7 Spunem c˘a un rigid execut˘a o mi¸scare de translat¸ie dac˘a orice
reper solidar cu rigidul are o mi¸scare de translat¸ie fat¸˘a de un reper fix ˆın spat¸iu,
adic˘a matricea cosinusurilor directoare αhk este constant˘a ˆın tot timpul mi¸sc˘arii.
Deoarece
xh(t) = ch(t) +
3
k=1
αhkyk,
¸si αhk ¸si yk sunt constante, deducem
˙xh = ˙ch, ¨xh = ¨ch.
Observat¸ie 1.2.2 ˆIn timpul unei mi¸sc˘ari de translat¸ie, toate punctele rigidu-
lui au aceea¸si vitez˘a ¸si aceea¸si accelerat¸ie. Viteza comun˘a a tuturor punctelor
corpului poart˘a numele de cˆampul vitezei de translat¸ie. Reciproca este de aseme-
nea adev˘arat˘a: dac˘a la fiecare moment toate punctele din rigid au aceea¸si vitez˘a
atunci rigidul execut˘a o mi¸scare de translat¸ie. Astfel, o mi¸scare de translat¸ie
poate fi definit˘a prin formula
vP (t) = u(t), t ∈ I, (1.90)
unde vP reprezint˘a viteza unui punct arbitrar P, ¸si u este un vector care nu
depinde de P, pe care ˆıl vom alege s˘a fie egal cu viteza v(O ) a originii O .
Cu ajutorul relat¸iei (1.90), putem deduce urm˘atoare formul˘a pentru de-
plasarea relativ˘a elementar˘a a punctului P :
dP = udt = dO .
Exemplu 1.2.1 Un paralelogram articulat ABCD (figure 1.14) este format din
trei bare AB, BC ¸si CD. Punctele A ¸si D sunt fixe iar barele AB ¸si CD
se pot roti ˆın jurul lor, ˆın timp ce barele sunt conenctate ˆın punctele B ¸si C
prin leg˘aturi articulate. Astfel mi¸scarea barei BC este de translat¸ie, pentru c˘a
sistemul de referint¸˘a (B, y1, y2) fixat de bara BC nu-¸si schimb˘a orientarea ˆın
raport cu sistemul fix de referint¸˘a (A, x1, x2).
Definit¸ie 1.2.8 O mi¸scare de translat¸ie se nume¸ste translat¸ie rectilinie (uni-
form˘a) dac˘a mi¸scarea unui punct arbitrar din rigid este rectilinie (uniform˘a).
46. 42 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
A D
B C
x2
y2
x1
y1
Figura 1.14:
Mi¸scarea de rotat¸ie
Cosider˘am un corp rigid care cont¸ine o ax˘a fix˘a care face obiectul urm˘atoarelor
constrˆangeri: dou˘a puncte O ¸si O1 r˘amˆan fixe, ¸si deci, ˆın particular, prin pro-
priet˘at¸ile corpurilor rigide, ˆıntregul segment cuprins ˆıntre punctele O ¸si O1
r˘amˆan fixe, de asemenea.
Observat¸ie 1.2.3 Un corp rigid care cont¸ine o ax˘a fix˘a formeaz˘a un sistem
cu numai un grad de libertate. Este posibil s˘a alegem unghiul ϕ format de un
plan fix al corpului care cont¸ine axa O − O1cu un alt plan fix care cont¸ine de
asemenea axa fix˘a O − O1 (figura 1.15) ca unic parametru.
Definit¸ie 1.2.9 Mi¸scarea unui corp rigid se nume¸ste de rotat¸ie dac˘a toate
punctele care se afl˘a pe o dreapt˘a fix˘a din corp r˘amˆan fixe. Aceast˘a dreapt˘a
poart˘a numele de ax˘a de rotat¸ie.
S˘a alegem, ca un triplet fix ˆın spat¸iu, un sistem de axe ortogonale cu originea
ˆın O ¸si axa x3 avˆand aceea¸si direct¸ie ca (O1 −O). Ca de obicei, se alege tripletul
ata¸sat corpului cu originea ˆın O cu axa y3 s˘a coincided˘a cu x3, care deci va
avea aceea¸si direct¸ie cu (O1 − O). Notˆand cu ϕ unghiul x1y1, putem exprima
cosinusurile directoare αhk ca funct¸ii de acest unghi. Astfel avem
(αhk) =
cos ϕ − sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
. (1.91)
Prin urmare, ecuat¸iile mi¸sc˘arii de rotat¸ie ale unui corp rigid au urm˘atoarea
form˘a:
x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2,
x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.92)
x3(t) = y3.
47. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE43
x2
y2
x3 ≡ y3
x1
O1
y1
O
ϕ
Figura 1.15:
Folosind sistemul (1.92), putem concluziona c˘a mi¸scare unui punct arbitrar din
rigid este circular˘a. Ridicˆand la puterea a doua ¸si sumˆand primele dou˘a ecuat¸ii
ale sistemului (1.92), obt¸inem
x2
1(t) + x2
2(t) = y2
1 + y2
2 = constant,
x3 = constant. (1.93)
Sistemul (1.93) denot˘a ecuat¸ia unui cerc. Prin urmare, viteza unui punct
arbitrar dintr-un corp rigid care execut˘a o mi¸scare de rotat¸ie este dat˘a de for-
mula:
vP = ˙ϕi3 × (P − O), (1.94)
unde O este un punct fix de pe axa de rotat¸ie. Vectorul ω = ˙ϕi3 poart˘a numele
de viteza unghiular˘a a corpului rigid.
Folosind (1.94), putem imediat s˘a determin˘am urm˘atoarea formul˘a pentru
deplasarea elementara a lui P :
dP = dϕi3 × (P − O).
Mi¸scarea de roto–translatie¸
Definit¸ie 1.2.10 Mi¸scarea unui corp rigid ˆın care o dreapt˘a fix˘a a corpului se
mi¸sc˘a de-alungul unei drepte din spat¸iu se nume¸ste de roto–translat¸ie.
S˘a alegem din nou tripletul (O , y1, y2, y3) cu axa y3 avˆand aceea¸si direct¸ie
cu drepta fix˘a a corpului ¸si cu originea O ˆıntr-un punct de pe aceast˘a dreapt˘a,
48. 44 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
de coordonate O = (0, 0, c3). Este clar c˘a, ˆın acest caz, αhk sunt date de relat¸ia
(1.91), ˆın timp ce ecuat¸iile de mi¸scare au urm˘atoarea form˘a:
x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2,
x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.95)
x3(t) = c3(t) + y3.
Astfel, deducem c˘a proiect¸ia mi¸sc˘arii punctului P pe planul (x1, x2) este un
cerc. Din (1.95), avem
vP = ˙c3(t)i3 + ˙x1i1 + ˙x2i2. (1.96)
ˆIn cele din urm˘a, luˆand ˆın considerarea expresia vitezei de rotat¸ie, obt¸inem
vP = ˙c3(t)i3 + ˙ϕi3 × (P − O ) = v(O ) + ω × (P − O ). (1.97)
Din (1.97), deducem formula pentru deplasarea elementar˘a relativ˘a:
dP = dO + dϕi3 × (P − O ). (1.98)
Mi¸scarea de roto–translat¸ie se numne¸ste elicoidal˘a dac˘a viteza v(O ) din
expresia (1.97) este proport¸ional˘a cu ω.
Exercit¸iu 1.2.5 Un rigid laminat ˆın form˘a dreptunghiular˘a ABCD se mi¸sc˘a
ˆın plan ˆın pozit¸ia A B C D , adic˘a vˆarfurile A, B, C, D se deplaseaz˘a ˆın
vˆarfurile A , B , C , D , respectiv. Demonstrat¸i c˘a mi¸scarea se poate scrie ca o
sum˘a a unor mi¸sc˘ari de translat¸ie ¸si de rotat¸ie ˆın jurul unui punct corespunz˘ator
al rigidului.
Solut¸ie. Fie E un punct ˆın dreptunghiul ABCD care corespunde punctului
E din dreptunghiul A B C D . ˆIn primul rˆand se execut˘a translat¸ia din punctul
E ˆın punctul E , astfel c˘a dreptunghiul ABCD devine A1B1C1D1. Mai departe,
folosind pe E ca punct de rotat¸ie, execut˘am rotat¸ia de unghi θ a dreptunghi-
ului A1B1C1D1, unde θ este unghiul dintre dreptele suport ale laturilor AB ¸si
respectiv A B . Astfel mi¸scarea este compus˘a dintr-o translat¸ie ¸si o rotat¸ie.
1.2.4 Unghiurile lui Euler
Presupunem c˘a, pe lˆang˘a sistemul de referint¸˘a (O , y1, y2, y3) ata¸sat rigidului,
este dat un nou sistem de referint¸˘a (O , z1, z2, z3), cu origineaˆın acela¸si punct O ,
dar care are axele paralele cu axele x1, x2, x3 (Figura 1.16). Configurat¸ia corpu-
lui rigid se va defini din nou ˆın funct¸ie de coordonatele lui O ¸si de cosinusurile
directoare ale axelor y1, y2, y3 ˆın funct¸ie de tripletul z1, z2, z3. ˆIn mod normal,
ace¸sti cosinu¸si directori coincid cu αhk. Astfel, matricea de rotat¸ie A = (αhk)
descrie complet orientarea relativ˘a a celor dou˘a sisteme. Matricea de rotat¸ie
A cont¸ine trei unghiuri independente. Sunt multe posibilit˘at¸i de a alege aceste
49. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE45
x2
y2
x3
y3
x1
z2
z3
z1
y1
P
O
O
n
θ
ϕψ
Figura 1.16:
unghiuri. O posibilitate foarte popular˘a este reprezentat˘a de schema de rotat¸ie
a lui Euler (10
).
Fie drepata n, numit˘a linia nodurilor, obt¸inut˘a ca intersect¸ia dintre planul
(O , y1, y2) cu planul (O , z1, z2). Alegem orientarea acestei drepte astfel ˆıncˆat
(O , z3), (O , y3) ¸si n s˘a formeze un triplet compatibil cu regula mˆainii drepte.
Definit¸ie 1.2.11 Numim unghiul de nutat¸ie θ unghiul format de (O , y3) ¸si
(O , z3); de asemenea numim unghiul de precesie ψ unghiul format de (O , z1)
cu n; ¸si ˆın final, numin unghiul de rotat¸ie proprie ϕ unghiul format de n cu
(O , y1). Cele trei unghiuri θ, ψ ¸si ϕ poart˘a numele de unghiurile lui Euler, ¸si
direct¸iile lor pozitive se g˘asesc cu regula mˆainii drepte aplicat˘a pentru n, (O , z3)
¸si (O , y3).
Observat¸ie 1.2.4 Dup˘a ce cele dou˘a sisteme (O , y1, y2, y3) ¸si (O , z1, z2, z3)
au fost date, unghiurile lui Euler se determin˘a ˆın mod unic. Reciproc, dac˘a
se d˘a tripletul (O , z1, z2, z3) ¸si unghiurile lui Euler θ, ψ, ϕ, atunci tripletul
(O , y1, y2, y3) se determin˘a ˆın mod unic. Prin urmare, coeficient¸ii αhk pot fi
determinat¸i din moment ce ψ determin˘a linia nodurilor, θ determin˘a planul care
cont¸ine pe n, ¸si ϕ determin˘a planul definit de (O , y3) ¸si (O , y1).
Unghiurile lui Euler sunt generate prin urm˘atoarea serie de rotat¸iiare, care
duc tripletul (O , z1, z2, z3) ˆın tripletul (O , y1, y2, y3) :
I. Prima rotat¸ie este de unghi ψ ˆın sens invers acelor de ceasornic ˆın jurul
axei z3 ¸si transform˘a sistemul (z1, z2, z3) ˆın sistemul (z1, z2, z3) = (z1, z2, z3).
10Euler (1776).
50. 46 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Din moment ce rotat¸ia are loc ˆın planul z1O z2, matricea transform˘arii este
Aψ =
cos ψ sin ψ 0
− sin ψ cos ψ 0
0 0 1
(1.99)
¸si
z = Aψz, (1.100)
¸si
i1 = cos ψi1 − sin ψi2,
i2 = sin ψi1 + cos ψi2, (1.101)
i3 = i3.
Viteza unghiular˘a, ωψ care corespunde acestei rotat¸ii infinitezimale ˆın jurul axei
care-l cont¸ine pe i3 este dat˘a de
ωψ = ˙ψi3. (1.102)
II. A doua rotat¸ie este de unghi θ ˆın sens invers acelor de ceasornic ˆın jurul
axei z1 ¸si transform˘a (z1, z2, z3) ˆın (z1 , z2 , z3 ) = (z1, z2 , y3). Pentru c˘a rotat¸ia
are loc ˆın planul z2O z3, ˆın jurul liniei nodurilor, matricea transform˘arii este
Aθ =
1 0 0
0 cos θ sin θ
0 − sin θ cos θ
(1.103)
¸si
z = Aθz , (1.104)
¸si
i1 = i1 ,
i2 = cos θi2 − sin θi3 , (1.105)
i3 = sin θi2 + cos θi3 .
Dca˘a not˘am prin n versorul liniei nodurilor, adic˘a n = i1, atunci vectorul
vitezei unghiulare, ωθ corespunz˘ator acestei rotat¸ii infinitezimale este dat de
ωθ = ˙θn = ˙θi1. (1.106)
III. A treia rotat¸ie este de unghi ϕ ˆın sens invers acelor de ceasornic ˆın jurul
axei z3 ¸si transform˘a sistemul (z1 , z2 , z3 ) ˆın sistemul (y1, y2, y3). Pentru c˘a
rotat¸ia are loc ˆın planul z1 O z2 , matricea transform˘arii este
Aϕ =
cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
(1.107)
51. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE47
iar
y = Aϕz , (1.108)
¸si
i1 = cos ϕj1 − sin ϕj2,
i2 = sin ϕj1 + cos ϕj2, (1.109)
i3 = j3.
Pentru c˘a rotat¸ia sistemului are loc ˆın jurul axei j3, rezult˘a c˘a viteza unghiular˘a
este dat˘a de
ωϕ = ˙ϕj3. (1.110)
Prin compunerea celor trei rotat¸ii prezentate mai sus, deducem c˘a transfor-
marea complet˘a din sistemul zi ˆın sistemul yi este dat˘a de
y = Aϕz = AϕAθz = AϕAθAψz, (1.111)
¸si matricea de rotat¸ie A este
A = AϕAθAψ. (1.112)
T¸inˆand cont de relat¸iile (1.99), (1.103), (1.107) ¸si (1.112), deducem c˘a aceast˘a
matrice are urm˘atoarele componente
α11 = cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ,
α21 = − sin ϕ cos ψ − cos θ sin ψ cos ϕ,
α31 = sin θ sin ψ,
α12 = cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ,
α22 = − sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ,
α32 = − sin θ cos ψ,
α13 = sin ϕ sin θ, α23 = cos ϕ sin θ, α33 = cos θ. (1.113)
Pentru ceea ce urmeaz˘a, este cel mai convenabil s˘a exprim˘am cele trei viteze
unghiulare ˆın funct¸ie de sistemul ata¸sat corpului, adic˘a ˆın funct¸ie de versorii
bazei j1, j2, j3. Astfel, prin intermediul relat¸iilor (1.101), (1.102), (1.105),
(1.106), (1.109) ¸si (1.110), avem
ωψ = ˙ψ (sin θ sin ϕj1 + sin θ cos ϕj2 + cos θj3) , (1.114)
ωθ = ˙θ (cos ϕj1 − sin ϕj2) , (1.115)
ωϕ = ˙ϕj3. (1.116)
Exercit¸iu 1.2.6 ˆIn schema de rotat¸ie a lui Euler, g˘asit¸i relat¸iile dintre vectorii
unitari i1, i2, i3 ¸si j1, j2, j3.
52. 48 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Solut¸ie. T¸inˆand cont de rotat¸iile efectuate prin schema lui Euler, date de
relat¸iile (1.101), (1.105) ¸si (1.109), deducem c˘a
i1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) j1 − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ) j2 +
+ sin θ sin ψj3,
i2 = (cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ) j1 + (− sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) j2 −
− sin θ cos ψj3,
i3 = sin ϕ sin θj1 + cos ϕ sin θj2 + cos θj3. (1.117)
Din aceste relat¸ii, vom deduce c˘a
j1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) i1 + (cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ) i2 +
+ sin ϕ sin θi3,
j2 = − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ) i1 + (− sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) i2 +
+ cos ϕ sin θi3,
j3 = sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3. (1.118)
Exercit¸iu 1.2.7 ˆIn schema de rotat¸ie a lui Euler, exprimat¸i vectorii vitez˘a
unghiular˘a ωψ, ωθ, ωϕ ˆın sistemul fix de coordonate.
Solut¸ie. Considerˆand defiit¸iile unghiului de presesie ψ ¸si a vectorilui unitate
n, avem (vezi Figura 1.16)
n = cos ψi1 + sin ψi2.
Astfel, relat¸iile (1.102), (1.106), (1.110) ¸si (1.118), ne conduc la
ωψ = ˙ψi3, ωθ = ˙θ (cos ψi1 + sin ψi2) ,
ωϕ = ˙ϕ (sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3.) (1.119)
Exercit¸iu 1.2.8 Transformarea din sistemul fix de coordonate (O , z1, z2, z3)
ˆın sistemul ata¸sat corpului (O , y1, y2, y3) este descris˘a prin urm˘atoarea matrice
de rotat¸ie
A =
1
8
2
√
6 −
√
2 2
√
6 +
√
2 2
√
3
−
√
6 − 2
√
2
√
6 − 2
√
2 6
2
√
6 −2
√
6 4
.
Utilizˆand schema de rotat¸ie a lui Euler de mai sus, g˘asit¸i unghiurile lui Euler
care descriu orientarea relativ˘a a corpului ˆın sistemele de mai sus.
53. 1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE49
Solut¸ie. Transformarea ˆıntre dou˘a baze corespondente este dat˘a de
i1 =
√
2
8
2
√
3 − 1 j1 −
√
3 + 2 j2 + 2
√
3j3 ,
i2 =
√
2
8
2
√
3 + 1 j1 +
√
3 − 2 j2 − 2
√
3j3 ,
i3 =
1
4
√
3j1 + 3j2 + 2j3 .
Astfel, vectorul director unitar al liniei nodurilor este
n =
i3 × j3
|i3 × j3|
=
1
2
√
3j1 − j2 .
Apoi, avem
cos θ = i3 · j3 =
1
2
, cos ψ = i1 · n =
√
2
2
, cos ϕ = j1 · n =
√
3
2
,
¸si deci unghiurile lui Euler sunt θ = π
3 , ψ = π
4 , ϕ = π
6 .
1.2.5 Starea de mi¸scare
Dup˘a cum am observat deja, mi¸scarea se raporteaz˘a ˆın permanent¸˘a la un anu-
mit interval de timp. ˆIn particular, este de asemenea important s˘a cunoa¸stem
comportarea corpului la un timp t din intervalul I.
Definit¸ie 1.2.12 Numim stare de mi¸scare sau stare cinetic˘a a rigidului la tim-
pul t, mult¸imea vitezelor tuturor punctelor singulare ale corpului la acel moment.
Definit¸ie 1.2.13 Numim stare de mi¸scare de translat¸ie sau stare cinetic˘a de
translat¸ie la momentul t urm˘atoarea distribut¸ie a vitezelor pentru un corp rigid
vP (t) = vO (t), (1.120)
adic˘a vitezele tuturor punctelor corpului la momentul t sunt egale cu viteza punc-
tului particular O .
Observat¸ie 1.2.5 Dac˘a mi¸scare corpului rigid este una ˆın care starea de mi¸scare
la fiecare moment este de translat¸ie, atunci mi¸scarea este de asemenea de translat¸ie
¸si reciproc.
Definit¸ie 1.2.14 Numim stare de mi¸scare de rotat¸ie sau stare cinetic˘a de rotat¸iela
momentul t urm˘atoarea distribut¸ie a vitezelor pentru un corp rigid:
vP (t) = ω(t) × (P − O ), (1.121)
adic˘a distribut¸ia vitezelor la momentul t este aceea¸si ca la mi¸scare de rotat¸ie.
Vectorul ω este numit vitez˘a unghiular˘a instantanee.
