2. Inhoud
1) Hoofdstuk 1: Inleiding
i. 1.1: assenstelsel
ii. 1.2: afstand tussen twee punten
iii. 1.3: een lijnstuk verdelen in een bepaalde verhouding (opgaven 1.2, 1.3, 1.4 en 1.6)
2) Hoofdstuk 2: De rechte lijn
i. 2.1: inleiding
ii. 2.2: een lijn door een gegeven punt (opgave 2.1)
iii. 2.3: lijn door twee gegeven punten (opgaven 2.2, 2.3 en 2.4)
iv. 2.4: snijpunt van twee lijnen (opgave 2.5)
v. 2.5: de hoek tussen twee snijdende lijnen (opgave 2.6 t/m 2.11)
3. Assenstelsel
Notatie
ℝ: De reële getallen (getallenlijn)
ℝ2: het Cartesisch product ℝ × ℝ (getallenparen, het platte vlak)
ℝ3: het Cartesisch product ℝ × ℝ × ℝ (de ruimte)
Opmerkingen
• In dit vak gaat het om de “analytische meetkunde” in ℝ2.
• Notaties in de reader: 𝑅1, 𝑅2, etc.
4. De afstand tussen twee punten
Uitgangspunt
Gegeven twee punten 𝑃(𝑎, 𝑏) en 𝑄(𝑠, 𝑡) in ℝ2.
Doel
Bepalen van de afstand tussen 𝑃 en 𝑄, notatie 𝑃𝑄 .
Oplossing
𝑃𝑄 = 𝑎 − 𝑠 2 + 𝑏 − 𝑡 2
Opmerking
Zie ook Distance Formula (Stewart, Appendix B, blz. A12)
5. Een lijnstuk verdelen in bepaalde verhouding
Uitgangspunt
Gegeven twee punten A(𝑎, 𝑏) en 𝐵(𝑟, 𝑠) in ℝ2. Op het lijnstuk 𝐴𝐵 ligt een
punt 𝐷 zodat 𝐴𝐷 = 𝑚 en 𝐷𝐵 = 𝑛.
Doel
Bepalen van de coördinaten van het punt 𝐷.
Oplossing
𝐷 = 𝐷
𝑛
𝑚 + 𝑛
𝑎 +
𝑚
𝑚 + 𝑛
𝑟,
𝑛
𝑚 + 𝑛
𝑏 +
𝑚
𝑚 + 𝑛
𝑠
6. De rechte lijn
Algemene vergelijking van een lijn (zie ook Stewart, Appendix B, blz. A13)
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Helling-intercept vorm (Stewart, Appendix B, blz. A13)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Voordelen / Nadelen ?
7. Een lijn door een gegeven punt
Punt-helling vorm van de vergelijking van een lijn
De vergelijking van een lijn met helling (of richtingscoëfficiënt) 𝑚 door het
punt (𝑥1, 𝑦1) heeft vergelijking
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
(Stewart, Appendix B, blz. A12)
8. Een lijn door twee gegeven punten
Punt-punt vorm van de vergelijking van een lijn
De vergelijking van een niet-verticale lijn door de punten (𝑥1, 𝑦1) en (𝑥2, 𝑦2)
heeft vergelijking
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
(Stewart, Appendix B, blz. A12)
Opmerking
Staat ook op formuleblad
9. Snijpunt van twee lijnen
Uitgangspunt
Gegeven twee snijdende lijnen 𝑙: 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 = 𝐶1 en 𝑚: 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 = 𝐶2.
Doel
Bepalen van het snijpunt van 𝑙 en 𝑚.
Oplossing
Bereken de oplossing van het stelsel
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 = 𝐶1
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 = 𝐶2
Opmerking
Met behulp van lineaire algebra volgt direct
𝑥
𝑦 =
𝐴1 𝐵1
𝐴2 𝐵2
−1
𝐶1
𝐶2
10. Hoek tussen twee snijdende lijnen
Uitgangspunt
Gegeven twee lijnen 𝑙 en 𝑚 met richtingscoëfficiënten 𝑚1 en 𝑚2.
Doel
Bereken de hoek 𝜑 tussen 𝑙 en 𝑚 (hiermee wordt altijd de scherpe hoek
bedoeld).
Oplossing
𝜑 = tan−1
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚1 𝑚2
Opmerking
• Afleiding is gebaseerd op formule 14b uit Stewart, Appendix D, blz. A29.
• Staat ook op formuleblad
