ตรรกศาสตร์

1. ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: logic - มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, logos) เป็นการศึกษาเชิง
ปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสาคัญของวิชาปรัชญา คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึง
ภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการ
ให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น
กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล
ที่มาของคา
คาว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมี
รากศัพท์มาจากคาว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคา หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย
ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน
ในภาษาไทย เดิมมีคานี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10
ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า "อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคานึงเอาด้วย ตักฺกะ") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรง
ทีเดียวนักกับคาว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน
คณิตตรรกศาสตร์
คณิตตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: Mathematical logic) คือสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่ศึกษาระบบ
รูปนัย และคุณลักษณะที่ระบบดังกล่าวจะสามารถใช้เพื่อแสดงมโนทัศน์ของบทพิสูจน์ และการคานวณใน
ส่วนที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

2. แม้ว่าคนทั่วไปมักมีความเข้าใจว่า คณิตตรรกศาสตร์คือ ตรรกศาสตร์ของคณิตศาสตร์ แต่ความจริงแล้ว
สาขานี้ใกล้เคียงกับ คณิตศาสตร์ของตรรกศาสตร์ มากกว่า เนื้อหาวิชาในสาขานี้ครอบคลุมส่วนของ
ตรรกศาสตร์ที่สามารถโมเดลในรูปของคณิตศาสตร์ได้ เมื่อก่อนสาขานี้ถูกเรียกว่า ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์
(ในลักษณะที่ตรงข้ามกับตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา) และอภิคณิตศาสตร์ ซึ่งในปัจจุบันเป็นเพียงคาที่ใช้ใน
บางสาขาของทฤษฎีบทพิสูจน์
ประวัติ
คณิตตรรกศาสตร์ เป็นชื่อที่เปอาโน (Peano) ใช้เรียกตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ ในแก่นแท้แล้วสาขานี้ก็
ยังคงเป็นตรรกศาสตร์ของอริสโตเติลอยู่ แต่ว่าเปลี่ยนมาใช้รูปแบบการเขียนในลักษณะเดียวกับพีชคณิต
นามธรรม ความพยายามที่จะจัดการกับการดาเนินการต่าง ๆ ของตรรกศาสตร์รูปนัย ในเชิงสัญลักษณ์
หรือในเชิงพีชคณิตนั้น แม้จะได้มีขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ที่ค่อนไปทางนักปรัชญา เช่นไลบ์นิซ และแลมเบิร์ต
แต่งานที่พวกเขาทานั้นไม่เป็นที่รู้จักและกระจัดกระจาย จนกระทั่งจอร์จ บูลและตามด้วยออกัสตัส เดอ
มอร์แกน ในช่วงกลางของคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้นาเสนอวิธีการที่เป็นระบบเชิงคณิตศาสตร์ (ซึ่งยังไม่เป็น
แบบเชิงปริมาณ) สาหรับตรรกศาสตร์ แนวทางการศึกษาตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลจึงได้ถูกปฏิรูปและ
ถูกทาให้สมบูรณ์ จุดนี้ก่อให้เกิดการพัฒนาเครื่องมือ ที่สามารถใช้เพื่อศึกษามโนทัศน์พื้นฐานของ
คณิตศาสตร์ได้ คงจะไม่ถูกนักถ้าจะกล่าวว่าการโต้แย้งเชิงรากฐานที่มีขึ้นในช่วง ค.ศ. 1900 - 1925
ได้พบกับคาตอบที่น่าพอใจแล้ว แต่อย่างไรก็ตามตรรกศาสตร์ 'แนวใหม่' นี้ก็ได้ช่วยให้ความกระจ่างใน
ด้านของปรัชญาคณิตศาสตร์เป็นอย่างยิ่ง
ในขณะที่พัฒนาการตามแนวทางดั่งเดิมของตรรกศาสตร์ (ดูรายการบทความด้านตรรกศาสตร์) นั้น ให้
ความสาคัญอย่างสูงกับ รูปแบบของการให้เหตุผล มุมมองของคณิตตรรกศาสตร์ในปัจจุบันกลับสามารถ
กล่าวได้ว่าเป็น การศึกษาเชิงการจัดกลุ่มของเนื้อหา (the combinatorial study of
content) ซึ่งครอบคลุมถึงส่วนที่เป็น เชิงสังเคราะห์ (เช่น การส่งข้อความจากภาษาเชิงรูปนัยไปยัง
คอมไพเลอร์เพื่อเปลี่ยนเป็นภาษาเครื่อง) และส่วนที่เป็น เชิงความหมาย (การสร้างโมเดล หรือเซตของ
โมเดลทั้งหมดในทฤษฎีโมเดล)