1. ‫نویسنده‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬ ‫و‬ ‫استاتیک‬ ‫ممان‬:‫افشارپور‬ ‫اهلل‬ ‫روح‬
‫آبادان‬ ‫آزاد‬ ‫دانشگاه‬ ‫عمران‬ ‫مهندسی‬ WWW.ABADANOMRAN.COM
‫استاتیک‬ ‫ممان‬ ‫و‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬
‫الف‬)‫سطح‬ ‫اول‬ ‫گشتاور‬ ‫یا‬ ‫استاتیک‬ ‫ممان‬:
‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫سطح‬ ‫اٍل‬ ‫گشتاٍر‬xٍ ‫ّا‬y‫سطح‬ ‫کَچک‬ ‫الواى‬ ‫ضزب‬ ‫حاصل‬ ‫هجوَع‬ ‫تزاتز‬ ‫ّا‬(dA)ِ‫فاصل‬ ‫در‬
‫است‬ ‫هحَرّا‬ ‫اس‬ ‫الواى‬ ‫ایي‬.
ِ‫ت‬ ‫فَق‬ ‫ّای‬ ‫اًتگزال‬ ، ‫شًَذ‬ ‫تقسین‬ ‫داًین‬ ‫هی‬ ‫را‬ ‫ّا‬ ‫آى‬ ‫هزکش‬ ِ‫ک‬ ‫تزی‬ ‫هٌظن‬ ‫سطَح‬ ِ‫ت‬ ‫سطَح‬ ِ‫ک‬ ‫صَرتی‬ ‫در‬
‫یؼٌی‬ ، ‫شذ‬ ‫خَاٌّذ‬ ‫تثذیل‬:
‫ًیش‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ‫هختصات‬ ‫تؼزیف‬ ‫در‬:
‫هثال‬)‫استاتیک‬ ‫هواى‬(‫اٍل‬ ‫گشتاٍر‬)‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫را‬ ‫سیز‬ ‫اشکال‬x‫کٌیذ‬ ِ‫هحاسث‬:
y‫هثلث‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬:
‫هثال‬)‫آى‬ ‫قطز‬ ‫اس‬ ُ‫گذرًذ‬ ‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ُ‫دایز‬ ‫ًین‬ ‫سطح‬ ‫اٍل‬ ‫گشتاٍر‬:
ُ‫دایز‬ ‫ًین‬ ‫هساحت‬:ِ‫هختص‬y‫آى‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬:‫سطح‬ ‫اٍل‬ ‫گشتاٍر‬:
‫هثال‬)‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ، ُ‫خَرد‬ ‫ّاشَر‬ ‫شکل‬ ‫استاتیک‬ ‫هواى‬A-A‫آٍریذ‬ ‫تذست‬ ‫را‬:
‫هحَر‬ ‫تا‬ ُ‫خَرد‬ ‫ّاشَر‬ ‫شکل‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ِ‫فاصل‬:
ِ‫ًکت‬:‫است‬ ‫صفز‬ ‫دارًذ‬ ‫قزار‬ ِ‫هحاسث‬ ‫هَرد‬ ‫هحَر‬ ‫رٍی‬ ِ‫ک‬ ‫ًقاطی‬ ‫استاتیک‬ ‫هواى‬.
ِ‫ًکت‬:‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫سطح‬ ‫اٍل‬ ‫گشتاٍر‬ ِ‫هحاسث‬ ‫در‬x‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ٍ ‫اس‬y‫شَد‬ ‫هی‬ ُ‫استفاد‬ ‫اس‬.
x
x
y
y
dA
X A
Q ydA 
Y A
Q xdA 

X
X
Q
XA Q X
A
   Y
Y
Q
YA Q Y
A
  
3
2
2
y
x
X i i
Q y A Y i i
Q x A 
X i i
Q y A 
X
3 3 2
Q (1 (2 2)) ((2 ) ( )) 13
3 2

       
3
2
3

2
R
2
4R
3
2 3
X
4R R 2R
Q yA
3 2 3

   

20
10
10
15
15
AA
X i i
Q y A 
XQ 20 (10 20) 4000    
10
15 20
2
 
yx

2. ‫نویسنده‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬ ‫و‬ ‫استاتیک‬ ‫ممان‬:‫افشارپور‬ ‫اهلل‬ ‫روح‬
‫آبادان‬ ‫آزاد‬ ‫دانشگاه‬ ‫عمران‬ ‫مهندسی‬ WWW.ABADANOMRAN.COM
‫ب‬)‫سطح‬ ‫دوم‬ ‫گشتاور‬ ‫یا‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬:
‫سطح‬ ‫کَچک‬ ‫ػٌصز‬ ‫یک‬ ‫ضزب‬ ‫حاصل‬ ‫اگز‬(dA)ٍ ُ‫داد‬ ‫تشکیل‬ ‫هختصات‬ ‫هحَرّای‬ ‫اس‬ ‫اش‬ ِ‫فاصل‬ ‫هجذٍر‬ ‫در‬ ‫را‬
‫خَاٌّذ‬ ‫دست‬ ِ‫ت‬ ‫هثثت‬ ‫اػذادی‬ ، ‫آٍرین‬ ‫دست‬ ِ‫ت‬ ‫سطح‬ ‫ػٌاصز‬ ‫توام‬ ‫تزای‬ ‫را‬ ‫ّایی‬ ‫ضزب‬ ‫حاصل‬ ‫چٌیي‬ ‫هجوَع‬
‫هحَرّای‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫سطح‬ ‫دٍم‬ ‫لٌگز‬ ‫را‬ ‫ّا‬ ‫آى‬ ِ‫ک‬ ‫آهذ‬xٍy‫ًاهین‬ ‫هی‬.
‫هثال‬)‫سیز‬ ‫شکل‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬(‫هثلث‬)‫آٍریذ‬ ‫تذست‬ ‫آى‬ ُ‫قاػذ‬ ‫اهتذاد‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫را‬:
‫ّا‬ ‫هثلث‬ ِ‫تشات‬:
‫هندسی‬ ‫اشکال‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬ ‫های‬ ‫فرمول‬:
ُ‫قاػذ‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬ ٍ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ‫اس‬ ُ‫گذرًذ‬ ‫هحَر‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬
1-‫هستطیل‬ ٍ ‫هزتغ‬
y
x dA
y
x
2
X
2
Y
I y dA
I x dA




xdy
y
h y
h
b
x
y
2
XI y dA 
2
XI y xdy  
h y x h y
x b
h b h
 
  
h h
2 2
X 0 0
h y
I y xdy y (b )dy
h

   
h3 4 3 4 3 3 3 3 3
h
2 3
X 0
0
b by by bh bh bh bh 4bh 3bh bh
I y b y dy
h 3 4h 3 4h 3 4 12 12
  
           
 

a
a
2
a
2
a
h
b
b
2
h
2
3
x
bh
I
12

3
y
b h
I
12

3
x
bh
I
3

3
y
b h
I
3

4
x y
a
I I
12
 
4
x y
a
I I
3
 
xI xI

3. ‫نویسنده‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬ ‫و‬ ‫استاتیک‬ ‫ممان‬:‫افشارپور‬ ‫اهلل‬ ‫روح‬
‫آبادان‬ ‫آزاد‬ ‫دانشگاه‬ ‫عمران‬ ‫مهندسی‬ WWW.ABADANOMRAN.COM
2-‫هثلث‬
3-‫کاهل‬ ُ‫دایز‬ ٍ ُ‫دایز‬ ‫ًین‬ ، ‫رتغ‬
‫موازی‬ ‫محورهای‬ ‫انتقال‬ ‫قضیه‬
‫تا‬ ‫هَاسی‬ ‫هحَرّای‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫دٍم‬ ‫لٌگز‬ ‫حسة‬ ‫تز‬ ‫تَاى‬ ‫هی‬ ‫را‬ ‫هحَر‬ ‫ّز‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫دٍم‬ ‫لٌگز‬ ، ِ‫قضی‬ ‫ایي‬ ‫تا‬
‫یؼٌی‬ ، ‫کزد‬ ‫تیاى‬ ‫ًظز‬ ‫هَرد‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬:
‫هثال‬)‫سطح‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬A، ‫است‬ ‫تزاتز‬ ‫هحَر‬ ‫حَل‬ ٍ ‫تزاتز‬ ‫هحَر‬ ‫حَل‬
‫هساحت‬A‫هحَر‬ ٍ‫د‬ ِ‫فاصل‬ ‫؟‬ ‫است‬ ‫چٌذ‬20cm‫است‬.
h
3
h
3
2h
3
2b
3
b
3
R
R
4R
3
4R
3
R
4R
3
RR
b
2
b
2
3
x
bh
I
36

3
x
bh
I
12

3
y
b h
I
36

3
y
b h
I
12

3
x
bh
I
36

3
y
b h
I
48

3
x
bh
I
12

3
y
7b h
I
48

4
x y
R
I I
4

 
4
x y
R
I I
8

 
4
x y
R
I I
16

 
Cy
Cx
center
x
y
d
d
2
x xI I Ad 
2
y yI I Ad 
4
1500cm
4
9500cm X X
2
cm
2 29500 1500
9500 1500 A 20 A 20cm
400

     
2
x xI I Ad 

4. ‫نویسنده‬ ‫اینرسی‬ ‫ممان‬ ‫و‬ ‫استاتیک‬ ‫ممان‬:‫افشارپور‬ ‫اهلل‬ ‫روح‬
‫آبادان‬ ‫آزاد‬ ‫دانشگاه‬ ‫عمران‬ ‫مهندسی‬ WWW.ABADANOMRAN.COM
‫هثال‬)‫،الف‬ ‫را‬ ‫سیز‬ ‫شکل‬ ُ‫خَرد‬ ‫ّاشَر‬ ‫هزکة‬ ‫سطح‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬ ، ‫فزض‬ ‫تا‬)ِ‫ک‬ ‫هحَرافقی‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬
‫ب‬ ، ‫گذرد‬ ‫هی‬ ‫آى‬ ‫سطح‬ ‫اسهزکش‬)‫آٍریذ‬ ‫تذست‬ ‫شکل‬ ‫کف‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬:
‫الف‬)
‫ب‬)
‫هثال‬)‫آٍریذ‬ ‫تذست‬ ‫آى‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ‫اس‬ ُ‫گذرًذ‬ ‫هحَرّای‬ ِ‫ت‬ ‫ًسثت‬ ‫را‬ ‫سیز‬ ‫هقطغ‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬:
‫هقطغ‬ ‫شکل‬ ‫تقارى‬ ِ‫ت‬ ِ‫تاتَج‬ ، ‫آٍرین‬ ‫هی‬ ‫تذست‬ ‫را‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ‫هختصات‬ ‫اتتذا‬:
‫کل‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ‫تا‬ ‫شکل‬ ‫اس‬ ِ‫قطؼ‬ ‫ّز‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬ ِ‫فاصل‬ ِ‫ت‬ ‫ایٌزسی‬ ‫هواى‬ ‫آٍردى‬ ‫تذست‬ ‫تزای‬
‫است‬ ‫ًیاس‬ ‫هقطغ‬.‫کٌین‬ ‫هی‬ ‫رسن‬ ‫تیشتز‬ ‫جشئیات‬ ‫تا‬ ‫شکل‬ ‫یک‬ ‫لذا‬:
‫کٌین‬ ‫هی‬ ‫تقسین‬ ًِ‫جذاگا‬ ‫هستطیلی‬ ‫شکل‬ ِ‫س‬ ِ‫ت‬ ٍ.
ِ‫هختص‬ ‫چَى‬xِ‫ت‬ ‫ًیاس‬ ٍ ‫ّستٌذ‬ ‫ػوَدی‬ ‫هحَر‬ ‫یک‬ ‫رٍی‬ ‫ّوگی‬ ‫لذا‬ ، ‫است‬ ‫تزاتز‬ ‫کل‬ ‫هقطغ‬ ‫تا‬ ‫قطؼات‬ ‫سطح‬ ‫هزکش‬d‫ًیست‬:
3
y
x2
2
4 4
X X X
square circle
2 1 16 3 7
I I I
12 4 12 12
  
     
2 2 2 2
X X
7 7 19
I I Ad (2 1 ) 1 1
12 12 12
          
d 1
8cm
4cm
4cm
2cm
3cm
y
x
X 4cm
i i
i
y A 1 (2 8) 4 (4 3) 8 (4 8) 320
Y 5.33cm
A (2 8) (4 3) (4 8) 60
       
   
    


Y5.33cm
1
2
d 5.33 4.33cm
2
  
2
4
d 5.33 (2 ) 1.33cm
2
   
3
4
d ((2 4 4) 5.33) ( ) 2.67cm
2
     
x
y
1
2
3
X X X X
total 1 2 3
I I I I  
3 3
2 2 4
X X X 1
1 1 1
bh 8 2
I I I Ad (2 8) (4.33) 305.32cm
12 12

        
3 3
2 2 4
X X X 2
2 2 2
bh 3 4
I I I Ad (4 3) (1.33) 37.23cm
12 12

        
3 3
2 2 4
X X X 3
3 2 3
bh 8 4
I I I Ad (8 4) (2.67) 270.79cm
12 12

        
4
X X X X X
total 1 2 3 total
I I I I I 305.32 37.23 270.79 613.34cm       
3 3 3
4
Y Y Y Y
total 1 2 3
8 2 3 4 8 4 1024 108 2048
I I I I 265cm
12 12 12 12
    
       