Proceedings of the Undergraduate Mathematical Contest in Modeling of HeBei Normal University: First Prize, P. R. China.

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The Mathematical Model Establishment for the
Lighting Problem of Buildings
关于楼房采光数学模型的建立与求解
Aaron L.-F. Han, Cuiqiao Wang, and Xiumian Jia
Department of Mathematics and Applied Mathematics
HeBei Normal University
ShiJiaZhuang, HeBei Province, China
Proceedings of the Undergraduate Mathematical Contest in Modeling of
HeBei Normal University: First Prize, P. R. China, 2009.

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数学建模竞赛试题 (Problems)
阳光对每个人都很重要，现在的大城市由于高楼林立很多住户缺乏阳光。小
王刚刚在某小区 1 号楼一层买了一处住房，在他正南方 80 米处正在建小区的 2
号楼，二号楼东西长 100 米，朝向正南。小王房子的正南方向对着 2 号楼中点。
现在的问题是：
一、 为了让小王在每年的冬至那一天的中午能见到阳光，2 号楼至多能盖多
高？
二、 为了让小王在每年的冬至那一天都能见到阳光，2 号楼至多能盖多高？
三、 为了让小王在每年的冬至那一天能见到两个小时阳光，2 号楼至多能盖多
高？
四、你还可以就你自己设计的情况回答类似问题。
说明
1．每个参赛队由 3 名大学生组成。必须在规定时间内完成，并在规定的时
间内送交指定地点。
2．论文第一页写清楚参赛队员的姓名、专业、学号。
3．论文用中文书写（A4 复印纸；钢笔或圆珠笔书写或打印；编写页码），
文字简练。凡不清楚评阅时做不存在处理。
4．队员可以用各种图书资料（并在参考文献中列出）、计算机和各种软件，
但不得与本组以外的任何人讨论。
5．论文应该大致包括以下部分（不一定全部包括，不一定逐项说明，可以
合并说明）
（1） 问题的提出（按你的理解对题目作出更清楚的表述）。
（2） 问题的分析（根据问题的性质，你打算建立什么样的模型？）.
（3） 模型假设（有些假设可作必要的解释）。
（4） 模型的设计（对出现的数学符号必须有明确的定义）。
（5） 模型的解法与结果。
（6） 模型结果的分析（包括误差分析、稳定性分析等）。
（7） 参考文献
6．评阅以论文的合理性、创造性和表述的清晰程度为标准。

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关于楼房采光数学模型的建立与求解
一、问题的提出
1、 阳光的重要性
俗话说：万物生长靠太阳，太阳的确对人类有很多益处。
阳光中的紫外线可以杀灭空气中的细菌，还能杀死皮肤上的细菌，增加皮肤
的弹力、柔软性和抵御外来细菌的能力，阳光照射到皮肤上，能刺激机体的造血
功能，促进钙、磷代谢和体内维生素 D 的合成，使你的骨骼和身体更加健壮；日
光中的红外线可透过皮肤到皮下组织，对人体起到热刺激作用，加快血液流通，
促进体内新陈代谢，并有消炎镇痛的作用，所以经常晒太阳有利健康。这就要求
我们在选择住房时要充分考虑它的日照时间。
2、冬至选房的重要性
冬至，它是二十四节气中最早制订出的一个。时间在每年的阳历 12 月 21
日至 23 日之间。 现代天文科学测定，冬至日太阳直射南回归线，阳光对北半球
最倾斜，北半球白天最短，黑夜最长，这天之后，太阳又逐渐北移。
冬至是一年中阳光最差的日子，房产的价值，最重要的一点就是阳光，阳光
照射时间越长，房产的价值越高，你所选的房子楼层在几点钟照得到阳光，什么
时候结束阳光照射，时间有几个小时，都直接影响到自身的健康。我国虽然确定，
最差的房子一天必须照到阳光二个小时，但是冬至这一天，阳光能照射六小时以
上的房子其价值最高，因为联合国对房产的阳光标准是冬至这一天，房产的阳光
照射不得少于 6 小时。
3、问题信息：
小王刚刚在某小区 1 号楼一层买了一处住房，在他正南方向 80 米处正在建
设小区的 2 号楼，2 号楼东西长 100 米，朝向正南。小王房子的正南方向对着 2
号楼的中点。
问题信息给出了 1 号楼和 2 号楼的楼间距 80 米，2 号楼的东西长 100 米，

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以及小王家和 2 号楼的相对位置关系，即 2 号楼的中点处于小王家的正南方。
4、现在研究下列问题：
（1）为了让小王在每年的冬至那一天的中午能见到阳光，2 号楼至多能盖
多高？
（2）为了让小王在每年的冬至那一天都能见到阳光，2 号楼至多能盖多高？
（3）为了让小王在每年的冬至那一天能见到两个小时阳光，2 号楼至多能
盖多高？
（4）类似问题一：若题目中小王家不在一层，针对题目中的三个问题，对
于二号楼的楼高又有何要求？
类似问题二：为了充分利用阳光，可以在同一树林里交叉种植不同种类
的树木，当树木种类确定，即已知它们的高度时，为了使所有的树木都能接受充
足的阳光进行光和作用，问树木间距至少应为多少？
类似问题三：现在的交通红绿灯大多采用太阳能发光，为了使感应器接
受充足的阳光，更好地服务交通，对于十字路口周围的建筑物的楼高有何要求？
二、问题的分析：
2.1 问题（1）的分析
该问题要求小王每年的冬至那一天中午能见到阳光。即每年冬至那一天 12
点太阳光线可以穿过 2 号楼照到小王房子，为了使小王房子能见到阳光，应先对
二号楼的影子位置的变化随时间的变化规律进行判断，然后，根据 2 号楼的影子
的位置与小王房子的位置关系，建立几何模型，求解。（几何模型是用几何概念
描述物理或者数学物体形状。几何造型是是构建或者使用几何模型的过程。几何
模型广泛用于计算机图形学、计算机辅助设计、计算机辅助制造以及医疗图像处
理等许多应用领域。 ）问题的关键是太阳高度角随着时间的变化规律，太阳光
线与小王家所在地的正南方向的夹角的变化情况，以及各角度与影长、楼高的函
数关系式。建立太阳高度角、影子长度与楼高和时间的函数，根据题目约束条件，
确定楼高的大小。

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2.2 问题（2）的分析
问题（2）要求小王在每年的冬至那一天全天都能见到阳光，因此，需知道
小王所在地冬至那天日升日落时间，并考虑在这段时间内影子的位置随时间的变
化规律以及小王家和影子的位置关系，显然要想让小王全天能见到阳光，必须保
证小王家在这段时间内始终在二号楼的影子外，建立的几何模型和函数关系同
（1），进而求得满足条件的二号楼高度。
2.3 问题（3）的分析
问题（3）要求小王在每年冬至那一天能见到两小时阳光，二号楼至多能该
多高？
首先建立的几何模型和函数关系同（2），根据日常观察，我们作出假设，函
数图像具有以下特征：
（1）以正午 12 点为对称轴。
（2）在中午 12 点的函数值达到最小值（平行四边形阴影高度最短）。
（3）在日出时间到中午 12 点函数图像实现递减，中午 12 点到日落时间按
时递增因此只需考查 11 点到 13 点的函数值变化情况。
2.4 问题(4)的分析
问题(4)中的三个问题的模型同(2)
类似问题一将二号楼和小王家所在的楼层高度的差值作为模型中的楼高,楼
间距不变,即可求解。
类似问题二只要根据模型找到的楼高和楼间距的关系,代入树木高度差和树
间距的关系,按照植物对光照的要求,借助函数图像即可求解。
类似问题三将周围建筑的楼高与十字路口的红绿灯的架设高度的差值和十
字路口与周围建筑物的距离分别代人模型中的楼高和楼间距,按照光照要求,借
助函数图像即可求解。

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三、模型的假设和符号的使用
3.1 模型的假设
(1) 冬至那天小王所在地是晴天。
（2）楼层周围没有其他遮挡物。
（3）忽略小王房子的高度，设为一个质点。
（4）忽略二号楼楼层厚度，假设其形状为标准长方形。
（5）假设小王所在地为石家庄。
3.2 符号的使用及说明
θ表示太阳高度角
φ 表示小王所在地石家庄的纬度
δ表示太阳的赤纬
t 表示时角
Τ表示时间（24 小时计时）
h 表示二号楼的高度
Η表示二号楼影子形成的平行四边形的高
L 表示二号楼的影长
α表示太阳方位角
β表示临界角即小王家与二号楼端点连线与正南方向的夹角
a 表示二号楼的长度
b 表示楼间距
说明相关符号

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太阳高度角（θ）(下图中的角 a)是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹
角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹
角。
太阳方位角（α）(下图中的角 A)即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面
上的投影与当地子午线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的
阴影与正南方的夹角。方位角以正南方向为 0，由南向东向北为负（-），由南向
西向北为正（+），如太阳在正东方，方位角为-90°，在正东北方时，方位为-135°，
在正西方时方位角为 90°，在正北方时为±180°。

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太阳赤纬（δ）又称赤纬角，是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间
的夹角。冬至太阳的赤纬为-23.45°。
时角（t）即单位时间地球自转的角度，规定正午时角为 0，上午时间为负
值，下午时角为正值。地球自转一周为 360 度，对应的时间为 24 小时。即每小
时响应的时角为 15 度，每四分钟为一度。
石家庄的纬度（φ）为 38.03°
四、模型的准备
1、依据相关资料指太阳高度角随时角和太阳赤纬的变化而变化的太阳高度
角的计算公式为
sinθ＝sinφsinδ＋cosφcosδcost
2、依据地理知识我们知太阳方位角的计算式为
cosα=（sinθsinφ－sinδ）／cosθcosφ
3、时间转化为时角的公式
f(T)=(T-12) ·15·π/ 180°
4、问题求解时用到的一些三角函数值
sinφ=sin38.03°=0.616
cosφ=cos38.03°=0.788
sin δ =sin(-23.45°)=-0.398
cos δ=cos(-23.45°)=0.918
tanφ=tan38.03°=0.783
tanβ=a/2b=5/8 得β=0.559
查阅文献知
石家庄太阳升起时间为 7 点 35 分（即 7.583 时），对应时角为
f(7.583)= -1.156.

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太阳日落的时间为 17 点 06 分（17.1 小时），对应的时角为
f(17.1)=1.335.
五、模型的建立和求解。
5．1、问题模型的建立：
5.1.1、求解太阳高度角的三角函数值。
查阅资料文献知太阳高度角的计算公式为：
sin θ＝sin φsin δ＋cos φcosδcos t……………①
由 2 号楼与影子的几何关系，知：
tanθ=h / L 从而 L = h ·cotθ……………②
5.1.2 求解太阳方位角
查阅相关资料文献之太阳方位角的计算公式如下：
cosα=（sinθsinφ－sinδ）／cosθcosφ ……………③
5.1.3 、 影子（平行四边形）中的几何关系：
h
L
a
b(楼间距)
α
θ
H
小王家
（图Ⅰ）

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由图Ⅱ 知道
H / L ＝ cosα
从而 H ＝ L·cosα……………………④
5.1.4 求 H 的表达式。
将①②③代入④得到
H＝ｈ·[tanφ–sinδ/（sinφsinδ＋cosφcosδcost）cosφ ]⑤
g(t)=H/h=tanφ–sinδ)/（sinφsinδ＋cosφcosδcost）cosφ⑥
5.2 模型的求解
5.2.1 问题（1）的求解
本题中要求中午时能见到阳光，即 12 点 20 分(37/3 小时)。根据时角转化
公式 f(37/3)=0.087，所以 t=0.087.将 t 代入⑥得
g(0.087)= tanφ–sin δ / （ sinφsinδ ＋ cosφcosδcos0.087 ）
cosφ=1.846
即 H/h=1.846
由题目要求 H=h·1.846≤80
从而得 h≤43.337 米。
L
H
α
（图Ⅱ）

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5.2.2 问题（2）的求解
（一） 问题（2）的分析
太阳升起时，太阳方位角α最大，α随着时间的变化先减小后增大，
在中午时可达到最小值。当α≥β时不需考虑阴影长度，阳光可以通过二号楼直
接照射到小王家。当α≤β时运用上述函数关系式
g(t)=H/h=tanφ–sinδ/（sinφsinδ＋cosφcosδcost）cosφ 即可求得
阴影长度随时间的变化规律，令阴影长度的最大值小于 80 米便可得二号楼的高
度。
（二） 求α=β的时刻
根据图Ⅲ知α随着时间的变化,在一天当中必在某一时刻达到β
依据太阳方位角的计算公式和太阳高度角的公式
cosα=（sinθsinφ－sinδ）／cosθcosφ
sinθ＝sinφsin δ＋cosφcos δ cos t
令 cosα=F（t）
α
α
β
a
b
（图Ⅲ）

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得
F t( )
0.245 0.723 cos t( )( ) 0.616 0.398
1 0.245 0.723 cos t( )( )
2
 0.788

F(t)函数图像如下：
已知β=0.559，令α=0.559 得
cosα=0.848 即 F(t)=0.848 从而得到所对应的 t 的值
t1=-0.568 和 t2=0.568
（三） 在 t1--- t2 内阴影的高的变化
根据 F（t）的图像知 cosα先增大后减小，α先减小后增大，故在 t1--t2
时间外α>β，在 t1--t2 时间内α≤β，因此在这一时间段内需考虑影子变化规
律。

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函数 g(t)的图像如下
由上述分析得需要使 H 最大值小于等于 80，而 H=g(t)h 所以根据函数走向只需
令 t= t1 即得 g(t)在这一时间段内的最大值.
g(-0.568)=2.169 由 g(t)h≤80 得 h≤36.883 米
（四） 问题（2）的最终结果为
h≤36.883 米
5.2.3 问题（3）的求解
本题要求冬至那一天能见到两个小时的阳光，求二号楼至多能盖多高。
(i)根据上一问分析得知，在 t1 和 t2 之外，小王家恒能见到阳光。
由时角 t1=-0.568 和时间转化为时角的公式
f(T)=(T-12) ·15·π/ 180°
得 T=9.83 时，
对应上午 9 点 49.8 分,从日升 7 点 35 分到该时刻明显超过两个小时，所以

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在题设所给数据条件，以及我们假设小王所在地为石家庄的条件下，得出冬至这
一天小王家恒能见到两个小时的阳光。
(ii)下面考虑 t1--t2 时间段内
由 5.2.2 中 g(t)的图像知 H/h 的值先减小后增大，故要想见到两个小时的
阳光，只需 11 时和 13 时对应的 H=g(t)h 的值不超过 80，而 11 时和 13 时对应
的时角分别为-π/12 和π/12,因此有
H=h·g(-π/12)= g(π/12)=1.897h≤80
得 h≤42.172
故问题(3)的最终结果为
h≤42.172 米
六 模型的分析
6.1 模型误差来源分析
由于在假设当中，我们假设小王家所在地为石家庄，因为纬度的大小
受地理位置的影响，在求太阳方位角的过程中
cosα=（sinθ sinφ－sinδ）／cosθcosφ
α的值会受纬度影响 ，而且α的值还会受石家庄日升日落时间的影响， 从
而造成α≥β的时间会超过两个小时。
若在其他纬度情况会有所不同。
七 模型的改进
该模型构造的函数中假设纬度参数φ为定值，所设的是石家庄的纬度，这样
在解题中，所得的结果就是石家庄所对应的情况，模型的改进方向，可以将函数
中纬度参数设为变量，这样在求得的最终函数中，函数是关于时间 t 和纬度φ两
个自变量的函数，所得的二元函数虽然变得复杂了一些，但是，这样得到的函数
关系式便可应用的地球的任意纬度处的情况，只需将当地纬度的值代入函数式，

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进而应用模型中的方法，求解即可得到相应的结果（楼高的限制） 。
八、参考文献。
王兵团.数学建模基础.北京:清华大学出版社;北京交通大学出版
社,2004
韩中庚.数学建模竞赛:获奖论文精选与点评.北京:科学出版社,2007
太阳时角：http://wenda.tianya.cn/wenda/thread?tid=528fe40b891e8b1a：
太阳高度角：http://baike.baidu.com/view/86609.htm
太阳方位:http://www.sjzghj.gov.cn/WebCon/WebCon.aspx?theID=2930：
太阳方位角的计算公式：http://tieba.baidu.com/f?kz=72329000