Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH                                                          ...
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Chuyen de he phuong trinh
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Chuyen de he phuong trinh

15,429

Published on

3 Comments
12 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
15,429
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
508
Comments
3
Likes
12
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Chuyen de he phuong trinh

  1. 1. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng CHUYÊN ĐỀ TOÁN PHỔ THÔNG ươ SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ỳD hu ịT Th ần Tr à n♥ To ng oà ôHNgc Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 1
  2. 2. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng LỜI NÓI ĐẦU ươTrong thế giới toán học,các mảng kiến thức luôn có mối quan hệ hữu cơ với nhau. Nhà toán họcRené Descartes đã đại số hoá hình học khi tạo ra thế giới hình giải tích . Có thể nói khi ta quan tâmđến một vấn đề nào đó trong toán mà lại lãng quên đi các lĩnh vực khác thì thật là điều đầy tiếc ỳDnối,muốn thành công phải biết chiêm nghiệm và học hỏi nhiều điều,giữa những khoảng không gianbao la luôn tồn tại tình yêu đẹp. Bất đẳng thức được xem như là đề tài hấp dẫn thu hút sự quan tâm của các toán thủ trên các diễnđàn,sự huyền bí của hai cặp dấu ≥ ≤ luôn thách thức trí óc và độ tư duy của người giải toán. Chẳng hunhững thế,phân môn này luôn là câu đánh đố cao trong các đề thi học sinh giỏi,Olympic và tuyểnsinh đại học. Chợt nhớ đến đề thi đại học khối A năm 2012 vừa qua là câu khống chế điểm của hầu ịThết thí sinh,như thế cho ta thấy mức độ khó của lớp bài toán này luôn cao. Nếu xem bất đẳng thức như "Ông hoàng" trong toán phổ thông thì hệ phương trình như mộtcô gái chân quê hút hồn bao nhiêu gã si tình,những chàng thợ săn mãi mê tìm vẻ đẹp của nàng,khẽgõ cửa trái tim nàng để mong đến lúc nào đó tìm ra chân lí (x; y) ở đâu ? Ta lại chợt nhận ra nếu Thcâu bất đẳng thức trong đề đại học không có hay không quá khó thì nàng lại vững bước kiêu sa làmcho bao sỉ tử đau đầu đi chinh phục. Đó có lẽ là tình yêu đẹp có chút nhẹ nhàng nhưng lắm phongba. Sự xa cách của nơi đô thành tấp nập và chốn thôn quê bình dị ấy,có lúc nào lại gặp nhau nơi ầndòng sông hò hẹn này,nơi tình cảm nồng ấm của những đôi trai gái yêu nhau.Tác giả xin làm con đònhỏ đưa lữ khách sang sông,nối nhịp đôi bờ lại với nhau qua chuyên đề Tr SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cho bài biết tham gia vào "Tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học của diễn đàn n♥www.k2pi.net 1 " để góp phần đưa các thí sinh đang có chút phân vân về cách học và ôn tập toánnhư thế nào là hiệu quả để thẳng tiến vào cánh cổng đại học phía xa kia có một tài liệu ôn tập bổtrợ cả hai mảng hệ phương trình và bất đẳng thức,đồng thời cũng muốn gởi đến đọc giả yêu toánchút gia vị yêu thương dù nhỏ bé này. à Điều đặc biệt tác giả muốn gởi tặng chuyên đề này đến người con gái mà tác giả yêu thươngmang tên Trần Thị Thuỳ Dương Lớp Dược B Khoá 38 Đại Học Y Dược Cần Thơ như thể hiện tình Tocảm của chính bản thân mình. Do không phải theo nghiệp cầm phấn và kiến thức toán còn hạn hẹp nên chắc hẳn sai sót là điềukhông thể tránh khỏi được,rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc qua địa chỉ Ngô Hoàng Toàn ngLớp YD1 khoá 38 Trường Đại học Y Dược Cần Thơ hoặc email:Ngohoangtoan1994@gmail.com.Rất mong nhận được sự quan tâm của các bạn để lần viết chuyên đề sau được hoàn thiện hơn.Thân mến! oà Cần Thơ, ngày 01 tháng 01 năm 2013 ôH Ngô Hoàng Toàn 1 Tuyển tập dự kiến sẽ tổng hợp và biên soạn các bài viết dưới dạng các bài giảng,chuyên đề thànhNgmột ebook hoàn chỉnh.Dự kiến sẽ hoàn thành trong tháng 3 năm 2013.Mọi thắc mắc và đăng kí thamgia chuyên đề xin liên hệ trực tiếp tại forum:www.k2pi.net.2 TY D
  3. 3. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Phần 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ươMỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG • Bất đẳng thức AM-GM: ỳD Cho a1 , a2 , ..., an là các số thực không âm thì ta có: √ a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1 a2 ...an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an . hu Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp và .Mà ta thường được biết đến dưới phát biểu: ịT √ 1. Cho a, b ≥ 0 .Khi đó ta có:a + b ≥ 2 ab .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b. Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là: 2 Th a+b (a) ≥ ab 2 (b) (a + b)2 ≥ 4ab (c) a2 + b2 ≥ 2ab (a + b)2 ần 2 2 (d) a + b ≥ 2 √ 2. Cho a, b, c ≥ 0 Khi đó ta có: a + b + c ≥ 3 3 abc .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Tr Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng khác khá phổ biến như sau: Với mọi số thực a, b, c ta luôn có: (a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca n♥ (a + b + c)2 (b) a2 + b2 + c2 ≥ 3 2 (c) (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) (d) a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥ abc (a + b + c) à (e) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc (a + b + c) To • Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai bộ số thực tùy ý a1 , a2 , ..., an vàb1 , b2 , ..., bn ta có : (a2 + a2 + ... + a2 )(b2 + b2 + ... + b2 ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 1 2 n 1 2 n a1 a2 an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ... = . ng b1 b2 bn Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel Giả sử a1 , a2 , ..., an là các số thực bất kì và b1 , b2 , ..., bn là các số thực dương . Khi đó ta luôn oà a1 2 a2 2 an 2 (a1 + a2 + ... + an )2 có : + + ... + ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + ... + b a1 a2 an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ... = ôH b1 b2 bn Tuy nhiên,khi giải toán ta hay quan tâm nhiều đến trường hợp n = 2 và n = 3 . Khi đó ta gặp một số đánh giá quen thuộc sau: Cho a, b, c > 0 ta có:Ng (a + b + c)2 1. a2 + b2 + c2 ≥ 3c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 3
  4. 4. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng 1 1 1 2. (a + b + c) + + ≥9 a b c ươ • Bất đẳng thức Minkowski 1 1 1 + a1 , a2 , ..., an ∈ n p n p n p và 1 < p ∈ + .Khi đó ap bp (ak + bk )p ỳD Cho k + k ≥ b1 , b2 , ..., bn ∈ + k=1 k=1 k=1 Nhưng ta quan tâm nhiều nhất là các bất đẳng thức quen thuộc sau: √ √ hu 1. a2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 √ 2. a2 + b 2 + c 2 + m 2 + n2 + p2 ≥ (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 ịT 3. a1 2 + b 1 2 + a2 2 + b2 2 + ... + an 2 + b n 2 ≥ (a1 + a2 + ... + an )2 + (b1 + b2 + ... + bn )2 Th ần Tr à n♥ To ng oà ôHNg4 TY D
  5. 5. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Phần 2.CON ĐƯỜNG ĐI TỪ BÀI TOÁN ĐẾN SUY NGẪM CỦA BẢN THÂN ươ Chương I.BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 ẨN SỐ Bài toán 01 Giải hệ phương  trình: √ ỳD 4 4 xy x +y 3  4 = − x+y 8  (x + y) (1) √ 1 3  +√ =4 x y  hu Phân tích bài toán ịTCâu hỏi đặt ra lúc này là khi ta nhìn vào hệ này,tại sao ta lại nghĩ rằng đây là hệ giải bằng phươngpháp Bất đẳng thức.Thật ra, điều ta quan tâm đến giả thiết bài toán đó chính√ phương trình là x4 + y 4 xythứ nhất.Sự đối xứng hai biến x, y và có sự xuất hiện của đại lượng 4 và .Đây là điều (x + y) x+y Thquen thuộc trong các bước đánh giá bất đẳng thức.Đại lượng (x + y)4 yếu hơn x4 + y 4 nên ta √nhận ra được V T ≥ a còn x + y thì mạnh hơn xy nên ta nghĩ đến việc đánh giá V P ≤ a để đưavề V T ≥ a ≥ V P từ đó đưa ra dấu đẳng thức.Việc còn lại là giải phương trình thứ hai không quá khó. ần Lời GiảiĐiều kiện x, y > 0 TrÁp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có: (x2 + y 2 )2 (x + y)4 x4 + y 4 ≥ ≥ 2 8 n♥ 1Do đó vế trái hệ (1) ≥ 8Áp dụng bất đẳng thức AM − GM cho vế phải hệ (1) ta có √ √ xy 3 xy 3 1 à − ≤ √ − = x+y 8 2 xy 8 8 ToDấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y 4Thay vào hệ (2) ta có √ = 4 ⇔ x = 1. x ngVậy nghiệm của hệ là x = y = 1 .Nhận xét oàVới việc bắt đầu bước vào giải các lớp bài toán hệ bằng bất đẳng thức,đây có lẽ là ví dụ dễ tiếpcận với các bạn làm quen phương pháp này.Ý tưởng trong sáng cho hệ trên và phương pháp kết hợp 1 ôHchặn V P ≤ ≤ V T là một trong những bước khởi đầu cho con đường chinh phục các dạng toán 8như thế này.Với việc đánh giá như thế ta có thể đưa bài toán khó hơn chút nửa như sau.Giải hệ phương trình :  4x4 + y 4 + 6x2 y 2 = x3 x2 − y 2Ng x4 y + y 4 √x + 7√x = 0c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 5
  6. 6. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ngBài tập tương tự ươ1.Giải hệ phương trình sau:  2x + 4y = 32 xy = 8 ỳD Đề thi học sinh giỏi Hà Tĩnh năm 2008-2009. hu2.Giải hệ phương trình sau:  ịT 2(x + y)2 + 4xy − 3 = 0 (x + y)4 − 2x2 − 4xy + 2y 2 + x − 3y + 1 = 0 Bài toán 02 Tìm tất cả các cặp số (x; y) không âm thỏa mãn hệ: Th  √ (2x + 4x2 + 1)( y 2 + 1 − y) = 1  1 + 1 + 1 = 3 1 + 3x 1 + 2y 1 + 5x 1 + 4x ần Nguồn gốc TrBài toán được đưa lên trang www.k2pi.net bởi anh Nguyễn Trung Kiên,bài toán chuẩn mực và đầylí thú ,những tư duy chặt chẽ trong đó cho ta nhiều điều suy ngẫm để hướng tới những bài toán vàcách sáng tạo hệ mới.Lời giải đến hiện nay cho bài toàn này là từ anh Con Phố Quen, một lời giảiđẹp mang đậm chất nghệ thuật. n♥ Phân tích bài toán 1 1 1Điều đầu tiên khi ta nhìn vào bài toán này chính là các đại lượng + + đó là các à √ 1 + 3x 1 + 2y 1 + 5xđại lượng mũ và điều kì thú là 3x .4x .5x = 60x ≤ 64x với 64x = 4x .Vậy chắc rằng tồn tại bất đẳng 3 To 1 1 1 3thức có dạng + + ≥ √ để hệ thứ hai là một bất đẳng thức dưới dạng bổ 1+a 1+b 1+c 1 + 3 abcđề toán.Chính điều này đã định hướng phần nào cho ta cách tiếp cận bài toán dưới cách nhìn bấtđẳng thức. ng Lời giải oàTrước tiên ta cần để ý rằng : ôH y 2 + 1 − y = 0; y2 + 1 − y y2 + 1 + y = 1Tiếp đến là một bất thức quen thuộc được dùng trong bài toán này như một bổ đề :Ng 1 1 1 3 + + ≥ √ với a, b, c ≥ 1 1+a 1+b 1+c 1 + 3 abc6 TY D
  7. 7. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ngVới đánh giá thứ nhất ta đưa phương trình thứ nhất trong hệ về phương trình : ươ √ 2x + 4x2 + 1 = y + y 2 + 1 √ t ỳDTới đây xét hàm số f (t) = t + t2 + 1, ∀t ≥ 0. Ta có f (t) = 1 + √ > 0, ∀t ≥ 0. t2 + 1Từ đó ta có :f (2x) = f (y) ⇔ y = 2x.Với kết quả này cùng với đánh giá thử hai tức là bổ đề nêu ra ta có : 1 1 1 3 3 hu x + x + x ≥ √3 ≥ √ 1+3 1+4 1+5 1 + 60 x 1 + 3 64xDấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 0 ịTNhận xét Lời giải trên giúp ta có lối tư duy đẹp cho việc tạo ra các bài toán hay,cái khó của bài toán cònnằm ở chổ đánh giá 60x ≤ 64x với x ≥ 0.Từ bài toán trên ta cũng có thể tạo ra những bài toán ấn Thtượng,ví dụ như bài toán sau.Giải hệ phương trình sau:(2x + √4x2 + 1)( y 2 + 1 − y) = 1(1 + 2x )(1 + 2y )(1 + 5x ) = (1 + 4x ) ầnBài tập tương tự1.Tìm nghiệm dương của hệ : 3x 4y 2z + + =1 Tr x+1 y+1 z+1 . 9 3 4 2 8 .x y z = 12.Giải hệ phương trình n♥x + y + z = 1x4 + y 4 + z 4 = xyz Bài toán 03 Tìm tất cả các cặp số (x; y) dương thỏa mãn hệ: à  9 41 x2 + 1  To = 3 + 40x (1) 2 2x + y  x2 + 5xy + 6y = 4y 2 + 9x + 9 (2)  ng Nguồn gốcBài toán này được bạn Hải với nick hoanghai1195 đưa lên diễn đàn www.K2pi.net trong thời giandài dù nhận được nhiều sự quan tâm nhưng chưa có lời giải nào.Sau đó bạn đã đưa lời giải của mình oàlên,một lời giải đẹp và đầy tính đánh đố. ôH Phân tích bài toán Đại lượng căn làm ta có cảm giác thấy khó xử lí,công việc ta cần làm là phá các căn thức đóđi,để ý rằng 41.2 = 82 = 92 + 12 vậy theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có : 1 1Ng (92 + 12 ) x2 + ≥ |9x + | 2x + y (2x + y)c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 7
  8. 8. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ngMà ta dự đoán được x = y = 3 là nghiệm của hệ nên để ý đến việc chọn điểm rơi để phá căn thứccòn lại như sau: ươ 1 1.3 6 6 |9x + | = |9x + | ≥ |9x + | ≥ 9x + 2x + y) 9(2x + y) 2x + y + 9 2x + y + 9 ỳDViệc phá căn hoàn tất vấn đề còn lại là sử dụng giả thiết còn lại bài toán để giải quyết vấn đề trên. Lời giải hu 41 2 1 1 6 + 80x 9 x + = 3 + 40x ⇔ 82 x2 + = (a) 2 2x + y 2x + y 9 ịTTheo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có : 1 1 1 82 x2 + = (92 + 12 ) x2 + √ ≥ |9x + | Th 2x + y ( 2x + y)2 (2x + y)Theo bất đẳng thức AM − GM ta lại có : 1 1.3 6 |9x + | ≥ 9x + ≥ 9x + (2x + y) 9(2x + y) 2x + y + 9 ầnĐể phương trình (a) có nghiệm thì Tr 6 + 80x 18x2 + 9xy + 81x + 6 ≥ ⇔ 3x − 2x2 − xy + 6y ≥ 0 (3) 9 2x + y + 9Cộng phương trình (2) với phương trình (3) ta được: n♥ −x2 + 4xy − 4y 2 + 12y − 6x − 9 ≥ 0 ⇔ −(x − 2y + 3)2 ≥ 0 ⇔ x + 3 − 2y = 0Vậy dấu bằng ở các bất đẳng thức trên xảy ra hay: x = y = 3.Thử lại ta thấy thoả mãn hệ ban đầu. à x=3 ToVậy nghiệm của hệ : y=3Nhận xét Xét về tính thực tế bài này rất khó đòi hỏi người giải phải thuần thục kỉ năng sử dụng cả hai bất ngđẳng thức AM − GM và Cauchy Schwarz.Điều ta quan tâm là cách tác giả đi từ những đánh giácơ bản đi đến bài toán của mình,khi các bạn đọc lời giải trên có lẽ các bạn thấy được rằng điểmmấu chốt giải quyết bài toán nằm ở các đánh giá thông qua việc chọn điểm rơi trong bất đẳng thức oàAM − GM và Cauchy Schwarz.Xin được nói thêm cách chọn được điểm rơi như thế. • Thứ nhất ôH 1 1 Việc có đánh giá (92 + 12 ) x2 + √ ≥ |9x + | là do ta đoán được hệ ( 2x + y)2 (2x + y) 9 1 có nghiệm x = y = 3 nên ta quan tâm dấu đẳng thức xảy ra là = . khi ta thay x 1 √Ng 2x + y x = y = 3 vào thì điều này đúng,vậy ta lí giải được phần đáng giá này.8 TY D
  9. 9. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng • Thứ hai 1.3 6 Với đánh giá này 9x + ≥ 9x + ta dựa vào điểm rơi của AM − GM 9(2x + y) 2x + y + 9 ươ qua việc phá bỏ căn thức.Thấy biểu thức trong căn có giá trị là 9 muốn phá bỏ căn thức này ta cần thêm vào số 3 dưới mẫu thì thêm 3 trên tử.Như thế khi áp dụng AM − GM dấu đẳng ỳD thức vẫn bảo toàn.Bài tập tương tựGiải hệ phương trình: x + 6√xy − y = 6  hu  x3 + y 3 x + 6 2  − 2(x2 + y 2 ) = 3 x + xy + y 2 ịT Bài toán 04 Tìm tất cả các cặp số (x; y) dương thỏa mãn hệ:  2x2 (4x + 1) + 2y 2 (2y + 1) = y + 32 x 2 + y 2 − x + y = 1 Th 2 Phân tích bài toán ầnTa thấy rõ việc đánh giá bất đẳng thức qua sự đối xứng các biến x, y.Nhưng điều quan trọng là tanên khai thác giả thiết này như thế nào ? Để ý rằng phương trình thứ hai của hệ được viết thành 1 1 1 1(x− )2 +(y + )2 = 1 vậy nếu đặt a = x− ; b = y + thì ta có ngay chặn của biến a, b ∈ [−1; 1].Việc Tr 2 2 2 2còn lại là biến đổi phương trình thứ nhất về các đại lượng đánh giá thích hợp. n♥ Lời giải 1 1Từ phương trình 2 ta có: (x − )2 + (y + )2 = 1 2 2 1 1 1 1Vậy nếu ta đặt x − = a; y + = b thì x = a + ; y = b − và a, b ∈ [−1; 1] à 2 2 2 2Lúc này thay vào phương trình 1 ta có được: To 8a3 + 14a2 + 8a + 4b3 − 4b2 = 30Hay ng (4a2 + 11a + 15)(a − 1) + 2b2 (b − 1) = 0(1)Vì a, b ∈ [−1; 1] nên ta có  2 + 11a + 15)(a − 1) ≤ 0 và b2 (b − 1) ≤ 0 (4a  oà a = 1 a = 1Kết hợp với (1) ta suy ra hoặc b = 0 b = 1  x = 3 ôH  a = 1 * Nếu thì 2 b = 0 y = −1   2  a = 1 x =  3*Nếu thì 2Ng b = 1 y = 1  2c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 9
  10. 10. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng 3 −1 3 1Vậy nghiệm (x; y) của hệ là ( ; ), ( ; ) . 2 2 2 2 ươNhận xétThật trùng hợp khi bài toán trên có một dạng tương tự khá khó nằm trong đề thi thử lần 1 của diễnđàn K2pi.net như sau: ỳDGiải hệ phương trình : (x + y) (25 − 4xy) = 105 + 4x2 + 17y 2  4 4x2 + 4y 2 + 4x − 4y = 7 hu 3a − 1 3b + 1Lời giải Đặt x = ;y = .Lúc đó hệ trở thành: 2 2  −6b3 + 9b2 = 6a3 + 14a − 20 (1) ịT a2 + b 2 = 1Ta có (1) ⇔ 3b2 (3 − 2b) = (a − 1)(6a2 + 6a + 20) Th⇔ 3(1 − a2 )(3 − 2b) = (a − 1)(6a2 + 6a + 20)⇔ (a − 1)(6a2 + 6a + 20 + 9 − 6b + 9a − 6ab) = 0 1+) Với a = 1 ⇒ b = 0 ⇒ x = 1; y = 2 ần+) Với 6a2 + 29 + 15a − 6b − 6ab = 0 (2) ta có: V T (2) ≥ 6a2 + 29 − 15 − 6 − 3 = 6a2 + 5 > 0 nêntrường hợp này phương trình vô nghiệm. 1Vậy phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; ) Tr 2Bài toán tương tựGiải hệ phương trình :  n♥ x 4 + y 4 = 2 x3 − 2x2 + 2x = y 2. x + 2(y − √x − 1) ≤ 19 + 1  Bài toán 05 Giải hệ bất phương trình: 5 y2 + 1  √2x + y − 2 + √y − x + 1 = 3 à To • Lời giải 1 ng Phân tích : Nhận thấy hệ này có ba biểu thức chứa căn, ta suy nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bỏ căn. Nhưng bài toán đặt ra là đặt ẩn phụ như thế nào? oà √ √ Rõ ràng hai biểu thức 2x + y − 2; y − x + 1 có mối liên hệ với nhau nên ta chỉ cần đặt ẩn √ phụ cho một trong hai biểu thức này và đặt ẩn còn lại là x − 1. √ √ ôH Lời giải dưới đây lựa chọn y − x + 1 làm một ẩn, bạn hoàn toàn có thể đặt u = 2x + y − 2 Lời giải   x≥1  Điều kiện: y−x+1≥0 Ng  2x + y − 2 ≥ 0 10 TY D
  11. 11. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng √ u= y−x+1≥0 x = v2 + 1 Đặt √ ⇒ v = x−1≥0 y = u2 + v 2 ươ Khi đó đưa về hệ bất phương trình:  v 2 + 1 + 2 (u2 + v 2 − v) ≤ 19 + 1  5 (u2 + v 2 )2 + 1 ỳD u + 2 (v 2 + 1) + u2 + v 2 − 2 = 3   (v − 1)2 + 2 (u2 + v 2 ) ≤ 19 + 1  hu ⇔ 5 (u2 + v 2 )2 + 1 √  u+ u 2 + 3v 2 = 3 ịT Để ý bất phương trình đầu của hệ có chung nhân tử (u2 + v 2 ) nên ta nghĩ đến việc loại bỏ (v − 1)2 ≥ 0, từ bất phương trình này ta suy ra được: 19 1 Th 2 u2 + v 2 ≤ + 5 (u 2 + v 2 )2 + 1 2 ⇔ u2 + v 2 − 2 10 u2 + v 2 + u2 + v 2 + 12 ≤ 0 ⇔ u2 + v 2 ≤ 2 ần Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM − GM cho Tr √ u2 + 1 4 + u2 + 3v 2 3 (u2 + v 2 ) + 6 3.2 + 6 3=u+ u2 + 3v 2 ≤ + = ≤ =3 2 4 4 4 Do vậy các dấu đẳng thức xảy ra, tức n♥   (v − 1)2 = 0 √  u=1 y−x+1=1 x=2 u=1 ⇔ ⇔ √ ⇔  √ v=1 x−1=1 y=2  2= u 2 + 3v 2 à thỏa mãn điều kiện. To Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2) . • Lời giải 2  2x + y − 2 ≥ 0  ng Điều kiện: 2y − 2 + 2 ≥ 0  x≥1  Ta có: √ oà (x − 2)2 x + 2y − 2 x − 1 = √ + 2y ≥ 2y (∗) x+2 x−1 Do đó bất phương trình (1) đúng khi và chỉ khi bất phương trình sau phải đúng ôH 19 1 + 2 ≥ 2y 5 y +1Ng ⇔ (y − 2)(10y 2 + y + 12) ≤ 0 ⇔ y ≤ 2 (∗∗)c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 11
  12. 12. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Từ phương trình (2): ươ x + 2y − 1 + 2 (2x + y − 2)(y − x + 1) = 9 Ta có 2x + y − 2 + 4(y − x + 1) 9y V T ≤ x + 2y − 1 + = ỳD 2 2 Từ đó suy ra 9y ≥9⇔y≥2( ) 2 Từ ( ); ( ); ( ) hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2) huNhận xét ịTCác đánh giá trong bài toán đều rất khéo tuy nhiên lời giải 1 là tường minh và cho ta suy nghĩ đẹphơn.Những hệ bất phương trình dạng này là một ví dụ điển hình cho lối giải toán bất đẳng thứctrong hệ. ThBài toán tương tự 1. Giải hệ phương trình: 2√xy + √1 − 2y ≤ √2y  ần 2005√2xy − y + 2006y = 1003 Tr 2. Giải hệ phương trình :  x6 + y 8 + z 10 ≤ 1 x2007 + y 2009 + z 2011 ≥ 1 n♥ (y + 1)2 + y y 2 + 1 = x + 3  Bài toán 06 Giải hệ phương trình: 2 x + √x2 − 2x + 5 = 1 + 2√2x − 4y + 2 à To Phân tích bài toán ng Bài toán này không dễ nhận ra việc sử dụng bất đẳng thức như thế nào,lớp bài toán này thườnghay phổ biến trong các đề.Khi ta biến đổi qua một số bước sẽ đưa đến việc dùng bất đẳng thức đểchứng minh các phương trình là có nghiệm hay vô nghiệm.Qua biến đổi ta đưa về một phương trình oàlà : (x − 1)2 + 4 ≥ |x − 1| ≥ (x − 1) ôH 2 y 2 + 1 > 2 |y| ≥ 2y.Việc phát hiện ra dùng đánh giá dạng A2 ≥ 0 là cách đưa bài toán dễ chứng minh hơn bởi nếu tatìm cách giải phương trình (x − 1) + (x − 1)2 + 4 = 2y + 4y 2 + 4 là điều rất khó bởi hệ trên cócả căn thức và hai biến x, y.Vì thế ta đi đến lời giải sauNgĐiều kiện : x − 2y + 1 ≥ 012 TY D
  13. 13. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ngTừ phương trình (1) của hệ ta có : ươ (y 2 + 1) + 2y y 2 + 1 + y 2 = 2x − 4y + 2 2 ⇔ y+ y2 + 1 = 2x − 4y + 2 (a) ỳD Từ phương trình thứ (2) ta lại có : 2 2 (x − 1) + (x − 1) + 4 = 4(2x − 4y + 2) (b) huTừ (a) và (b) cho ta : ịT 2 2 2 (x − 1) + (x − 1) + 4 = 4 y + y 2 + 1  x + 2y − 1 + (x − 1)2 + 4 + 2 y 2 + 1 = 0 Th (3) ⇔  (x − 1) + (x − 1)2 + 4 = 2y + 4y 2 + 4 (4)-Với phương trình (3) để ý là : ần (x − 1)2 + 4 ≥ |x − 1| ≥ (x − 1) 2 y 2 + 1 > 2 |y| ≥ 2y Tr ⇒ x + 2y − 1 + (x − 1)2 + 4 + 2 y 2 + 1 > 0( ) n♥- Với phương trình (4) ta có : [(x − 1) − 2y] (x + 2y − 1) [(x − 1) − 2y] + = 0 ⇔ x − 1 = 2y (x − 1)2 + 4 + 4y 2 + 4 à To( Do chứng minh ( ) làm cho biểu thức trong ngoặc của nhân tử liên hợp >0 )-Với x − 1 = 2y ta thay vào phương trình thứ hai của hệ ban đầu ta được phương trình: √ √ x+ x2 − 2x + 5 = 1 + 2 4x + 1 ngPhần việc còn lại không khó xin dành cho bạn đọc. oà Bài toán 07 Giải hệ phương trình: ôH (x + y + 1)(x + y + 1 + xy) = 12xy √ y 3x − 2x2 − 1 + x 1 + y − 2y 2 + xy = 1Ngc Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 13
  14. 14. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Phân tích bài toánBản chất của bài toán nằm ở đánh giá lượng của phương trình thứ nhất,khi quan sát ta nhận thấy ươlượng xy của vế phải yếu hơn x + y của vế trái nên ta nghĩ đến việc dùng AM − GM để đưa về tìmcác chặn của xy.Tương tự như bài toán 1 ta đưa về dạng đánh giá 1 ≤ xy ≤ 1 (Lời giải 1). 1 1 1 ỳDVề lời giải thứ 2,sự khéo léo nằm ở việc biến đổi − = ở phương trình x + y + 1 x + y + 1 + xy 12 1đầu,vấn đề còn lại là dùng bất đẳng thức AM − GM để chuyển về phương trình − x+y+1 4 1 4 1 2 sau đó dùng đạo hàm chứng minh f (t) = − 2 ≤ .Từ những định tính ban t 12 hu(x + y + 2) (t + 1)đầu ta đi đến lời giải sau. ịT Lời giải  1  3x − 2x2 − 1 ≥ 0  ≤x≤1Lời giải 1 Điều kiện: ⇐⇒ 2 Th 1 + y − 2y 2 ≥ 0  −1 ≤ y ≤ 1  2 Lúc này ta có:  x + y + 1 ≥ 1 + −1 + 1 = 1 > 0 ần  2 2 x + y + 1 + xy ≥ 1 + −1 + 1 + 1. −1 = 1 > 0  2 2 2 2 Tr Suy ra 12xy = (x + y + 1)(x + y + 1 + xy) > 0 ⇒ xy > 0 Mà x > 0 nên suy ra y > 0 Do đó từ phương trình 2 ta dễ suy ra được xy ≤ 1 n♥ Mặt khác, theo bất đẳng thức AM − GM thì từ phương trình 1 ta có: 5 √ 12xy = (x + y + 1)(x + y + 1 + xy) ≥ 3 3 x.y.1.(2 x.y + 2 1.xy) = 12(xy) 6 à Suy ra xy ≥ 1 To Do đó xy = 1 ⇐⇒ x = y = 1 Thử  thấy x = 1; y = 1 là nghiệm của hệ. lại x = 1 Vậy . y = 1 ng   1  − ≤x≤1Lời giải 2 Điều kiện: 2  −1 ≤ y ≤ 1 oà  2 +) Với : (x + y + 1) (x + y + 1 + xy) = 0 hệ vô nghiệm. ôH +) Với : (x + y + 1) (x + y + 1 + xy) = 0 1 1 1 Từ phương trình (1) cho ta : − = x + y + 1 x + y + 1 + xy 12 1 1 1 4 Lại có : − ≤ − x + y + 1 x + y + 1 + xy x + y + 1 (x + y + 2)2 1 4Ng Xét hàm số : f (t) = − , t ∈ [1; 3] , trong đó : t = x + y + 1 t (t + 1)214 TY D
  15. 15. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng 1 Lập bảng biến thiên cho ta : f (t) ≤ f (3) = 12 x+1=y+1 x=1 ươ Vậy (1) ⇔ ⇔ x+y+1=3 y=1 x=1 Thử lại cho ta nghiệm của hệ : ỳD y=1Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1; 1)Nhận xét hu • Lời giải 1 tự nhiên hơn hẳn,chỉ thuần sử dụng bất đẳng thức để đánh giá,cái tinh tế ở đây là việc ta sử dụng bất đẳng thức AM − GM tại ịT 5 √ 12xy = (x + y + 1)(x + y + 1 + xy) ≥ 3 3 x.y.1.(2 x.y + 2 1.xy) = 12(xy) 6 Th Tại sao ta không áp dụng AM − GM trực tiếp cho các số mà phải ghép cặp lại,chỉ vì khi ta xét dấu đẳng thức thì việc ghép cặp giúp ta bảo toàn dấu đẳng thức bài toán. • Sự tinh ý của lời giải 2 nằm ở vị trí đánh giá ần (x + y + 2)2 ≥ 4(x + y + 1 + xy) với điều kiện x, y ≤ 1. Điều này đúng theo bất đẳng thức AM − GM vì ta có Tr (x + y)2 (x + y)2 + 4(x + y) + 4 (x + y + 2)2 x + y + 1 + xy ≤ x + y + 1 + +x+y+1= = 4 4 4 n♥ Bài toán 08 Giải hệ phương trình: (x + 6y + 3)√xy + 3y = (8y + 3x + 9)y  à  −x2 + 8x − 24y + 417 = (y + 3)√y − 1 + 3y + 17 To Phân tích bài toán ng Hệ đã cho gồm các phương trình căn thức và đa thức,việc ta nên làm là giải quyết các căn thứckhó chịu trên.Và phương pháp thương dùng nhất là đặt ẩn phụ,nhưng đặt ẩn phụ như thế nào là oàổn.Đó là điều ta quan tâm ? ôH Lời giảiTa viết lại hệ phương trình đã cho như sau: √ (x + 6y + 3) xy + 3y = (8y + 3x + 9)y (1)Ng √ −x2 + 8x − 24y + 417 = (y + 3) y − 1 + 3y + 17 (2)c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 15
  16. 16. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng √ √Ta đặt a = x + 3; b = y với a, b ≥ 0Tư đó ta viết lại phương trình (1) thành : ươ (a2 + 6b2 )ab = b2 (8b2 + 3a2 ) ỳDVậy ta có : b = 0 hay a3 + 6ab2 = 8b3 + 3a2 bVậy ta có : hu • b = 0 Suy ra y = 0 không thoả phương trình (2). • (a − 2b)(a2 − ab + 4b2 ) = 0 ⇒ a = 2b ịTVới a = 2b ⇒ x + 3 = 4yThay vào (2) ta có : 4 (y + 4)(6 − y) = (y + 3) y − 1 + 3y + 17 ThTheo bất đẳng thức AM − GM ta có : (y + 4 + 6 − y) 4 (y + 4)(6 − y) ≤ 4 = 20 2 ầnVà ta có : (y + 3) y − 1 + 3y + 17 ≥ 3y + 17 ≥ 3 + 17 = 20 TrVậy đẳng thức xảy ra khi y = 1 thay vào ta có x = 1.Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1; 1) n♥   x3 − y 3 + 5 (x + y)2 + 5x2 − 8 xy + 13x = 100 Bài toán 09 Giải hệ phương trình: 3 3 3  x2 + y 2 + xy − 3x − 4y + 4 = 0 Lời giải à To Phân tích bài toán Đây là dạng toán hay và quen thuộc với việc kết hợp hai công cụ mạnh là đánh giá bất đẳngthức và đạo hàm.Với những dạng toán như thế này,công việc ban đầu ta làm là tìm các chặn của các ngbiến x, y dựa vào việc đánh giá Delta của một trong hai phương trình của hệ.Khi đó ta sẽ có tiếphai hướng để giải quyết oà 1. Sử dụng đạo hàm để đánh giá dạng f (x) + g(y) = a với min hoặc max của f (x) , g(y) có tổng bằng a. ôH 2. Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá dạng A + B ≥ a với A, B là hai biểu thức nào đó và a là hằng số.Ng Lời giải16 TY D
  17. 17. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Ta viết lại hệ đã cho như sau   x3 − y 3 + 5 (x + y)2 + 5x2 − 8 xy + 13x = 100 (1) ươ 3 3 3  x2 + y 2 + xy − 3x − 4y + 4 = 0(2)  4 ỳD  ≥x≥0Từ (2) ta suy ra điều kiện của x; y là 73  ≥y≥1  3Rút xy từ (2) thay vào (1) ta được hu (3x3 + 18x2 + 45x) + (3y 2 − 3y 3 + 8y) = 108 (3)Xét hàm số 4 ịT f (x) = 3x3 + 18x2 + 45x; x 0; 3 4Suy ra f (x) ≥ 0 nênf (x) là hàm đồng biến với x 0; 3 Th 892 ⇔ f (x) ≤ f 4  = (4)   9 3Xét hàm số ần 7 g(y) = 3y 2 − 3y + 8y; y 1; 3Dựa vào bảng biến thiên: Tr 80 g(y) ≤ g 4  = (5)   9 3  x = 4 n♥ Từ (3), (4), (5) suy ra hệ có nghiệm ⇔ 3 y = 4  3Thử lại thấy nghiệm thỏa mãn phương trình thứ hai. 4 4 àHệ phương trình có nghiệm (x; y) = ( ; ) 3 3 ToBài toán tương tự x4 + y 2 = 698  1. Giải hệ phương trình 81 x2 + y 2 + xy − 3x − 4y + 4 = 0 ng  x3 − y 3 − 15(x − y) − (x + y)2 = x2 − 9y 2 − 15y + 94 2. Giải hệ phương trình 4x2 + 4y 2 + 6x + 6y − 2xy − 9 = 0 oà √x + √y + 2(x2 + y 2 ) = 4 + 2xy  ôH Bài toán 10 Giải hệ phương trình : x 3x2 + 6xy + y 3y 2 + 6xy = 6 Lời giảiNgc Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 17
  18. 18. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Phân tích bài toán Bài toán này rất thú vị,nếu ta không nhận ra rằng nếu sử dụng các bất đẳng thức quá mạnh sẽ ươdẫn tới làm khó bài toán và gần như là đưa kết quả về con số 0.Bài toán được anh Nguyễn TrungKiên đưa lên trang www.k2pi.net trong một thời gian không nhận được lời giải,sau đây là lời giảicủa chúng tôi,một lời giải áp dụng chỉ bất đẳng thức cơ bản nhưng khá tinh tế.Mời các bạn cùng ỳDthưởng thức. Lời giảiTa viết lại đề bài: hu √x + √y + 2(x2 + y 2 ) = 4 + 2xy  ịT x 3x2 + 6xy + y 3y 2 + 6xy = 6Từ phương trình thứ hai,áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có : Th x 3x2 + 6xy + y 3y 2 + 6xy ≥ 2 xy. 3x2 + 6xy. 3y 2 + 6xy ≥ 2. xy (9x2 y 2 + 18xy(x2 + y 2 ) + 36x2 y 2 ) ≥ 2. xy (9(xy)2 + 36(xy)2 + 36(xy)2 ) = 6xySuy ra xy ≤ 1 (1). ầnĐể ý rằng √ √ √ √ x. 9x. 3x + 6y y. 9y. 3y + 6x x 3x2 + 6xy + y 3y 2 + 6xy = + Tr 3 3Ta lại có theo bất đẳng thức AM − GM thì : √ √ √ √ x. 9x. 3x + 6y y. 9y. 3y + 6x 12x2 + 6xy 12y 2 + 6xy + ≤ + = 2(x2 + y 2 + xy) n♥ 3 3 6 6Vậy ta suy ra:x2 + y 2 + xy ≥ 3Mà xy ≤ 1 nên x2 + y 2 ≥ 2 .Từ phương trình thứ nhất ta có: √ √ √ à 4 + 2xy ≥ x+ y + 4 ≥ 2. 4 xy + 4. To √ √Vậy suy ra xy ≥ 4 xy ⇐⇒ 4 xy ≥ 1Hay xy ≥ 1 (2).Từ (1); (2) ta suy ra xy = 1.Và từ các dấu bằng bất đẳng thức ta có x = y = 1. ngVậy tập nghiệm của hệ phương trình là S = (x; y) = (1; 1). oà Bài toán 11 Tìm tất cả các nghiệm dương của hệ phương trình : √x + y + 2(2x2 − 5x − 3) = y(1 − y − 5x) + √3   ôH 1 1 2  4 + 2x(12x + 1) + 2(y + 2) + 4 + 2y(12y + 1) + 2(x + 2) = 16x 16y 145 Ng18 TY D
  19. 19. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Nguồn gốcBài toán được đưa lên www.k2pi.net bởi anh Con Phố Quen trong topic hệ sáng tạo từ các thành ươviên K2pi.netvà lời giải đến hiện nay cho bài toán này là của chúng tôi,một lời giải thân quen vớinhững công cụ bất đẳng thức đưa bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều.Thay vì phân tích hướng ỳDlàm,chúng tôi mời các bạn đọc bài toán và tự rút ra hướng làm cho bản thân mình.Vì như thế cácbạn sẽ hiểu rõ hơn cách giải và có những sáng tạo nhất định.Chúng tôi chờ đợi lời giải từ các bạn. Lời giải hu Ta viết lại hệ phương trình √x + y + 2(2x2 − 5x − 3) = y(1 − y − 5x) + √3 (1)   ịT 1 1 2  4 + 2x(12x + 1) + 2(y + 2) + 4 + 2y(12y + 1) + 2(x + 2) = (2) 16x 16y 145  √-Xét (1). Đặt t = x + y;t > 0. Ta viết phương trình (1) về dạng: Th √ t + 4x2 − 10x − 6 = y − y 2 − 5xy + 3Theo cách "chân quê" ta cứ rút y theo x, t nên ta có :y = t2 − x Vậy phương trình trên biến đổi lại ầnthành: √ t4 − t2 + t − 6 − 3 = 3(3 − t2 )x √ √ √ √ √ ⇐⇒ (t − 3)(t3 + 3t2 + 2t + 2 3 + 1) = 3( 3 − t)( 3 + t).x TrĐến đây các bạn có thắc mắc tại sao tôi biết được cách phân tích như thế không ? Thật ra,khi nhìnvào phương trình thứ hai,ta dễ nhận thấy phương trình trên là một bất đẳng thức nào đó ,nên điềuta thiết nghĩ lúc này có chăng là x = y. Thật vậy,bằng kiểm tra đơn giản,ta có ngay một nghiệm bài n♥ 3toán là x = y = .Đến đây với cách "chân quê" ta lại có biến đổi như trên là điều hoàn toàn giải 2thích được. Phương trình trên cho ta : √ t = 3 (3) à √ √ √ t3 + 3t2 + 2t + 2 3 + 1 = −3( 3 + t).x (4) To √Chúng ta hãy tạm giải quyết trường hợp t = 3 trước. Quay trở lại phương trình (2) ta có: 1 1 2 + = 16x4 + 2x(12x + 1) + 2(y + 2) 16y 4 + 2y(12y + 1) + 2(x + 2) 145 ngTheo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có : 1 1 4 oà + ≥16x4 + 2x(12x + 1) + 2(y + 2) 16y 4 + 2y(12y + 1) + 2(x + 2) 16(x 4 + y 4 ) + 24(x2 + y 2 ) + 4(x + y + 2)Ta biến đổi bất đẳng thức về : ôH 16(x4 + y 4 ) + 24(x2 + y 2 ) + 4(x + y + 2) ≤ 290Đặt t = x + y . Theo bất đẳng thức AM − GM ta có các đánh giá :Ng x+y ≤ 2(x2 + y 2 )c Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 19
  20. 20. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng x2 + y 2 ≥ 2(x4 + y 4 ) √Đặt u = 2 2. 4 x4 + y 4 . ươVậy ta có : 16(x4 + y 4 ) + 24(x2 + y 2 ) + 4(x + y + 2) ≤ 2u4 + 12u2 + 4(u + 2) ≤ 290 ỳDMà 2u4 + 12u2 + 4(u + 2) − 290 = (u − 3)(2u3 + 6u2 + 30u + 94) = 0 do u = 3.Vậy đây chỉ là một đẳng thức. 3Vậy dấu bằng xảy ra khi x = y = hu 2-Ta giải quyết (4). √ √ √ t3 + 3t2 + 2t + 2 3 + 1 = −3( 3 + t).x √ √ √ ịTDễ nhận thấy với điều kiện x, t > 0 ta có t3 + 3t2 + 2t + 2 3 + 1 + 3( 3 + t).x > 0 nên phươngtrình này vô nghiệm. 3 3Vậy tóm lại hệ phương trình có nghiêm duy nhất (x; y) = ( ; ). 2 2 ThNhận xét Cách tạo hệ từ bất đẳng thức như thế này giúp ta có thể có được những bài toán hay,cóthể lấy một bài bất đẳng thức trong đề thi thử chuyên Khoa học tự nhiên năm 2012 làm bài toánhệ như sau:Tìm nghiệm dương của hệ sau ần  x + y = 2 1 1 2 Tr  2 + 9x4 + 2 + 9y 4 = 2 + 6x 2 + 6y 17Bài tập tương tự n♥Giải hệ phương trình sau: √ √  x + √y + z = 2013  1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 3x + 2y 3y + 2z 3z + 2x x + 2y + 2z y + 2z + 2x z + 2x + 2y à To ng oà ôHNg20 TY D
  21. 21. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng ươ BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHƯƠNG I  x + √ 2xy  = x2 + y 3 x2 − 2x + 9  . ỳD 1. Giải hệ phương trình 2xy y +  = y2 + x 3 y 2 − 2y + 9   (x + y)3 + 4xy = 3 2. Giải hệ phương trình hu (x + y)4 − 2x2 − 4xy + 2y 2 + x − 3y + 1 = 0. (2x + 3)√4x − 1 + (2y + 3)√4y − 1 = 2 (2x + 3)(2y + 3)  ịT 3. Giải hệ phương trình x + y = 4xy. √ √  1 + 2x2 + 1 + 2y 2 = 2 1 + 2xy Th 4. Giải hệ phương trình  x(1 − 2y) + x(1 − 2y) = 2 . 3  x + y 2 + 8xy = 16  2 x+y   5. Giải hệ phương trình ần 2 3 2 x  + 2x = x + y − y .  8y  3 3y 4 2 Tr  x + y + 4 = 2xy 6. Cho hệ phương trình 2x+y = m( x2 + y 2 + x + y + 5 + x + y). Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thoả x, y ≥ 1. n♥ √x + x2 + y + 3 = 2  7. Giải hệ phương trình 2√x + 4 + 3√y + 8 = 13.  à 3(x + y) = 2 |xy + 1| 8. Giải hệ phương trình To 9(x3 + y 3 ) = |x3 y 3 + 1| x + y = √24  3  9. Giải hệ phương trình √ ( x + √y) √ 1 +√ 1 =2 ng x + 3y y + 3x  √x + √32 − x − y 2 = −3  4 10. Giải hệ phương trình √  4 x + √32 − y + 6y = 24 oà ôHNgc Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 21
  22. 22. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng 2 Chương II.BẤT ĐẲNG THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN SỐ ươ Bài toán 01 Giải hệ phương trình: ỳD  √ + √ + √ = 3√3 (1) 1 1 1    x    y z  x + y + z = 1 (2)  hu x + y + z = 1 (2)    xy + yz + zx = 7 + 2xyz (3)    27 ịT Lời giải ThĐiều kiện:x > 0, y > 0, z > 0 1Kết hợp với (2): x + y + z = 1 ta thấy trong các số x; y; z phải có ít nhất 1 số không lớn hơn , 3 ần 1không mất tính tổng quát ta giả sử z ≤ 3 1Do đó: z ∈ 0; Tr 3Đặt: S = xy + yz + zx − 2xyz = xy (1 − 2z) + z (x + y) = xy (1 − 2z) + z (1 − z) n♥Do: 2 2 x+y 1−z xy ≤ = 2 2Vậy: à 2 1−z 1 S≤ (1 − 2z) + z (1 − z) = −2z 3 + z 2 + 1 2 4 ToXét hàm số 1 f (z) = −2z 3 + z 2 + 1 4 ngTa có: 1 1 1 f (z) = −6z 2 + 2z = z (−3z + 1) ≥ 0, ∀z ∈ 0; 4 2 3 oàVậy: 1 7 1 f (z) ≤ f = , ∀z ∈ 0; 3 27 3 ôHDo đó: 7 S≤ 27Ng 2 Hệ dạng này thường ít đề cập trong đề thi đại học nên chúng tôi không phân tích nhiều,các cứ xemnhư một bài tham khảo22 TY D
  23. 23. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ngDấu xảy ra khi và chỉ khi: ươ 1 x = y, z = 3 ỳDThay vào (2) ta được: 1 x=y=z= 3Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình hu 1 1 1Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y; z) = ; ; 3 3 3 ịT Bài toán 02 Giải hệ phương trình:  1 = x +1  Th   xy   z 1 y = +1  yz x 1  x = +1    zx y ần Tr Lời giảiĐiều kiện xyz = 0 .Nhận thấy nếu một trong ba số x, y, z có một số âm,chẳng hạn x < 0 thìphương trình thứ ba vô nghiệm.Nếu hai trong ba số x, y, z là số âm,chẳng hạn x, y < 0 thì phương n♥trình thứ hai vô nghiệm.Vậy ba số x, y, z cùng dấu. 1. Xét trường hợp x, y, z > 0 thì ta viết lại hệ như sau à  z = x2 y + xy To    x = y 2 z + yz   y = z 2 x + zx  ng Cộng ba phương trình lại ta được x + y + z = (x2 y + y 2 z + z 2 x) + (xy + yz + zx) ≥ 6xyz ( ) oà Mặt khác ta biến đổi hệ về dạng z  xy = x + z ôH    x =y+x  yz y  =y+z   zxNg z x y → + + = 2(x + y + z) xy yz zxc Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 23
  24. 24. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng Thì ta có x2 + y 2 + z 2 (x + y + z)2 ươ 2(x + y + z) = ≥ ⇒ 6xyz ≥ x + y + z ( )( ) xyz 3xyz Từ ( ) và ( )( ) ta có x = y = z,từ đó ta có nghiệm của hệ là trong trường hợp này là ỳD √ √ √ 2 2 2 (x, y, z) = , , 2 2 2 2. Trường hợp x, y, z < 0 ta đặt a = −x; b = −y; c = −z ta chuyển về trường hợp số dương và hu làm như trường hợp 1. √ √ √ 2 2 2 ịTVậy nghiệm của hệ là (x, y, z) = , , 2 2 2 Bài toán 03a Giải hệ phương trình: Th  x + y + z = 0    x2 + y 2 + z 2 = 1 √ x + y 5 + z 5 = 5 6    5 36 ần a Cải biên đề thi đại học khối B năm 2012 Tr Lời giảiVới x + y + z = 0 và x2 + y 2 + z 2 = 1 ta có n♥ 0 = (x + y + z)2 = x2 + y 2 + z 2 + 2x (y + z) + 2yz = 1 − 2x2 + 2yz 1Nên yz = x2 − 2 à √ √ y2 + z2 1 − x2 1 1 − x2 6 6Mặt khác yz ≤ = suy ra x2 − ≤ do đó − ≤x≤ (∗) To 2 2 2 2 3 3Khi đó P = x5 + (y 2 + z 2 ) (y 3 + z 3 ) − y 2 z 2 (y + z) 1 2 = x5 + (1 − x2 ) [(y 2 + z 2 ) (y + z) − yz (y + z)] + x2 − 2 x 2 ng 1 = x5 + (1 − x2 ) −x (1 − x2 ) + x x2 − 2 + x2 − 1 x = 5 (2x3 − x) 2 4 √ √ √ 6 6 6Xét hàm số f (x) = 2x3 − x với − ≤x≤ suy ra f (x) = 6x2 − 1; f (x) = 0 ⇔ x = ± √ √ 3 √ √ 3 √ √ 6 oà 6 6 6 6 6 6Ta có f − =f =− ,f =f − = 6 6 9 3 6 9 √ √ ôH 6 5 6Do đó f (x) ≤ suy ra P ≤ . 9 √ 36 √ 6 6Vậy nghiệm của hệ là x = ;y = z = − và các hoán vị. 3 6Ng24 TY D
  25. 25. Chuyên đề: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ng ươ BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHƯƠNG II  √ + 1 + √ = 3√3   1 √ 1 1. Giải hệ phương trình x y z ỳD x + y + z = 1   xy 3 = 9 2. Giải hệ phương trình x + 3y = 6 hu  x 5 + y 5 + z 5 = 3 3. Giải hệ phương trình ịT x 6 + y 6 + z 6 = 3  3(x2 + y 2 + z 2 ) = 1 4. Giải hệ phương trình Th x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 = xyz(x + y + z)3  36x2 y − 60x2 + 25y = 0    5. Giải hệ phương trình 36y 2 z − 60y 2 + 25z = 0 ần    2 36z z − 60z 2 + 25x = 0 Tr à n♥ To ng oà ôHNgc Ngô Hoàng Toàn Đại học Y Dược Cần Thơ 25

×