Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm  <ul><li>1.1 Nghiệm của phương trình: </li></ul><ul><ul><li>Nếu f(  ) = 0  thì    là 1...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệ...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>Định lý:  Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức l...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>1.2)  Khoảng phân ly nghiệm :   </li></ul></ul><ul><ul><li>(a,b) gọi là...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) y a b  y=f(x) x y a b  y=f(x) x b y a  y=f(x) x y a  y=f(x) f’(x)>0 f(a)<0 f(b)...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>Ví dụ 1.2 :  Xét hàm f(x) =  x 3 -3x+1. </li></ul></ul><ul><ul><li>  Ta...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><li>1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình : </li></ul><ul><ul><li>Nếu...
1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><li>Ví dụ 1.3 : Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình </li></ul><ul><l...
2.Phương pháp chia đôi (Bisection) <ul><li>Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm...
2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>Nếu f(x 0 )    0 và sai số   x0  >    thì xét dấu f(a).f(x 0 ): </li></ul><...
2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>Ví dụ 1.2 : </li></ul><ul><li>  Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3  + 4x...
2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>Ta thấy:  f’(x) > 0   x    (0,1)  </li></ul><ul><li>Và f(0)=-1; f(1)=4    f...
2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>2.2.  Đánh giá sai số:   Gọi    là nghiệm đúng. Ta có:  </li></ul><ul><ul><l...
2. Phương pháp chia đôi (tt) Vậy dãy {x n } hội tụ về nghiệm của phương trình khi n   . <ul><li>2.4.  Ưu nhược điểm của ...
2. Phương pháp chia đôi (tt) <ul><li>Ví dụ 1.3 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3  + 4x 2  - 1 = 0  trên (0,1) với...
Giải thuật của phương pháp chia đôi Input a,b,   l=a; r=b; x = (l+r)/2; y = f(x);  x >   r = x l = x y*f(l)<0 Output: X...
<ul><li>Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0. Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên...
<ul><ul><ul><li>Nếu f(x 1 ).f(a)<0 thì (a,x 1 ) là khoảng phân ly nghiệm mới </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Nếu f(x 1...
3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đường...
3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Chọn x 0 =a </li></ul><ul><li>Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng A n B là: </l...
3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Chọn  x 0 = b </li></ul><ul><li>Phương trình đường thẳng AB 0 : </li></ul>Trường h...
3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Bước n , phương trình đường thẳng AB n : </li></ul>Nghiệm gần đúng X n+1  cần tìm ...
3.2. Công thức tính nghiệm(tt) <ul><li>Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:  </li></ul>Trong đó : ...
Phương pháp dây cung <ul><li>Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cu...
Phương pháp dây cung <ul><li>Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: </li></ul><ul><li>f’(x)>0 và f’’(x)>0   x  (1,5; 2) và f(1,5...
3.3) Đánh giá sai số <ul><li>Để đánh giá sai số của phương pháp dây cung, ta sử dụng thêm định lý Lagrange </li></ul><ul><...
3.3) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung <ul><li>Áp dụng: </li></ul><ul><li>Gọi    là nghiệm đúng. f(x) liên tục trê...
Phương pháp dây cung (tiếp theo) <ul><li>Ví dụ : Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng  của phương trình 5x 3 -x 2...
Phương pháp dây cung (tiếp theo) <ul><li>Ta thấy: f(x) liên tục </li></ul><ul><ul><li>f’(x)>0; f’’(x)>0   x    [0.5,1.5...
Phương pháp dây cung (tiếp theo) x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02 x f(x) Sai số 0,5 -1,125 ...
Phương pháp dây cung (tiếp theo) <ul><li>Sự hội tụ về nghiệm : Giả sử   là nghiệm đúng. Dãy các nghiệm gần đúng  </li></...
Giải thuật của phương pháp dây cung (1) input: a,b,m,  x = a;d = b err>  Kết quả:x ± err y = f(x) x = x-y*(x-d)/(y -f(d)...
Giải thuật của phương pháp dây cung (2)
<ul><li>Bài toán : Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b). Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=0 trê...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến: <ul><li>a)  Trường hợp 1: f’(x).f’’(x)>0 </li></ul>a X 0 =b f’(x)<0,f’’(x)<0...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): (T 0 ) (T 1 ) f(x) X 0 =b X 1 X 2 B 0   B  B 1 
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Cho x 0  = b </li></ul><ul><li>Phương trình tiếp tuyến (T 0 ) tạ...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Công thức tính nghiệm tổng quát:  Giả sử ở bước thứ n, xác định ...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>b)  Trường hợp f’(x).f’’(x)<0 : </li></ul>f’(x)>0, f’’(x)<0 f(a)...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Xét f’(x)>0, f’’(x)<0 (trường hợp f’(x)<0 và f’’(x)>0 tương tự) ...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Tổng quát : Giả sử tìm được nghiệm gần đúng x n , xây dựng công ...
4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Kết luận : Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần ...
4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến <ul><li>Giả sử    nghiệm đúng của phương trình trên (a,b) </li></ul><ul><li>Dã...
4.4 Đánh giá sai số của PP tiếp tuyến <ul><li>Giả sử    là nghiệm đúng của phương trình. m 1 , m 2  là các số thỏa điều k...
Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1) Input: a,b,  , m f(t).f(a)>0 x = b x = a x = x –f(x)/f’(x)  x  = |f(x)|/m  x >  outp...
Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2) <ul><li>Trong thực hành thường chọn sai số của  x n : </li></ul><ul><li>   = |x n -x n...
5. Phương pháp lặp đơn <ul><li>Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b). </li></ul><ul><li>Phương pháp dây c...
5. Phương pháp lặp (tt) <ul><li>Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình  </li></ul><ul><li>5x 3  - x 2  - x-1 = 0  (*)...
5. Phương pháp lặp (tt) Dãy các giá trị x i  tính được từ phương trình: 5x 3 -x 2 -x-1 = 0 (*) bằng cách biến đổi phương t...
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp </li></ul><ul><li>Định lý : </li></ul><ul><li>  Giả sử...
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Chứng minh :  </li></ul><ul><ul><li>Giả sử    là nghiệm đúng </li></ul></ul><ul><ul><li>T...
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Tương tự: </li></ul><ul><ul><li>|x 2 -   |=    q.|x 1 -   | </li></ul></ul><ul><ul><li>...
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Ví dụ 1.5.2 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình  </li></ul><ul><li>5x 3  – 20x + 3 = 0 ...
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Khi x =0.8 Khi x = 0.5  x   [0;1]
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Vậy có thể chọn phép biến đổi tương đương: </li></ul><ul><li>  5x 3  – 20x + 3 = 0    x ...
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Đánh giá sai số : </li></ul><ul><li>|x n  -   |    q|x n-1 -    | = q|x n-1  + x n  – x...
Giải thuật cho phương pháp lặp In x 0 , q,   X pre  = x x =    (x pre ) err = q|x-x pre |/(1-q) x = x 0 err>  Out: x Đ S
5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Ví dụ:  Tìm nghiệm gần đúng của phương trình  5x 3 -19x+3 =0 trên [0;1] với sai số không quá 0,01 ...
Bài tập chương 2 <ul><li>Tìm nghiệm gần đúng của phương trình -x 3 +5x+2=0 trên (2,3) với sai số không quá 0,03 </li></ul>...
Bài tập chương 2 <ul><li>3. Tìm các nghiệm gần đúng x 1 ,x 2 ,x 3  của phương trình sau bằng phương pháp lặp: </li></ul><u...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Chuong02

3,453

Published on

2 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
3,453
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
102
Comments
2
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Chuong02"

  1. 1. Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN
  2. 2. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm <ul><li>1.1 Nghiệm của phương trình: </li></ul><ul><ul><li>Nếu f(  ) = 0 thì  là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Ý nghĩa hình học của nghiệm : </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh. </li></ul></ul></ul> 1 ,  2 là nghiệm của phương trình f(x)=0 Hình 2.1 M y=f(x) x y
  3. 3. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C 1 ): y=g(x) và ( C2 ): y=h(x) </li></ul></ul>Hình 2.2 y ( C 1 ): y=g(x) M (C 2 ): y=H(x) N
  4. 4. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là: </li></ul></ul><ul><ul><li>f(a).f(b)<0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b] </li></ul></ul>y y=g(x) N f(b) f(a) x 
  5. 5. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>1.2) Khoảng phân ly nghiệm : </li></ul></ul><ul><ul><li>(a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực. </li></ul></ul><ul><ul><li>Ví dụ 1.1 : Trên (-2, -1) phương trình x 3 -3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm  (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm. </li></ul></ul><ul><ul><li>Định lý : Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b). </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình. </li></ul></ul></ul>
  6. 6. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) y a b  y=f(x) x y a b  y=f(x) x b y a  y=f(x) x y a  y=f(x) f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0
  7. 7. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><ul><li>Ví dụ 1.2 : Xét hàm f(x) = x 3 -3x+1. </li></ul></ul><ul><ul><li> Ta có: f’(x) = 3x 2 – 3=0  </li></ul></ul><ul><ul><li> x = -1 hoặc x = 1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Bảng xét dấu f’(x) </li></ul></ul><ul><ul><li>f’(x)>0,  x  (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm </li></ul></ul><ul><ul><li>Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm </li></ul></ul>-  -1 1  x f’(x) 0 0 + - +
  8. 8. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><li>1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình : </li></ul><ul><ul><li>Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0  Ước lượng khỏang phân ly nghiệm. </li></ul></ul><ul><ul><li>Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông  Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh) </li></ul></ul><ul><ul><li>Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x)  Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm. </li></ul></ul>
  9. 9. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) <ul><li>Ví dụ 1.3 : Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình </li></ul><ul><li>5x 3 - 19x + 3 = 0 </li></ul><ul><ul><li>Xét f(x) = 5x 3 - 19x + 3 </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Tính f’(x) = 15x 2 – 19; f’(x) = 0  </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Bảng biến thiên </li></ul></ul></ul>Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0. f(x) 0 + 0 - + f’(X) +  -  X 17,26  -11,26 - 
  10. 10. 2.Phương pháp chia đôi (Bisection) <ul><li>Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số   . </li></ul><ul><li>Nếu f(x 0 )=0  x 0 là nghiệm đúng.  Dừng. </li></ul><ul><li>Nếu f(x 0 )  0 và sai số  x 0   thì x 0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số  x 0  Dừng. </li></ul><ul><li>Chọn x 0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng. </li></ul>2.1. Nội dung của phương pháp :  y x 0 a b f(x) x
  11. 11. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>Nếu f(x 0 )  0 và sai số  x0 >  thì xét dấu f(a).f(x 0 ): </li></ul><ul><li>Nếu f(a).f(x 0 ) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x 0 ) </li></ul><ul><li>Nếu f(a).f(x 0 ) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x 0 ,b) </li></ul><ul><li>Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới. </li></ul><ul><li>Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x 0 , x 1 ,…. Và kết thúc khi tìm được xn với sai số  x n ≤  </li></ul>y x 0 a b f(x) x x 1 x 2
  12. 12. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>Ví dụ 1.2 : </li></ul><ul><li> Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 + 4x 2 - 1 = 0 trên (0,1) theo phương pháp chia đôi với 5 lần lặp. </li></ul><ul><li>Đặt: f(x) = x 3 + 4x 2 - 1 </li></ul><ul><li>Ta có f’(x) = 3x 2 +8x </li></ul><ul><li>f’(x) = 0  x = 0 hoặc x = -8/3 </li></ul><ul><li>Bảng xét dấu f’(x) </li></ul>
  13. 13. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>Ta thấy: f’(x) > 0  x  (0,1) </li></ul><ul><li>Và f(0)=-1; f(1)=4  f(0).f(1)=-4<0 </li></ul><ul><li>Vậy (0,1) là khoảng phân ly nghiệm. </li></ul><ul><li>Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi) </li></ul>Nghiệm gần đúng tìm được là x  0,46875
  14. 14. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo) <ul><li>2.2. Đánh giá sai số: Gọi  là nghiệm đúng. Ta có: </li></ul><ul><ul><li>Bước 0: </li></ul></ul><ul><ul><li>Bước 2: </li></ul></ul><ul><ul><li>… </li></ul></ul><ul><ul><li>Bước n: </li></ul></ul>(2.1) 2.3. Sự hội tụ về nghiệm : Ta có:
  15. 15. 2. Phương pháp chia đôi (tt) Vậy dãy {x n } hội tụ về nghiệm của phương trình khi n   . <ul><li>2.4. Ưu nhược điểm của phương pháp </li></ul><ul><ul><li>Ưu điểm :Đơn giản, dễ lập trình. </li></ul></ul><ul><ul><li>Nhược điểm : Hội tụ về nghiệm chậm. </li></ul></ul>
  16. 16. 2. Phương pháp chia đôi (tt) <ul><li>Ví dụ 1.3 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 + 4x 2 - 1 = 0 trên (0,1) với sai số   = 0,1 bằng phương pháp chia đôi. </li></ul><ul><li>x 0 = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5; </li></ul><ul><li>Sai số:  x0 = ½*(b-a)=1/2=0,5 >  = 0,1 </li></ul><ul><li>f(0).f(0,5) = -0,125 < 0  Thay b = 0,5; a=0 (không đổi) </li></ul><ul><li>x 1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25; </li></ul><ul><li>Sai số:  x1 = ½*(0,5-0)=0,25 >  = 0,1 </li></ul><ul><li>f(0).f(0,25) = 0,73>0  Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi) </li></ul><ul><li>x 2 =(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375; </li></ul><ul><li>Sai số:  x2 =½*(0,5-0,25)=0,125>  = 0,1 </li></ul><ul><li>f(0,25).f(0,375) = 0,28>0  Thay a=0,375;b=0,5 (không đổi) </li></ul><ul><li>x 3 =(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375; </li></ul><ul><li>Sai số:  x3 = ½*(0,5-0,375)=0,0625<  = 0,1 </li></ul><ul><li>Do  x3 <  = 0,1 nên x =x 3 = 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm. </li></ul>
  17. 17. Giải thuật của phương pháp chia đôi Input a,b,  l=a; r=b; x = (l+r)/2; y = f(x);  x >  r = x l = x y*f(l)<0 Output: X T T T F y=0 F  x = 0 Break  x = r - l F
  18. 18. <ul><li>Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0. Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước. </li></ul><ul><li>3.1) Nội dung của pp : </li></ul><ul><li>Thay cung AB bởi dây trương cung AB </li></ul><ul><li>AB cắt trục hoành tại điểm (x 1 ,0). </li></ul><ul><li>Nếu | x 1 -  |   , x 1 : nghiệm gần đúng cần tìm. </li></ul><ul><li>Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x 1 ,b ) hoặc (a, x 1 ) tùy theo tính chất của f(x) </li></ul>3. Phương pháp dây cung a B b A x 1 f(x) 
  19. 19. <ul><ul><ul><li>Nếu f(x 1 ).f(a)<0 thì (a,x 1 ) là khoảng phân ly nghiệm mới </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Nếu f(x 1 ).f(a)>0 thì (x 1 ,b) là khoảng phân ly nghiệm mới </li></ul></ul></ul>3. Phương pháp dây cung x 2 a B b A  A 1 Với khoảng phân ly nghiệm mới (x 1 ,b), tính được nghiệm gần đúng x 2 bằng phương pháp dây cung x 1 <ul><li>Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng x n có sai số </li></ul><ul><li> x n ≤  </li></ul>
  20. 20. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đường cong f(x). Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b) </li></ul>a b f’(x)>0,f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 a b f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0 a b a b
  21. 21. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Chọn x 0 =a </li></ul><ul><li>Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng A n B là: </li></ul>X n+1 là nghiệm của hệ: (3.1) Trường hợp: f’(x).f’’(x)>0 : B b x n A n x n+1 A n-1
  22. 22. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Chọn x 0 = b </li></ul><ul><li>Phương trình đường thẳng AB 0 : </li></ul>Trường hợp: f’(x).f’’(x)<0 : a X 0 =b f’(x)>0,f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 B 0 x 1 B 1 x 1 : là nghiệm của hệ: a X 0 =b x 1 B 0 B 1 A
  23. 23. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt) <ul><li>Bước n , phương trình đường thẳng AB n : </li></ul>Nghiệm gần đúng X n+1 cần tìm là nghiệm của hệ: (3.1) Với X 0 =b a X 0 =b x 1 B 0 B 1 A
  24. 24. 3.2. Công thức tính nghiệm(tt) <ul><li>Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung: </li></ul>Trong đó : d=b, x 0 = a nếu f(b) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)>0) d=a, x 0 = b Nếu f(a) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)<0) (3.3)
  25. 25. Phương pháp dây cung <ul><li>Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x 0 , x 1 , x 2 và x 3 . </li></ul><ul><li>Giải: </li></ul><ul><li>Công thức nghiệm tổng quát: </li></ul><ul><li>Đặt f(x) = x 3 – 3x+1 </li></ul><ul><li>f’(x)=3x 2 -3; f’(x)=0  x = -1  x = 1 </li></ul><ul><li>f’’(x) =6x; f’’(x)=0  x = 0; </li></ul><ul><li>Bảng xét dấu: </li></ul>
  26. 26. Phương pháp dây cung <ul><li>Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: </li></ul><ul><li>f’(x)>0 và f’’(x)>0  x  (1,5; 2) và f(1,5)=-1,125<0 ; f(2)=3>0 </li></ul><ul><li>Vậy, chọn x 0 = 1,5; d = 2 </li></ul><ul><li>Áp dụng công thức tính nghiệm: </li></ul><ul><li>Ta tính được: </li></ul>
  27. 27. 3.3) Đánh giá sai số <ul><li>Để đánh giá sai số của phương pháp dây cung, ta sử dụng thêm định lý Lagrange </li></ul><ul><li>Định lý Lagrange : </li></ul><ul><li>Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại một số c  (a,b) sao cho: </li></ul><ul><li>f(b)-f(a) = f’(c)(b-a) </li></ul>a b c A B Ý nghĩa hình học : Tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại Điểm (c,f(c)) song song với AB
  28. 28. 3.3) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung <ul><li>Áp dụng: </li></ul><ul><li>Gọi  là nghiệm đúng. f(x) liên tục trên [x n ,  ] (hoặc [  , x n ] nếu f’(x).f’’(x)<0) và f(x) có đạo hàm trên (x n ,  ) (hoặc (  , x n ) nếu f’(x).f’’(x)<0). T heo định lý Lagrange,  c  (x n ,  ) sao cho: </li></ul>Vậy có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho x n là: Nếu số m thoả: 0< m ≤ f’(x),  x  [a,b] thì Hơn nữa, nếu số M,m thoả 0< m ≤ f’(x),  x  [a,b] thì sai số cũng có thể chọn là:
  29. 29. Phương pháp dây cung (tiếp theo) <ul><li>Ví dụ : Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x 3 -x 2 -x-1=0 trên đoạn [0,5;1,5] với sai số không quá 0,02. </li></ul><ul><li>Giải: Đặt f(x) = 5x 3 -x 2 -x-1 </li></ul><ul><li>f’(x)=15x 2 -2x-1; f’(x)=0  x1=-1/5; x2 =1/3 </li></ul><ul><li>f’’(x)=30x-2  x=1/15 </li></ul><ul><li>Xét dấu f’ va f’’: </li></ul>X -  -1/5 1/5 1/3 -  f’ + 0 - 0 + f’’ - 0 +
  30. 30. Phương pháp dây cung (tiếp theo) <ul><li>Ta thấy: f(x) liên tục </li></ul><ul><ul><li>f’(x)>0; f’’(x)>0  x  [0.5,1.5] </li></ul></ul><ul><li>f(0,5) = -1.125<0 ; f(1.5) = 12.125>0 </li></ul><ul><li> (0.5,1.5) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình. </li></ul><ul><li>Công thức tính nghiệm: </li></ul><ul><li>|f’(x)|  |f’(0.5)|=1.75  x  (0.5,1.5) (m la 1.75) </li></ul><ul><li>Vậy có thể chọn biểu thức dánh giá sai số: </li></ul><ul><li> xn =|f(x n )|/1.75 </li></ul>
  31. 31. Phương pháp dây cung (tiếp theo) x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02 x f(x) Sai số 0,5 -1,125 0,642857 0,584906 -0,9265 0,529426 0,649866 -0,69992 0,399952 0,696262 -0,49337 0,281926 0,727688 -0,33056 0,18889 0,748184 -0,21387 0,122214 0,761215 -0,13524 0,077278 0,769365 -0,08427 0,048153 0,774407 -0,05203 0,02973 0,777508 -0,03194 0,018251  0.02
  32. 32. Phương pháp dây cung (tiếp theo) <ul><li>Sự hội tụ về nghiệm : Giả sử  là nghiệm đúng. Dãy các nghiệm gần đúng </li></ul><ul><ul><li>Trong trường hơp 1: </li></ul></ul><ul><li>a=x 0 <x 1 <x 2 <…<x n <  <b </li></ul><ul><ul><li>Dãy {x n } tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi  , nên: </li></ul></ul><ul><ul><li>Trong trường hơp 2: </li></ul></ul><ul><li>a<  <x n <x n-1 <…<x 1 <x 0 =b </li></ul><ul><ul><li>Dãy {x n } giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi  , nên: </li></ul></ul><ul><li>Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung : </li></ul><ul><ul><li>Ưu điểm: Biết x n , chỉ cần tính một giá trị của f(x n ) để tính x n +1 </li></ul></ul><ul><ul><li>Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm </li></ul></ul>
  33. 33. Giải thuật của phương pháp dây cung (1) input: a,b,m,  x = a;d = b err>  Kết quả:x ± err y = f(x) x = x-y*(x-d)/(y -f(d)) err = |f(x)|/m S Đ f(t).f(a)>0 t=(a.f(b)-b.f(a))/(f(b)-f(a) x = b; d = a đ s
  34. 34. Giải thuật của phương pháp dây cung (2)
  35. 35. <ul><li>Bài toán : Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b). Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước. </li></ul><ul><li>4.1 Nội dung của pp : </li></ul><ul><li>- Thay đường cong f(x) trên </li></ul><ul><li>[a,b] bởi tiếp tuyến (T) với </li></ul><ul><li>đường cong tại điểm A hoặc </li></ul><ul><li>B, hoành độ giao điểm x 1 </li></ul><ul><li>của (T) với trục hoành xem </li></ul><ul><li>như nghiệm gần đúng của phương trình </li></ul>4. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) x 1 b (T) f(x) a B 
  36. 36. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến: <ul><li>a) Trường hợp 1: f’(x).f’’(x)>0 </li></ul>a X 0 =b f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0 a x 0 =b f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0 x 1 x 1 f(x) (T 0 )
  37. 37. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): (T 0 ) (T 1 ) f(x) X 0 =b X 1 X 2 B 0  B B 1 
  38. 38. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Cho x 0 = b </li></ul><ul><li>Phương trình tiếp tuyến (T 0 ) tại B 0 (x 0 ,f(x 0 )): </li></ul><ul><li>y-f(x 0 ) = f’(x 0 )(x-x 0 ) </li></ul><ul><li>(T 0 ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 là nghiệm của hệ: </li></ul><ul><li>x 1 xem như nghiệm gần đúng của phương trình, nếu cần chính xác hơn, ta thay x 0 bởi x 1 , lặp lại tính toán trên để tính x 2 (chính xác hơn x 1 ) .Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu. </li></ul>
  39. 39. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Công thức tính nghiệm tổng quát: Giả sử ở bước thứ n, xác định được nghiệm gần đúng x n . </li></ul><ul><li>- Phương trình tiếp tuyến (T n ) với đường cong f(x) tại B n (x n ,f(x n )) là: </li></ul><ul><li>y-f(x n ) = f’(x n )(x-x n ) </li></ul><ul><li>- Hoành độ giao điểm (x n +1) của tiếp tuyến T n với trục hoành là nghiệm của hệ: </li></ul>
  40. 40. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>b) Trường hợp f’(x).f’’(x)<0 : </li></ul>f’(x)>0, f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 f’(x)<0, f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 a b a b
  41. 41. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Xét f’(x)>0, f’’(x)<0 (trường hợp f’(x)<0 và f’’(x)>0 tương tự) </li></ul>Lấy x 0 = a, phương trình tiếp tuyến (T 0 ) với f(x) tại A 0 (x 0 , f(x 0 )): y-f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x-x 0 ) Nghiệm gần đúng x 1 là nghiệm của hệ:  (T 0 ) (T 1 ) x=a x 1 x 2 b A 0  A A 1
  42. 42. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Tổng quát : Giả sử tìm được nghiệm gần đúng x n , xây dựng công thức tính x n+1 : </li></ul><ul><li>- Phương trình tiếp tuyến (T n ) của f(x) tại A n (x n , f(xn)) là: </li></ul><ul><li>y-f(x n ) = f’(x n ).(x-x n ) </li></ul><ul><li>Nghiệm gần đúng x n +1 là nghiệm của hệ: </li></ul>
  43. 43. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): <ul><li>Kết luận : Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần đúng x n+1 theo x n là: </li></ul><ul><li>Với : </li></ul><ul><ul><li>X 0 = a nếu f’’(a) cùng dấu với f(a) </li></ul></ul><ul><ul><li>X 0 = b nếu f’’(b) cùng dấu với f(b) </li></ul></ul>
  44. 44. 4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến <ul><li>Giả sử  nghiệm đúng của phương trình trên (a,b) </li></ul><ul><li>Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là: </li></ul><ul><li>- Dãy giảm và bị chặn dưới bởi  ( trường hợp 1) </li></ul><ul><li>a <  <x n <x n-1 <…<x 0 <b </li></ul><ul><li>- Dãy tăng và bị chặn trên bởi  ( trường hợp 2) </li></ul><ul><li>a < x 0 <x 1 <…<x n <  <b </li></ul><ul><li>Nên: </li></ul>
  45. 45. 4.4 Đánh giá sai số của PP tiếp tuyến <ul><li>Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình. m 1 , m 2 là các số thỏa điều kiện 0<m 1 ≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m 2 <+∞. Ta có: </li></ul>( Xem cách tính sai số trong PP dây cung ) Hơn nữa, khai triển Taylor của f(x n ) tại x n-1 . Ta được
  46. 46. Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1) Input: a,b,  , m f(t).f(a)>0 x = b x = a x = x –f(x)/f’(x)  x = |f(x)|/m  x >  output: x±  x T F T F t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
  47. 47. Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2) <ul><li>Trong thực hành thường chọn sai số của x n : </li></ul><ul><li> = |x n -x n-1 | </li></ul>Input: a,b,  f(t).f(a)<0 x 0 = b x 0 = a x 1 = x 0 –f(x)/f’(x) err = |x 1 -x 0 | err<=  output: x 1 ± err S Đ S Đ t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
  48. 48. 5. Phương pháp lặp đơn <ul><li>Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b). </li></ul><ul><li>Phương pháp dây cung và tiếp tuyến là trường hợp đặt biệt của PP lặp </li></ul><ul><li>Nội dung của pp : Biến đổi f(x) = 0 về dạng x =  (x) với  (x) liên tục trên (a,b) </li></ul><ul><li>Lấy x = x 0  [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu </li></ul><ul><li>Tính x 1 =  (x 0 ) </li></ul><ul><li>Tính x 2 =  (x 1 ) </li></ul><ul><li>… .. </li></ul><ul><li>Tính x n =  (x n-1 ) </li></ul><ul><li>Nếu x n hội tụ về  khi n  +∞ thì  là nghiệm đúng của phương trình. Các x i là các nghiệm gần đúng </li></ul>
  49. 49. 5. Phương pháp lặp (tt) <ul><li>Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình </li></ul><ul><li>5x 3 - x 2 - x-1 = 0 (*) trên (0.5; 1.5) </li></ul><ul><li>Ta có: </li></ul><ul><li>(*)  x = 5x 3 - x 2 – 1 </li></ul><ul><li>Hoặc </li></ul><ul><li>(*)  </li></ul><ul><li>Hoặc </li></ul><ul><li>(*)  </li></ul><ul><li>Giả sử chọn công thức (c). Các nghiệm gần đúng tìm được: </li></ul>(a) (b) (c)
  50. 50. 5. Phương pháp lặp (tt) Dãy các giá trị x i tính được từ phương trình: 5x 3 -x 2 -x-1 = 0 (*) bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:
  51. 51. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp </li></ul><ul><li>Định lý : </li></ul><ul><li> Giả sử (a,b) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0; </li></ul><ul><ul><li>f(x)=0  x=  (x) </li></ul></ul><ul><ul><li>Và  (x) và  ’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b]. </li></ul></ul><ul><ul><li>Nếu |  ’(x)|  q < 1  x  [a,b], x 0  [a,b] thì dãy {x n }, n=0,1,2,… nhận được từ: x n =  (x n-1 ) hội tụ đến nghiệm  của phương trình f(x)=0. </li></ul></ul>
  52. 52. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Chứng minh : </li></ul><ul><ul><li>Giả sử  là nghiệm đúng </li></ul></ul><ul><ul><li>Ta có:  =  (  ) </li></ul></ul><ul><ul><li>x 1 =  (x 0 ) </li></ul></ul><ul><ul><li>  x 1 -  =  (x 0 ) -  (  ) </li></ul></ul><ul><ul><li>Theo định lý Lagrange,  c 1  (x 0 ,  ) nếu x 0 <  hoặc  c 1  (  , x 0 ) nếu  < x 0 sao cho:  (x 0 ) -  (  ) =  ’(c 1 ).(x 0 -  ) </li></ul></ul><ul><ul><li>|x 1 -  |=|  ’(c).(x 0 -  )|  q.|x 0 -  | </li></ul></ul>
  53. 53. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Tương tự: </li></ul><ul><ul><li>|x 2 -  |=  q.|x 1 -  | </li></ul></ul><ul><ul><li>|x 3 -  |=  q.|x 2 -  | </li></ul></ul><ul><ul><li>|x n -  |=  q.|x n-1 -  | </li></ul></ul><ul><ul><li>…… </li></ul></ul><ul><ul><li>Do q<1 và x 0  [a, b] nên x i  [a, b]  i = 1, 2,…, n </li></ul></ul>Hơn nữa: Và Nên x n hội tụ về nghiệm  khi n  + 
  54. 54. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Ví dụ 1.5.2 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình </li></ul><ul><li>5x 3 – 20x + 3 = 0 trên [0,1] </li></ul><ul><li>Ta có: (0, 1) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình. </li></ul><ul><li>Phương trình đã cho tương đương với: </li></ul>
  55. 55. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Khi x =0.8 Khi x = 0.5  x  [0;1]
  56. 56. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Vậy có thể chọn phép biến đổi tương đương: </li></ul><ul><li> 5x 3 – 20x + 3 = 0  x =  3 (x) = (5x 3 +3)/20 </li></ul><ul><li>Với |  ’ 3 (x)| =|3x 2 /4|  0,75=q<1 trên [0;1] </li></ul><ul><li>Ta có công thức lặp: </li></ul><ul><li>x n = (5x 3 n-1 +3)/20 </li></ul><ul><li>Các nghiệm gần đúng tìm được sau 5 lần lặp </li></ul>X=0,150859 là nghiệm gần đúng  (x n )
  57. 57. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) <ul><li>Đánh giá sai số : </li></ul><ul><li>|x n -  |  q|x n-1 -  | = q|x n-1 + x n – x n -  | </li></ul><ul><li> q|x n-1 - x n | + q| x n -  | </li></ul><ul><li> (1 - q)| x n -  |  q|x n-1 - x n | </li></ul>Hoặc có thể dùng công thức:
  58. 58. Giải thuật cho phương pháp lặp In x 0 , q,  X pre = x x =  (x pre ) err = q|x-x pre |/(1-q) x = x 0 err>  Out: x Đ S
  59. 59. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x 3 -19x+3 =0 trên [0;1] với sai số không quá 0,01 bằng phương pháp lặp. Giải: Phương trình tương đương với: x =  (x)=(5x 3 +3)/20 |  ’(x)|=|3/4x 2 |  q = 0,75<1. Vậy dãy x n+1 = ( 5x n 3 +3)/20 hội tụ về nghiệm của phương trình. Chọn x 0 = 0; Với x 2 = 0,15086 thì sai số  x2   = 0,01. Vậy x2 là nghiệm gần đúng cần tìm.
  60. 60. Bài tập chương 2 <ul><li>Tìm nghiệm gần đúng của phương trình -x 3 +5x+2=0 trên (2,3) với sai số không quá 0,03 </li></ul><ul><li>a) Bằng phương pháp chia đôi. </li></ul><ul><li>b) Bằng phương pháp dây cung. </li></ul><ul><li>c) Bằng phương pháp tiếp tuyến. </li></ul><ul><li>2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx – x +1/2=0 với sai số không quá 0.02: </li></ul><ul><li>b) Bằng phương pháp dây cung. </li></ul><ul><li>c) Bằng phương pháp tiếp tuyến. </li></ul>
  61. 61. Bài tập chương 2 <ul><li>3. Tìm các nghiệm gần đúng x 1 ,x 2 ,x 3 của phương trình sau bằng phương pháp lặp: </li></ul><ul><li>x 3 + x – 1000=0 </li></ul>
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×