Chuong02
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Chuong02

on

  • 2,889 views

 

Statistics

Views

Total Views
2,889
Views on SlideShare
2,884
Embed Views
5

Actions

Likes
0
Downloads
58
Comments
2

1 Embed 5

http://127.0.0.1 5

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Chuong02 Chuong02 Presentation Transcript

  • Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm
    • 1.1 Nghiệm của phương trình:
      • Nếu f(  ) = 0 thì  là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0
      • Ý nghĩa hình học của nghiệm :
        • Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh.
     1 ,  2 là nghiệm của phương trình f(x)=0 Hình 2.1 M y=f(x) x y
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C 1 ): y=g(x) và ( C2 ): y=h(x)
    Hình 2.2 y ( C 1 ): y=g(x) M (C 2 ): y=H(x) N
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là:
      • f(a).f(b)<0
      • Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b]
    y y=g(x) N f(b) f(a) x 
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • 1.2) Khoảng phân ly nghiệm :
      • (a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực.
      • Ví dụ 1.1 : Trên (-2, -1) phương trình x 3 -3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm  (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm.
      • Định lý : Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b).
        • Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình.
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) y a b  y=f(x) x y a b  y=f(x) x b y a  y=f(x) x y a  y=f(x) f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • Ví dụ 1.2 : Xét hàm f(x) = x 3 -3x+1.
      • Ta có: f’(x) = 3x 2 – 3=0 
      •  x = -1 hoặc x = 1
      • Bảng xét dấu f’(x)
      • f’(x)>0,  x  (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0
      • Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm
      • Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm
    -  -1 1  x f’(x) 0 0 + - +
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
    • 1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình :
      • Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0  Ước lượng khỏang phân ly nghiệm.
      • Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông  Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh)
      • Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x)  Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm.
  • 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
    • Ví dụ 1.3 : Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình
    • 5x 3 - 19x + 3 = 0
      • Xét f(x) = 5x 3 - 19x + 3
        • Tính f’(x) = 15x 2 – 19; f’(x) = 0 
        • Bảng biến thiên
    Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0. f(x) 0 + 0 - + f’(X) +  -  X 17,26  -11,26 - 
  • 2.Phương pháp chia đôi (Bisection)
    • Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số   .
    • Nếu f(x 0 )=0  x 0 là nghiệm đúng.  Dừng.
    • Nếu f(x 0 )  0 và sai số  x 0   thì x 0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số  x 0  Dừng.
    • Chọn x 0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng.
    2.1. Nội dung của phương pháp :  y x 0 a b f(x) x
  • 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • Nếu f(x 0 )  0 và sai số  x0 >  thì xét dấu f(a).f(x 0 ):
    • Nếu f(a).f(x 0 ) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x 0 )
    • Nếu f(a).f(x 0 ) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x 0 ,b)
    • Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới.
    • Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x 0 , x 1 ,…. Và kết thúc khi tìm được xn với sai số  x n ≤ 
    y x 0 a b f(x) x x 1 x 2
  • 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • Ví dụ 1.2 :
    • Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 + 4x 2 - 1 = 0 trên (0,1) theo phương pháp chia đôi với 5 lần lặp.
    • Đặt: f(x) = x 3 + 4x 2 - 1
    • Ta có f’(x) = 3x 2 +8x
    • f’(x) = 0  x = 0 hoặc x = -8/3
    • Bảng xét dấu f’(x)
  • 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • Ta thấy: f’(x) > 0  x  (0,1)
    • Và f(0)=-1; f(1)=4  f(0).f(1)=-4<0
    • Vậy (0,1) là khoảng phân ly nghiệm.
    • Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi)
    Nghiệm gần đúng tìm được là x  0,46875
  • 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • 2.2. Đánh giá sai số: Gọi  là nghiệm đúng. Ta có:
      • Bước 0:
      • Bước 2:
      • Bước n:
    (2.1) 2.3. Sự hội tụ về nghiệm : Ta có:
  • 2. Phương pháp chia đôi (tt) Vậy dãy {x n } hội tụ về nghiệm của phương trình khi n   .
    • 2.4. Ưu nhược điểm của phương pháp
      • Ưu điểm :Đơn giản, dễ lập trình.
      • Nhược điểm : Hội tụ về nghiệm chậm.
  • 2. Phương pháp chia đôi (tt)
    • Ví dụ 1.3 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 + 4x 2 - 1 = 0 trên (0,1) với sai số   = 0,1 bằng phương pháp chia đôi.
    • x 0 = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5;
    • Sai số:  x0 = ½*(b-a)=1/2=0,5 >  = 0,1
    • f(0).f(0,5) = -0,125 < 0  Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)
    • x 1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25;
    • Sai số:  x1 = ½*(0,5-0)=0,25 >  = 0,1
    • f(0).f(0,25) = 0,73>0  Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)
    • x 2 =(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;
    • Sai số:  x2 =½*(0,5-0,25)=0,125>  = 0,1
    • f(0,25).f(0,375) = 0,28>0  Thay a=0,375;b=0,5 (không đổi)
    • x 3 =(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375;
    • Sai số:  x3 = ½*(0,5-0,375)=0,0625<  = 0,1
    • Do  x3 <  = 0,1 nên x =x 3 = 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm.
  • Giải thuật của phương pháp chia đôi Input a,b,  l=a; r=b; x = (l+r)/2; y = f(x);  x >  r = x l = x y*f(l)<0 Output: X T T T F y=0 F  x = 0 Break  x = r - l F
    • Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0. Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước.
    • 3.1) Nội dung của pp :
    • Thay cung AB bởi dây trương cung AB
    • AB cắt trục hoành tại điểm (x 1 ,0).
    • Nếu | x 1 -  |   , x 1 : nghiệm gần đúng cần tìm.
    • Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x 1 ,b ) hoặc (a, x 1 ) tùy theo tính chất của f(x)
    3. Phương pháp dây cung a B b A x 1 f(x) 
        • Nếu f(x 1 ).f(a)<0 thì (a,x 1 ) là khoảng phân ly nghiệm mới
        • Nếu f(x 1 ).f(a)>0 thì (x 1 ,b) là khoảng phân ly nghiệm mới
    3. Phương pháp dây cung x 2 a B b A  A 1 Với khoảng phân ly nghiệm mới (x 1 ,b), tính được nghiệm gần đúng x 2 bằng phương pháp dây cung x 1
    • Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng x n có sai số
    •  x n ≤ 
  • 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đường cong f(x). Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b)
    a b f’(x)>0,f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 a b f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0 a b a b
  • 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Chọn x 0 =a
    • Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng A n B là:
    X n+1 là nghiệm của hệ: (3.1) Trường hợp: f’(x).f’’(x)>0 : B b x n A n x n+1 A n-1
  • 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Chọn x 0 = b
    • Phương trình đường thẳng AB 0 :
    Trường hợp: f’(x).f’’(x)<0 : a X 0 =b f’(x)>0,f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 B 0 x 1 B 1 x 1 : là nghiệm của hệ: a X 0 =b x 1 B 0 B 1 A
  • 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Bước n , phương trình đường thẳng AB n :
    Nghiệm gần đúng X n+1 cần tìm là nghiệm của hệ: (3.1) Với X 0 =b a X 0 =b x 1 B 0 B 1 A
  • 3.2. Công thức tính nghiệm(tt)
    • Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:
    Trong đó : d=b, x 0 = a nếu f(b) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)>0) d=a, x 0 = b Nếu f(a) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)<0) (3.3)
  • Phương pháp dây cung
    • Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x 0 , x 1 , x 2 và x 3 .
    • Giải:
    • Công thức nghiệm tổng quát:
    • Đặt f(x) = x 3 – 3x+1
    • f’(x)=3x 2 -3; f’(x)=0  x = -1  x = 1
    • f’’(x) =6x; f’’(x)=0  x = 0;
    • Bảng xét dấu:
  • Phương pháp dây cung
    • Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
    • f’(x)>0 và f’’(x)>0  x  (1,5; 2) và f(1,5)=-1,125<0 ; f(2)=3>0
    • Vậy, chọn x 0 = 1,5; d = 2
    • Áp dụng công thức tính nghiệm:
    • Ta tính được:
  • 3.3) Đánh giá sai số
    • Để đánh giá sai số của phương pháp dây cung, ta sử dụng thêm định lý Lagrange
    • Định lý Lagrange :
    • Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại một số c  (a,b) sao cho:
    • f(b)-f(a) = f’(c)(b-a)
    a b c A B Ý nghĩa hình học : Tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại Điểm (c,f(c)) song song với AB
  • 3.3) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung
    • Áp dụng:
    • Gọi  là nghiệm đúng. f(x) liên tục trên [x n ,  ] (hoặc [  , x n ] nếu f’(x).f’’(x)<0) và f(x) có đạo hàm trên (x n ,  ) (hoặc (  , x n ) nếu f’(x).f’’(x)<0). T heo định lý Lagrange,  c  (x n ,  ) sao cho:
    Vậy có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho x n là: Nếu số m thoả: 0< m ≤ f’(x),  x  [a,b] thì Hơn nữa, nếu số M,m thoả 0< m ≤ f’(x),  x  [a,b] thì sai số cũng có thể chọn là:
  • Phương pháp dây cung (tiếp theo)
    • Ví dụ : Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x 3 -x 2 -x-1=0 trên đoạn [0,5;1,5] với sai số không quá 0,02.
    • Giải: Đặt f(x) = 5x 3 -x 2 -x-1
    • f’(x)=15x 2 -2x-1; f’(x)=0  x1=-1/5; x2 =1/3
    • f’’(x)=30x-2  x=1/15
    • Xét dấu f’ va f’’:
    X -  -1/5 1/5 1/3 -  f’ + 0 - 0 + f’’ - 0 +
  • Phương pháp dây cung (tiếp theo)
    • Ta thấy: f(x) liên tục
      • f’(x)>0; f’’(x)>0  x  [0.5,1.5]
    • f(0,5) = -1.125<0 ; f(1.5) = 12.125>0
    •  (0.5,1.5) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình.
    • Công thức tính nghiệm:
    • |f’(x)|  |f’(0.5)|=1.75  x  (0.5,1.5) (m la 1.75)
    • Vậy có thể chọn biểu thức dánh giá sai số:
    •  xn =|f(x n )|/1.75
  • Phương pháp dây cung (tiếp theo) x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02 x f(x) Sai số 0,5 -1,125 0,642857 0,584906 -0,9265 0,529426 0,649866 -0,69992 0,399952 0,696262 -0,49337 0,281926 0,727688 -0,33056 0,18889 0,748184 -0,21387 0,122214 0,761215 -0,13524 0,077278 0,769365 -0,08427 0,048153 0,774407 -0,05203 0,02973 0,777508 -0,03194 0,018251  0.02
  • Phương pháp dây cung (tiếp theo)
    • Sự hội tụ về nghiệm : Giả sử  là nghiệm đúng. Dãy các nghiệm gần đúng
      • Trong trường hơp 1:
    • a=x 0 <x 1 <x 2 <…<x n <  <b
      • Dãy {x n } tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi  , nên:
      • Trong trường hơp 2:
    • a<  <x n <x n-1 <…<x 1 <x 0 =b
      • Dãy {x n } giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi  , nên:
    • Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung :
      • Ưu điểm: Biết x n , chỉ cần tính một giá trị của f(x n ) để tính x n +1
      • Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm
  • Giải thuật của phương pháp dây cung (1) input: a,b,m,  x = a;d = b err>  Kết quả:x ± err y = f(x) x = x-y*(x-d)/(y -f(d)) err = |f(x)|/m S Đ f(t).f(a)>0 t=(a.f(b)-b.f(a))/(f(b)-f(a) x = b; d = a đ s
  • Giải thuật của phương pháp dây cung (2)
    • Bài toán : Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b). Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước.
    • 4.1 Nội dung của pp :
    • - Thay đường cong f(x) trên
    • [a,b] bởi tiếp tuyến (T) với
    • đường cong tại điểm A hoặc
    • B, hoành độ giao điểm x 1
    • của (T) với trục hoành xem
    • như nghiệm gần đúng của phương trình
    4. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) x 1 b (T) f(x) a B 
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến:
    • a) Trường hợp 1: f’(x).f’’(x)>0
    a X 0 =b f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0 a x 0 =b f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0 x 1 x 1 f(x) (T 0 )
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): (T 0 ) (T 1 ) f(x) X 0 =b X 1 X 2 B 0  B B 1 
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Cho x 0 = b
    • Phương trình tiếp tuyến (T 0 ) tại B 0 (x 0 ,f(x 0 )):
    • y-f(x 0 ) = f’(x 0 )(x-x 0 )
    • (T 0 ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 là nghiệm của hệ:
    • x 1 xem như nghiệm gần đúng của phương trình, nếu cần chính xác hơn, ta thay x 0 bởi x 1 , lặp lại tính toán trên để tính x 2 (chính xác hơn x 1 ) .Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Công thức tính nghiệm tổng quát: Giả sử ở bước thứ n, xác định được nghiệm gần đúng x n .
    • - Phương trình tiếp tuyến (T n ) với đường cong f(x) tại B n (x n ,f(x n )) là:
    • y-f(x n ) = f’(x n )(x-x n )
    • - Hoành độ giao điểm (x n +1) của tiếp tuyến T n với trục hoành là nghiệm của hệ:
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • b) Trường hợp f’(x).f’’(x)<0 :
    f’(x)>0, f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 f’(x)<0, f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 a b a b
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Xét f’(x)>0, f’’(x)<0 (trường hợp f’(x)<0 và f’’(x)>0 tương tự)
    Lấy x 0 = a, phương trình tiếp tuyến (T 0 ) với f(x) tại A 0 (x 0 , f(x 0 )): y-f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x-x 0 ) Nghiệm gần đúng x 1 là nghiệm của hệ:  (T 0 ) (T 1 ) x=a x 1 x 2 b A 0  A A 1
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Tổng quát : Giả sử tìm được nghiệm gần đúng x n , xây dựng công thức tính x n+1 :
    • - Phương trình tiếp tuyến (T n ) của f(x) tại A n (x n , f(xn)) là:
    • y-f(x n ) = f’(x n ).(x-x n )
    • Nghiệm gần đúng x n +1 là nghiệm của hệ:
  • 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Kết luận : Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần đúng x n+1 theo x n là:
    • Với :
      • X 0 = a nếu f’’(a) cùng dấu với f(a)
      • X 0 = b nếu f’’(b) cùng dấu với f(b)
  • 4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến
    • Giả sử  nghiệm đúng của phương trình trên (a,b)
    • Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là:
    • - Dãy giảm và bị chặn dưới bởi  ( trường hợp 1)
    • a <  <x n <x n-1 <…<x 0 <b
    • - Dãy tăng và bị chặn trên bởi  ( trường hợp 2)
    • a < x 0 <x 1 <…<x n <  <b
    • Nên:
  • 4.4 Đánh giá sai số của PP tiếp tuyến
    • Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình. m 1 , m 2 là các số thỏa điều kiện 0<m 1 ≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m 2 <+∞. Ta có:
    ( Xem cách tính sai số trong PP dây cung ) Hơn nữa, khai triển Taylor của f(x n ) tại x n-1 . Ta được
  • Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1) Input: a,b,  , m f(t).f(a)>0 x = b x = a x = x –f(x)/f’(x)  x = |f(x)|/m  x >  output: x±  x T F T F t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
  • Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2)
    • Trong thực hành thường chọn sai số của x n :
    •  = |x n -x n-1 |
    Input: a,b,  f(t).f(a)<0 x 0 = b x 0 = a x 1 = x 0 –f(x)/f’(x) err = |x 1 -x 0 | err<=  output: x 1 ± err S Đ S Đ t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
  • 5. Phương pháp lặp đơn
    • Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b).
    • Phương pháp dây cung và tiếp tuyến là trường hợp đặt biệt của PP lặp
    • Nội dung của pp : Biến đổi f(x) = 0 về dạng x =  (x) với  (x) liên tục trên (a,b)
    • Lấy x = x 0  [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu
    • Tính x 1 =  (x 0 )
    • Tính x 2 =  (x 1 )
    • … ..
    • Tính x n =  (x n-1 )
    • Nếu x n hội tụ về  khi n  +∞ thì  là nghiệm đúng của phương trình. Các x i là các nghiệm gần đúng
  • 5. Phương pháp lặp (tt)
    • Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
    • 5x 3 - x 2 - x-1 = 0 (*) trên (0.5; 1.5)
    • Ta có:
    • (*)  x = 5x 3 - x 2 – 1
    • Hoặc
    • (*) 
    • Hoặc
    • (*) 
    • Giả sử chọn công thức (c). Các nghiệm gần đúng tìm được:
    (a) (b) (c)
  • 5. Phương pháp lặp (tt) Dãy các giá trị x i tính được từ phương trình: 5x 3 -x 2 -x-1 = 0 (*) bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp
    • Định lý :
    • Giả sử (a,b) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0;
      • f(x)=0  x=  (x)
      • Và  (x) và  ’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b].
      • Nếu |  ’(x)|  q < 1  x  [a,b], x 0  [a,b] thì dãy {x n }, n=0,1,2,… nhận được từ: x n =  (x n-1 ) hội tụ đến nghiệm  của phương trình f(x)=0.
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Chứng minh :
      • Giả sử  là nghiệm đúng
      • Ta có:  =  (  )
      • x 1 =  (x 0 )
      •  x 1 -  =  (x 0 ) -  (  )
      • Theo định lý Lagrange,  c 1  (x 0 ,  ) nếu x 0 <  hoặc  c 1  (  , x 0 ) nếu  < x 0 sao cho:  (x 0 ) -  (  ) =  ’(c 1 ).(x 0 -  )
      • |x 1 -  |=|  ’(c).(x 0 -  )|  q.|x 0 -  |
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Tương tự:
      • |x 2 -  |=  q.|x 1 -  |
      • |x 3 -  |=  q.|x 2 -  |
      • |x n -  |=  q.|x n-1 -  |
      • ……
      • Do q<1 và x 0  [a, b] nên x i  [a, b]  i = 1, 2,…, n
    Hơn nữa: Và Nên x n hội tụ về nghiệm  khi n  + 
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Ví dụ 1.5.2 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
    • 5x 3 – 20x + 3 = 0 trên [0,1]
    • Ta có: (0, 1) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình.
    • Phương trình đã cho tương đương với:
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Khi x =0.8 Khi x = 0.5  x  [0;1]
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Vậy có thể chọn phép biến đổi tương đương:
    • 5x 3 – 20x + 3 = 0  x =  3 (x) = (5x 3 +3)/20
    • Với |  ’ 3 (x)| =|3x 2 /4|  0,75=q<1 trên [0;1]
    • Ta có công thức lặp:
    • x n = (5x 3 n-1 +3)/20
    • Các nghiệm gần đúng tìm được sau 5 lần lặp
    X=0,150859 là nghiệm gần đúng  (x n )
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Đánh giá sai số :
    • |x n -  |  q|x n-1 -  | = q|x n-1 + x n – x n -  |
    •  q|x n-1 - x n | + q| x n -  |
    •  (1 - q)| x n -  |  q|x n-1 - x n |
    Hoặc có thể dùng công thức:
  • Giải thuật cho phương pháp lặp In x 0 , q,  X pre = x x =  (x pre ) err = q|x-x pre |/(1-q) x = x 0 err>  Out: x Đ S
  • 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x 3 -19x+3 =0 trên [0;1] với sai số không quá 0,01 bằng phương pháp lặp. Giải: Phương trình tương đương với: x =  (x)=(5x 3 +3)/20 |  ’(x)|=|3/4x 2 |  q = 0,75<1. Vậy dãy x n+1 = ( 5x n 3 +3)/20 hội tụ về nghiệm của phương trình. Chọn x 0 = 0; Với x 2 = 0,15086 thì sai số  x2   = 0,01. Vậy x2 là nghiệm gần đúng cần tìm.
  • Bài tập chương 2
    • Tìm nghiệm gần đúng của phương trình -x 3 +5x+2=0 trên (2,3) với sai số không quá 0,03
    • a) Bằng phương pháp chia đôi.
    • b) Bằng phương pháp dây cung.
    • c) Bằng phương pháp tiếp tuyến.
    • 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx – x +1/2=0 với sai số không quá 0.02:
    • b) Bằng phương pháp dây cung.
    • c) Bằng phương pháp tiếp tuyến.
  • Bài tập chương 2
    • 3. Tìm các nghiệm gần đúng x 1 ,x 2 ,x 3 của phương trình sau bằng phương pháp lặp:
    • x 3 + x – 1000=0