• Like
Chuong02
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

Published

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
3,080
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
80
Comments
2
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Chương II TÌM NGHIỆM THỰC GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT BIẾN
  • 2. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm
    • 1.1 Nghiệm của phương trình:
      • Nếu f(  ) = 0 thì  là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0
      • Ý nghĩa hình học của nghiệm :
        • Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh.
     1 ,  2 là nghiệm của phương trình f(x)=0 Hình 2.1 M y=f(x) x y
  • 3. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x). Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2 đường cong (C 1 ): y=g(x) và ( C2 ): y=h(x)
    Hình 2.2 y ( C 1 ): y=g(x) M (C 2 ): y=H(x) N
  • 4. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • Định lý: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và f(a) trái dấu với f(b), tức là:
      • f(a).f(b)<0
      • Thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thực trong [a,b]
    y y=g(x) N f(b) f(a) x 
  • 5. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • 1.2) Khoảng phân ly nghiệm :
      • (a,b) gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 nếu trên (a,b) phương trình chỉ có duy nhất 1 nghiệm thực.
      • Ví dụ 1.1 : Trên (-2, -1) phương trình x 3 -3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm  (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm.
      • Định lý : Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b).
        • Suy ra, (a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình.
  • 6. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt) y a b  y=f(x) x y a b  y=f(x) x b y a  y=f(x) x y a  y=f(x) f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0
  • 7. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
      • Ví dụ 1.2 : Xét hàm f(x) = x 3 -3x+1.
      • Ta có: f’(x) = 3x 2 – 3=0 
      •  x = -1 hoặc x = 1
      • Bảng xét dấu f’(x)
      • f’(x)>0,  x  (-2,-1) hơn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0
      • Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm
      • Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm
    -  -1 1  x f’(x) 0 0 + - +
  • 8. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
    • 1.3) Tìm khỏang phân ly nghiệm của phương trình :
      • Nếu f’(x) liên tục, xét dấu của f(x) tại 2 mút của miền xác định và tại những điểm mà f’(x) = 0  Ước lượng khỏang phân ly nghiệm.
      • Hoặc vẽ đồ thị của hàm y=f(x) trên giấy kẻ ô vuông  Ước lượng nghiệm gần đúng (hòanh độ giao điểm của đồ thị với trục hòanh)
      • Trường hợp y=f(x) khó vẽ đồ thị, có thể biến đổi y=f(x) về hàm tương đương h(x)=g(x). Vẽ đồ thị y=h(x) và y=g(x)  Ước lượng các hòanh độ giao điểm -> xác định khỏang phân ly nghiệm.
  • 9. 1. Nghiệm – khoảng phân ly nghiệm (tt)
    • Ví dụ 1.3 : Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình
    • 5x 3 - 19x + 3 = 0
      • Xét f(x) = 5x 3 - 19x + 3
        • Tính f’(x) = 15x 2 – 19; f’(x) = 0 
        • Bảng biến thiên
    Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khỏang phân ly nghiệm của phương trình 5x3 - 19x + 3 = 0. f(x) 0 + 0 - + f’(X) +  -  X 17,26  -11,26 - 
  • 10. 2.Phương pháp chia đôi (Bisection)
    • Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số   .
    • Nếu f(x 0 )=0  x 0 là nghiệm đúng.  Dừng.
    • Nếu f(x 0 )  0 và sai số  x 0   thì x 0 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số  x 0  Dừng.
    • Chọn x 0 là điểm giữa [a,b] làm nghiệm gần đúng.
    2.1. Nội dung của phương pháp :  y x 0 a b f(x) x
  • 11. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • Nếu f(x 0 )  0 và sai số  x0 >  thì xét dấu f(a).f(x 0 ):
    • Nếu f(a).f(x 0 ) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x 0 )
    • Nếu f(a).f(x 0 ) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x 0 ,b)
    • Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới.
    • Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x 0 , x 1 ,…. Và kết thúc khi tìm được xn với sai số  x n ≤ 
    y x 0 a b f(x) x x 1 x 2
  • 12. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • Ví dụ 1.2 :
    • Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 + 4x 2 - 1 = 0 trên (0,1) theo phương pháp chia đôi với 5 lần lặp.
    • Đặt: f(x) = x 3 + 4x 2 - 1
    • Ta có f’(x) = 3x 2 +8x
    • f’(x) = 0  x = 0 hoặc x = -8/3
    • Bảng xét dấu f’(x)
  • 13. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • Ta thấy: f’(x) > 0  x  (0,1)
    • Và f(0)=-1; f(1)=4  f(0).f(1)=-4<0
    • Vậy (0,1) là khoảng phân ly nghiệm.
    • Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi)
    Nghiệm gần đúng tìm được là x  0,46875
  • 14. 2. Phương pháp chia đôi (tiếp theo)
    • 2.2. Đánh giá sai số: Gọi  là nghiệm đúng. Ta có:
      • Bước 0:
      • Bước 2:
      • Bước n:
    (2.1) 2.3. Sự hội tụ về nghiệm : Ta có:
  • 15. 2. Phương pháp chia đôi (tt) Vậy dãy {x n } hội tụ về nghiệm của phương trình khi n   .
    • 2.4. Ưu nhược điểm của phương pháp
      • Ưu điểm :Đơn giản, dễ lập trình.
      • Nhược điểm : Hội tụ về nghiệm chậm.
  • 16. 2. Phương pháp chia đôi (tt)
    • Ví dụ 1.3 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 + 4x 2 - 1 = 0 trên (0,1) với sai số   = 0,1 bằng phương pháp chia đôi.
    • x 0 = (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5;
    • Sai số:  x0 = ½*(b-a)=1/2=0,5 >  = 0,1
    • f(0).f(0,5) = -0,125 < 0  Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)
    • x 1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25;
    • Sai số:  x1 = ½*(0,5-0)=0,25 >  = 0,1
    • f(0).f(0,25) = 0,73>0  Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)
    • x 2 =(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;
    • Sai số:  x2 =½*(0,5-0,25)=0,125>  = 0,1
    • f(0,25).f(0,375) = 0,28>0  Thay a=0,375;b=0,5 (không đổi)
    • x 3 =(a+b)/2=(0,375+0,5)/2 =0,4375;
    • Sai số:  x3 = ½*(0,5-0,375)=0,0625<  = 0,1
    • Do  x3 <  = 0,1 nên x =x 3 = 0,4375 là nghiệm gần đúng cần tìm.
  • 17. Giải thuật của phương pháp chia đôi Input a,b,  l=a; r=b; x = (l+r)/2; y = f(x);  x >  r = x l = x y*f(l)<0 Output: X T T T F y=0 F  x = 0 Break  x = r - l F
  • 18.
    • Bài toán : Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0. Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước.
    • 3.1) Nội dung của pp :
    • Thay cung AB bởi dây trương cung AB
    • AB cắt trục hoành tại điểm (x 1 ,0).
    • Nếu | x 1 -  |   , x 1 : nghiệm gần đúng cần tìm.
    • Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x 1 ,b ) hoặc (a, x 1 ) tùy theo tính chất của f(x)
    3. Phương pháp dây cung a B b A x 1 f(x) 
  • 19.
        • Nếu f(x 1 ).f(a)<0 thì (a,x 1 ) là khoảng phân ly nghiệm mới
        • Nếu f(x 1 ).f(a)>0 thì (x 1 ,b) là khoảng phân ly nghiệm mới
    3. Phương pháp dây cung x 2 a B b A  A 1 Với khoảng phân ly nghiệm mới (x 1 ,b), tính được nghiệm gần đúng x 2 bằng phương pháp dây cung x 1
    • Quá trình lặp kết thúc khi tìm được nghiệm gần đúng x n có sai số
    •  x n ≤ 
  • 20. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đường cong f(x). Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b)
    a b f’(x)>0,f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 a b f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0 a b a b
  • 21. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Chọn x 0 =a
    • Ở bước thứ n, phương trình đường thẳng A n B là:
    X n+1 là nghiệm của hệ: (3.1) Trường hợp: f’(x).f’’(x)>0 : B b x n A n x n+1 A n-1
  • 22. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Chọn x 0 = b
    • Phương trình đường thẳng AB 0 :
    Trường hợp: f’(x).f’’(x)<0 : a X 0 =b f’(x)>0,f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 f’(x)<0,f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 B 0 x 1 B 1 x 1 : là nghiệm của hệ: a X 0 =b x 1 B 0 B 1 A
  • 23. 3.2. Công thức tính nghiệm (tt)
    • Bước n , phương trình đường thẳng AB n :
    Nghiệm gần đúng X n+1 cần tìm là nghiệm của hệ: (3.1) Với X 0 =b a X 0 =b x 1 B 0 B 1 A
  • 24. 3.2. Công thức tính nghiệm(tt)
    • Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:
    Trong đó : d=b, x 0 = a nếu f(b) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)>0) d=a, x 0 = b Nếu f(a) cùng dấu với f’’(x) (hay f’(x).f’’(x)<0) (3.3)
  • 25. Phương pháp dây cung
    • Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x 0 , x 1 , x 2 và x 3 .
    • Giải:
    • Công thức nghiệm tổng quát:
    • Đặt f(x) = x 3 – 3x+1
    • f’(x)=3x 2 -3; f’(x)=0  x = -1  x = 1
    • f’’(x) =6x; f’’(x)=0  x = 0;
    • Bảng xét dấu:
  • 26. Phương pháp dây cung
    • Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
    • f’(x)>0 và f’’(x)>0  x  (1,5; 2) và f(1,5)=-1,125<0 ; f(2)=3>0
    • Vậy, chọn x 0 = 1,5; d = 2
    • Áp dụng công thức tính nghiệm:
    • Ta tính được:
  • 27. 3.3) Đánh giá sai số
    • Để đánh giá sai số của phương pháp dây cung, ta sử dụng thêm định lý Lagrange
    • Định lý Lagrange :
    • Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại một số c  (a,b) sao cho:
    • f(b)-f(a) = f’(c)(b-a)
    a b c A B Ý nghĩa hình học : Tiếp tuyến với đường cong y=f(x) tại Điểm (c,f(c)) song song với AB
  • 28. 3.3) Đánh giá sai số của phương pháp dây cung
    • Áp dụng:
    • Gọi  là nghiệm đúng. f(x) liên tục trên [x n ,  ] (hoặc [  , x n ] nếu f’(x).f’’(x)<0) và f(x) có đạo hàm trên (x n ,  ) (hoặc (  , x n ) nếu f’(x).f’’(x)<0). T heo định lý Lagrange,  c  (x n ,  ) sao cho:
    Vậy có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn cho x n là: Nếu số m thoả: 0< m ≤ f’(x),  x  [a,b] thì Hơn nữa, nếu số M,m thoả 0< m ≤ f’(x),  x  [a,b] thì sai số cũng có thể chọn là:
  • 29. Phương pháp dây cung (tiếp theo)
    • Ví dụ : Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x 3 -x 2 -x-1=0 trên đoạn [0,5;1,5] với sai số không quá 0,02.
    • Giải: Đặt f(x) = 5x 3 -x 2 -x-1
    • f’(x)=15x 2 -2x-1; f’(x)=0  x1=-1/5; x2 =1/3
    • f’’(x)=30x-2  x=1/15
    • Xét dấu f’ va f’’:
    X -  -1/5 1/5 1/3 -  f’ + 0 - 0 + f’’ - 0 +
  • 30. Phương pháp dây cung (tiếp theo)
    • Ta thấy: f(x) liên tục
      • f’(x)>0; f’’(x)>0  x  [0.5,1.5]
    • f(0,5) = -1.125<0 ; f(1.5) = 12.125>0
    •  (0.5,1.5) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình.
    • Công thức tính nghiệm:
    • |f’(x)|  |f’(0.5)|=1.75  x  (0.5,1.5) (m la 1.75)
    • Vậy có thể chọn biểu thức dánh giá sai số:
    •  xn =|f(x n )|/1.75
  • 31. Phương pháp dây cung (tiếp theo) x=0.777508 là nghiệm gần đúng cần tìm với sai số không quá 0.02 x f(x) Sai số 0,5 -1,125 0,642857 0,584906 -0,9265 0,529426 0,649866 -0,69992 0,399952 0,696262 -0,49337 0,281926 0,727688 -0,33056 0,18889 0,748184 -0,21387 0,122214 0,761215 -0,13524 0,077278 0,769365 -0,08427 0,048153 0,774407 -0,05203 0,02973 0,777508 -0,03194 0,018251  0.02
  • 32. Phương pháp dây cung (tiếp theo)
    • Sự hội tụ về nghiệm : Giả sử  là nghiệm đúng. Dãy các nghiệm gần đúng
      • Trong trường hơp 1:
    • a=x 0 <x 1 <x 2 <…<x n <  <b
      • Dãy {x n } tăng nghiêm cách và bị chặn trên bởi  , nên:
      • Trong trường hơp 2:
    • a<  <x n <x n-1 <…<x 1 <x 0 =b
      • Dãy {x n } giảm nghiêm cách và bị chặn dưới bởi  , nên:
    • Ưu nhược điểm của phương pháp dây cung :
      • Ưu điểm: Biết x n , chỉ cần tính một giá trị của f(x n ) để tính x n +1
      • Nhược điểm: Tốc độ hội tụ về nghiệm chậm
  • 33. Giải thuật của phương pháp dây cung (1) input: a,b,m,  x = a;d = b err>  Kết quả:x ± err y = f(x) x = x-y*(x-d)/(y -f(d)) err = |f(x)|/m S Đ f(t).f(a)>0 t=(a.f(b)-b.f(a))/(f(b)-f(a) x = b; d = a đ s
  • 34. Giải thuật của phương pháp dây cung (2)
  • 35.
    • Bài toán : Giả sử với f(a)*f(b)<0, và f’(x), f’’(x) không đổi dấu trên (a,b). Tìm 1 nghiệm gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số  cho trước.
    • 4.1 Nội dung của pp :
    • - Thay đường cong f(x) trên
    • [a,b] bởi tiếp tuyến (T) với
    • đường cong tại điểm A hoặc
    • B, hoành độ giao điểm x 1
    • của (T) với trục hoành xem
    • như nghiệm gần đúng của phương trình
    4. Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp Newton) x 1 b (T) f(x) a B 
  • 36. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến:
    • a) Trường hợp 1: f’(x).f’’(x)>0
    a X 0 =b f’(x)<0,f’’(x)<0 f(a)>0, f(b)<0 a x 0 =b f’(x)>0,f’’(x)>0 f(a)<0, f(b)>0 x 1 x 1 f(x) (T 0 )
  • 37. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT): (T 0 ) (T 1 ) f(x) X 0 =b X 1 X 2 B 0  B B 1 
  • 38. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Cho x 0 = b
    • Phương trình tiếp tuyến (T 0 ) tại B 0 (x 0 ,f(x 0 )):
    • y-f(x 0 ) = f’(x 0 )(x-x 0 )
    • (T 0 ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 là nghiệm của hệ:
    • x 1 xem như nghiệm gần đúng của phương trình, nếu cần chính xác hơn, ta thay x 0 bởi x 1 , lặp lại tính toán trên để tính x 2 (chính xác hơn x 1 ) .Lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác theo yêu cầu.
  • 39. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Công thức tính nghiệm tổng quát: Giả sử ở bước thứ n, xác định được nghiệm gần đúng x n .
    • - Phương trình tiếp tuyến (T n ) với đường cong f(x) tại B n (x n ,f(x n )) là:
    • y-f(x n ) = f’(x n )(x-x n )
    • - Hoành độ giao điểm (x n +1) của tiếp tuyến T n với trục hoành là nghiệm của hệ:
  • 40. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • b) Trường hợp f’(x).f’’(x)<0 :
    f’(x)>0, f’’(x)<0 f(a)<0, f(b)>0 f’(x)<0, f’’(x)>0 f(a)>0, f(b)<0 a b a b
  • 41. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Xét f’(x)>0, f’’(x)<0 (trường hợp f’(x)<0 và f’’(x)>0 tương tự)
    Lấy x 0 = a, phương trình tiếp tuyến (T 0 ) với f(x) tại A 0 (x 0 , f(x 0 )): y-f(x 0 ) = f’(x 0 ).(x-x 0 ) Nghiệm gần đúng x 1 là nghiệm của hệ:  (T 0 ) (T 1 ) x=a x 1 x 2 b A 0  A A 1
  • 42. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Tổng quát : Giả sử tìm được nghiệm gần đúng x n , xây dựng công thức tính x n+1 :
    • - Phương trình tiếp tuyến (T n ) của f(x) tại A n (x n , f(xn)) là:
    • y-f(x n ) = f’(x n ).(x-x n )
    • Nghiệm gần đúng x n +1 là nghiệm của hệ:
  • 43. 4.2) Công thức tính nghiệm của pp tiếp tuyến(TT):
    • Kết luận : Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần đúng x n+1 theo x n là:
    • Với :
      • X 0 = a nếu f’’(a) cùng dấu với f(a)
      • X 0 = b nếu f’’(b) cùng dấu với f(b)
  • 44. 4.3 Sự hội tụ đến nghiệm của pp tiếp tuyến
    • Giả sử  nghiệm đúng của phương trình trên (a,b)
    • Dãy các nghiệm gần đúng tìm được là:
    • - Dãy giảm và bị chặn dưới bởi  ( trường hợp 1)
    • a <  <x n <x n-1 <…<x 0 <b
    • - Dãy tăng và bị chặn trên bởi  ( trường hợp 2)
    • a < x 0 <x 1 <…<x n <  <b
    • Nên:
  • 45. 4.4 Đánh giá sai số của PP tiếp tuyến
    • Giả sử  là nghiệm đúng của phương trình. m 1 , m 2 là các số thỏa điều kiện 0<m 1 ≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m 2 <+∞. Ta có:
    ( Xem cách tính sai số trong PP dây cung ) Hơn nữa, khai triển Taylor của f(x n ) tại x n-1 . Ta được
  • 46. Giải thuật của PP tuyếp tuyến (1) Input: a,b,  , m f(t).f(a)>0 x = b x = a x = x –f(x)/f’(x)  x = |f(x)|/m  x >  output: x±  x T F T F t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
  • 47. Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2)
    • Trong thực hành thường chọn sai số của x n :
    •  = |x n -x n-1 |
    Input: a,b,  f(t).f(a)<0 x 0 = b x 0 = a x 1 = x 0 –f(x)/f’(x) err = |x 1 -x 0 | err<=  output: x 1 ± err S Đ S Đ t=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
  • 48. 5. Phương pháp lặp đơn
    • Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b).
    • Phương pháp dây cung và tiếp tuyến là trường hợp đặt biệt của PP lặp
    • Nội dung của pp : Biến đổi f(x) = 0 về dạng x =  (x) với  (x) liên tục trên (a,b)
    • Lấy x = x 0  [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu
    • Tính x 1 =  (x 0 )
    • Tính x 2 =  (x 1 )
    • … ..
    • Tính x n =  (x n-1 )
    • Nếu x n hội tụ về  khi n  +∞ thì  là nghiệm đúng của phương trình. Các x i là các nghiệm gần đúng
  • 49. 5. Phương pháp lặp (tt)
    • Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
    • 5x 3 - x 2 - x-1 = 0 (*) trên (0.5; 1.5)
    • Ta có:
    • (*)  x = 5x 3 - x 2 – 1
    • Hoặc
    • (*) 
    • Hoặc
    • (*) 
    • Giả sử chọn công thức (c). Các nghiệm gần đúng tìm được:
    (a) (b) (c)
  • 50. 5. Phương pháp lặp (tt) Dãy các giá trị x i tính được từ phương trình: 5x 3 -x 2 -x-1 = 0 (*) bằng cách biến đổi phương trình đã cho về dạng:
  • 51. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Sự hội tụ về nghiệm của phương pháp
    • Định lý :
    • Giả sử (a,b) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0;
      • f(x)=0  x=  (x)
      • Và  (x) và  ’(x) là các hàm số tiên tục trên [a,b].
      • Nếu |  ’(x)|  q < 1  x  [a,b], x 0  [a,b] thì dãy {x n }, n=0,1,2,… nhận được từ: x n =  (x n-1 ) hội tụ đến nghiệm  của phương trình f(x)=0.
  • 52. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Chứng minh :
      • Giả sử  là nghiệm đúng
      • Ta có:  =  (  )
      • x 1 =  (x 0 )
      •  x 1 -  =  (x 0 ) -  (  )
      • Theo định lý Lagrange,  c 1  (x 0 ,  ) nếu x 0 <  hoặc  c 1  (  , x 0 ) nếu  < x 0 sao cho:  (x 0 ) -  (  ) =  ’(c 1 ).(x 0 -  )
      • |x 1 -  |=|  ’(c).(x 0 -  )|  q.|x 0 -  |
  • 53. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Tương tự:
      • |x 2 -  |=  q.|x 1 -  |
      • |x 3 -  |=  q.|x 2 -  |
      • |x n -  |=  q.|x n-1 -  |
      • ……
      • Do q<1 và x 0  [a, b] nên x i  [a, b]  i = 1, 2,…, n
    Hơn nữa: Và Nên x n hội tụ về nghiệm  khi n  + 
  • 54. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Ví dụ 1.5.2 : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
    • 5x 3 – 20x + 3 = 0 trên [0,1]
    • Ta có: (0, 1) là khỏang phân ly nghiệm của phương trình.
    • Phương trình đã cho tương đương với:
  • 55. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Khi x =0.8 Khi x = 0.5  x  [0;1]
  • 56. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Vậy có thể chọn phép biến đổi tương đương:
    • 5x 3 – 20x + 3 = 0  x =  3 (x) = (5x 3 +3)/20
    • Với |  ’ 3 (x)| =|3x 2 /4|  0,75=q<1 trên [0;1]
    • Ta có công thức lặp:
    • x n = (5x 3 n-1 +3)/20
    • Các nghiệm gần đúng tìm được sau 5 lần lặp
    X=0,150859 là nghiệm gần đúng  (x n )
  • 57. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt)
    • Đánh giá sai số :
    • |x n -  |  q|x n-1 -  | = q|x n-1 + x n – x n -  |
    •  q|x n-1 - x n | + q| x n -  |
    •  (1 - q)| x n -  |  q|x n-1 - x n |
    Hoặc có thể dùng công thức:
  • 58. Giải thuật cho phương pháp lặp In x 0 , q,  X pre = x x =  (x pre ) err = q|x-x pre |/(1-q) x = x 0 err>  Out: x Đ S
  • 59. 5. PHƯƠNG PHÁP LẶP (tt) Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình 5x 3 -19x+3 =0 trên [0;1] với sai số không quá 0,01 bằng phương pháp lặp. Giải: Phương trình tương đương với: x =  (x)=(5x 3 +3)/20 |  ’(x)|=|3/4x 2 |  q = 0,75<1. Vậy dãy x n+1 = ( 5x n 3 +3)/20 hội tụ về nghiệm của phương trình. Chọn x 0 = 0; Với x 2 = 0,15086 thì sai số  x2   = 0,01. Vậy x2 là nghiệm gần đúng cần tìm.
  • 60. Bài tập chương 2
    • Tìm nghiệm gần đúng của phương trình -x 3 +5x+2=0 trên (2,3) với sai số không quá 0,03
    • a) Bằng phương pháp chia đôi.
    • b) Bằng phương pháp dây cung.
    • c) Bằng phương pháp tiếp tuyến.
    • 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sinx – x +1/2=0 với sai số không quá 0.02:
    • b) Bằng phương pháp dây cung.
    • c) Bằng phương pháp tiếp tuyến.
  • 61. Bài tập chương 2
    • 3. Tìm các nghiệm gần đúng x 1 ,x 2 ,x 3 của phương trình sau bằng phương pháp lặp:
    • x 3 + x – 1000=0