2. Ja katram naturālam skaitlim n ir pakārtots kāds
skaitlis xn, tad ir dota skaitļu virkne.
Virkne – skaitļu kopums, kurā skaitļi ir sagrupēti
noteiktā kārtībā tā, ka, zinot kāda skaitļa vietas
numuru, var atrast šo skaitli.
xn, kur n patvaļīgs vietas numurs jeb indekss, sauc
par virknes vispārīgo locekli
3. Skaitļu virknes uzdošanas veidi
• Skaitļu virknes uzdošana ar pietiekami lielu locekļu
skaitu, lai būtu saskatāms likums, pēc kura var
atrast tālākos virknes locekļus.
• Vispārīgā locekļa xn kā funkcijas uzdošana .
• Kārtulas un algoritma uzdošana vārdos.
4. Skaitļu virknes uzdošanas veidi
• Virkni sauc par augošu, ja
x1 x2 ... xn ...
• Virkni sauc par dilstošu, ja
1
x1 x2 ... xn ... xn 2
n
1
xn 2
n
n 1
xn 2 1
n
5. Skaitļu virkni sauc par ierobežotu, ja eksistē tāds
pozitīvs skaitlis M, ka visiem virknes locekļiem ir
spēkā nevienādība
xn M
6. Skaitli a sauc par virknes robežu, ja katram > 0, lai
cik mazs tas arī būtu, var atrast tādu naturālu
skaitli N, ka visiem n > N ir spēkā nevienādība.
xn a
7. Izmantojot definīciju, noteikt robežu virknei
n 3
xn
5n 1
Sākot ar kādu kārtas numuru, virknes locekļi no
virknes robežas atšķiras mazāk nekā 0,01?
8. Ja n = 1000, tad
1000 3 1003
x1000 0,2
5 1000 1 4999
9. Pēc definīcijas
xn a
n 3 1
5n 1 5
5n 15 5n 1 16
5 5n 1 5 5n 1 25n 5
10. 16
25n 5
16 25 n 5 16 5
n
25
16 25 n 5
25 n 16 5
11. 16 5 16 ,05
n n
25 0,25
Ja = 0,01, tad n 64,2
16 5 0,01
n
25 0,01 Virknes locekļi
ar kārtas numuru
16 0,05 lielāku par 64
n no virknes robežas 0,2
0,25 atšķiras mazāk nekā 0,01.
12. Konverģenta virkne – virkne, kurai ir robeža.
Diverģenta virkne – virkne, kurai nav robeža.
1
xn 2
n
1
xn 2
n
n 1
xn 2 1
n
14. m, n Punkts x = a y = f(x)
x1 , x2 ,..., xn ,...
f x1 , f x2 ,..., f xn ,...
15. Funkcijas robežas definīcijas pēc Heines
Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad
x a, ja jebkurai argumenta x vērtību
virknei, kuras robeža ir a, bet neviens loceklis
nesakrīt ar a, atbilst funkcijas vērtību virkne, kuras
robeža ir b.
16. Funkcijas robežas definīcija pēc Košī
Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x
a, ja katram > 0, lai cik mazs tas būtu, var atrast
tādu > 0, ka
f x b
Visām tām x vērtībām, kas apmierina nevienādības
x a , x a
17. Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad
x + , ja katram > 0, lai cik tas mazs būtu, var
atrast tādu skaitli M > 0, ka visiem x >M ir spēkā
nevienādība
f x b
19. Papildnosacījums:
Visām x vērtībām jābūt vai nu lielākām, vai mazākām
par a.
Papildnosacījuma izpildīšanās gadījumā tiek iegūtas
vienpusējas robežas:
Robeža no labās puses:
lim f
x a
x lim f
x a 0
x f a 0
x a
Robeža no kreisās puses:
lim f
x a
x lim f
x a 0
x f a 0
x a
20. Funkcijas lēciens
Kādā punktā aprēķinātu vienpusēju robežu starpības
absolūto vērtību sauc par funkcijas lēcienu šajā
punktā. Tātad funkcijas y = f(x) punktā x = a
lēciens ir
f a 0 f a 0
21. Bezgalīgi lielas funkcijas
Funkcijas y = f(x) robeža ir bezgalība, kad x a, ja
katram M > 0, lai cik tas liels būtu, var atrast tādu
> 0, ka f(x) > M visiem x, kam spēkā
nevienādības x – a < , x ≠ a.
Ja f(x) ir bezgalīgi liela funkcija, tad
lim f
x a
x
23. Ierobežota funkcija
Funkciju y=f(x) sauc par ierobežotu dotajā
intervālā, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka
visām x vērtībām no šī intervāla ir spēkā
nevienādība f(x) M. Pretējā gadījumā, ja tāds M
neeksistē, tad funkcija ir neierobežota.
24. Īpašības
1. Bezgalīgi lielas funkcijas un ierobežotas funkcijas
summa ir bezgalīgi liela funkcija.
2. Divu bezgalīgi lielu funkciju summa ne vienmēr ir
bezgalīgi liela funkcija.
3. Divu bezgalīgi lielu funkciju reizinājums ir
bezgalīgi liela funkcija.
26. Bezgalīgi mazu funkciju īpašības
Bezgalīgi mazu funkciju algebriska summa ir
bezgalīgi maza funkcija, ja saskaitāmo skaits ir
galīgs.
Bezgalīgi mazas funkcijas (x) dalījums ar funkciju
f(x), kuras robeža atšķiras no nulles, ir bezgalīgi
maza funkcija
x
lim
x a f x
0, kur lim f
x a
x b 0
27. Bezgalīgi mazu funkciju īpašības
Ierobežotas funkcijas f(x) un bezgalīgi mazas
funkcijas (x) reizinājums ir bezgalīgi maza
funkcija.
– Bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar
konstanti ir bezgalīgi maza funkcija.
– Bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar
konstanti, kura atšķiras no nulles, ir bezgalīgi
maza funkcija.
– Divu vai vairāku bezgalīgi mazu funkciju
reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.
28. Pamatteorēmas par robežām
Funkcijas algebriskas summas robeža ir vienāda ar
atsevišķo saskaitāmo funkciju robežu algebrisko
summu, ja vien saskaitāmo skaits ir galīgs.
lim (u + v - w) – lim u + lim v –lim w
Funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar reizinātāju
robežu reizinājumu, ja vien reizinātāju skaits ir
galīgs.
lim (u ∙ v) = lim u ∙ lim v
29. Secinājumi
Patstāvīgu reizinātāju drīkst iznest pirms robežas
zīmes.
lim (c ∙ u) = c ∙ lim u
Pakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi
lim (un) = (lim u)n
30. Pamatteorēmas par robežām
Divu funkciju dalījuma robeža ir vienāda ar šo
funkciju robežu dalījumu, ja vien dalītāja robeža
atšķiras no nulles
u lim u
lim , kur v 0
v lim v
Ja funkcijas u vērtības ir nenegatīvas, kad x a vai
x , t.i., u 0 un eksistē lim u = b, tad b 0.
31. Pamatteorēmas par robežām
Ja divu funkciju u = u(x) un v = v(x) atbilstošajām
vērtībām ir spēkā nevienādība v u un abām
funkcijām ir robeža, kad x a vai (x ), tad lim
v lim u.
Ja triju funkciju u = u(x), w = w(x) un v = v(x)
atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādības u
w v, pie tam u(x) un v(x), kad x a vai x
, tiecas uz vienu un to pašu robežu b, t.i., lim u =
b un lim v = b, tad arī funkcija w(x) tiecas uz to
pašu robežu, t.i., lim w = b.
32. Pamatteorēmas par robežām
Jebkurai ierobežotai monotonai funkcijai ir
robeža, kad arguments monotoni tiecas uz galīgu
robežu a vai neierobežoti aug (vai dilst).
34. Pirmā ievērojamā robeža
sin x
1
lim x
x 0
S AOB AO AB
2 C
B
1
S sektAOC AC R
2 R
1
S AOD AO CD
2
D
O A
R
35. 1
S AOD AO CD S sektAOC 1 AC R
2 2
1
S AOB AO AB
2
1 1 1
AO AB AC R AO AB
2 2 2
R R sin x Rx R R Rtgx
sin x x tgx
36. sin x x tgx
x 1 sin x
1 1 cos x
sin x cos x x
Ja x 0, tad
sin x
lim1 1
x 0
limcos x 1
x 0
lim x 1
x 0
x 0
37. Piemēri
sin kx k sin kx sin kx
lim x
x 0
lim kx
x 0
k lim
x 0 kx
k
tgx sin x 1
lim x
x 0
lim x
x 0
lim cos x 1
x 0
arcsin x
lim x
x 0
1
2
2 x 2 x x
2 sin 2 sin sin
1 cos x 2 2 1 2 1
lim x 2
x 0
lim x 2
x 0
lim x 2
x 0 2 lim
x 0 x 2
4 2
2
38. Skaitlis e
Funkcijai
punktā x = + eksistē galīga robeža, kuru apzīmē ar e.
Skaitļa vērtība ar 26 zīmēm pēc komata ir
39. Otrā ievērojamā robeža.
Piemēri
n
1
e lim
n
1
n
kn n k
1 1
lim 1 lim 1 ek
n n n n
n kx
k 1 k
lim n
1
n lim
n
1
k
e
