構成と解体:原始再帰関数の計算と推論の共通点
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第 177 回 CAPE レクチャー（9/12(日) 午後 1600-1800） 京都大学大学院文学研究科 応用哲学・倫理学センター(CAPE)公開セミナー
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構成と解体:原始再帰関数の計算と推論の共通点
- 1. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 構成と解体：原始再帰関数の計算と推論の共通点 第 177 回 CAPE レクチャー 矢田部俊介 Center for Applied Philosophy and Ethics, Graduate School of Letters, Kyoto University 9/12（日） 午後 1600-1800 京都大学大学院文学研究科 応用哲学・倫理学センター（CAPE）公開セミナー 1 / 41
- 2. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 概略 • 推論と計算はよく似ていると言われ、多くの共通点が指 摘されている • その中で、本レクチャーでは、 「必ず有限ステップで答を 出さなければならない」という性質に着目 • 計算と推論（証明）がともに、有限ステップの「構成」と 「解体」という操作に分解でき、本質として同じで表現の 仕方が異なるのだということを紹介する • 前期論理学授業では「有限捨て婦で計算が終わることが 確実な計算」の例として、原始再帰的関数を紹介した。 それを例に出しながら、検討を行っていく 2 / 41
- 4. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 背景：推論と計算 推論（論理学）と計算は、昔から似ていると言われてきた • 推論も計算も、人間は間違える事ができるし、間違えた ときは「正しい推論／計算」の体系ではなく、その間違 えた人間の責任となる。 • 多くの場合、適用範囲（スコープ）と前提条件が決まっ ている。言い換えれば、当然、規則が適用できると判断 できるかどうかのグレーゾーンも存在する。 • 主張に対するコミットメントの問題：ある前提にコミッ トしている（賛成している）人は、その前提から導き出 される結論（計算結果）に対してもコミットしなければ ならない。 どちらも人間にとって規範的な行為である 4 / 41
- 6. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 2.1 人間のシステム 2 的認知機能と計算 6 / 41
- 7. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 人間の認知機構：システム 1 とシステム 2 二重過程モデル によれば、人間の心は、 （一部重複しているも のの基本的には）二種類の異なる認知スタイルを併用して いる。 • システム 1： いわゆる「直感／フィーリング／パターン認 識」のような認知。早い（ファスト fast）が間違いも多い （というか間違えた時に間違えを発見するのは難しい） 。 • システム 2： いわゆる「言葉によって逐次的に考える」 ことによる認知（言語による推論によって行われる合理 的、分析的な認知） 。遅い（スロー slow）が、間違いは少 ない（ステップ毎に「検算」をすれば発見可能である） 。 7 / 41
- 8. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 典型的なシステム 2 認知活動 システム 2 は、 「 （意識的に）考える」ことによる逐次的な認知 であり、つまり言語による推論によって行われる合理的、分 析的で規範的な認知のスタイルである。 • システム 2 的認知機能は、人間の脳というハードウェア の上、システム 1 的認知能力によってシミュレートされ ているものであった（デネットの用語では「仮想計算機」 （virtual machine）として実装されている） 。 • システム 2 で実行される人間の規範的な推論は、もとも とはハードウェアに依存しない、基質中立的な能力とし て定義づけられていたものである。 規範的な認知活動は、このように基質中立的なシステム 2 に よって司どられる。 8 / 41
- 9. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 典型的なシステム 2 認知活動としての計算と推論 たとえば、102489547623656689 + 59801238977 を計算すると いう認知活動を考える。 • この計算は無意識のうちにできない、つまり、何らかの 対象に対し、意識して活動するという「志向的」な活動 である。その際には言語が重要な役割を果たす • 適応的無意識（システム 1）に比べれば、処理速度ははる かに低速。 • 計算はステップ毎に逐次（sequential）的に処理される （まず１の位を足し、10 のくらいに繰り上げ、· · · ） 。その 処理順番は sequential（直列：線形な順を追った処理）で あり、システム 1 のような並列処理は大変難しい。 この思考スタイルでは、言語を使う意識的なものであるため、 システム 1 と大きく違う部分がある。つまり、抽象的な思考、 仮説的な思考が可能になる。 9 / 41
- 10. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 人間とコンピュータ システム 2 的認知は基質中立的な能力であり、システム 2 的 認知能力を機械化したのがコンピュータである。 その数学的な定義は（型なし）λ 計算として与えられるが、本 講ではその自然言語における対応物として、以下のようなイ ンフォーマルな定義を与える。 • （入力） （人間にとって）有限の長さの記号列を入力する • （規則の適用）予め定められた規則に従って記号列を変 換する • （出力）答が求まる場合は有限回の変換の後、有限の長 さの記号列を出力する なお、一回規則を適用するところから、次に規則を適用する までの間を、以後「計算ステップ」と呼ぶことにする。 10 / 41
- 12. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 計算と推論は多くの点で似ており、両方ともシステム 2 的認 知の一種である。 では両者はどのような関係にあるのか？ 12 / 41
- 13. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 カリー・ハワード対応 推論は、計算の一種と見なせる： 最小命題論理（の →-断片）と単純型つき λ 計算の間には、以 下が成立する。 (1) 単純型つき λ 計算で Γ ⊢ M : φ（ただし Γ は文脈）という 型推論ができる場合、最小命題論理でも |Γ| ⊢ φ が成立 する。 (2) 逆に、最小命題論理の → 断片において Γ ⊢ φ（ただし Γ は推件）が成立する場合、∆ ⊢ M : φ が成立する（ただし Γ = {φ0, φ1, · · · , φn} のとき、自由変数 x0, x1, · · · , xn に対 し ∆ = {(x0 : φ0), (x1 : φ1), · · · , (xn : φn)}） 。 詳細は今年度 3 月予定の CAPE レクチャー「構成的型理論」 にて説明する 13 / 41
- 15. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 3 計算における構成と解体 15 / 41
- 16. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 3.1 計算における構成と構成子 16 / 41
- 17. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 計算における構成の満たすべき条件 (i) 原理的には無限個の数項が、その定義に従って構成可能 でなければならない。 (ii) 一方で、具体的な数項（有限の長さの文字列）を与えら れたとき、それが本当に数項であるための条件を満たし ているかどうかを有限ステップでチェックできなければ ならない。 17 / 41
- 18. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 構成の例 自然数の帰納的構成 (I) 0 は自然数である (II) もしも n が自然数であるならば、n の次の数（後者） （n + 1）も自然数である。 (III) こうやって構成されたものの全体が自然数であり、それ 以外のものは自然数ではない。 ある対象が与えられた時、それが自然数であるかどうかは、そ の対象の前者、されにその前者、· · · と っていって 0 に到達 すれば自然数、そうでなければ自然数ではないと判定できる。 18 / 41
- 19. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 構成と解体 帰納的定義は以下のように行われる。 • 最初のステップ（initial step/ base case） ：構成を始める にあたっての出発点 • 後続ステップ（successor step/ induction step） ：それまで のステップで構成されたものを処理して、新しいものを 作るステップ 用語の導入 • 「最初のステップ」から始め、 「後続ステップ」を有限回 繰り返す作業を（帰納的）構成（construction）と呼ぶ。 有限ステップで帰納的に構成されたものが「帰納的に構 成された対象」である。 • 構成を逆向きに り、帰納的に構成された対象から、後 続ステップの行われる前の対象を再現することを解体 （deconstruction）と呼ぶ 19 / 41
- 20. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 構成の形式的定義：構成子 対象レベルにおいて、形式的に自然数をシミュレートする記 号列は、以下の構成子（constructor）を用い構成される。 • 0̄ は L0 の個体記号である（引数 0 の構成子） • suc は L0 の関数記号である（ 「後者関数（記号）」と呼 ぶ） （引数 1 の構成子） N は以下の条件を満たす長さが有限の記号列の集まりである （x が N のメンバーになることを x : N と表記する） 。 (1) 0̄ : N (2) もしも x : N であるならば、suc(x) : N 帰納的に定義された対象（文字列）の集まり（型／タイプ type）を帰納的データ型（inductive data type）とも呼ぶ 20 / 41
- 21. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 3.2 計算における解体と解体子 21 / 41
- 22. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 解体の例 構成子とは逆に「解体子」として前者関数 pred を用意する。 これは以下を満たす関数である。 pred(0̄) = 0̄ pred(suc(n̄)) = n̄ この関数は、原始再帰法により、以下のように原始再帰関数 として定義される。 pred(0̄) = 0̄ pred(suc(n̄)) = proj12(n̄, pred(n̄)) 解体子は、構成と逆向きの操作（付加された構成子 suc を剥ぎ 取る）を行う。 22 / 41
- 23. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 例：構成と解体 N に新しい項と項を結合する結合子 +̇ を導入する • 新しい構成子 +̇ : N → N → N 2̄ が N の項であるならば、2̄+̇2̄ は新しい N の項である • 新しい解体子 eval:N → N eval(n̄ + 0̄) = n̄ eval(n̄+̇suc(k̄)) = suc(eval(n̄+̇k̄)) これは、+̇ の入った項の導入と、その除去（値の求め方）の両 方を定義する（eval は原始再帰関数として定義される） 23 / 41
- 24. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 自然数上の構成と解体のまとめ • 構成子：0, suc （他に + などエクストラに構成子を付 加できる） • 解体子：自然数上の（有限ステップで計算が終わる）関数 • 有限ステップで計算が終わってくれないと困る • 有限ステップで計算が終わってくれる自然数上の関数の 例：原始再帰関数 24 / 41
- 25. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 有限ステップで計算が終わる事を保証できる関数の例（前 期授業） 原始再帰関数 (primitive recursive functions) は以下の関数を帰 納的に組み合わせて定義される 1 ゼロ関数：zeron(x1, · · · , xn) = 0（ただし 0 ≤ n）, 2 射影関数：proji,n(x1, · · · , xn) = xi, 3 後者関数：suc(x), 4 合成：G が m 変数原始再帰関数（変数を m 個持つ原始再 帰関数） 、H1, · · · , Hm がそれぞれ n 変数原始再帰関数な らば、それらを組み合わせた以下の F も原始再帰関数で ある F(x1, · · · , xn) = G(H1(x1, · · · , xn), · · · , Hm(x1, · · · , xn)) 5 原始再帰法：G が n 変数原始再帰関数、H が n + 2 変数 原始再帰関数のとき、以下の F も原始再帰関数になる： F(x1, · · · , xn, 0) = G(x1, · · · , xn) F(x1, · · · , xn, suc(y)) = H(x1, · · · , xn, y, F(x1, · · · , xn, y)) 25 / 41
- 26. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 4. 推論における構成と解体 26 / 41
- 27. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 4.1 推論における構成と構成子 27 / 41
- 28. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 自然演繹における証明の帰納的構成 • ゲーデルの不完全性定理などで示されているとおり、証 明は自然数論に埋め込める • 自然数を使って命題をコーディングすることで、形式的 な自然数論の定理は、自然数で表現できる • 定理の証明も、自然数でコーディング可能である • コーディング作業は原始再帰関数によって可能である • 構成的型理論などにおいては、自然数を経ないで直接、 定理を帰納的データ型として定義し、証明をその上の関 数として表現される • 証明可能な命題（定理）全体は、帰納的に定義されるデー タ型となる • 構造帰納法により、直接帰納的データ型の上の再帰関数 として、証明を表現することができる • その証明は、λ 項（再帰関数）として表現される 詳細は CAPE レクチャー（2022 年 3 月）で紹介する 28 / 41
- 29. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 自然演繹における証明の帰納的構成 [v : A] . . . . B A → B →+v A A → B B (→−) A B A ∧ B ∧+ A ∧ B [A] . . . . C C (∧−左) A ∧ B [B] . . . . C C (∧−右) A A ∨ B ∨+左 B A ∨ B ∨+右 A ∨ B [A] . . . . C [B] . . . . C C ∨− 29 / 41
- 30. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 証明と定理の帰納的構成：論理結合子の導入規則 導入規則しか使わない証明の場合、話は簡単である • 最初のステップ 任意の命題 A から A を結論できる A A • 後続ステップ ∧ の導入規則は二つの証明から新しい一つの証明を構成 する . . . . A . . . . B . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ ∨, → の場合も同様 30 / 41
- 31. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 4.2 推論における解体と解体子 31 / 41
- 32. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 定理の解体：除去規則 定理の帰納的構成において、定理からその一部を取り出す （解体）のが除去規則である . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ A ∧− 証明中に導入された論理結合子を直後に除去する場合以下が 成立する • A の証明と B の証明から A ∧ B の証明を構成する（左） 。 • そこから A を取り出す。結論部 A ∧ B から、結合子 ∧ が 除去され、A のみになる（右） 。 注意：前提に論理結合子が含まれていて、その分解が必要な ケースでは、証明を取り出すことにはならず、ここの説明は 当てはまらないが、話を単純化するためにここでは省略する 32 / 41
- 33. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 反転原理と証明図の書き換え しかし、そもそも A の ∧ を使わない証明は、もともと A ∧ B の証明の中に、すでに含まれていた！（反転原理） . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ A ∧− . . . . A . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ • ∧ 除去規則を使った左の証明（結論は A）は、∧ 除去規則 を使わない右の証明（結論は A）をすでに含んでいるし、 カット&ペーストによって書き換えることができる。 • この ∧ 除去規則を含む証明（左）から A の直接的証明 （真ん中）へと書き換える作業は、証明の帰納的構成にお ける解体子に相当する。 33 / 41
- 34. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 解体子 • 命題のレベル、定理の構成と解体という視点から見た場 合、以下が相当する • 論理結合子の導入規則が構成規則 • 論理結合子の除去規則が解体規則 • 証明のレベル、定理の証明の構成と解体という視点から 見た場合 • 論理結合子の導入規則が構成規則 • （反転原理を用いて）除去規則を使う証明を、除去規則を 使わない証明に書き換える操作が解体規則 34 / 41
- 35. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 4.3 導入規則と除去規則のあるべき関係：ハー モニー 35 / 41
- 36. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 アホアホ演算子トンク トンク tonk は、以下の導入規則と除去規則を持つ、結合子 らしきもの（演算子 operator）である。 A A tonk B tonk + A tonk B B tonk − tonk は論理結合子と呼びたくなるが、最小命題論理において 証明可能な命題 A と、任意の命題 B を考えたとき、以下の推 論が可能である。 . . . . A A tonk B tonk + B tonk − つまり、トンクの導入規則・除去規則を使用すると、任意の命 題 B が証明できてしまうことになってしまう！ · · · アホであ るにも程がある。 36 / 41
- 37. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 ハーモニー tonk の何が問題だったのか？ • 構成と解体の間には「釣り合い」が必要である。この釣 り合いは導入規則と除去規則の間のハーモニー（調和） と呼ばれる。 ハーモニーの特徴付け • 保存拡大（ベルナップ） • 反転原理（プラヴィッツ） • 正規化可能性（ダメット） どの性質も、証明中に導入され最後が論理結合子の除去規則 で終わる証明図の書き換え可能性の証明（証明図のカット& ペースト）を本質的に使用している 37 / 41
- 38. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 正規化定理 下の証明図左のように、同じ結合子（∧）を導入した直後に除 去するのは明らかに無駄である。こういう無駄な遠回りがな い証明を正規な証明と呼ぶ。 . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ A ∧− . . . . A 反転原理の箇所で紹介した証明図の書き換え技法によって、 右のような正規でない証明はすべて、左のような正規な証明 に書き換えることができる。 38 / 41
- 39. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 4.4 カリー・ハワード同型対応と証明の正規化 39 / 41
- 40. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 証明の書き換えと λ 項の正規化 回り道のある（非正規な）証明に対応する型つき λ 計算例 x : (A → B) ⊢ x : (A → B) y0 : A ⊢ y0 : A x : (A → B), y0 : A ⊢ xy0 : B x : (A → B) ⊢ λy0.xy0 : A → B y1 : A ⊢ y1 : A x : (A → B), y1 : A ⊢ (λy0.xy0)y1 : B (λx.(λy0.xy0)y1) : (A → B) → B λy1.(λx.(λy0.xy0)y1) : A → ((A → B) → B) これをまとめたキレイな証明（正規な証明）は以下の通り x : (A → B) ⊢ x : (A → B) y : A ⊢ y : A x : (A → B), y : A ⊢ xy : B y : A ⊢ λx.xy : (A → B) → B ⊢ λy.(λx.xy) : A → ((A → B) → B) λ 項の縮約 λy1.(λx.(λy0.xy0)y1) → λy.(λx.xy) が、正規化における証明図の書き換え作業に相当 40 / 41
- 41. 構成と解体： 原始再帰関数 の計算と推論 の共通点 矢田部俊介 はじめに 計算と推論 人間のシステム 2 的 認知機能と計算 計算と推論の関係 計算における 構成と解体 計算における構成と構 成子 計算における解体と解 体子 構成と解体のあるべき 関係 推論における 構成と解体 推論における構成と構 成子 推論における解体と構 成子 導入規則と除去規則の あるべき関係：ハーモ ニー カリー・ハワード同型 対応と証明の正規化 ハーモニーの計算的な解釈 • 構成子：λ 抽象などにより、証明を表現する λ 項を負荷し ていく作業 • 解体子：λ 項を、代入などにより簡約していく作業 • 導入規則と除去規則のハーモニー：証明を表現する λ 項 の縮約（証明図の書き換えに相当）が有限ステップで終 わること 41 / 41