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最適二分探索木問題
- 2. 問題 ⼊⼒ • 𝑛 個の重み 𝑤# (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) がある 出⼒ ' 𝑤#×depth(𝑖) # • が最⼩な順序付き⼆分⽊を作れ • ただし depth(𝑖) は左から i 個⽬の葉の深さ • そのコストを求めよ 2016/4/10 2
- 4. 問題 注意（ハフマン符号を知ってる⼈向け） • ハフマン符号とは違う問題です • ハフマン符号では，要素の順番を変えても良い（た だの，左右に順序を持たない⼆分⽊） • 今回の問題では，要素の順番を変えてはいけない （左右の順序がついた⼆分⽊） 以下，このスライドでは，左右の順序を考慮する⼆分 ⽊を⼆分探索⽊と呼ぶこととし，求める⼆分探索⽊を 最適⼆分探索⽊と呼びます． 2016/4/10 4
- 5. これから学ぶこと 1. 𝑶 𝒏 𝟑 の解法 区間に関する基礎的な動的計画法 2. 𝑶 𝒏 𝟐 の解法 Monge 性の活⽤による動的計画法の⾼速化 3. 𝑶 𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒏 の解法 Hu-Tucker アルゴリズム + 併合可能順位キュー 2016/4/10 5
- 6. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 6 𝑶(𝒏 𝟑) 解法 区間に関する基礎的な動的計画法 2016/4/10 6
- 7. 解法 1 考える部分問題 • 区間 [𝑖, 𝑗] に対して， • 要素 𝑖, 𝑖 + 1, … , 𝑗 で作る最適⼆分探索⽊を考える． • このコストを 𝑐#A とおく． 漸化式 • 「⼀番上のノードでどう分割するか」を考える． • [𝑤#, 𝑤#BC, … , 𝑤A] → [𝑤#, … , 𝑤E] [𝑤EBC, … ., 𝑤A] 分割の場所 𝑘 を全通り試すと漸化式になる． 𝑐#,A = min #KELA 𝑐#,E + 𝑐EBC,A + ' 𝑤E A EM# 2016/4/10 7
- 8. 解法 1 計算量 • 区間が 𝑂 𝑛O 個 • 各区間での部分問題の計算に 𝑂 𝑛 • 従って 𝑂 𝑛P 2016/4/10 8
- 9. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 9 𝑶(𝒏 𝟐) 解法 Monge 性の活⽤による動的計画法の⾼速化 2016/4/10 9
- 10. 解法 2 鍵となる直感 例えば，部分問題 [𝑤P, 𝑤Q, … , 𝑤CR] で 5 と 6 の間で切るのが最適だと仮定する． （つまり [𝑤P, … , 𝑤S] [𝑤T, … . , 𝑤CR] にするのが最適のとき） ↓ この時，部分問題 [𝑤P, 𝑤Q, … , 𝑤CR, 𝑤CC] で， 5 より左で切ることはまずないのでは？ 区間は右側に⼀つ伸びた．バランスを取るはず． 切る場所は，右には移動するかもしれないが， 左に移動するとは思えない！ 2016/4/10 10
- 11. 解法２ ⾼速な動的計画法 前スライドの直感は正しい． これを使ってアルゴリズムを作る． • 𝑝#,A = argmin#KELA {𝑐#,E + 𝑐EBC,A} とする • 𝑘R = 𝑝#,A[C，𝑘C = 𝑝#BC,A とする 解法1の漸化式から，𝑘のループ範囲を絞れる． 𝑐#,A = min EKEKE↓C 𝑐#,E + 𝑐EBC,A + ' 𝑤E A EM# （最後の項は，簡単に計算できるのでどうでも良い） 2016/4/10 11
- 12. 解法２ 計算量 𝑂 𝑛O になる． 部分問題を区間の⻑さごとに分けて考える． 区間の⻑さは 1, 2, … , 𝑛 の 𝑂 𝑛 通り． 各⻑さについて，試す切れ⽬箇所は合計 𝑂 𝑛 ． 2016/4/10 12
- 13. 解法２ より⼀般的な話：Monge 性 区間に対する重み関数が QI (Quandrangle Inequality) かつ MLI (Monotone on the Lattice Intervals) ならば，同様の効率的な動的計画法を適⽤できる． 重み関数を 𝑓 とする． • 𝑓 が QI であるとは，共有点を持つ任意の 2 つの区間 𝑎, 𝑏 に関して， 以下を満たすこと． 𝑓 𝑎 ∪ 𝑏 + 𝑓 𝑎 ∩ 𝑏 ≥ 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 • 𝑓 が MLI であるとは，𝑎 ⊂ 𝑏 となる任意の 2 つの区間 𝑎, 𝑏 に関して， 以下を満たすこと． 𝑓 𝑎 ≤ 𝑓(𝑏) 例えば，最適⼆分探索⽊の場合は，f は以下の関数となっている． 𝑓(𝑎) = ∑#∈g 𝑤# 2016/4/10 13
- 14. ©AtCoder Inc. All rights reserved. 14 𝑶(𝒏 𝐥𝐨𝐠 𝒏 ) 解法 Hu-Tucker アルゴリズム + 併合可能順位キュー 2016/4/10 14
- 15. 解法３ アイディア • ハフマン⽊問題と似てる．ハフマン⽊問題は貪 欲法で解ける． • 制約がついていてハフマン⽊問題より難しそう だけど，頑張ったら貪欲法で解けるのでは？ • 結論から⾔うと，できる． （ハフマン⽊の貪欲法をまずは復習して下さい．） 2016/4/10 15
- 16. 解法３ 流れ ハフマン⽊の貪欲法と同じく • サブツリーをマージしてゆく • コストの和が最⼩となるペアをマージ ただし • 任意のペアをマージできるわけではない 2016/4/10 16
- 17. 解法３ ⽤語 • 葉 ＝ 最初からある要素たち • 中間ノード ＝ マージで⽣成される要素 ハフマン⽊と違って，各要素には場所がある． 中間ノードの場所は適当にその辺に置いておく． （例えば，含んでる⼀番左の葉の場所とかとして考えとけばOK） 2016/4/10 17
- 18. 解法３ マージできるペア 左右の順序を保つツリーを作らないと！ （ハフマン⽊では任意のペアがマージできる） 正しくないアプローチ • 隣り合うやつをマージしてゆく？ • これを貪欲にやっただけでは，最適解が得られない場合 がある 正しいアプローチ • 葉を⾶び越さなければ隣り合ってなくてもマージできる ことにする（！？） • つまり，中間ノードは⾶び越していい • （どういうこと？？） 2016/4/10 18
- 19. 解法３ 例 • [1, 2, 23, 4, 3, 3, 5, 19] • [3, 23, 4, 3, 3, 5, 19] 1,2 は隣り合ってるからマージOK • [3, 23, 4, 6, 5, 19] 3,3 も隣り合ってるからマージOK • [3, 23, 9, 6, 19] 4,5 は間に中間ノードしかないからマージOK • [3, 23, 15, 19] 3,6 とかマージしたいけど，間に葉 23 があるのでNG • [26, 15, 19] • [26, 34] • [60] ⿊が葉，⾚が中間ノード http://www-math.mit.edu/~shor/PAM/hu-tucker_algorithm.html 例はここからお借りしました 2016/4/10 19
- 21. 解法３ 証明？ ⽰すべきこと： 1. ⾼さを保って⼆分探索⽊を作れること 2. その⼆分探索⽊が最適であること 証明はとても難しい……Ω＼ζ°)ﾁｰﾝ “The first few published proofs were wrong.” “ There are proofs that this method gives the best possible order preserving (prefix free) code, but they are surprisingly hard to find. ” http://www-math.mit.edu/~shor/PAM/hu-tucker_algorithm.html より 2016/4/10 21
- 22. 解法３ マージ対象を上⼿に管理 • 基本的には，ハフマン⽊と同じく，順位キュー – 要素を⼊れといて，⼀番⼩さい 2 個を取り出して， くっつけて，また突っ込む • ただし，マージできるグループがくっついたり する – 間の葉が中間ノードに変化すると，⼀気にマージで きる仲間が増えたりする 2016/4/10 22
- 23. 解法３ マージ対象を上⼿に管理 • そこで，併合可能ヒープ (Meldable Heap) を使う – Push, Pop に加えて Meld が可能 – Meld：2 つのヒープを 1 つにまとめる 実装が簡単な併合可能ヒープ • Leftist Heap • Skew Heap 𝑂 log 𝑛 で各種処理（Leftist Heap はならし） 2016/4/10 23
- 24. 解法３ 全体 Hu-Tucker を併合可能キューで実装すると， 全体の計算量は 𝑂 𝑛 log 𝑛 になります． ⾊々 • やや詳細を省いたので調べてみてください： Hu-Tucker, Meldable Heap • 他にも最適⼆分探索⽊問題向けの効率的なアル ゴリズムはあります：Garsia-Wachs 2016/4/10 24