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Square869120 contest #2

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Square869120 contest #2の解説です。

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Square869120 contest #2

  1. 1. IOI列車で行こう 2 Take the IOI Train 2 解説
  2. 2. 問題概要 • I, Oからなる文字列 S が与えられる。 • 文字列 S の部分列のうち, 「IOIOI, IOIOIOIOIOIOIOIのような文字列」 の最大の長さを求めなさい。 • 1 ≦ |S| ≦ 10,000
  3. 3. 部分点解法 • 先ほど説明した, 「IOIOIのような文字列」 は, I, IOI, IOIOI, IOIOIOI, IOIOIOIOI,... のようになる。 • そのような文字列をすべて判定することで, できるのではないか?
  4. 4. 部分点解法 • S が T の部分列であるか判定する 1. ptr = 1 とする 2. Tの1文字目から|T|文字目まで: 3. S の ptr 文字目が今指しているTの文字と等しければ ptr を1加算する 4. ptr=|S|であれば部分列である • その方法を使って, で判定できる • 全体の計算量は
  5. 5. 満点解法 • 部分点解法の方法では, |S|=10000 のときにTime Limit Exceededする場 合がある • もっと高速化する方法はないか?
  6. 6. 満点解法 • 実は, I, IOI, IOIOI, IOIOIOI,...と調べていく必要はない • IOIOIOIOI,...IOIOIOIOI のような長さ |S| 以上の文字列 T を用意し, 4ページ 目の部分列であるか判定するアルゴリズムの最終的な ptr を利用することがで きる • ptr が 1 ⇒ 列車が編成できない • ptr が偶数 ⇒ 長さ ptr-1 の列車が編成できる • ptr が奇数 ⇒ 長さ ptr-2 の列車が編成できる • 全体の計算量は なのでAcceptedします
  7. 7. 結果 / Result • IOI に行っている人やIOI代表選手を決める選考会に参加している人な らば簡単に解けると思います • A問題の解説を書いた人は上の条件に該当しないので解くのに10分くら いかかりました • IOI列車に乗ってIOIに行きたいけどあと3000問は解かなければあまり現 実的ではないと思いました
  8. 8. 結果 / Result • First Acceptance… sigma425 (2分1秒) • 得点分布
  9. 9. B問題 Division 2
  10. 10. 問題概要 • 1以上n以下の整数を書き、それに対して以下の操作をq回行う。 • 書かれている全ての数に対して、a[i]で割り切れるのであればその 数をa[i]で割った数に書き換える。ただし、a[i]はi回目の操作におけ る割る数である。 • 最終的に1が何個書かれているか、求めてください。 • ただし、aの入力はa[1]からはじまりa[q]で終わるものとして考えます。
  11. 11. 問題概要 • 小課題1(25点)⇒1≦n≦1000000,1≦q≦24 • 小課題2(75点)⇒1≦n≦10^13,1≦q≦24 • どちらの小課題でも3≦a[i]≦50である。 • うさぎは2で割るのが嫌いなため、a[i]=2ではない。
  12. 12. 例 • 例えば、n=10,q=3,a={3,4,6}のとき、 • 最終的な1は{1,3,4}からの3つになります。 割る数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 2 1 4 5 2 7 8 3 10 4 1 2 1 1 5 2 7 2 3 10 6 1 2 1 1 5 2 7 2 3 10
  13. 13. 部分点解法(25点) • 愚直に計算をします。 • 配列を使ってx[i]=iにまず初期化します。x[i]というのは、i番目 の数は今現在何なのかということを表します。 • q回の操作を以下のように行います。 • x[1]からx[n]まで順番に見ていきます。その数字がa[i ](i回目の 操作の場合)で割り切れたらその数字を1回だけa[i]で割ります。
  14. 14. 部分点解法(25点) • コードでは、if(x[j]%a[i]==0){x[j]/=a[i]}ということです。 • 4ページ目の表のように操作することをイメージすればわかりやすいで しょう。 • 計算量は、各クエリにつきO(n),クエリがq個あるのでO(nq)となります。 n=1000000,q=24の場合2400万回となり、間に合います。 • しかし、小課題2ではn=10^13,q=24が最大だから、計算量は10^14回を超 えてしまいます。⇒TLEをします。
  15. 15. 考察1 • Q≦24であることを利用できないか? • 割れるなら「割る」、割れないなら「割らない」なので、Π(a[i]また は1)※Πはi=1からQまでの範囲で、しか可能性がないので は? • 例えば、a[i]={3,4,6}のとき、以下の8通りしか可能性はない。 1*1*1=1,1*1*6=6,1*4*1=4,1*4*6=24, • 3*1*1=3,3*1*6=18,3*4*1=24,3*4*6=72
  16. 16. 考察1 • a[i]をいくつか選んだときの積であれば、その「選んだ場所」だ け割り、それ以外の場所では割らないことになる。 • そうでない場合、どこで割っても1にならない。 • なぜなら、割るときは必ずa[i]以外で割ってはいけないからで ある。また、a[i]を選んだ時の積の分だけ割れるので、それが ある数Cと一致している場合のみC/積=1になるからである。 • ⇒考察は正しい
  17. 17. 満点解法 • 考察より、2^q通りしか可能性はないことが分かった。 • ⇒これを全列挙できる!! • まず、a[i]で割るか割らないかを0か1かで表される配列bのi番 目の要素に記録しておく。 • h=0から2^q-1のときまでループし、そのときのb[i]は • b[i]={h/(2^(i-1))}%2となる。
  18. 18. 満点解法 • そして、最初sum=1として、b[i]が1のときsumにa[i]をかけます。 (1≦i≦q) • sumで最後1になるか試して、なれば答えに1を足します。 • そのようにすれば、どのa[i]を選ぶかを全通り、重なりがなく調 べることができる。JOI2007-08予選5:Osenbeiなどが解法として は似ている。
  19. 19. 満点解法 • 通り数が2^q通り、1つの数字から始めると1になるかを調べるクエリ がO(q)だから、計算量はO(q*2^q)となる。 • q=24のとき、約400,000,000回の計算が必要となる。 • 制限時間が5secだから、定数倍が速いか普通だと、C++などの実 行速度の速い言語ではギリギリ通ります。 • ちなみに、この解法での私のコードの実行時間は2354msでした。 • しかし、定数倍が遅かったり、JAVAなどのやや実行速度の遅い言 語だと通らない。
  20. 20. 考察2 • 完全な全列挙ではなく、後ろから考えて工夫して全探索できる のではないか? • ⇒Queueを使おう! • Queueについては、 • http://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~yamada/ap/queue.html • を参照してください。
  21. 21. 満点解法2 • まず、最初に2つの引数を持つQueueを用意し、第1引数を現時点 での数、第2引数を「何個目のクエリまで終わったか」とします。 • そして、Queueに(0,q)を入れます。その後、以下のループをQueue の大きさが0になるまで続けます。 • Queueの先頭の第1引数をc1,第2引数をc2とします。 • c2=0となった時点で「全ての処理が終わっている」ので、ループか ら抜けます。 • そのあと、Queueをポップします。
  22. 22. 満点解法2 • 割ってc1になる場合 • c1*a[c2]がqを超えない場合、可能です。(その場合、Queueに (c1*a[c2],c1-1)をプッシュします。 • c1*a[c2]は当然a[c2]で割り切れるので、前から考えると …→a[c2]*c1→c1→…となります。 • 割らずにc1になる場合 • c1がa[c2]で割り切れるとc1→c1/a[c2]に自動的になってしまうので、不 可能です。それ以外の場合、Queueに(c1,c2-1 )をプッシュします。
  23. 23. 満点解法2 • 例えば、a={3,4,6},n=20,q=3のとき、Queueは次のように変化します。 • {(1,3)}⇒ • {(6,2),(1,2)}⇒ • {(24,1),(6,1),(4,1),(1,1)}⇒ • {(18,0),(6,0),(12,0),(4,0),(3,0),(1,0)}となります。 • よって、最終的に残っているのは5通りとなります。枝刈りをしているので、数の 重なりはないです。⇒答えはループから抜けたときのQueueのサイズとなります。 • グレーの部分は枝刈りされたものを示しています。
  24. 24. 満点解法2 • 状態数は最大で2^(q+1)通り、各状態につきO(1)かかるので、 計算量は最大でO(2^(q+1))となります。 • q=24のとき、最大約3000万回の計算が必要ですが、満点解法 1よりは明らかに速いです。 • 私が書いたコードだと、35msで通りました。 • JOIでいう難易度5(満点解法2は6)くらいだと思います。
  25. 25. 結果 • FirstAcceptance:sigma425(8分06秒) • 得点分布
  26. 26. おしまい
  27. 27. C問題 何通りの分割方法がある?
  28. 28. 問題概要 • 整数nが与えられる。 • nを文字列に変換したものをSとする。 • Sをいくつかの部分に分割する。 • それを全て数字に変換するとき、和がD以内でなければならな い。ただし、各数字は0から始まってもよい。 • 何通りの分割方法があるか、求めてください。
  29. 29. 問題概要 • 小課題1(10点) • 通り数は1通り以下である。 • 小課題2(30点) • n≦10,000,000,000を満たす。 • 小課題3(60点) • N≦10^100を満たす。
  30. 30. 例 • 例えば、n=1355,D=50のとき、 • {1,3,5,5}:1+3+5+5=13 • {13,5,5}:13+5+5=23 • {1,35,5}:1+35+5=41 • の3通りの分け方が存在する。 • 答えは、1,000,000,007で割った余りで求めなければならない。
  31. 31. 注意事項 • 小課題3では、n≦10^100と非常に大きいので、C++などでは 整数nを文字列として受け取らなければならない。 • JAVAやC#などでも、BigIntegerという巨大な整数を用いる型を 利用しなければならない。 • 64ビット型整数に収まる整数は最大約9*10^18である。
  32. 32. 小課題1(10点) • 小課題1では、通り数は0か1しかありません。 • 「通り数が1の場合」は、どれか1つの方法が存在するということです。 • 一番和が少なくてできる方法は、1桁ごとに分割するという方法です。 • なぜなら、最初すべて1桁ごとで、ある2つの隣り合った数字を合成 すると、10の位がa,1の位をbとすると、10a-a=9aだけ和が増えてしま います。
  33. 33. 小課題1(10点) • ⇒よって、「各位の数字の和」が考えられる各数字の総和として最 小となります。 • 答えは0か1なので、「各位の数字の和」がD以下ならば「1」、Dを超 えていたら「0」となります。 • 各位の数字の和を求める方法は、整数をまず文字列に変換し、最 初の文字から順番に見ていきます。 • I文字目が「1」であれば1,「 2」であれば2…をsumに加算します。最 終的なsumの値が各位の数字の和となります。
  34. 34. 小課題2(40点) • 小課題1の方法では、答えが2通り以上の場合には対応できま せん。なぜなら、1桁ずつ分割する方法でできる場合、少し2桁 以上の数字を入れても条件を満たす場合があるからです。 • 小課題2(30点)はn≦10^10までです。 • ⇒これを利用できないか? • できます。
  35. 35. 小課題2(40点) • nはせいぜい10桁です。 • 切る場所(=桁と桁の間で分けるか)はTrueかFalseの2通りなので、 2^|n|でできます。 • 実際桁と桁の間は|n|-1個しかないので、2^|n|-1通りを調べ上げる 必要があります。 • 例えば、n=1355,場所={1,0,1}(1=True,0=False)のとき、1番上の位を 0桁目とするとき、0桁目と1桁目で分け、2桁目と3桁目で分けること になります。⇒{1,35,5}の3数に分割されます。
  36. 36. 小課題2(40点) • i=0から2^(|n|-1)まで以下のような操作を繰り返しますが、i桁 目とi+1桁目の間を分けるかどうかを表す変数をb[j]とします。 • b[j]={i/(2^j)}%2(0≦j≦|n|-2)となります。 • 配列bの数値が分かれば、どのようにnが分割されているかもわ かります。 • それが分かれば、分割されている各数字の総和を求めてそれ がD以下であれば答えに1を加算します。
  37. 37. 小課題2(40点) • 例えば、D=50,n=1355で{1,35,5}と分割された場合その総和は41だから答えに1 を加算します。 • 計算量は調べ上げる通り数が2^((nの桁数)-1)通り、1つの分割状態につき • O(nの桁数)かかるので、計算量はO((nの桁数)*2^((nの桁数)-1))となります。 • ここまででは、AOJ1237:Shredding Companyという問題によく似ています。 • n=9,999,999,999のとき、計算量は約5000回となります。 • しかし、n=10^100のとき、計算量は約10^32回となり、明らかにTLEします。
  38. 38. 考察1 • D≦100,000であることを利用できないか? • 1桁目から順に通り数を見ていきDPで解けないか? • どこまで見終わったか、今までの和、通り数と3つの要素が分 かればできるのではないか? •⇒DP(動的計画法)
  39. 39. 満点解法 • 考察でも示しましたが、「どこまで見たか」「今までの和」「通り数」の3つの 要素が必要です。 • 1つ目は|n|以下、2つ目はD以下、3つ目は10億7以下なのでdp[どこまで 見たか][今までの和]として通り数mod 1,000,000,007を格納するのが最適 です。 • メモリはint型10,000,000個だから足ります。 • まず、dp[0][0]=1とします。 • そして、次のページの操作をrep(i,1 ~n),rep(j,0 ~D)として繰り返します。
  40. 40. 満点解法 • dp[i][j]の値を更新するとき、(最初にsum=0に初期化します。) • まず、t=0とします。ループのたびにtに1を足します。 • 10^t*(i-t桁目の値)をsumに足します。 • sumがDを超えるかi-tが0未満になるとループから抜けます。 • dp[i][j]にdp[i-t][i-sum]を足します。これは、i-t桁目までを分割した時 の和がi-sumで、そのあと、t桁分分割せずに数字を「今までの総和」 に足し、そこで(i-1桁目とi桁目の間で)分割するを意味します。
  41. 41. 満点解法 • そこで、1点注意事項があります。 • 0がいくつか続いた後に1がくると、一度に10^20とかいう巨大な数 が足されてしまう可能性があるので、i-t桁目が1以上でかつt≧7の ときループから抜けるようにする必要があります。(オーバーフロー には注意すること。) • 結果は、Σdp[n][i](0≦i≦D)となります。 • n-1桁目(最後の桁)まで見終わるということは「全ての桁を見終わっ た」=「それ以上足されない」ことを意味します。
  42. 42. 満点解法 • 最後に1,000,000,007で割るのを忘れないようにしましょう。 • 計算量は、ループにO((nの桁数)D),一度にO(Dの桁数)くらいかかるので、計算 量はO((nの桁数)*D*(Dの桁数))と見積もれますが、0が続くケースの場合、 • 最大でO((nの桁数)^2*D)となります。定数が1/2くらいつくので制限時間5secな ら間に合います。 • 工夫してdp[i][j]が1以上のときdp[i+t][j+sum]に足す方法でやれば、0が続く場合 でも対処できます。 • この場合、sumはi桁目からi+t桁目までの数字列を1つの数字として表したときの 値となります。
  43. 43. 満点解法 • 想定解は約500msです。 • 工夫してdp[i+t][j+sum]の形でやった場合です。 • ちなみに、小課題1は難易度2,小課題2は難易度5,小課題3は 難易度6~7くらいだと思います。 • コンテストお疲れさまでした。
  44. 44. 結果 • First Acceptance:piroz95(24分43秒) • 得点分布
  45. 45. おしまい
  46. 46. D問題 2016
  47. 47. 問題概要 • 整数nが与えられます。 • n以下の数字の中で約数の個数がが最大となる数の約数の個 数と、この約数の個数を持つ数の中で最小の整数を求めなさ い。 • ただし、最初にクエリの数Qが与えられて、Q回だけ整数nが質 問されることになります。
  48. 48. 問題概要 • 1≦q≦10,000を満たす。 • 小課題1(8点)…1≦n≦10,000を満たす。 • 小課題2(34点)…1≦n≦1,000,000,000を満たす。 • 小課題3(58点)…1≦n≦10^17を満たす。 • 小課題3では特に、オーバーフローに注意すること。
  49. 49. 例 • 例えば、n=100の場合、 • 最大の約数は12個あります。 • 約数が12個の、100以下の整数は、60,72,84,90, 96があります が、60の方が小さいので60の方を出力します。 • 答えは、12と60を空白区切りで出力することになります。(この 場合)
  50. 50. 例 • ちなみに、 約数が最大となる整数は、 以下のように続きます。(高度合成数) 整数 約数個数 整数 約数個数 整数 約数個数 1 1 48 10 840 32 2 2 60 12 1260 36 4 3 120 16 1680 40 6 4 180 18 2520 48 12 6 240 20 5040 60 24 8 360 24 7560 64 36 9 720 30 10080 72
  51. 51. 小課題1(8点) • 自明な探索解で解けます。 • n≦10,000と非常に少ないため、クエリごとに処理する必要はありま せん。 • 最初にn=1,2,3,4…10000のとき約数が何個になるのかを記録した配 列をaとすると、 • a[i]=max(a[i-1],a[i])とします。 • そうすると、nが与えられたとき答えはO(1)で求めることができます。 答えはa[n]です。
  52. 52. 小課題1(8点) • 1つの数字の約数の個数を求めるのにO(n)、かつn個の数字に対してこ れを求める必要があるので、計算量はO(n^2)となります。 • 小課題1でのnの最大は10,000なので、計算量は約1億回です。⇒時間 制限3secであれば間に合います。 • ちなみに、aは下表のようになります。 整数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 もとのa[i] 1 2 1 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 答えのa[i] 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 6 6
  53. 53. 考察1 • n≦1,000,000,000であれば、小課題1の解法であれば明らかに TLEしてしまいます。 • また、配列をを1,000,000,000個も置くと、MLEしてしまうので、ク エリごとに処理する必要があります。 • Q≦1,000なので、1クエリにつき可能な計算量は最大で約 300,000回です。
  54. 54. 考察1 • ⇒約数を全て調べるひまがありません。 • ⇒問題は「約数を最大化しろ」なのでDFSでできるのでは? • 素数を列挙し、掛けていきnを超えるまでつづけるのがいいの では? • 図は次のページを参照してください。
  55. 55. 考察1 素因数の 個数を {2,3,5,7} で表した ものです 。(n=30のとき) {0,0,0,0}=1⇒ {1,0,0,0}=2 ⇒ {2,0,0,0}=4⇒ {3,0,0,0}=8 ⇒ {4,0,0,0}=16⇒ (これ以降は矢 印は省略) {5,0,0,0}=32 {4,0,0,0}=16 {4,1,0,0}=48 {4,0,0,0}=16 {4,0,1,0}=80 {4,0,0,0}=16 {4,0,0,1}=112 {4,0,0,0}=16 {3,0,0,0}=8 {3,1,0,0}=24 {3,2,0,0}=72 {3,1,0,0}=24 {3,1,1,0}=120 {3,1,0,0}=24 {3,1,0,1}=168 {3,1,0,0}=24 {3,0,0,0}=8 {3,0,1,0}=40 {3,0,0,0}=8 {3,0,0,1}=56 {3,0,0,0}=8 {2,0,0,0}=4 {2,1,0,0}=12 {2,2,0,0}=36 のように 続きます。
  56. 56. 小課題1(8点)解法2 • このようにDFSでも解けます。 • 方法としては、 • 素数を{2,3,5,7,11,13…sqrt(n)}くらいまで列挙し、 • nを超えるまで掛け続ける。 • nを超えたら1手前に戻る。 • それでもすべての場合でダメな場合さらに1手前に戻る。 • 約数が最大のときの整数をmin,maxなどを使い求められる。 • 1ページ前を参考にすること。
  57. 57. 小課題1(8点)解法2 • その場合、計算量的にはn≦10,000では間に合います。 • それに少し工夫を加えれば、小課題2が通ります。 • ※注意事項 • DFSは、スタックや再帰を使えば実装できます。
  58. 58. 考察2 • 全探索する必要ないのでは? • そもそも素因数3が0で5が1よりも3を1にした方が数が小さくなり かつ約数の個数も変わらないのでこちらの方が得なのでは? • ⇒一度素因数0の場所が現れたらそれ以降は0なのでは? • ×{3,0,1,0,1…},〇{3,1,1,0,0…}
  59. 59. 小課題2(42点) • 考察2より、次のように全探索することができます。 • 素数を{2,3,5,7,11,13…47}まで列挙します。 • ただし、2*3*5*7*11*13*…*47≒6.14*10^17だから、47までしか 必要がないです。 • 考察1のようにDFSをしますが、個数0からではなく1から探索す るようにします。
  60. 60. 小課題2(42点) • 状態遷移は下のようになります。 状態遷移 {2,3,5}= (数,約数) ⇒は省略 します。 n=30 {0,0,0}=(1,1) {1,0,0}=(2,2) {2,0,0}=(4,3) {3,0,0}=(8,4) {4,0,0}=(16,5) {5,0,0}=(32,6) {4,0,0}=(16,6) {4,1,0}=(48,10) {4,0,0}=(16,6) {3,0,0}=(8,4) {3,1,0}=(24,8) {3,2,0}=(72,12) {3,1,0}=(24,8) {3,1,1}=(120,16) {3,1,0}=(24,8) {3,0,0}=(8,4) {2,0,0}=(4,3) {2,1,0}=(12,6) {2,2,0}=(36,9) {2,1,0}=(12,6) {2,1,1}=(60,12) {2,1,0}=(12,6) {2,0,0}=(4,3) {1,0,0}=(2,2) {1,1,0}=(6,4) {1,2,0}=(18,6) {1,3,0}=(54,8) {1,2,0}=(18,6) {1,2,1}=(90,12) {1,2,0}=(18,6) {1,1,0}=(6,4) {1,1,1}=(30,8) {1,1,2}=(150,12) {1,1,1}=(30,8) {1,1,0}=(6,4) {1,0,0}=(2,2)
  61. 61. 小課題2(42点) • 計算量的にはそれで小課題2には通ります。 • しかし、小課題3では現実的な時間にはなりますが、TLEをして しまいます。 • そこで、さらに考察をする必要があります。
  62. 62. 考察3 • 小課題3では、今までの方法だとTLEします。 • 想定時間は約11secくらいです。 • よく見てみると、{2,3,5}={1,2,0}のようになっている場合があります。 • これを{2,1,0}にスライドした方が数は少なくなり、約数は同じなので こちらの方が効率的 • ⇒{2,3,5,…}を昇順にソートさせたとき一番効率的
  63. 63. 考察3 • つまり、a(2)≧a(3)≧a(5)≧a(7)≧…となるようにプログラムを組 めばよいと考えられます。 • ちなみに、a(n)とは、素数nで何回割れるかということです。 • このようにすれば、さらに時間が短くなります。
  64. 64. 満点解法 • 考察3を利用します。 • 再帰またはDFSの、「何回掛けるか」の範囲を • 1から「前の掛けた回数(1つ前の素数を何回掛けたか)」までにします。 • また、1回nを超えてしまったら、その次の素因数以降探索せずにもう1回 戻るという方法も使えます。(つまり合計2回もどるということ) • 例えば、n=30のとき、次ページのようになります。 • {2,3,5}=(整数,約数)の形で表します。
  65. 65. 満点解法 • 以下のようになります。 {0,0,0}=(1,1) {1,0,0}=(2,2) {2,0,0}=(4,3) {3,0,0}=(8,4) {4,0,0}=(16,5) {5,0,0}=(32,6) {4,0,0}=(16,5) {3,0,0}=(8,4) {3,1,0}=(24,8) {3,2,0}=(72,12) {3,1,0}=(24,8) {3,0,0}=(8,4) {2,0,0}=(4,3) {2,1,0}=(12,6) {2,2,0}=(36,9) {2,1,0}=(12,6) {2,0,0}=(4,3) {1,0,0}=(2,2) {1,1,0}=(6,4) {1,1,1}=(30,8) {1,1,0}=(6,4) {1,0,0}=(2,2) {0,0,0}=(1,1) これだけです。 緑字は2回戻り の途中を表し ます。
  66. 66. 満点解法 • このように、工夫をして計算量を減らすことができます。 • この場合、問題で問われているのは「約数の最大化」なので、 全てを調べ上げる必要はありません。 • このようなアルゴリズムを「ヒューリスティック探索」ともいいます。 • 想定解は約400msです。
  67. 67. 参考問題 • JOI 2009-10予選6 「方向音痴のトナカイ」 • AOJ 0190 「11パズル」 • AOJ ALDS1_13_C 「15パズル」 • AOJ 1128 「square carpets」
  68. 68. 結果 • First Acceptance:nuip(14分47秒) • 得点分布
  69. 69. おしまい
  70. 70. E問題 部分文字列 / Substrings 解説
  71. 71. 問題概要 • 文字列 S が与えられる。 S の部分文字列の合計の文字数を求めなさい。 ただし, 重複するものは 1 通りだけをカウントする。 • 制約 • 1 ≦ |S| ≦ 100,000
  72. 72. 問題概要 • S = "abc" のとき • "a", "b", "c", "ab", "bc", "abc" の 6 個がある。合計は 10文字であ る。 よって, 答えは 10となる。 • S = "aaqqz" のとき • "a", "q", "z", "aa", "aq", "qq", "qz", "aaq", "aqq", "qqz", "aaqq", "aqqz", "aaqqz" の 13個があり, 合計で32文字である。
  73. 73. 部分点解法 (15点) • 部分文字列を全部探索し, 重複しているものを 1 回しかカウントしない。 • 部分文字列は合計で O(|S|^3) 文字あるので, これをソートすると全体の 計算量は O(|S|^3 log |S|) かかる。 • こんなに簡単に 12点が取れます。
  74. 74. 部分点解法 (50点) • 部分文字列は合計で O(|S|^2) 個しかないので, 文字列を数値に変換す ればソートに O(|S|^2 log|S|) しかかからない。 • そのようなアルゴリズムをハッシュという。(確率的だが, 99.9%くらい正確と 思っといたほうがいい) • 長さ k の文字列の場合, の v の値をハッシュ値とする。unsigned long long型で mod 2^64 を取るのが一 般的。 • 全体の計算量は O(|S|^ 3)
  75. 75. 部分点解法 (50点) • Rolling-Hash という方法で S の部分文字列のうち長さ N のもののハッ シュ値を O(|S|) で求めることができる。 • 分からない方は蟻本やインターネットのページを参考にしてください。 • 全体の計算量は O(|S|^2 log |S|)
  76. 76. Suffix Array, LCPについて • Suffix Arrayとは? • Suffix Arrayとは, 文字列 S の接尾辞をソートしたものである。接尾辞配 列 A[i] は (Sの文字数) - (ソートした時の i 番目の接尾辞の文字数) で ある。 • 詳しくは蟻本やインターネットを参照。 • これは で求められる。
  77. 77. Suffix Array, LCPとは? • たとえば, S = "E869120" のとき, • 接尾辞配列は右のようになる。 • それを使って, LCPというものを • O(|S|) で求められるようになる。 • LCPについては次ページで。 i Suffix A[i] 0 (空文字列) 7 1 0 6 2 120 4 3 20 5 4 69120 2 5 869120 1 6 9120 3 7 E869120 0
  78. 78. Suffix Array, LCPとは? • Suffixをソートした時の i 番目の文字列をSuffix[i] とする。 • LCP[i] = (Suffix[i-1] と Suffix[i] の最初の何文字が同じか) • LCPについても蟻本やインターネットに載っているので参考にしてくださ い。
  79. 79. 満点解法 • S = "AAQQZ" のとき i Suffix LCP 重複している文字列 重複していない文字列 1 AAQQZ 0 0個 A,AA, AAQ, AAQQ, AAQQZ 2 AQQZ 1 1個 (A) AQ, AQQ, AQQZ 3 QQZ 0 0個 Q, QQ, QQZ 4 QZ 1 1個 (Q) QZ 5 Z 0 0個 Z
  80. 80. 満点解法 • S = "AAQQZ" のとき • 同じになっている! i Suffix LCP 重複している文字列 重複していない文字列 1 AAQQZ 0 0個 A,AA, AAQ, AAQQ, AAQQZ 2 AQQZ 1 1個 (A) AQ, AQQ, AQQZ 3 QQZ 0 0個 Q, QQ, QQZ 4 QZ 1 1個 (Q) QZ 5 Z 0 0個 Z
  81. 81. 満点解法 • それを利用して通すことができる • 計算量は O(| S| log^2 |S|) なので間に合う
  82. 82. 結果 • First Acceptance … climpet(6分51秒) • 得点分布
  83. 83. Range Sum Queries 解説
  84. 84. 問題概要 • 長さ a の数列 が に初期化されて いる。 • 次の操作を c 回行う。 • とする。 • 最終的な の値を mod 1,000,000,007 で求めなさい。
  85. 85. 問題概要 • 制約 • 1 ≦ a ≦ 100,000 • 1 ≦ b ≦ 1,000,000,000 • 1 ≦ c ≦ 1,000,000,000
  86. 86. 問題概要 • の時 • よって, 求める答えは58となります。 • 58って, 素晴らしい数ですね。 (rng_58, sky58のようなプロも使っている) d[0] d[1] d[2] d[3] 最初 1 3 9 27 1回目終了後 1 4 13 40 2回目終了後 1 5 18 58
  87. 87. 0点解法 • 問題文の通りそのままやる • 1回の操作につき かかる • 全体の計算量は • a, b,c が 1,000であることを考えるとTime Limit Exceededしてしまう。
  88. 88. 部分点解法(12点) • もっと高速化する方法はないか? • 実は, d[i] を求める時にd[i-1] の値を利用できる • (右辺は current ) • ⇒ • 計算量は O(ac)なので小課題1には通る
  89. 89. 部分点解法(12点) の補足 • DP(Dynamic Programming ) でも解けます • JOI2006-2007 予選 6問目 「通学経路」 のように DPしていくとできます • 漸化式は dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1] のような感じですね • この方法でも12点は取れます。
  90. 90. 考察1 • でも, この問題には JOIの 「通学経路」 のように障害物はありません • AtCoder Beginner Contest 034 C問題 「経路」 のような場合です • 「経路」 という問題は, 組み合わせ (nCr) を用いた解法で101点取れます • そこで, H×W の経路の総数について考えてみましょう
  91. 91. 考察1 • 縦に進む時をX, 横に進む時をYとする。 • そのとき, XがH個, YがW個 あります。 • 経路の総数は, H+W個のなかからH個を選ぶので 通りとなります。
  92. 92. 考察1 • 次に, を O(n) で求める方法を紹介します。 • フェルマーの小定理を用いて ということが分 かります。その解を 「a の逆元 (mod inverse)」 といいます。 • なので, n! を O(n) で求めて逆元をO(log n) で求めれば結 果として計算量は O(n) となります。
  93. 93. 考察1 • この問題にも nCr を使うことができます。 • 9 という数字について考えると, 1×1の場合と同じ2通りの経路があり, 最終的な 答えに9×2=18 を足していることが分かります。 d[0] d[1] d[2] d[3] 最初 1 3 9 27 1回目終了後 1 4 13 40 2回目終了後 1 5 18 58
  94. 94. 部分点解法(60点) • 最初に説明した例の場合, 答えは であり, 58 となります。 • しかし, そのままでは nCr を求めるのにO(n) かかってしまいます。 • k! を 1 から n までメモ化することによってO(log n) で済みます。 • よって, 全体的な計算量は mod p のとき 約 O(c + a log p) となります。 小課題2には通ります。
  95. 95. 満点解法 • n が大きい場合の nCr をどのように求めるか? • を使えばO(r) で求められます • では, どのようにして を求めるのか? • 上の方法を利用すれば で求められる。 • もっと高速化する方法はないか?
  96. 96. 満点解法 • であるから, その関係について 調べてみると,...
  97. 97. 満点解法 • それを順番に求めていくと, O(a log p) ですべて求められます。 • よって, O(a log p) でこの問題を解くことができます。 • この問題は少し数学的な知識が必要かもしれませんが, 蟻本に載ってい る程度なので解けなかった人はマスターしましょう。
  98. 98. nCr を利用する問題 • 以下, 私がお勧めする nCr を用いる問題です。 • ProjectEuler 015「Lattice Paths」 • AtCoder Beginner Contest 034 C問題 「経路」 • AtCoder Beginner Contest 022 D問題 「多重ループ」 • AOJ 2335 「10歳の動的計画」 • AOJ 2445「Minimum Cost Path」
  99. 99. 結果 • First Acceptance… snuke(25分10秒) • 得点分布
  100. 100. G問題 道とN個のAtcoder社
  101. 101. 問題概要 • N個のAtcoder運送会社の工場が存在する。 • その座標は(xi,yi)である。(入力される。) • 工場と工場を結ぶ道をできるだけ建設したいが、工場以外で 道と道は交差してはならない。 • 最大で何個の道を建設できるか求めなさい。
  102. 102. 問題概要 • 小課題1(14点)…1≦n≦4を満たす。 • 小課題2(50点)…1≦n≦100を満たす。 • 小課題3(36点)…1≦n≦2,000を満たす。 • どの小課題でも、3工場は一直線上に並ばない。 • また、0≦xi,yi≦1,000,000,000である。
  103. 103. 例 • n=4,座標={(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)}のとき、 • 最大で5本の道を建設できる。
  104. 104. 小課題1(14点)解法1 • 自明な探索解です。 • n≦4のとき、線は最大で6本しか引くことができません。 • よって、どことどこが結ばれているか、2^6通りを列挙する方法でで きます。 • 結ばれている線に交差がない場合、 • maxn=max(線の本数,maxn)とします。 • 答えは、maxnの値になります。
  105. 105. 小課題1(14点)解法2 • 貪欲でも解けます。 • まず、n=1のとき、道は0個建てられます。 • 次に、n=2のとき、道は1個建てられます。 • 次に、n=3のとき、3工場が三角形の形になるため、道は3個建てら れます。 • 次に、n=4のとき、道が5個建てられる場合、6個建てられる場合の2 通りに分かれます。
  106. 106. 小課題1(14点)解法2 • ある3点を選んで、残りの1つの点が3つの点からできる三角形 に囲まれる場合、道は6個建てられます。 • どのように3点を選んでも囲まれない場合、道は5個しか建てら れません。 • 次のページの図を参照してください。
  107. 107. 小課題1(14点)解法2 • 道が6本のとき/道が5本のとき(実際は工場は点として考える)
  108. 108. 考察1 • 小課題2は、1≦n≦100です。 • 小課題1と比べて、nが一気に大きくなるので、到底全探索だと間に 合いません。 • 多項式時間で求めるとしても、O(n^4)程度またはそれ以下で求める 必要があります。 • ⇒解法としてはGreedyが考えられます。 • 辺の本数の最大を求めるのでDPではできにくいです。
  109. 109. 考察1 • 三角形を作ります。 • 道をn*(n+1)/2通り列挙し、その時点で道が引けるならば道を 建て、引けないならば道を建てません。 • 証明としては、三角形の辺をつながるところにどのように移動し たとしても、四角形を作ることはできないからです。 • ⇒道の数は四角形をなくし、三角形だけにしたときに最大
  110. 110. 考察1の図 • 四角形がある図/三角形しかない図
  111. 111. 考察1の図 • 辺の移動⇒新しく四角形は現れない
  112. 112. 小課題2(64点) • 考察1のようにやればよい • ⇒{a,b}を結ぶ道は条件を満たすか(交点がないか)を求めるクエリとする • {a,b}=0のとき結べない、1のとき結べるとする • ⇒{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}…{1,n},{2,3},…{2,n},{3,4}…というように、全て の辺を順に調べる • この段階で{a,b}=0のときこの道は結ばない、{a,b}=1のとき結ぶ • このような方法でやると、無駄な四角形の部分がなくなる
  113. 113. 小課題2(64点) • {a,b}を求めるのに最大でO(n^2)かかります。 • 実際は線分の数は大体nに比例し、平均で3nくらいになります。 • そして、{a,b}はn^2回呼び出すので、最大でO(n^4)となります。 n=100の場合、定数が(½)*(½)=(¼)くらいつくので、約2500万 回⇒間に合います。 • しかし、n=2000のときはTLEしてしまいます。
  114. 114. 考察2 • どのような順序で調べてもよいが、線分の交差判定をしている時間 が無駄 • ⇒何が使えるか? • 方法としては、外から順番に道を引いていくが、印をつけた点を除 く点集合のConvex_Hullの周りは全て道で囲むことができる • そして、Convex_Hullになった点は印をつける • これを繰り返していけば、最終的にすべての点に印がつく
  115. 115. 考察2 • 以下のような図になる。(左⇒右)
  116. 116. 考察2 • 前の図で、2つのConvex_Hullで囲まれた凸多角形の間にも辺 が結べる • それに対して全探索をする場合、前よりは計算量は落とせるが 小課題3は通らない • 2つの凸多角形の間に何本の点が引けるのかを高速に求めた い
  117. 117. 考察2 • これは以下のようになる。 • a頂点からなる凸多角形とb頂点からなる凸多角形の場合 • ただし、前者の方が外側とする。 • b=1のとき、a個の道が建てられる。 • b≧2のとき、a個の道が建てられる。 • 証明は、次のページを参照してください。
  118. 118. 考察2の証明 • まず、b=1のときb側の頂点からa側の頂点に1つずつ道が引けるの で、合計でa個道が引けます。 • そして、b≧2(a≧b)のとき、交点ができないようにa側の点から1つず つ道を引くと、b個の四角形ができます。 • ただし、n角形は四角形n-3個分とします。 • 四角形1つにつき1本追加で道が引けるので、追加で道をb個建て ることができます。よって、合計でa+b個の道を建てられます。 • a≦bのときもaとbを逆転すれば証明できます。
  119. 119. 考察2の証明 • b=1のとき/b≧2のときは以下の図のようになります。
  120. 120. 満点解法 • 考察2を利用して解けます。 • 解法としては、Convex_Hullを求めて、その点集合に印をつけ ます。そのとき、sumに点集合の数を加算します。 • そして、このConvex_Hullが2つ目以降の場合、1つ前の Convex_Hullの点集合と結べる道の数をsumに加算します。 • sumの最終的な値が答えとなります。
  121. 121. 満点解法 • 考察2の証明の右のほうの図では、答えは4+3+7=14個となり ます。 • 計算量は、Convex_Hullを求めるのに最大でO(n^2 logn)かかり、 sumに加算するのに最大でO(n)かかるため、計算量は最大で O(n^2 logn)となります。 • n=2,000のとき、計算量は最大で約4,000万回⇒間に合います。 よって、合計100点が得られます。
  122. 122. 満点解法 • この問題は、H問題と同じくらい、このsquare869120Contest#2 で1,2を争うくらい難しい問題だと思います。 • ちなみに、私は考えるのに2日間もかかってしまいました。 • 想定解は66msです。 • JOIの難易度表でいう難易度10くらいでしょう。
  123. 123. 結果 • First Acceptance:DEGwer(18分07秒) • 得点分布
  124. 124. おしまい
  125. 125. H問題 Counting 1's 解説
  126. 126. はじめに • square869120Contest #2 にご参加いただきありがとうございます。 • 私は解法を考えるのに 2 日かかりましたが, G問題はもっとかかりました。 • 問題を考えてから思ったんだけど, JAGAsia 2012 にも Counting 1's とい う問題があったが, 全然違う問題である。そもそもJAGの方のCounting 1'sは難易度が高すぎます。
  127. 127. はじめに • E869120, square1001の2人で合計20-30問くらい (約 10-15問ずつ) の 問題の候補を出しましたが, 2人で話し合って合計8問 (4+4) を厳選しま した。そして, この8問を出すことにしました。 • 解法を考え終ってからいざ実装すると約40行で書けてしまって 「えっ、こ れが H 問題なのか?」 と思いました。
  128. 128. 問題概要 • 長さ N のビット列 a[0], a[1], a[2],...a[N-1] があり, 0 で初期化されている。クエ リが Q 個与えられ, 次の 2 つの処理のどちらかを行う。 • Query 1: 区間 [l, r) のビットをすべて反転させる • Query 2: 区間 [l, r) のビットが 1 であるものの個数を数える • 制約 • 1≦N≦100,000 • 1≦Q≦100,000
  129. 129. 問題概要 • N=8 , Q=4 のとき (入力例1) i 0 1 2 3 4 5 6 7 a[i] 0 0 0 0 0 0 0 0
  130. 130. 問題概要 • N=8 , Q=4 のとき (入力例1) • Query 1: 区間 [3, 7) のビットを反転させる i 0 1 2 3 4 5 6 7 a[i] 0 0 0 1 1 1 1 0
  131. 131. 問題概要 • N=8 , Q=4 のとき (入力例1) • Query 2: 区間 [2, 5) のビットが1のものの個数を求める ⇒ 2 i 0 1 2 3 4 5 6 7 a[i] 0 0 0 1 1 1 1 0
  132. 132. 問題概要 • N=8 , Q=4 のとき (入力例1) • Query 1: 区間 [2, 4) のビットを反転させる i 0 1 2 3 4 5 6 7 a[i] 0 0 1 0 1 1 1 0
  133. 133. 問題概要 • N=8 , Q=4 のとき (入力例1) • Query 2: 区間 [1, 6) のビットが1のものの個数を求める ⇒3 1 0 1 2 3 4 5 6 7 a[i] 0 0 1 0 1 1 1 0
  134. 134. 部分点解法(8点) • 何も工夫をしないでやります。 • 1つのクエリに対して O(N) で処理します。 • 全体の計算量は O(NQ) • ⇒これだけで 8 点もらえる !
  135. 135. 部分点解法 (16点) • 制約 • 1≦N≦100,000 • 1≦Q≦100,000 • Query 2 は 1,000 個以内 • そのままでは Query 1 にO(N), Query2 にO(N) かかっているので間に 合わない • Query1 の実行速度を速くするためにはどのような方法を使えばよいか?
  136. 136. 部分点解法 (16点) • 次のようなクエリに置き換えることもできる • Query 1: 区間 [l, r) に 1 加算する • Query 2: 区間 [l, r) の中で 2 で割ると 1 余るようなものの数を求める • 「いもす法」 という方法を使うと Query1 が O(1) でできる
  137. 137. 部分点解法 (16点) • 「いもす法」 とは? • Query 1: 区間 [l, r) に対してa[i] += x とする • Query 2: a[0], a[1], ... a[n-1 ] の値を求める • Query 1 を O(1 ) で, Query2 を O(n) ですることができる。
  138. 138. 部分点解法 (16点) • Query 1: s[l] += x, s[r] -= x とする • Query 2: a[i] = a[i-1] + s[i] である • そのように, 累積和を応用するだけでそのようなクエリ処理ができる。 • ⇒Query 1 に O(1),Query 2 に O(N) かかる • ⇒小課題 2 には通る
  139. 139. 部分点解法 (52点) • 52 点をとれる解法が思いつかなかったので, 52点解法につての解説は しません。 • 100 点解法はもちろんわかってますよ !
  140. 140. 満点解法 • ここではまず, 「平方分割」 という方法について説明する。 • 例として, 次のようなクエリを処理する問題を考えてみよう。 • 数列が 0で初期化されている • Query 1: a[i] = x とする • Query 2: 区間 [l, r) の最大値を求める • 平方分割という方法を使えば, Query 1, Query2 ともに で求められ る
  141. 141. 満点解法 • N = 9 のとき 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
  142. 142. 満点解法 • Query 1: a[4] = 3 とする 3 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0
  143. 143. 満点解法 • Query 1: a[2] = 5とする • ⇐ 5, 3, 0 の最大値は 5 • ⇑ • ⇐ 0, 0, 5 の最大値は 5 • ⇑ • ⇐ a[2] = 5 とする 5 5 0 0 5 3 0 3 0 0 0 0 0
  144. 144. 満点解法 • Query 2: 区間 [2, 8) の最大値を求める • ⇒ 赤い部分の最小値を求めればよい 5 5 0 0 5 3 0 3 0 0 0 0 0
  145. 145. 満点解法 • そのようにすれば, Query1 を で終わらせることができる ! • 実際には, Query 1 には O(1) しかかかっていない
  146. 146. 満点解法 • 各ノードに 「ノードが示す区間に 1 が何個含まれているか」 を記録する ことができればよい • 区間 [l, r) のビット列を反転させると, 1 の個数は (r–l) - 「区間 [l, r) の 1 の個数」 となる • では, 実際にやってみよう ! • まず, 最初は1つのノードが示す値について調べてみます。
  147. 147. 満点解法 • Query 1: 区間 [2, 3) のビット列を反転させる 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
  148. 148. 満点解法 • Query 1: 区間 [3, 6) のビット列を反転させる 4 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0
  149. 149. 満点解法 • Query 1: 区間 [0, 3) のビット列を反転させる 5 2 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0
  150. 150. 満点解法 • Query 1: 区間 [3, 4) のビット列を反転させる 4 2 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0
  151. 151. 満点解法 • Query 1: 区間 [4, 5) のビット列を反転させる • ⇒青い部分が O(1) では 1, 3 のどちらになるのか分からない 4 2 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 0
  152. 152. 満点解法 • 各ノードに 「ノードが示す区間の 1 の個数」 だけを配列に保存すると高 速に動作しない • そこで方法を考えてみよう。 • ノードAを反転させるとき, ノード A の子の 「ノードが示す区間の 1 の個 数」 は 「反転」 する。 • このことを利用するべきではないか?
  153. 153. 満点解法 • 各ノードに 2 つの値を記録すればよい • 区間に含まれる 1 の個数 (完全ではない) • 各ノードが何回反転されたか • では, 実際にやってみよう !
  154. 154. 満点解法 • Query 1: 区間 [2, 3) のビット列を反転させる [1, 0] [1, 0] [0, 0] [0, 0] [1, 1] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0]
  155. 155. 満点解法 • Query 1: 区間 [3, 6) のビット列を反転させる [4, 0] [1, 0] [0, 0] [0, 0] [1, 1] [3, 1] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0]
  156. 156. 満点解法 • Query 1: 区間 [3, 4) のビット列を反転させる [3, 0] [1, 0] [0, 0] [0, 0] [1, 1] [2, 1] [1, 1] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0]
  157. 157. 満点解法 • 今 [2, 1] となっているノードに注目しよう。そのノードの子である [1, 1] と なっているノードは, 0 から 1 になっている (1 加算されている) が, その ノードは 1 減算されている。なぜなら, そのノードは 1 回反転されている ため 「1 から 0 になった」 とみなしているからである。
  158. 158. 満点解法 • Query 1 は, 各ノードに対して O(1) で処理できることが分かった。 • 次に, Query 2 についてやってみよう。
  159. 159. 満点解法 • Query 2: 区間 [3, 6) の 1 の数を求める • ⇒上のノードで全く反転されていないので, 2 である。 [3, 0] [1, 0] [0, 0] [0, 0] [1, 1] [2, 1] [1, 1] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0]
  160. 160. 満点解法 • Query 2: 区間 [4, 5) の 1 の数を求める • ⇒青い部分が反転されていることを考えると, 求めるノードも反転されているの で, 1-0=1 個である。 [3, 0] [1, 0] [0, 0] [0, 0] [1, 1] [2, 1] [1, 1] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0] [0, 0]
  161. 161. 満点解法 • 区間は, 程度のノードの集合としてあらわされる。 • N=9 で, 区間 [2, 7) を表すとき, [2, 3), [3, 6), [6, 7) に処理をしていけ ばよい • Query 2 の場合は, その合計を求めればよい • 全体の計算量は
  162. 162. 満点解法 • SegmentTreeを使って同様の処理をすることもできる • 平方分割は, 3段になっていて, 1つのノードの子が √(n) 個ある。 • Segment Tree は, logn 段になっていて, 1つのノードの子が logn 個ある。 • 同じような方法で, Query1, Query2 を処理できる。
  163. 163. 満点解法 • Segment Tree を使うと, • Query 1 … • Query 2 … • n が大きくなると, SegmentTree の方が実行速度は速い。 • n = 100,000程度の時は, Segment Treeと平方分割がだいたい同じ速度 になる。
  164. 164. 満点解法 • ちなみに, 私が最初に思い付いた解法がSegment Treeによる解法で, 実 装は本当に簡単でした。 • 平方分割による解法はコンテスト 5 日前に思い付きました。
  165. 165. 結果 • First Acceptance … yosupo(5分13秒) • 得点分布

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