1. Gambaran Singkat
PENDAHULUAN • Matematika Diskrit, juga dinamakan finite mathematics,
Matematika Diskrit adalah studi tentang matematika yang membahas obyek
diskrit, di dalamnya tidak mendukung atau membutuhkan
notasi dari bentuk kontinyu. Semua obyek yang dipelajari
merupakan bentuk matematika terbatas seperti countable
sets, integers, finite graphs, and formal languages.
• Beda Diskrit dan Analog
Mengapa Belajar Matematika
Gambaran Singkat
Diskrit
• Pondasi untuk Mata Kuliah VI. Diantaranya Teori Graph
• Macam problem yg dpt dipecahkan dgn Matematika digunakan pada MK Jaringan, Sistem Operasi. Teori
diskrit: Himpunan dan Relasi digunakan dalam Rekayasa
Perangkat Lunak dan Basis Data
– Berapa banyak alamat internet valid yg mungkin pd suatu
sistim komputer? • Untuk Memahami Teknik Komputational Lebih Lanjut,
– Bagaimana memetakan generik manusia? (Genome mahasiswa harus mempunyai dasar yang kuat, yang
project) salah satunya didapat dari Matematika Diskrit.
– Berapa probabilitas menang suatu undian? Contoh :
– Apakah ada link antara dua komputer dlm suatu network? Berapa banyak alamat internet valid yg mungkin pd suatu sistem
– Bagaimana mengatur jadwal take-off/landing/parkir pswt di komputer?
bandara? • Latarbelakang utk memecahkan problem dalam riset
– Bagaimana menentukan lintasan terpendek antar kota? operasi, kimia, teknik, biologi, telekomunikasi.
– Bagaimana mengurutkan suatu kumpulan data?
Materi Perkuliahan: Materi Perkuliahan:
• Fungsi, Relasi, dan Himpunan • Metode Pembuktian
– Fungsi (surjections, injections, Invers, Komposisi)
– Lambang dari implikasi, konversi, inversi,
– Relasi (Relasi Refleksi, Simetri, Transitif, Ekuivalen)
– Himpunan (Diagram Venn, Komplemen, Produk Kartesian, Kekuatan kontrapositif, negasi dan kontradiksi.
Himpunan) – Struktur Pembuktian Normal
• Dasar-dasar Logika – Pembuktian Langsung
– Proposisi
– Bukti dengan counterexample
– Operasi Logika
– Tautology dan Kontradiksi – Bukti dengan Kontraposisi
– Konversi, Kontrapositif & Invers – Bukti dengan Kontradiksi
– Ekspresi Logika
– Induksi Matematis
– Predikat & Kuantifier
– Aturan Inferensi – Induksi Kuat
– Modus ponens and modus tollens – Definisi Matematik untuk Proses Rekursi
1

2. Materi Perkuliahan: Materi Perkuliahan:
• Dasar-dasar Pencacahan (Counting) • Graph dan tree
– Pernyataan Pencacahan – Tree
• Aturan Penjumlahan dan Perkalian – Graph Tidak Berarah
• Prinsip Inklusi-Eksklusi
• Progress Arithmetic and geometric – Graph Tidak Berarah
• Deret Fibonacci – Spanning trees
– Prinsip Sarang Merpati – Strategi Kunjungan (Traversal)
– Permutasi dan Kombinasi • Peluang Diskrit
• Definisi Mendasar
• Identifikasi Pascal – Ruang Probabilitas Terbatas, Ukuran
• Teorema Binomial Probabilitas, Kejadian
– Penyelesaian Relasi Berulang – Probabilitas Conditional, independence,
• Contoh Umum Teorema Bayes'
• Teorema Master – Integer random variables, expectation
Pustaka
• Rinaldi Munir, Matematika Diskrit,
Informatika Bandung, 2001
• Seymour Lipschutz, Discrete Mathematics,
McGraw-Hill, 1997 Kalkulus Logika & Proposisi
• Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics
and its Applications
Pendahuluan Proposisi & Proposisi Gabungan
Banyak argumen dalam matematika dan algoritma Proposisi (atau pernyataan) adalah kalimat deklaratif yang
bernilai benar atau salah. Perhatikan contoh 8 kalimat di
dalam ilmu komputer yang menggunakan ekspresi bawah ini:
logika, seperti: i. Paris berada di Perancis
• IF p THEN q ii. 1+1=2
iii. 2+2=3
• IF p1 AND p2 THEN q1 OR q2
iv. London berada di Denmark
v. 9<6
Dari pernyataan logik ini penting bagi kita untuk vi. X = 2 adalah satu-satunya solusi untuk x2 = 4
mengetahui faktor kebenaran ekspresi (benar atau vii. Kemana kamu pergi?
salah). viii. Kerjakan tugasmu!
Semua kalimat di atas proposisi kecuali kalimat vii dan viii.
Proposisi i, ii, vi bernilai benar dan iii, iv, v bernilai salah.
2

3. Proposisi Gabungan Operasi Logika Dasar
Beberapa proposisi dapat digabungkan, Konjungsi:
dinamakan proposisi gabungan. Berikut ini contoh Dua proposisi dapat digabungkan dengan
menggunakan kata hubung “dan”, dinamakan konjungsi.
proposisi gabungan: Dinotasikan:
i. “Mawar berwarna merah dan Violet berwarna biru”, p∧q
adalah gabungan dari proposisi “Mawar berwarna Nilai kebenaran : Jika p dan q bernilai benar, maka p ∧ q
merah” dan “Violet berwarna biru” bernilai benar, jika tidak, maka p ∧ q bernilai salah.
ii. “Ahmad adalah mahasiswa yang pandai dan Contoh:
belajar setiap malam” adalah gabungan dari – Paris berada di Perancis dan 2 + 2 = 4
“Ahmad adalah mahasiswa yang pandai” dan – Paris berada di Perancis dan 2 + 2 = 5
“Ahmad belajar setiap malam” – Paris berada di Inggris dan 2 + 2 = 4
– Paris berada di Inggris dan 2 + 2 = 5
Operasi Logika Dasar Operasi Logika Dasar
Disjungsi: Negasi:
Dua proposisi dapat digabungkan dengan Operasi ini ditandai dengan kata tidak/bukan atau
menggunakan kata hubung “atau”, dinamakan disjungsi. bukanlah suatu kenyataan. Dinotasikan:
Dinotasikan: ~p
p∨q Nilai kebenaran : Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai
Nilai kebenaran : Jika p dan q bernilai salah, maka p ∨ q salah, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.
bernilai salah, jika tidak, maka p ∨ q bernilai benar. Contoh:
Contoh: – Paris berada di Perancis.
– Paris berada di Perancis atau 2 + 2 = 4 – Bukanlah suatu kenyataan bahwa Paris berada di Perancis.
– Paris berada di Perancis atau 2 + 2 = 5 – Paris tidak berada di Perancis.
– Paris berada di Inggris atau 2 + 2 = 4 – 2 + 2 = 4.
– Paris berada di Inggris atau 2 + 2 = 5 – Bukanlah suatu kenyataan bahwa 2 + 2 = 5.
– 2 + 2 ≠ 5.
Tabel Kebenaran
Latihan
Operasi Logika Dasar
p q p∧q p q p∨q
B B B B B B Buatlah tabel kebenaran dari:
B S S B S B • ~p∨q
S B S S B B • ~(p∧~q)
S S S S S S • (p∧q) ∨ (~p∨~r)
p ~p
B S
S B
3

4. Tautologi & Kontradiksi Hukum Aljabar Operasi Proposisi
• p∨p ≡ p
p∧p ≡ p (Hukum Idempotent)
• Tautologi adalah operasi yang selalu • (p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)
menghasilkan nilai benar (p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r) Hukum Assosiatif
p∨q ≡ q∨p
Contoh : p∨~p, (p∧q) ∨ (~p∨~q) •
p∧q ≡ q∧p Hukum Komutatif
• Lawan dari tautology adalah Kontradiksi, yaitu • p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)
operasi yang selalu menghasilkan nilai salah p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r) Hukum Distributif
• p∨S ≡ p, p∨B ≡ B
Contoh : p∧~p p∧B ≡ p, p∧S ≡ S Hukum Identitas
• p∨~p ≡ B, p∧~p ≡ S
~B ≡ S, ~S ≡ B Hukum Komplemen
• ~~p ≡ p Hukum Involusi
• ~(p∨q) ≡ ~p∧~q Hukum De Morgan
~(p∧q) ≡ ~p∨~q
Tabel Kebenaran
Conditional dan Biconditional Conditional dan Biconditional
p q p→q p q p↔q
Kondisional ditandai dengan kalimat “Jika p B B B B B B
maka q”, dinotasikan: B S S B S S
p→q S B B S B S
Bikondisional ditandai dengan kalimat “p jika S S B S S B
dan hanya jika q”, dinotasikan:
p q ~p ~p∨q
p↔q
B B S B
B S S S
S B B B
S S B B
Argument
Argument adalah kesimpulan dari beberapa proposisi
P1, P2, … , Pn. Argument dinotasikan dengan:
P1, P2, … , Pn Q
Contoh Argument:
P1: Jika seorang laki-laki masih bujang, maka dia tidak bahagia
P2: Jika seorang tidak bahagia, maka dia mati muda
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Q : Jika seorang laki-laki masih bujang, maka dia mati muda
4