2. Definizione di algoritmo
Un algoritmo è un insieme finito ed ordinato di passi non
ambigui, che specificano le operazioni eseguendo le quali si
risolve una classe di problemi
Il termine algoritmo, che significa “procedimento di calcolo”, è
una versione moderna del termine latino medievale algorismus.
Il termine algorismus deriva dal matematico persiano Al-
Khwarizmi, del IX secolo d.C.
In altre parole, un algoritmo è la descrizione precisa di un
procedimento valido per la risoluzione di un problema
attraverso un numero finito di passi. Un problema risolvibile
mediante un algoritmo si dice computabile
3. Il primo algoritmo
Il primo algoritmo di cui si abbia
documentazione si trova nel papiro
egiziano di Ahmes, risalente circa al
1650 a.C. e conservato al British
Museum di Londra
Il papiro contiene un algoritmo per
la moltiplicazione. Tale algoritmo
viene usato tuttora nei circuiti delle
unità aritmetico/logiche dei
calcolatori elettronici
4. Proprietà degli algoritmi
Le proprietà principali di un algoritmo sono:
finitezza; l'algoritmo deve essere composto da un numero
finito di passi
non ambiguità; i passi costituenti l'algoritmo devono essere
interpretabili in modo univoco dall'esecutore sia esso umano o
artificiale
terminazione; l'esecuzione deve terminare dopo un tempo
finito
eseguibilità; gli informatici utilizzano il termine efficace per
indicare il concetto di essere eseguibile.
5. Natura astratta degli algoritmi
Distinzione tra algoritmo e la sua rappresentazione
Tale distinzione è analoga a quella tra una storia e un libro. Una
storia è astratta o concettuale; mentre, un libro è una
“rappresentazione fisica” della storia. Allo stesso modo, un
algoritmo è astratto e distinto dalla sua rappresentazione
Distinzione tra programma e processo
Un programma è la rappresentazione di un algoritmo; mentre, un
processo è l'attività di esecuzione di un algoritmo.
Programmi, algoritmi e processi sono entità distinte, ma correlate.
6. Rappresentazione algoritmica
Primitive
Lo stesso algoritmo può essere rappresentato in vari modi:
formula, sequenza di istruzioni, disegno, a parole...
a diversi livelli di astrazione
Esempio: a destra è riportato un
algoritmo, che usa il linguaggio
delle figure, per costruire un
uccello con un pezzo di carta
quadrato
7. Rappresentazione algoritmica
Primitive
Tuttavia, molti canali di comunicazione presentano spesso una
terminologia che ha più di un solo significato
nascono così problemi di comunicazione
Ogni rappresentazione si basa su un insieme di primitive ben
definite, comprensibili dall'esecutore
Se l'esecutore è un computer, una collezione di primitive per
descrivere un algoritmo, insieme alle regole per comporle,
costituisce un linguaggio di programmazione
Ogni primitiva ha una propria sintassi (rappresentazione
simbolica) e semantica (significato)
8. Pseudocodice
Permette una rappresentazione informale degli algoritmi
È un linguaggio di programmazione fittizio, non direttamente
comprensibile da un programma compilatore o interprete
La progettazione di questo tipo di formalismo è volta alla
comprensibilità e alla leggibilità del codice; la sintassi sarà
quindi meno rigorosa rispetto ad un vero linguaggio
9. Primitive dello pseudocodice
Assegnamento
Sintassi:
nome espressione
Effetto: “associa” a nome il valore ottenuto valutando
espressione. Successivamente nome può essere usato per
richiamare quel valore
Possiamo pensare a nome come ad una scatola (cella di
memoria) in cui mettiamo il valore
10. Primitive dello pseudocodice
Selezione condizionale
Sintassi:
If condizione then azione else azione
Significato: Si valuta la condizione
Se il risultato è true si esegue l'azione dopo then
Se il risultato è false si esegue l'azione dopo else
Esempio:
if (l'anno è bisestile) then (totaleGiornaliero ← totale/366)
else (totaleGiornaliero ← totale/365)
11. Primitive dello pseudocodice
Iterazione
Sintassi:
while condizione do attività
Significato: Si valuta la condizione
Se il risultato è true si esegue l'attività, quindi si
riesegue tutto il while
Se il risultato è false si termina l'esecuzione
Esempio:
while (ci sono biglietti da vendere) do (vendi un biglietto)
12. Primitive dello pseudocodice
Procedure
Una procedura associa delle azioni da eseguire a un nome. E'
come definire una nuova primitiva.
Esempio:
procedure Saluti
contatore ← 3
while (contatore > 0) do
(stampa il messaggio “Saluti”;
contatore ← contatore - 1)
Effetto procedura: stampa tre volte la stringa “Saluti”
13. Primitive dello pseudocodice
Procedure
L'importanza e la praticità di una procedura sta nel fatto che
può essere “chiamata” in diversi punti del programma
Esempio: if (l'ospite è simpatico)
then (esegui la procedura Saluti)
else (...)
Per renderle più flessibili, le procedure possono avere
parametri (o nomi generici). Un parametro viene usato come
se fosse un valore nella procedura. Quando si esegue la
procedura va fornito un valore per il parametro.
Esempio: procedure Salutibis (contatore)
while (contatore > 0) do
(stampa il messaggio “Saluti”;
contatore ← contatore - 1)
14. Passi per la risoluzione di problemi
1. Comprendere il problema
2. Progettare una soluzione (algoritmo)
3. Realizzare l'algoritmo (scrittura del codice)
4. Valutare l'efficienza e l'accuratezza dell'algoritmo trovato
Osservazioni:
Le fasi riportate sopra non sono necessariamente in sequenza
Si potrebbe anche sostenere che non si ha una vera
comprensione del problema fintanto che non si arriva a una
soluzione del problema stesso. Il fatto che un problema sia
irrisolto implica una mancanza di comprensione.
15. Risolvere problemi (Problem Solving)
Come si risolvono problemi?
La capacità di risolvere problemi è un'abilità artistica da sviluppare
piuttosto che una scienza esatta da imparare
"Una grande scoperta risolve un
grande problema, ma nella soluzione
di qualsiasi problema c'è un pizzico
di scoperta. Il tuo problema può
essere modesto, ma se stimola la tua
curiosità, tira in ballo la tua inventiva
e lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi
sperimentare la tensione e gioire del
trionfo della scoperta"
G.Polya, matematico ungherese (1887
- 1985)
16. Getting a foot in the door
Ci sono numerosi approcci per risolvere
problemi. Esiste un filo conduttore che li
accomuna ed è detto getting a foot in the
door.
Esempio:
Problema: Prima di iniziare una corsa, A,B,C,D fanno le seguenti previsioni:
A prevede che B vincerà; B prevede che D sarà l'ultimo;
C prevede che A arriverà terzo; D prevede che la predizione di A sarà corretta.
Solo una di queste previsioni è vera e quella è la previsione fatta dal vincitore.
Chi vincerà la gara?
Soluzione: Poichè le previsioni di A e D sono equivalenti, sono entrambe false
(il vincitore è uno solo). A questo punto abbiamo a foot in the door. Se la
previsione di A è falsa, allora B non ha vinto. Dunque il vincitore è C.
17. Alcune tecniche per risolvere
problemi
Provare a risolvere un problema analogo più semplice
Usare la tecnica di raffinamento, detta anche divide et impera,
che consiste nel suddividere il problema in sottoproblemi più
semplici da risolvere
Tale tecnica segue una metodologia top-down, in quanto va dal
generale allo specifico
Usare la metodologia bottom-up, che consiste nel cominciare a
risolvere sottoproblemi del problema dato ed estendere poi le
soluzioni
In generale, risolvere un problema richiede una forma di creatività:
è una forma di arte
18. Strutture iterative
Algoritmo di ricerca sequenziale
Problema: trovare un algoritmo che verifichi che un
particolare valore (target value) è presente in una lista data. Se
il valore è nella lista, la ricerca è stata un successo; altrimenti,
un fallimento
Soluzione: si scorre la lista dall'inizio, confrontando ogni voce
(test entry) con target value. Se si raggiunge la fine dell'elenco
senza trovare target value, la ricerca è stata un fallimento.
Un algoritmo di questo tipo è detto algoritmo di ricerca
sequenziale. A causa della sua semplicità, è spesso utilizzato per
liste brevi; infatti, nel caso di lunghi elenchi, ricerche sequenziali
non sono così efficienti come altre tecniche
19. Strutture iterative
Algoritmo di ricerca sequenziale
procedure ricerca (Lista, TargetValue)
if (Lista vuota)
then
(Dichiarare la ricerca un fallimento)
else
(Selezionare la prima voce nella lista come TestEntry;
while ( TargetValue > TestEntry
e rimangono voci da considerare)
do (seleziona la voce successiva nella lista come TestEntry)
if (TargetValue = TestEntry)
then (Dichiarare la ricerca un successo)
else (Dichiarare la ricerca un fallimento)
) end if
20. Strutture iterative
Strutture di controllo iterative
Un metodo per implementare un uso ripetitivo di un'istruzione o una
sequenza di istruzioni è una struttura iterativa detta loop (ciclo), nella
quale un insieme di istruzioni, chiamate corpo del ciclo, vengono
eseguite in modo ripetitivo sotto la direzione di alcuni control process
Vi sono due importanti strutture ad anello:
while (condizione) do (corpo del ciclo)
repeat (corpo del ciclo) until (condizione)
Differenze:
Il corpo del repeat viene sempre eseguito almeno una volta
Il repeat termina quando la condizione è vera
21. I diagrammi di flusso
I diagrammi di flusso sono un'alternativa allo pseudocodice per
rappresentare algoritmi in modo informale ma preciso.
Struttura del while: diagramma di Struttura del repeat: diagramma di
flusso flusso
22. Strutture iterative
Algoritmo di ordinamento per inserimento
Problema: trovare un algoritmo che riordini in ordine alfabetico la
seguente lista
Fred, Alex, Diana, Byron, Carol
Soluzione:
La sottolista costituita dai primi due nomi non è ordinata. Si prende la
scheda contenente Alex, si fa scorrere il nome Fred verso il basso
nello spazio dove c'era Alex e si posiziona poi il nome Alex nel buco
Ora i primi due nomi formano una sottolista ordinata, ma i primi tre
no. Così si può prendere il terzo nome, Diana, si fa scorrere il nome
di Fred giù nel buco dove c'era Diana e si inserisce Diana nel buco
lasciato da Fred. Le prime tre voci dell'elenco sono così ordinate
Si prosegue in maniera analoga e si ottiene un elenco in ordine
alfabetico
23. Strutture iterative
Algoritmo di ordinamento per inserimento
Si osserva che ciascuna riga
della figura riportata
rappresenta lo stesso
procedimento e che esso
viene solamente ripetuto più
volte.
In altre parole, il programma
ordina l'elenco più volte
rimuovendo una voce e
inserendola nella sua corretta
posizione. É per questo che si
parla di ordinamento per
inserimento
24. Strutture ricorsive
Algoritmo di ricerca binaria
Un algoritmo di ricerca binaria individua un valore
desiderato all'interno di un insieme ordinato di dati
Problema: trovare un algoritmo che individui una particolare voce
in una lista ordinata
Soluzione:
Si seleziona la “middle entry” nella lista, cioè la prima voce
della seconda metà dell'elenco.
Se la “middle entry” è il valore cercato, la ricerca è stata un
successo. Altrimenti, possiamo limitare la nostra ricerca alla
prima o ultima metà della lista.
Si prosegue in maniera analoga per la parte rimanente di lista
25. Strutture ricorsive
Algoritmo di ricerca binaria
Esempio: Nella lista data cercare la parola John
26. Strutture ricorsive
Algoritmo di ricerca binaria
In pseudocodice
procedure Search (lista, targetvalue)
if (lista vuota)
then (Affermare che la ricerca e stata un fallimento)
else
(selezionare middle-entry come Testentry;
Eseguire il caso seguente appropriato.
Caso 1: TargetValue = Testentry
(Affermare che la ricerca e stato un successo)
Caso 2: TargetValue < Testentry
(Applicare la procedura Search per vedere se il TargetValue e nella
porzione della lista precedente a Testentry e riportare il risultato della
ricerca)
Caso 3: TargetValue > Testentry
(Applicare la procedura Search per vedere se il TargetValue e nella
porzione della lista successiva a Testentry e riportare il risultato della
ricerca)
) end if
27. Strutture ricorsive
Strutture di controllo ricorsive
L'algoritmo di ricerca binaria è simile a quello di ricerca
sequenziale, poiché entrambi gli algoritmi richiedono
l'esecuzione di un processo ripetitivo.
Tuttavia, l'attuazione di questa ripetizione è molto diversa. La
ricerca sequenziale comporta una forma circolare di ripetizione,
mentre la ricerca binaria esegue ogni fase della ripetizione
come una sottoattività della fase precedente. Questa tecnica è
nota come ricorsione.
I sistemi ricorsivi dipendono da una condizione di terminazione
detta base case o degenerative case
28. Efficienza degli algoritmi
Anche se le macchine di oggi sono in grado di eseguire milioni
di istruzioni al secondo, l'efficienza rimane una delle
principali preoccupazioni nella progettazione di algoritmi.
Spesso la scelta tra algoritmi efficienti e non efficienti può fare
la differenza tra una soluzione pratica al problema e una
impraticabile.
Ci sono diverse misure per valutare la “bontà” di un algoritmo
Normalmente siamo interessati al costo dell'esecuzione
dell'algoritmo o in termini del tempo impiegato
dall'esecuzione o dallo spazio di memoria occupato dalle varie
strutture dati necessarie per l'esecuzione
29. Analisi dell'algoritmo di ordinamento
per inserimento
Esempio: Consideriamo una lista di n termini e l'algoritmo di
ordinamento per inserimento analizzato sopra.
Poichè l'attività di confronto tra due voci domina l'algoritmo, il
nostro approccio sarà quello di contare il numero di tali confronti
che vengono eseguiti durante l'ordinamento della lista
Nel miglior caso possibile, si devono eseguire n – 1 confronti
Nel caso peggiore, cioè quando l'elenco originale è in ordine
inverso, si devo effettuare
1 + 2 + 3 + … + (n – 1) = ½ (n² – n) confronti
Il numero di confronti effettuati durante l'esecuzione dell'algoritmo
fornisce un'approssimazione della quantità di tempo necessaria per
eseguire l'algoritmo
30. Analisi dell'algoritmo di ordinamento
per inserimento
Come si vede dal grafico,
nel caso peggiore, il tempo
impiegato per eseguire
l'algoritmo aumenta in
maniera esponenziale se
aumenta n
Quindi l'algoritmo diventa
meno efficiente più la
dimensione della lista
aumenta
31. Analisi dell'algoritmo di ricerca
binaria
Il grafico a fianco
rappresenta l'analisi
dell'algoritmo di
ricerca binaria nel caso
peggiore.
Si osserva che
l'algoritmo di ricerca
binaria diventa più
efficiente man mano
che la lunghezza della
lista aumenta.
32. La notazione big-theta
Poichè la forma del grafico ottenuto riflette l'efficienza dell'algoritmo,
è comune classificare gli algoritmi secondo le forme di questi grafici,
basati sull'analisi del caso peggiore. La notazione utilizzata per
identificare queste classi è talvolta chiamata “big-theta notation”
Tutti gli algoritmi i cui grafici hanno la forma di una parabola, come
l' algoritmo di ordinamento per inserimento, vengono posti nella
classe rappresentata da Θ(n²)
Tutti gli algoritmi i cui grafici hanno la forma di una espressione
logaritmica, come la ricerca binaria, rientrano nella classe
rappresentata da Θ(ln(n))
Conoscere la classe in cui un particolare algoritmo cade ci permette di
prevedere le sue prestazioni e di confrontarle con altri algoritmi che
risolvono lo stesso problema
33. Correttezza degli algoritmi
Importante è la distinzione tra programma che si crede essere corretto
e un programma che è corretto
Si è cercato di applicare le tecniche di logica formale per dimostrare
la correttezza di un programma, cioè il fatto che l'algoritmo
rappresentato da un programma faccia quello che è destinato a fare
Una prima prova di correttezza inizia con l'assunzione che certe
condizioni, chiamate precondizioni, siano soddisfatte all'inizio
dell'esecuzione del programma
Secondo passo in una prova di correttezza è quello di considerare in
che modo le conseguenze di queste precondizioni si propagano nel
programma
34. Correttezza degli algoritmi
Una dimostrazione di correttezza procede poi identificando
asserzioni che possono essere stabilite in vari punti del programma.
Ognuna di esse è conseguenza delle precondizioni del programma e
dell'insieme di istruzioni che portano al punto in cui è stabilita
l'asserzione.
Se l'asserzione stabilita alla fine del programma corrisponde alle
postcondizioni desiderate, possiamo concludere che il programma è
corretto.
I progressi nello sviluppo di tecniche per verificare la correttezza di
un programma continuano ad essere una sfida. Uno dei progressi più
significativi si ha nel linguaggio di programmazione SPARK,
strettamente legato alla lingua Ada. Un programma scritto in SPARK
non contiene solo l'algoritmo da applicare, ma anche le informazioni
necessarie per l'applicazione della dimostrazione formale di
correttezza.
35. Correttezza degli algoritmi
Una dimostrazione di correttezza procede poi identificando
asserzioni che possono essere stabilite in vari punti del programma.
Ognuna di esse è conseguenza delle precondizioni del programma e
dell'insieme di istruzioni che portano al punto in cui è stabilita
l'asserzione.
Se l'asserzione stabilita alla fine del programma corrisponde alle
postcondizioni desiderate, possiamo concludere che il programma è
corretto.
I progressi nello sviluppo di tecniche per verificare la correttezza di
un programma continuano ad essere una sfida. Uno dei progressi più
significativi si ha nel linguaggio di programmazione SPARK. Un
programma scritto in SPARK non contiene solo l'algoritmo da
applicare, ma anche le informazioni necessarie per l'applicazione
della dimostrazione formale di correttezza.
