Studio comparativo tra gli algoritmi di Dijkstra e Bellman-Ford

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Studio comparativo tra gli algoritmi
di Dijkstra e Bellman-Ford
ANNO ACCADEMICO 2014/2015
Francesco Ciclosi
Camerino, febbraio 2015

Studio comparativo tra gli algoritmi di Dijkstra e Bellman-Ford
© Francesco Ciclosi – febbraio 2015 – Tutti i diritti riservati.
Il problema dei cammini minimi
 un problema di cammino minimo prevede
l’individuazione della via più breve per andare da un
punto di partenza (p), a un punto di arrivo (a)
 Nella teoria dei grafi, il cammino minimo indica il
percorso che collega due vertici dati, minimizzando
la somma dei costi associati all’attraversamento di
ogni arco

Un problema molte varianti
 cammini minimi a sorgente singola, per la
determinazione dei cammini minimi a partire da un
nodo prefissato;
 cammini minimi tra tutte le coppie, per la
determinazione dei cammini minimi tra ogni nodo.
 La maggior parte dei problemi è riconducibile al 1°

Archi con cicli di pesi negativi
 Dati due vertici s e v, v è raggiungibile da s se
esiste almeno un cammino da s a v
 La raggiungibilità
non è sufficiente a
garantire l’esistenza
di un cammino
minimo tra due
nodi

Il sottografo dei predecessori
 Sia 𝐺 = (𝑉, 𝐸) un grafo orientato e pesato senza
cicli di peso negativo raggiungibili da 𝑠 ∈ 𝑉;
 Il sottografo dei predecessori 𝐺 𝜋 = 𝑉𝜋, 𝐸 𝜋 è:
• 𝑉𝜋 = 𝑣 ∈ 𝑉: 𝜋 𝑣 ≠ 𝑁𝐼𝐿 ∪ 𝑠 , ovvero l’insieme
dei vertici 𝑉𝜋 è l’insieme composto dai vertici di 𝐺
aventi predecessore diverso da NIL, più la sorgente 𝑠
• 𝐸 𝜋 = 𝜋 𝑣 , 𝑣 ∈ 𝐸: 𝑣 ∈ 𝑉𝜋 − 𝑠 , ovvero l’insieme
degli archi orientati 𝐸 𝜋 è l’insieme di archi indotto dai
valori di 𝜋 per i vertici in 𝑉𝜋.

La tecnica del rilassamento
 per ogni nodo 𝑢 del grafo, si memorizza un
attributo 𝑑 𝑢 (stima del cammino minimo)
 𝑑 𝑢 è un limite superiore al peso di un cammino
minimo dalla sorgente 𝑠 a un nodo 𝑣 ∈ 𝑉
 rilassare un arco (𝑢, 𝑣) vuol dire
• verificare se passando per 𝑢, si può migliorare il
cammino minimo per 𝑣 attualmente noto
• aggiornare conseguentemente i valori di 𝑑[𝑣] e 𝜋[𝑣]

Rappresentazione dell’output
 L’output del problema dei cammini minimi a
sorgente singola è l’albero dei cammini minimi
 La rappresentazione utilizza un array 𝜋, di
dimensione pari al numero dei nodi e tale che 𝜋 𝑢
contenga:
• il nodo padre di u
• -1 se u è la radice dell’albero (ovvero il nodo sorgente)

L’algoritmo di Dijkstra
 Risolve il problema di cammini minimi con
sorgente singola
• su di un grafo orientato e pesato 𝐺 = (𝑉, 𝐸)
• nel caso in cui tutti gli archi hanno peso non negativo,
quindi 𝑤(𝑢, 𝑣) ≥ 0 per ogni arco (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸

Funzionamento – elementi utilizzati
• un insieme 𝑆 con i vertici aventi il peso di cammino
minimo dalla sorgente 𝑠 già determinato;
• una coda a priorità 𝑄 con i vertici aventi il peso di
cammino minimo dalla sorgente 𝑠 non già determinato;
• un array 𝑑 per memorizzare di volta in volta il peso del
cammino migliore temporaneo per ciascun nodo;
• un array 𝜋 in cui viene memorizzato l’albero dei
cammini

Algoritmo di Dijkstra: pseudocodice (1)
 Utilizza le due seguenti procedure:

Algoritmo di Dijkstra: pseudocodice (2)

L’algoritmo di Bellman-Ford
 Risolve il problema di cammini minimi con
sorgente singola
• su di un grafo orientato e pesato 𝐺 = (𝑉, 𝐸)
• anche nel caso più generale in cui i pesi degli archi
possono essere negativi
• identifica l’eventuale esistenza nel grafo di cicli di peso
negativo, che siano raggiungibili dalla sorgente
• produce l’albero dei cammini minimi con i relativi pesi,
se nel grafo non esistono i cicli di cui sopra

Algoritmo di Bellman-Ford: pseudocodice

Analisi comparativa
 Analisi dell’algoritmo di Dijkstra
• descrizione, analisi asintotica, analisi della struttura
dati implementata per la coda di priorità
 Analisi dell’algoritmo di Bellman-Ford
• descrizione, analisi asintotica
 Comparazione riassuntiva tra i due algoritmi

Dijkstra: analisi (1)
 L’efficienza dell’algoritmo dipende dalla struttura
dati usata per implementare la coda di priorità Q
 La scelta dell’implementazione di Q non cambia
il comportamento dell’algoritmo
 La scelta dell’implementazione di Q cambia la
complessità e l’efficienza dell’algoritmo

Dijkstra: analisi (2)
 L’algoritmo si basa su tre operazioni principali
che sono la base per l’analisi della complessità
asintotica
• Inserimento (istruzione Q ← V)
• Estrazione del minimo (funzione Extract_Min())
• Decremento di una chiave (implicito nella funzione
Relax(u,v,w))

Coda di priorità su lista non ordinata
 È la più semplice implementazione della coda
 È realizzabile con un vettore di puntatori
 Il tempo totale di esecuzione dell’algoritmo è
quindi Ο 𝐸 + 𝑉2
= Ο(𝑉2
)
× |V| operazioni
× |E| operazioni

Coda di priorità su heap binario (1)
 Realizza Q organizzando gli elementi in un
albero binario secondo la struttura min-heap
 Mantiene 3 proprietà:
• Ogni elemento della coda corrisponde a un nodo
dell’albero binario
• Ogni nodo dell’albero binario diverso dalla radice ha
priorità ≥ a quella del nodo padre
• L’albero è completo fino al penultimo livello (h-1)

Coda di priorità su heap binario (2)
 Dato un albero di n nodi, dalle tre proprietà
derivano le seguenti:
1. L’heap conterrà esattamente n nodi
2. Tutti i nodi dell’albero avranno priorità ≥ a
quella della radice
3. L’altezza è proporzionale a 𝑙𝑜𝑔2 𝑛 che diviene un
limite superiore per ogni operazione sull’albero

Coda su heap binario: analisi asintotica
 Il tempo totale di esecuzione dell’algoritmo è pari a
Ο 𝐸𝑙𝑜𝑔𝑉 + 𝑉𝑙𝑜𝑔𝑉 = Ο( 𝐸 + 𝑉 𝑙𝑜𝑔𝑉)
× |V| operazioni
× |E| operazioni

Coda di priorità su heap di Fibonacci
 È la più efficiente coda con priorità utilizzabile
per l’algoritmo di Dijkstra
 Ha le stesse prestazioni teoriche di un heap
tradizionale ma…
 …permette inserimento e decremento di una
chiave in un tempo constante e non logaritmico
 Fa uso dell’analisi in tempo ammortizzato

Struttura dati heap di Fibonacci (1)
 Sono composti da una lista di alberi che soddisfano
l’ordinamento parziale min-heap (≤)

Struttura dati heap di Fibonacci (2)
 Ogni nodo 𝑥 ha un puntatore 𝑝 𝑥 al padre e un puntatore 𝑐ℎ𝑖𝑙𝑑 𝑥
a uno dei suoi figli.
 I figli di 𝑥 sono collegati da una lista circolare a doppio collegamento
 Ogni figlio 𝑦 ha dei puntatori 𝑙𝑒𝑓𝑡 𝑦 e 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡 𝑦

L’analisi ammortizzata
 Il tempo di esecuzione di una sequenza di
operazioni di una struttura dati è la media dei
tempi di esecuzione della sequenza
 Sia n la dimensione di una struttura dati e k una
catena di operazioni su di essa
 => La complessità in tempo è la somma dei
tempi di caso pessimo divisa per k
 => Ottengo l’efficienza media nel caso pessimo

Il metodo del potenziale
 È una tecnica usata nell’analisi ammortizzata
 Si associa alla struttura dati D un potenziale 𝜙(𝐷),
definito in modo tale che:
• le operazioni meno costose lo incrementano
• le operazioni più costose lo diminuiscono
 Il costo ammortizzato è quindi dato dalla somma
algebrica di costo effettivo e variazione di potenziale

Funzione potenziale per l’heap di Fibonacci
 Sia H un heap di Fibonacci
• 𝑡(𝐻) il numero di alberi nella lista delle radici di 𝐻
• 𝑚(𝐻) il numero dei nodi marcati in 𝐻
 La funzione potenziale è così definita:
 𝜙 𝐻 = 𝑡 𝐻 + 2𝑚 𝐻
• Assumiamo che un’applicazione che fa uso di un heap
di Fibonacci inizi con un heap vuoto
• => Il potenziale iniziale è dunque pari a 0 e rimarrà
positivo anche successivamente.

Coda su heap di Fibonacci: analisi asintotica
 Il tempo totale di esecuzione dell’algoritmo è pari a
Ο(𝑉𝑙𝑜𝑔𝑉 + 𝐸)
× |V| operazioni
× |E| operazioni

Altre possibili implementazioni di Dijkstra

Bellman-Ford: analisi
 L’algoritmo si basa su tre operazioni principali
basilari per l’analisi della complessità asintotica:
• Inizializzazione (funzione Initialize_Single_Source()) –
riga 1
• Rilassamento (funzione Relax(u,v,w))) – ciclo for delle
righe 2-4
• Diminuzione della stima del peso di cammino minimo
– ciclo for delle righe 5-7

Coda su heap di Fibonacci: analisi asintotica
 Il tempo totale di esecuzione dell’algoritmo è Ο(𝑉𝐸)

Conclusioni (1)
 Caso grafo con archi aventi pesi negativi
• Non supportato da Dijkstra
• Supportato da Bellman-Ford (rileva anche la presenza
di cicli negativi)
 Tipologia:
• Dijkstra esempio di algoritmo Greedy
• Bellman-Ford esempio di programmazione dinamica

Conclusioni (2)
 Rilassamento
• Entrambi utilizzano tale tecnica
• Dijkstra rilassa ogni arco una sola volta
• Bellman-Ford rilassa ogni arco del grafo |V|-1 volte
 Complessità (caso migliore):
• Dijkstra Ο(𝑉𝑙𝑜𝑔𝑉 + 𝐸) con heap di Fibonacci
• Bellman-Ford Ο(VE) – risulta meno efficiente

Conclusioni (3)
 La complessità di Dijkstra è strettamente connessa
alla complessità della sua coda di priorità
 Θ(𝑉 + 𝑉 × 𝑇𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡_𝑀𝑖𝑛() + 𝐸 × 𝑇𝑅𝑒𝑙𝑎𝑥 𝑢,𝑣,𝑤 )

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