Abstrak
•Download as DOCX, PDF•
0 likes•178 views
Abstrak ini membahas keterkaitan sifat-sifat ring, field, dan integral domain. Ring merupakan struktur aljabar dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian. Field adalah ring komutatif yang setiap elemennya memiliki invers perkalian, sedangkan integral domain adalah ring komutatif tanpa pembagi nol. Penelitian ini menganalisis hubungan antara ketiga struktur tersebut, misalnya bahwa setiap field merupakan integral
![ABSTRAK
Rahmawati, Atika. 2014. Keterkaitan Sifat-Sifat Ring, Field, dan Integral Domain.
Program Studi Pendidikan Matematika. Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Ponorogo. Pembimbing : Dr.
Julan Hernadi, M.Si
Kata kunci : Keterkaitan, Ring, Field, Integral Domain.
Ring merupakan struktur aljabar yang dibentuk dari satu himpunan takkosong
dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian. Terhadap penjumlahan,
struktur tersebut merupakan grup abelian, sedangkan terhadap perkalian merupakan
semigrup. Selain itu, operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan. Jika
operasi perkalian pada ring bersifat komutatif, maka disebut ring komutatif. Sedangkan
ring yang mempunyai elemen identitas perkalian dinamakan ring dengan elemen satuan.
Kedua jenis ring tersebut dapat dibentuk menjadi field dan integral domain dengan
beberapa sifat khusus.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keterkaitan sifat-sifat ring dengan
field, ring dengan integral domain, serta field dengan integral domain. Penelitian ini
menggunakan metode studi pustaka untuk menganalisa sifat-sifat yang terdapat pada
ring. Selanjutnya mengidentifikasi hubungan sifat-sifat tersebut dengan field dan
integral domain.
Berdasarkan penelitian ini, diperoleh sifat-sifat ring yang mendasari
pembentukan field dan integral domain. Field adalah ring pembagian yang komutatif.
Sedangkan ring pembagian merupakan suatu ring dengan elemen satuan di mana setiap
elemen taknol mempunyai invers terhadap perkalian. Selain itu, ring pembagian juga
tidak mengandung pembagi nol. Akibatnya, field juga tidak memiliki pembagi nol.
Karena field dibentuk dari ring pembagian, maka setiap field pasti termasuk dalam ring
pembagian. Namun tidak semua ring pembagian merupakan field, karena ada ring
pembagian yang tidak komutatif disebut field miring. Suatu ring komutatif dengan
elemen satuan dan tidak mengandung pembagi nol dinamakan integral domain. Dalam
hal ini, setiap field adalah integral domain, namun hanya integral domain berhingga saja
yang merupakan field. Sehingga tidak semua integral domain merupakan ring
pembagian. Misalkan 휙 suatu homomorfisma ring yang memetakan ring 푅 ke ring 푅′
dengan peta 휙[푅]. Jika 푅 komutatif, maka 휙[푅] juga komutatif. Selain itu, jika 푅
mempunyai elemen satuan 1, maka 휙(1) ≠ 0 merupakan elemen satuan pada 휙[푅].
Namun jika 휙(1) = 0, maka 휙[푅] tidak mempunyai elemen satuan. Lebih lanjut, jika 푅
field dan 휙(1) ≠ 0, maka 휙[푅] juga merupakan field. Tetapi jika 푅 suatu integral
domain, maka 휙[푅] tidak harus integral domain.](https://image.slidesharecdn.com/abstrak-140903035546-phpapp01/85/Abstrak-1-320.jpg)
Recommended
More Related Content
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Abstrak
- 1. ABSTRAK Rahmawati, Atika. 2014. Keterkaitan Sifat-Sifat Ring, Field, dan Integral Domain. Program Studi Pendidikan Matematika. Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Muhammadiyah Ponorogo. Pembimbing : Dr. Julan Hernadi, M.Si Kata kunci : Keterkaitan, Ring, Field, Integral Domain. Ring merupakan struktur aljabar yang dibentuk dari satu himpunan takkosong dengan dua operasi biner, yaitu penjumlahan dan perkalian. Terhadap penjumlahan, struktur tersebut merupakan grup abelian, sedangkan terhadap perkalian merupakan semigrup. Selain itu, operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan. Jika operasi perkalian pada ring bersifat komutatif, maka disebut ring komutatif. Sedangkan ring yang mempunyai elemen identitas perkalian dinamakan ring dengan elemen satuan. Kedua jenis ring tersebut dapat dibentuk menjadi field dan integral domain dengan beberapa sifat khusus. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keterkaitan sifat-sifat ring dengan field, ring dengan integral domain, serta field dengan integral domain. Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka untuk menganalisa sifat-sifat yang terdapat pada ring. Selanjutnya mengidentifikasi hubungan sifat-sifat tersebut dengan field dan integral domain. Berdasarkan penelitian ini, diperoleh sifat-sifat ring yang mendasari pembentukan field dan integral domain. Field adalah ring pembagian yang komutatif. Sedangkan ring pembagian merupakan suatu ring dengan elemen satuan di mana setiap elemen taknol mempunyai invers terhadap perkalian. Selain itu, ring pembagian juga tidak mengandung pembagi nol. Akibatnya, field juga tidak memiliki pembagi nol. Karena field dibentuk dari ring pembagian, maka setiap field pasti termasuk dalam ring pembagian. Namun tidak semua ring pembagian merupakan field, karena ada ring pembagian yang tidak komutatif disebut field miring. Suatu ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak mengandung pembagi nol dinamakan integral domain. Dalam hal ini, setiap field adalah integral domain, namun hanya integral domain berhingga saja yang merupakan field. Sehingga tidak semua integral domain merupakan ring pembagian. Misalkan 휙 suatu homomorfisma ring yang memetakan ring 푅 ke ring 푅′ dengan peta 휙[푅]. Jika 푅 komutatif, maka 휙[푅] juga komutatif. Selain itu, jika 푅 mempunyai elemen satuan 1, maka 휙(1) ≠ 0 merupakan elemen satuan pada 휙[푅]. Namun jika 휙(1) = 0, maka 휙[푅] tidak mempunyai elemen satuan. Lebih lanjut, jika 푅 field dan 휙(1) ≠ 0, maka 휙[푅] juga merupakan field. Tetapi jika 푅 suatu integral domain, maka 휙[푅] tidak harus integral domain.